南京汉开书院学校选修一第三单元《圆锥曲线的方程》检测卷(含答案解析)

一、填空题

1．与双曲线22

142

x y -=有相同的渐近线，且过点(2,1)P 的双曲线标准方程为__________.

2．若椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>与双曲线()2211221110,0x y a b a b -=>>有相同的焦点

12,F F ，点P 是两条曲线的一个交点，122

F PF π

∠=

，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心

率为2e ，12

2e e ，则22

12e e +=__________.

3．设直线l :1y x =+与椭圆:C 222

21(0)x y a b a b

+=>>相交于,A B 两点，与x 轴相交于左

焦点F ，且3AF FB =，则椭圆的离心率e =_________

4．椭圆22

12516x y +=的左、右焦点为F 1､F 2，点P 在椭圆上，若F 1PF 2为直角三角形，则点

P 到x 轴的距离为_____.

5．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b

+=>>与圆222

2:,C x y b +=若在椭圆1C 上存在点P ，过

P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B 使得,3

BPA π

∠=则椭圆1C 的离心率的取值范围是

_____.

6．设椭圆22162x y += 与双曲线2

213

x y -= 有公共焦点1F ，2F ，P 是两条曲线的一个

公共点，则12cos F PF ∠ 等于__________．

7．已知F 为双曲线22

221x y a b

-=()0,0a b >>的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端

点，过F ，A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若3AB FA =，则此双曲线的离心率为________.

8．如图所示，已知双曲线C ：22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，双曲线C

的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点 为B ，满足90AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线C 的渐近线方程是______.

9．椭圆22

221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于

P ，Q 两点（P 在x 轴上方），1PF PQ =，若

1PQ PF ⊥，则椭圆的离心率e =______. 10．已知直线y kx =与双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>)相交于不同的两点A ，B ，F 为

双曲线C 的左焦点，且满足3AF BF =，OA b =(O 为坐标原点)，则双曲线C 的离心率为__________.

11．已知双曲线22

1124

x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个

交点，则此直线的斜率的取值范围是______．

12．已知椭圆的对称轴为坐标轴，两个焦点坐标分别为()()0,2,0,2-，且过点

35,22⎛⎫

- ⎪⎝⎭

，则椭圆的标准方程为____________. 13．已知点P 是椭圆22

1259

x y +=上任意一点，则当点P 到直线45400x y -+=的距离达

到最小值时，此时P 点的坐标为______．

参考答案

二、解答题

14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分

别为1F ，2F ，焦距为2，点P 是椭圆上的动点，且12PF F △的面积的最大值为1．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且l 与直线2x =-相交于Q ．点T 是x 轴上一点，若总有0PT QT ⋅=，求T 点坐标．

15．已知()2,0A -，()2,0B ，直线AM ，BM 相交于点M .且它们的斜率之积是3. （1）求点M 的轨迹C 的方程.

（2）过点()2,3N 能否作一条直线m 与轨迹C 交于两点,P Q ，且点N 是线段PQ 的中点？若能，求出直线m 的方程；若不能，说明理由.

16．已知椭圆C ：()22

2210x y a b a b

+=>>过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率12e =.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设A ，B 是椭圆C 上的两个动点，O 是坐标原点，若OA OB ⊥，证明：直线AB l 与以原点为圆心的某个定圆相切，并求这个定圆.

17．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点为(0,1)A ，离心率为2

2

.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过点A 作圆()2

22:1M x y r ++=的两条切线，记切点分别为,S T ，令1,r =求此时两切点连线ST 的方程；

（3）若过点A 作圆()2

22:1M x y r ++=的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D （不同于点A ）.当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

18．已知命题:p 方程22113x y

m m

+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，命题:q 关于x 的不等