高二数学二项式定理5

k
k n
(4)二项展开式中,系数C (k 0,1,, n)叫 0 2 n , C1 , C , , C 作二项式系数,即 Cn n n n
应用举例
例1、求 1 6 的展开 (2 x ) 式． x
60 12 1 64x 192x 240x 160 2 3 x x x
13世纪 阿拉伯数学家
贾宪、杨辉 六次幂的系数表
阿尔图斯 12次幂的系数表
16世纪 德国数学家 ……
斯蒂菲尔
16次幂的系数表
1654年：
法国数学家
(a b)n (n N * )
…… 帕斯卡
问题1
(a1 b1 )(a 2 b2 )(a 3 b3 )展开后每 项是怎样构成的？共有几项？
二项式定理
桐乡第一中学
石小丽
b
b
a a
(a b) a 2ab b
2 2 2
公元1世纪
其中提及：
(a b) a 2ab b
2 2
3 3 2 2
2
(a b) a 3a b 3ab b
3
( a b) ?
n
《九章算术》
二项式
11-13世纪 中国数学家
3 2
应用举例
例2、求 (1 2 x ) 的展开式的第4 项的系数．
7
变式：求 (1 2 x ) 的展开式的第4 项的二项式系数．
7
应用举例
1 9 例3、在 ( x ) 展开式中，求 2x
2
含 x 的项．
9
1 9 变式：求 ( x ) 展开式中是否 2x
2
存在常数项？如没有，说明理由; 如有，试求之．
(a1 b1 )(a 2 b2 )(a 3 b 3 ) a 1a2a 3 a1a2b 3 a1 b2 a 3 b1a2a 3 a1 b2 b3 b1a 2b 3 b1b2a 3 b1b2b 3
*每项是由每个括号各取一个数相乘所得。
a b a b a b a b a b a b a b a b ab
n 0 n n n n n *
1 n1 n
k n k k n
(1)展开式共有n+1项； (2)各项的次数都等于二项式的次数n； 字母 a 按降幂排列,次数由n递减到0； 字母 b 按升幂排列,次数由0递增到n．
(3)二项展开式的通项：
Tk 1 C a
k n n k
b 其中k {0,1,, n}
作业：
1.阅读作业：阅读教材P2.研究性作业（查一查）：
请同学们课外到阅览室或网上查找二项 式定理推导的其他方法，整理并相互交 流。
上海自动化仪表厂系统工程公司、“销售公司”、“上海自动化仪表厂系统工程公司系统工程公司”、“DCS分公司”、“进出口部”、“国内 备品备件部”、共有18个工厂、21家合资企业。上海自动化仪表厂系统工程公司 上海自动化仪表厂系统工程公司 duh61exc 主要产品有工业生产过程控制系统装置和仪表分析仪器、汽车电子、计算机、楼宇控制系统、商业和金融自动化系统、可编程序控制 器（PLC）、家用电器及仪表控制柜、各种仪表元件和气动元件等。在工业生产过程控制方面的产品有20个大类、150个系列、3000多种品种， 拥有作为现代工业过程控制的分散控制系统（DCS）及各类控制、调节、温度、测量、显示、记录仪以及执行机构和调节阀。 日飞升，真是神仙哪！”下人涕泗横流的报告。老太太回来后听说，登时就怒了，对着明远：“请了活神仙来家，怎么不赶紧叫我去 见？”“„„”明远一脸委屈的想，“要不是这家伙临走前来了这一手，谁认他是真神仙？还不当他是江湖把式吗？请您搁下要事回府、屈尊 去见他，怎开得了这个口！”正是临走前使的一招，才使得张神仙的“活儿”有了质的飞跃，成为上上下下里里外外诸色人等口中津津乐道的 话题。而韩毓笙“芙蓉花主”的名头，听说的人更多了。第三十四章 凭尽栏杆说元夜（1）宝音的身体好得很快。老太太原是不想留个病人在 屋里的，见她病势来得急去得快，刘大夫也说不过是饮食不当、热毒急了攻破喉头，其实无事，也便放宽了心，留她在屋中再看看。这日但见 宝音对着一本书，一边还比着手势，便动问道：“怎么了？不好好养身子，这还比划捣药呢？”宝音忙阖起书，屈膝道：“这本书„„写着捣 茶。”她从明秀那儿，没借佛经，倒借了本茶经，还是挺古早的簿子，里头说吃茶，要捣、要煎、要放盐放油放香料，甚或有把茶叶都吃下去 的！可是作怪。丫头们都纳闷：“好茶叶一捣，不就坏了么，还怎么泡？”老太太倒触动心上痒处，笑道：“你们不知道。拿来我看看。”丫 头捧起书，且喜书上字体不小，她眯着眼看了会儿，道：“果然如此，这倒说的是古法儿的吃茶法呢！——你们单知道‘喝茶’，土话儿也叫 ‘吃茶’，哪知道老早时候，兴的就是吃茶？茶叶先经蒸制，压成饼，好的茶饼，只取芽尖一缕，光明莹洁，状若银线，压得密，手掌薄、半 个手掌大这么一小团，拿起来沉甸甸的，就快半斤了！叫密云团。用时切一小片，磨细下来，已够煮三五碗茶汤——三碗为佳，最多煮五碗， 这才是会吃茶的人。我的爷爷，每次只吃三碗，他就有那种密云团，茶汤浓得呀，再没其他相仿佛的好比拟，那种着实劲儿，用‘喝’就太轻 浮了，所以叫‘吃’。我小时候，从京城以降，已经都兴起炒青泡茶法儿了，他还恋着团茶，我亲手伺候他，煮完了最后一片密云团，再就没 了。市面上再没人能做那种茶啦！”老太太的爷爷，其实是晚年获罪，被抄赃，一吓而亡。老太太很少讲她爷爷的事，无非一次兴起，跟宝音 提过她十来岁时跟爷爷学得一手好煮茶手艺，也不过那么几句话，点到即止。现在她也打算“即止”了，但小丫头们没有宝音识相，簇拥过来 还想听她讲团茶，宝音在当中只凑趣插了几句嘴，老太太忽然发现自己已经兴致勃勃谈起来了。跟她的爷爷无关，只是团茶。话头被引导得那 么好，纯粹说古制，给小孩子们开开眼。她不觉间讲解了螃蟹眼、鹧鸪斑、三沸三辨、十二先生、兔豪鱼目、冷粥栗纹。这些术语、掌故，久 储在她心里，而今渐渐活了过来。老人
小结
二项式定理：
(a b) C a C a b C a b C b (n N )
n 0 n n n n n * 1 n1 n k n k k n
二项展开式的通项：
Tk 1 C a
k n n k
b 其中k {0,1,, n}
k
思考
1 1 1 1 已知集合 A { , , , , }， 2 3 4 10 求A的 所 有 非 空 子 集 中 元 乘 素 积之和 .
(a b)(a b)(a b) aaa (aab aba baa) (abb bab bba) bbb
a 3a b 3ab b
3 2 2
3
问题2
你能分析 (a b) 的展开式吗？
4
问题3
你能写出 (a b) 的展开式吗？
n
(a b) C a C a b C a b C b (n N )