初中数学《绝对值化简》讲义及练习

内容 基本要求
略高要求
较高要求
绝对值 借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值
会利用绝对值的知识解决简单的化简问题
绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.
④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值：
①(0)
0(0)(0)
a a a a a a >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩ ②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩
利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.
绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.
例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =
绝对值的其它重要性质：
（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-；
（3）ab a b =⋅；
a a
b b
=(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；
（5）a b a b a b -≤+≤+，
对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立； 对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立．
板块一：绝对值代数意义及化简
【例1】 （2级）⑴ 下列各组判断中，正确的是 ( )
中考要求
例题精讲
绝 对 值 化 简
A ．若a b =，则一定有a b =
B ．若a b >，则一定有a b > C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()2
2a b =-
⑵ 如果2a ＞2b ，则 ( ) A ．a b > B ．a ＞b C ．a b < D a ＜b
⑶ 下列式子中正确的是 ( ) A ．a a >- B ．a a <- C ．a a ≤- D ．a a ≥-
⑷ 对于1m -，下列结论正确的是 ( ) A ．1||m m -≥ B ．1||m m -≤ C ．1||1m m --≥ D ．1||1m m --≤ ⑸ (2002年江苏省竞赛题)若220x x -+-=，求x 的取值范围．
【解析】 ⑴ 选择D ．
⑵ 选择B ．
⑶ 我们可以分类讨论，也可以用特殊值法代入检验，对于绝对值的题目我们一般需要代正数、负数、
0，3种数帮助找到准确答案．易得答案为D ．
⑷ 我们可以用特殊值法代入检验，正数、负数、0，3种数帮助找到准确答案C ． ⑸ ()22x x -=--，所以20x -≤，即2x ≤．
【巩固】 （2级）绝对值等于5的整数有 个，绝对值小于5的整数有 个 【解析】 2；9个
【巩固】 （2级）绝对值小于31⋅的整数有哪些？它们的和为多少？ 【解析】 绝对值小于31⋅的整数有0，1±，2±，3±，和为0．
【巩固】 （2级）有理数a 与b 满足a b >，则下面哪个答案正确 ( ) A ．a b > B ．a b = C ．a b < D ．无法确定 【解析】 选择D ．
【例2】 （2级）已知：⑴52a b ==，，且a b <；⑵()2
120a b ++-=，分别求a b ，的值 【解析】 因为55a a ==±，
因为22b b ==±，
又因为a b <，所以22a b =-=±，
即52a b =-=，或52a b =-=-，
⑵由非负性可知12a b =-=，
【例3】 （2级）已知2332x x -=-，求x 的取值范围
【解析】 因为23x -的绝对值等于它的相反数，所以230x -≤，即3
2
x ≤
【巩固】 （4级）若a b >且a b <，则下列说法正确的是（ ）
A ．a 一定是正数
B ．a 一定是负数
C ．b 一定是正数
D ．b 一定是负数 【解析】 由分析可知a b ，中的较小数b 一定是负数，故选D
【例4】 （6级）（2010人大附中练习题）求出所有满足条件1a b ab -+=的非负整数对()a b ，
【解析】 根据题意a b -和ab 两个代数式的值只能在0与1中取，用逐一列举的方法，求得满足条件的非负
整数对有三对()()()011011，，，，，
【巩固】 （6级）（2005年江苏省数学文化节基础闯关试题）非零整数m n ，满足50m n +-=，所有这样的
整数组()m n ，
共有 【解析】 16
【例5】 （4级）(人大附单元测试)
如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求11a b b a c c +------的值.
【解析】 先判断每个绝对值符号内部的正负，而后化简
原式()(1)()(1)a b b a c c =-++-+---112a b b a c c =--+-+--+=-
【巩固】 （6级）已知00x z xy y z x <<>>>，
，，那么x z y z x y +++--= 【解析】 由00xy x z ><<，可得0y z <<，又因为y z x >>，所以y x z <<，原式0x z y z x y =+---+=
【例6】 （10级）（第4届希望杯2试）abcde 是一个五位自然数，其中a 、b 、c 、d 、e 为阿拉伯数码，且
a b c d <<<，则a b b c c d d e -+-+-+-的最大值是 ． 【解析】 当a b c d e <<<≤时，a b b c c d d e e a -+-+-+-=-，当9e =，1a =时取得最大值8；
当a b c d <<<，且a e >时，2a b b c c d d e d a e -+-+-+-=--，当9d =，1a =，0e =时取得最大值17．所以a b b c c d d e -+-+-+-的最大值是17．
【例7】 （8级）（河南省竞赛试题）已知2020y x b x x b =-+-+--，其中02020b b x <<，≤≤，那么y
的最小值为
【解析】 ()()20202040y x b x x b x b x b x =-+--+---=--++=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当20x =，y 的最小值为20
【巩固】 （10级）（华罗庚金杯赛前培训题）a 、b 、c 分别是一个三位数的百、
十、个位上的数字，且a b c ≤≤，则a b b c c a -+-+-可能取得的最大值是多少？
【解析】 由a b c ≤≤，得2()a b b c c a b a c b c a c a -+-+-=-+-+-=-，要想结果尽可能大，取9c =，
1a =即可，最大值为16．
【例8】 （8级）（希望杯邀请赛试题）设a b c ，，为整数，且1a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值 【解析】 因为a b c ，，为整数，且1a b c a -+-=
故a b -与c a -一个为0，一个为1，从而()()1b c b a a c -=-+-=，原式2=
【巩固】 （6级）（北京市迎春杯竞赛试题）已知123a b c ===，
，，且a b c >>，那么a b c +-= 【解析】 2或0
【例9】 （6级）（1）（第10届希望杯2试）已知1999x =，则2245942237x x x x x -+-++++= ．
（2）（第12届希望杯2试）
满足2()()a b b a a b ab -+--=（0ab ≠）有理数a 、b ，一定不满足的关系是（ ）
A ． 0ab <
B ． 0ab >
C ． 0a b +>
D ． 0a b +< （3）（第7届希望杯2试）
已知有理数a 、b 的和a b +及差a b -在数轴上如图所示，化简227a b a b +---．
a-b
a+b
【解析】 （1）容易判断出，当1999x =时，2
4590x x -+>，2
220x x ++>，
所以 224594223710819982x x x x x x -+-++++=-+=-
这道题目体现了一种重要的“先估算+后化简+再代入求值”的思想．
（2）为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉， 若a b ≥时，222()()()()0a b b a a b a b a b ab -+--=---=≠， 若a b <时，2222()()()()2()a b b a a b a b b a a b ab -+--=-+-=-=，
从平方的非负性我们知道0ab ≥，且0ab ≠，所以0ab >，则答案A 一定不满足． （3）由图可知01a b <-<，1a b +<-，
两式相加可得：20a <，0a <进而可判断出0b <，此时20a b +<，70b -<， 所以227a b a b +---(2)2()(7)7a b a b =-+--+-=-．
【巩固】 （8级）（第9届希望杯1试）若1998m =-，则
22119992299920m m m m +--+++= ．
【解析】
211999(11)999199819879990m m m m +-=+-=⨯->， 222999(22)999199819769990m m m m ++=+-=⨯+>，
故22(11999)(22999)2020000m m m m +--+++=．
【补充】（8级）若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-+
+-------的值．
【解析】 法1：∵0.239x =-，则
原式(1)(3)(1997)(2)(1996)x x x x x x =-------++++
+- 135199721996x x x x x x x =-+-+-+--+++-++-
1(32)(54)(19971996)=+-+-++- 111999=+++=
法2：由x a b <≤，可得x b x a b a ---=-，则
原式(1)(32)(19971996)x x x x x x =--+---+
+---
111999=+++=
点评：解法二的这种思维方法叫做构造法．这种方法对于显示题目中的关系，简化解题步骤有着重 要作用．
【例10】 （10级）设2020A x b x x b =-+----，其中020b x <≤≤，试证明A 必有最小值 【解析】 因为020b x <≤≤，所以0200200x b x x b ----<≥，≤，，进而可以得到： 2220A x b x x x =--=--≥≥，所以A 的最小值为20-
【例11】 （8级）若24513a a a +-+-的值是一个定值，求a 的取值范围.
【解析】 要想使24513a a a +-+-的值是一个定值，就必须使得450a -≥，且130a -≤，
原式245(13)3a a a =+---=，即14
35
a ≤≤时，原式的值永远为3.
【巩固】 （8级）若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数，试求x 的取值范围． 【解析】 要使式子的值为常数，x 得相消完，当10041005x ≤≤时，满足题意．
【例12】 （2级）数,a b 在数轴上对应的点如右图所示，试化简a b b a b a a ++-+--
【解析】 ()()()2a b b a b a a a b b a b a b ++-+--=-++-+--=．
【巩固】 （2级）实数a b c ，，在数轴上的对应点如图，化简a c b a b a c +--++-
【解析】 由题意可知：0000a c b a b a c <->+<-<，，，，所以原式2c a =-
【巩固】 （2级）若a b <-且0a
b
>，化简a b a b ab -+++.
【解析】 若a b <-且0a
b
>，0,0a b <<，0,0a b ab +<>
2a b a b ab a b a b ab ab a -+++=-+--+=-
【例13】 （8级）(北大附中2005-2006学年度第一学期期中考试)设,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，
0c c -=．化简b a b c b a c -+--+-．
【解析】 0a a +=，a a =-，0a ≤；ab ab =，0ab ≥；0c c -=，c c =，0c ≥
所以可以得到0a <，0b <，0c >；
()()()b a b c b a c b a b c b a c b -+--+-=-++----=．
【例14】 （6级）如果010m <<并且10m x ≤≤，化简1010x m x x m -+-+--.
【解析】 1010101020x m x x m x m x m x x -+-+--=-+-++-=-.
【巩固】 （2级）化简：
⑴3x -； ⑵12x x +++
【解析】 ⑴原式()()
3333x x x x ⎧-<⎪
=⎨-⎪⎩≥；⑵原式()
()()
232121231x x x x x --<-⎧⎪=-<-⎨⎪+-⎩≤≥
【巩固】 （6级）若a b <，求15b a a b -+---的值. 【解析】 15154b a a b b a a b -+---=-++--=-.
【巩固】 （8级）（第7届希望杯2试）若0a <，0ab <，那么15b a a b -+---等于 ．
【解析】 0a <，0ab <，可得：0b >，所以0b a ->，0a b -<，15154b a a b b a a b -+---=-++--=-．
【巩固】 （2级）已知15x <≤，化简15x x -+-
【解析】 因为15x <≤，所以1050x x --<≤，，原式154x x =-+-=
【例15】 （8级）已知3x <-，化简321x +-+.
【解析】 当3x <-时，3213213333x x x x x x +-+=+++=++=--=-=-.
【巩固】 （8级）（第16届希望杯培训试题）已知112x x ++-=，化简421x -+-． 【解析】 由112x x ++-=的几何意义，我们容易判断出11x -≤≤．
所以421x -+-421434311x x x x x =-+-=--=-+=+=+．
【例16】 （8级）若0x <，化简23x x x x
---．
【解析】 223333
x x x x x
x x x
x x
----=
=
=----+．
【巩固】 （8级）（四中）已知a a =-，0b <，化简
2
2442
(2)24323
a b a b a b b a +-
-+++--． 【解析】 ∵a a =-，∴0a ≤，又∵0b <，∴240a b +<，
∴24(24)2(2)a b a b a b +=-+=-+，∴
2
2242(2)2
(2)(2)2a b
a b a b a b a b
+-+-=
=+++
又∵20a b +<，∴444
2(2)2a b a b a b
-=-=
+-++ 又∵230a -<，∴22221
43(23)242424323
b a a b a b a b b a -=-=-==
++-++++-- ∴原式24132222a b a b a b a b
=-
++=
++++ 点评：详细的过程要先判断被绝对值的式子x ，再去绝对值的符号．、
【例17】 （8级）（第14届希望杯邀请赛试题）已知a b c d ，，，是有理数，916a b c d --≤，
≤，且25a b c d --+=，求b a d c ---的值
【解析】 因916a b c d --≤，
≤，故91625a b c d -+-+=≤，又因为 ()()2525a b c d a b d c a b d c =--+=-+--+-≤≤，所以916a b c d -=-=，，故原式7=-
板块二：关于
a a
的探讨应用
【例18】 （6级）已知a 是非零有理数，求23
23a a a a a a
++的值.
【解析】 若0a >，那么23231113a a a a a a ++=++=；若0a <，那么23
231111a a a a a a
++=-+-=-.
【例19】 （10级）（2006年第二届“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）已知a b c abc x a
b
c
abc
=+
+
+
，且a b c ，，都
不等于0，求x 的所有可能值 【解析】 4或0或4-
【巩固】 （10级）（北京市迎春杯竞赛试题）已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求
a b c abc
a b c abc
+++的值
【解析】 因为a b c ，，是非零有理数，且0a b c ++=，所以a b c ，，中必有一正二负，不妨设000a b c ><<，，，
则原式()()11110a b c abc
a b c abc
=
+++=+-+-+=--
【巩固】 （2级）若0a >，则
_____a
a =；若0a <，则_____a a
=. 【解析】 1；1-.重要结论一定要记得.
【巩固】 （6级）当3m ≠-时，化简3
3m m ++
【解析】 3m ≠-，30m +≠，
当3m >-，即30m +>时，33m m +=+，所以
3
13m m +=+； 当3m <-，即30m +<时，3(3)m m +=-+，所以3
13
m m +=-+.
【例20】 （8级）（2009年全国初中数学竞赛黄冈市选拔赛试题）若01a <<，21b -<<-，则
1212a b a b
a b a b
-++-+
-++的值是（ ） A ．0 B ．1- C ．3- D ．4-
【解析】 ⑴ C ．特殊值法：取0.5a =, 1.5b =-代入计算即可．
【巩固】 （2级）下列可能正确的是（ ）
A ．1a b a b +=
B ．2a b c
a b c
++=
C ．
3c d a b a b c d +++= D ．4a b c d a b c d a b c d abcd
+++++++= 【解析】 选D ．排除法比较好或特殊值法1，1，1，1-．
【巩固】 （6级）如果20a b +=，则
12a a
b b
-+-等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【解析】 B
【例21】 （8级）如果000a b c a b c a b c +->-+>-++>，，，则2002
2002
2002
a b c a b c ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫-+ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
的值等于（ ）
A ．1
B ．1-
C ．0
D ．3
【解析】 易知2002
2002
2002
111a b c a b c ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=== ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
，，，所以原式1=，故选择A
【例22】 （8级）已知0abc ≠，求
ab ac bc
ab ac bc
++
的值． 【解析】 ∵0abc ≠，∴a 、b 、c 三个数都不为零．
若a 、b 、c 三个数都是正数，则ab 、ac 、bc 也都是正数，故原式值为3． 若a 、b 、c 中两正、一负，则ab 、ac 、bc 中一正、两负，故原式值为1-． 若a 、b 、c 中一正、两负，则ab 、ac 、bc 中一正、两负，故原式值为1-． 若 a 、b 、c 中三负，则ab 、ac 、bc 中三正，故原式值为3．
【巩固】 （6级）若a ，b ，c 均不为零，求a b c
a b c ++.
【解析】 若a ，b ，c ，全为正数，则原式3=；若a ，b ，c ，两正一负，则原式1=；
若a ，b ，c ，一正两负，则原式1=-；若a ，b ，c ，全为负数，则原式3=-.
【例23】 （6级）（第13届希望杯1试）如果20a b +=，求12a a
b b
-+-的值． 【解析】 由20a b +=得2b a =-，进而有
1222a a a a b a a a ===⋅--⋅，122a a a
b a a
==-⋅- 若0a >，则
11
1212322a a b b -+-=-+--=， 若0a <，则
111212322
a a
b b -+-=--+-=．
【巩固】 （6级）若a ，b ，c 均不为零，且0a b c ++=，求
a b c
a
b
c
+
+
. 【解析】 根据条件可得a ，b ，c 有1个负数或2个负数，所以所求式子的值为1或1-
【例24】 （8级）a ，b ，c 为非零有理数，且0a b c ++=，则a b b c c a
a b b c c a ++的值等于多少？ 【解析】 由0a b c ++=可知a ，b ，c 里存在两正一负或者一正两负；
a b b c c a b c a
a b c a b b c c a a b b c c a
++=⋅+⋅+⋅ 若两正一负，那么1111b c a
a b c a b b c c a
⋅+⋅+⋅=--=-； 若一正两负，那么1111b c a
a b c a b b c c a ⋅+⋅+⋅=--=-． 综上所得
1a b b c c a a b
b c
c a
+
+=-．
【巩固】 （10级）（海口市竞赛题）三个数a ，b ，
c 的积为负数，和为正数，且ab ac bc a b c x a b c ab ac bc
=+++++， 求321ax bx cx +++的值.
【解析】 a ，b ，c 中必为一负两正，不妨设0a <，则0,0b c >>； 1111110ab ac bc
a b c x a b c ab ac bc
=
+++++=-++--+=，所以原式＝1.
【巩固】 (8级)（第13届希望杯培训试题）
如果0a b c +->，0a b c -+>，0a b c -++>，求200220032004(
)()()a b c
a b c
-+的值． 【解析】 由0a b c +->，0a b c -+>，0a b c -++>，两两相加可得：0a >，0b >，0c >，所以原式结果
为1．若将此题变形为：非零有理数a 、b 、c ，求1b =等于多少？
从总体出发：2008()1a
a =，所以原式1111=-+=．
【例25】 （8级）（“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题）设实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，及0abc >，若
||||||a b c x a b c =++
，111111
()()()y a b c b c a c a b =+++++，那么代数式23x y xy ++的值为______． 【解析】 由0a b c ++=及0abc >，知实数a ，b ，c 中必有两个负数，一个正数，从而有1x =-．
又111111()()()y a b c b c a c a b =+++++=3a b c a b c
---++=-，则231692x y xy ++=--+=．
【例26】 （8级）有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设a b c x b c
a c
a b
=
+
+
+++，则代数式
20042007x x -+的值为多少？ 【解析】 由0a b c ++=易知a b c ，，中必有一正两负或两正一负，不妨设000a b c ><<，，或000a b c <>>，，
所以1a b c x a b a c a b =--=+++或者1a b c x b c a c a b
=-++=-+++，所以1x =，所以原式2004=
【巩固】 （8级）有理数a b c ，，均不为零，
且0a b c ++=，设a b c x b c
a c
a b
=+
+
+++，则代数式19992000
x x -+的值为多少？
【解析】 由0a b c ++=易知a b c ，，中必有一正两负或两正一负，不妨设000a b c ><<，，或000a b c <>>，，
所以1a b c x a b a c a b =--=+++或者1a b c
x b c a c a b
=-++=-+++，所以当1x =时，原式1902= 当1x =-时，原式2098=
【巩固】 （8级）已知a 、b 、c 互不相等，求()()()()()()
()()()()()()
a b b c b c c a c a a b a b b c b c c a c a a b ------++------的值．
【解析】 由题意可得()()()0a b b c c a ---≠且()()()0a b b c c a -+-+-=，把a b -，b c -，c a -当成整体分
类讨论：① 两正一负，原式值为1-；② 两负一正，原式值为1-．
【例27】 （8级）（第18届希望杯2试）若有理数m 、n 、p 满足1m n p m n p ++=，求23mnp mnp 的值． 【解析】 由
1m n p m n p
++=可得：有理数m 、n 、p 中两正一负，所以0mnp <，所以
1mnp
mnp
=-， 222
333
mnp mnp mnp mnp =⋅=-．
【巩固】 （6级）已知有理数a b c ，，满足
1a b c a b c ++=，则
abc
abc
=（ ） A ．1 B ．1- C ．0 D ．不能确定
【解析】 提示：其中两个字母为正数，一个为负数，即0abc <
【巩固】 （8级）有理数a ，b ，c ，d 满足1abcd abcd =-，求a b c d
a b c d
+++的值．
【解析】由
1abcd abcd
=-知0abcd <，所以a ，b ，c ，d 里含有1个负数或3个负数：
若含有1个负数，则
2a b c d a b c d
+++=；若含有3个负数，则
2a b c d a b c d +++=-．
【例28】 （6级）已知0ab ≠，求a b
a
b
+
的值 【解析】 ⑴若a b ，异号，则
0a b
a b +
= ⑵若a b ，都是正数，则2a b
a b
+= ⑶若a b ，都是负数，则
2a b
a
b
+
=-
【巩固】 （6级）已知0ab ≠，求a b a b
--
的值．
【解析】 分类讨论：
当0a >，0b >时，110a b a b --=-=． 当0a >，0b <时，1(1)2a b a b --=--=． 当0a <，0b >时，112a b a
b
--
=--=-．
当0a <，0b <时，
1(1)0a b a
b
--
=---=．
综上所述，
a b a b --的值为2-，0，2．
【例29】 （6级）若a b c ，，均为非零的有理数，求a b c
a b c
++的值 【解析】 ⑴当a b c ，，都是正数时，原式3a b c
a b c
=
++= ⑵当a b c ，，都是负数时，原式3=- ⑶当a b c ，，有两个正数一个负数时，原式1=- ⑷当a b c ，，有两个负数一个正数时，原式1=-
【巩固】 （6级）（第16届希望杯培训试题）若0abc <，求
a b c
a b c
+-的值． 【解析】 由0abc <可得，a 、b 、c 中有3个负数或1个负数，
当a 、b 、c 中有3个负数时，原式11(1)1=----=-；
当a 、b 中有1个是负数时，原式1111=-+-=-； 当c 是负数时，原式11(1)3=+--=．
板块三：零点分段讨论法（中考高端，可选讲）
【例30】 （4级）（2005年云南省中考试题）阅读下列材料并解决相关问题：
我们知道()()()
0000x x x x x x >⎧⎪
==⎨⎪
-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式
12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的
零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：·
⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+ ⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--= ⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-
综上讨论，原式()()()
211312212x x x x x -+<-⎧⎪
=-<⎨⎪
-⎩≤≥
通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： ⑴分别求出2x +和4x -的零点值 ⑵化简代数式24x x ++-
【解析】 ⑴分别令20x +=和40x -=，分别求得2x =-和4x =，所以2x +和4x -的零点值分别为2
x =-和4x =
⑵当2x <-时，原式()()242422x x x x x =-+--=---+=-+；当24x -<≤时，原式 ()246x x =+--=；当4x ≥时，原式2422x x x =++-=-
所以综上讨论，原式()()()
222624224x x x x x -+<-⎧⎪
=-<⎨⎪
-⎩≤≥
【例31】 （6级）求12m m m +-+-的值．
【解析】 先找零点，0m =，10m -=，20m -=，解得0m =，1，2．
依这三个零点将数轴分为四段：0m <，01m ≤<，12m ≤<，2m ≥． 当0m <时，原式()()1233m m m m =-----=-+；
当01m ≤<时，原式()()123m m m m =----=-+； 当12m ≤<时，原式()()121m m m m =+---=+； 当2m ≥时，原式()()1233m m m m +-+-=-．
【例32】 （4级）化简：212x x ---
【解析】 由题意可知：零点为102
x x ==，
当1
2x <时，原式1x =--
当1
22
x <≤时，原式33x =- 当2x ≥时，原式1x =+
【巩固】 （4级）(2005年淮安市中考题)化简523x x ++-． 【解析】 先找零点.50x +=，5x =- ； 3
2302
x x -==
，，零点可以将数轴分成三段． 当3
2
x ≥，50x +>，230x -≥，52332x x x ++-=+；
当3
52
x -<
≤，50x +≥，230x -<，5238x x x ++-=-； 当5x <-，50x +<，230x -<，52332x x x ++-=--．
【巩固】 （6级）(北京市中考模拟题)化简：121x x --++.
【解析】 先找零点.10x -=，1x =．10x +=，1x =-．
120x --=，12x -=，12x -=或12x -=-，可得3x =或者1x =-；
综上所得零点有1，-1，3 ，依次零点可以将数轴分成四段．
⑴ 3x ≥，10x ->，120x --≥，10x +>，12122x x x --++=-； ⑵ 13x <≤，10x -≥，120x --<，10x +>，1214x x --++=； ⑶ 11x -<≤，10x -<，120x --<，10x +≥，12122x x x --++=+； ⑷ 1x <-，10x -<，120x --<，10x +<，12122x x x --++=--．
【例33】 （6级）（选讲）（北京市中考题）已知2x ≤，求32x x --+的最大值与最小值． 【解析】 法1：根据几何意义可以得到，当2x ≤-时，取最大值为5；当2x =时，取最小值为3-．
法2：找到零点3、2-，结合2x ≤可以分为以下两段进行分析：
当22x -≤≤时，323212x x x x x --+=---=-，有最值3-和5； 当2x <-时，32325x x x x --+=-++=；综上可得最小值为3-，最大值为5．
【巩固】 （8级）（第10届希望杯2试）已知04a ≤≤，那么23a a -+-的最大值等于 ． 【解析】 （法1）：我们可以利用零点，将a 的范围分为3段，分类讨论
（先将此分类讨论的方法，而后讲几何意义的方法，让学生体会几何方法的优越性）
（1）当02a ≤≤时，2352a a a -+-=-，当0a =时达到最大值5； （2）当23a <≤时，231a a -+-=
（3）当34a <≤时，2325a a a -+-=-，当4a =时，达到最大值3 综合可知，在04a ≤≤上，23a a -+-的最大值为5
（法2）：我们可以利用零点，将a 的范围分为3段，利用绝对值得几何意义分类讨论，很 容易发现答案：当0a =时达到最大值5．
【巩固】 （6级）如果122y x x x =+-+-，且12x -≤≤，求y 的最大值和最小值 【解析】 当10x -<≤时，有12223y x x x x =+-+-=+，所以13y <≤；
当02x ≤≤时，有12232y x x x x =+-+-=-，所以13y -≤≤ 综上所述，y 的最大值为3，最小值为1-
【巩固】 （6级）（2001年大同市中考题）已知7
59
x -≤≤
，求x 取何值时13x x --+的最大值与最小值． 【解析】 法1：13x x --+表示x 到点1和3-的距离差，画出数轴我们会发现当，7
9
x =时两者的距离
差最小为329-，即()min 32
139x x --+=-；当53x -≤≤-时，两者的距离差最大为4，即
max (13)4x x --+=．
法2：分类讨论：先找零点，根据范围分段，
当53x -≤<-时，134x x --+=；当739x -≤≤
时，1322x x x --+=--，当79
x =有最小值329-；当3x =-有最大值4．综上所得，当53x --≤≤时，最大值为4；当79x =时，最小值为32
9-．
练习 1． （2级）若ab ab <，则下列结论正确的是 ( ) A. 00a b <<， B. 00a b ><， C. 00a b <>， D. 0ab < 【解析】 答案BC 不完善，选择D ．
练习 2． （2级）(人大附期中考试)如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求a b a c b c
++--+的值.
【解析】 原式()()()0a b a c b c =-++-++=
练习 3． （6级）已知0,0,x z xy y z x <<>>>，求x z y z x y +++--的值. 【解析】 由0,0x z xy <<>可得：0y z <<，又y z x >>，可得：y x z <<； 原式0x z y z x y =+---+=.
练习 4． （8级）（第13届希望杯培训试题）
若2001
2
2002
x =，则|||1||2||3||4||5|x x x x x x +-+-+-+-+-= ． 【解析】 因为2001
22002
x =，所以23x <<，原式(1)(2)(3)(4)(5)9x x x x x x =+-+-------=．
练习 5． （6级）（2006年七台河市中考题）设2020y x b x x b =-+-+--，其中020,20b b x <<≤≤，求
y 的最小值.
【解析】 2020(20)(20)40y x b x x b x b x x b x =-+-+--=------=-，
则20x =时，y 有最小值为20.
练习 6． （4级）若0a <，化简a a --.
课后练习
【解析】 22a a a a a a --=+==-.
练习 7． （6级）若0a <，试化简233a a a a
--．
【解析】
232355
3443a a a a a a a a a a
-+===-----．
练习 8． （6级）若245134x x x +-+-+的值恒为常数，则x 应满足怎样的条件？此常数的值为多少？ 【解析】 要使245134x x x +-+-+的值恒为常数，那么须使450x ->，130x -<，
即14
35
x <<，原式2451342453147x x x x x x =+-+-+=+-+-+=.
练习 9． （8级）（第6届希望杯2试）
a 、
b 、
c 的大小关系如图所示，求
a b b c c a ab ac
a b b c c a ab ac
-----++
----的值．
【解析】 从图中可知a b c <<且0a <，0b <，0c >，
所以0a b -<，0b c -<，0c a ->，0ab >，0ac <， 所以0ab ac ->，原式(1)(1)112=---++=．
练习 10． （8级）若0a b c ++=，0abc >，则
b c c a a b
a b c
+++++= ． ∵0a b c ++=，0abc >，∴a 、b 、c 中一正二负，∴
1b c c a a b a b c
a b c a b c
+++---++=++=． 练习 11． （6级）求15y x x =--+的最大值和最小值．
【解析】 法1：根据几何意义可以得答案；
法2：找到零点5-，1，可以分为以下三段进行讨论： 当5x ≤-时，15156y x x x x =--+=-++=；
当51x -<<时，151524y x x x x x =--+=---=--； 当1x ≥时，15156y x x x x =--+=---=-； 综上所得最小值为6-，最大值为6．
练习 12． （6级）（第2届希望杯2试）如果12x <<，求代数式
2
1
21x x x
x x x ---
+
--的值．
【解析】 当12x <<时，0x >，10x ->，20x -<，原式21111121x x x
x x x
--=++=-++=--．。