人教版八年级数学上册 第12章 12.3.2角的平分线的判定 培优训练(含答案)

人教版数学八年级上册
12．3.2角的平分线的判定
培优训练
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A，∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是()
A．点O一定在△ABC的内部
B．∠C的平分线一定经过点O
C．点O到△ABC三边的距离一定相等
D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等
2．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是()
A．点M B．点N
C．点P D．点Q
3．△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A，∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列说法中不正确的是( )
A．点O一定在△ABC的内部
B．∠C的平分线一定经过点O
C．点O到△ABC的三边距离一定相等
D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等
4．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数是( )
A．35°B．145°C．55°D．125°
5．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小关系是()
A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2
C．∠1＜∠2 D．无法确定
6．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是() A．AF平分BC B．AF平分∠BAC
C．AF⊥BC D．以上结论都正确
7．如图，已知∠ABC，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了∠ABC的平分线BP.他这样做的依据是()
A．在一个角的内部，且到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
B．角的平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等
D．以上均不正确
8. 如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC ≌△POD的选项是()
A．PC⊥OA，PD⊥OB
B．OC＝OD
C．∠OPC＝∠OPD
9．△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A，∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是()
A．点O一定在△ABC的内部
B．∠C的平分线一定经过点O
C．点O到△ABC三边的距离一定相等
D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等
10．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点P( )
A．有且只有1个
B．有且只有2个
C．组成∠E的角平分线
D．组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)
二．填空题（共8小题，3*8=24）
11. 如图，PD⊥OA，PE⊥OB，点D，E为垂足，PD＝6 cm，当PE＝___cm时，点P在∠AOB的平分线上．
12．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝______°.
13．如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝3 cm，当PD＝____cm时，P点在∠AOB的平分线上．
14．在△ABC中，点D在BC边上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE＝DF，∠B＝50°，∠C ＝70°，那么∠DAF＝________，∠ADE＝_______．
15．如图，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是___．
16．如图，O是△ABC内的一点，且O到△ABC的三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠A ＝70°，则∠BOC＝_________．
17．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有____对全等三角形．
18．直线l1，l2，l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有____处．
三．解答题（共9小题，66分）
19．(6分)如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是∠BAC 的外角平分线．
20．(6分) 如图，BD＝CD，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E.求证：点D在∠BAC的角平分线上．
21．(6分) 如图，PA＝PB，∠1＋∠2＝180°，求证：OP平分∠AOB.
22．(6分) 如图，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线．
23．(6分) 如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC.
24．(8分) 已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.
(1)如图①，若点O在边BC上，求证：∠ABC＝∠ACB；
(2)如图②，若点O在△ABC的内部，∠OBC＝∠OCB，求证：∠ABC＝∠ACB；
(3)若点O在△ABC的外部，则∠ABC＝∠ACB成立吗？请画图表示．
25．(8分) 如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC.
(1)求证：OC平分∠ACD；
(2)求证：OA⊥OC；
(3)求证：AB＋CD＝AC.
参考答案：
1-5DADDA 6-10BADDD
11. 6
12. 100
13. 3
14. 30°，60°
15. 30
16. 125°
17. 3
18. 4
19. 解：过点D分别作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，
垂足分别为点E，G，F.又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，
∴DE＝DF，DG＝DF，∴DE＝DG，∴AD平分∠EAC，
即AD是∠BAC的外角平分线
20. 解：∵CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，∴∠BED＝∠CFD＝90°，
又∵∠EDB＝∠CDF，BD＝CD，∴△BED≌△CFD(AAS)，
∴ED＝DF，∴点D在∠BAC的角平分线上
21. 解：过点P作PE⊥AO，PF⊥OB，垂足分别为E，F，
∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠PBO＝180°，∴∠1＝∠PBO，
在△PAE和△PBF中，∠AEP＝∠BFP，∠1＝∠PBF，PA＝PB，
∴△PAE≌△PBF，
∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB
22. 解：过点D分别作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，G，F，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，
∴DE＝DF，DG＝DF，∴DE＝DG，
∴AD平分∠EAC.
即AD是∠BAC的外角平分线
∵S △DCE ＝12CE·DG ，S △DBF ＝12
BF·DH ，S △DCE ＝S △DBF ， ∴12CE·DG ＝12
BF·DH.又∵CE ＝BF ，∴DG ＝DH ， ∴点D 在∠BAC 的平分线上，即AD 平分∠BAC
24. 解：(1)过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，E ，F 分别为垂足，则OE ＝OF ， 在Rt △OEB 和Rt △OFC 中，OB ＝OC ，OE ＝OF ，
∴Rt △OEB ≌Rt △OFC(HL)，
∴∠ABC ＝∠ACB
(2)过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，E ，F 分别为垂足，
则OE ＝OF ，
由HL 可证Rt △OEB ≌Rt △OFC ，
∴∠OBE ＝∠OCF ，
∵∠OBC ＝∠OCB ，
∴∠ABC ＝∠ACB
(3)不一定成立，如图
25. 解：(1)过点O 作OE ⊥AC 于E ，
∵∠B ＝90°，OA 平分∠BAC.∴OB ＝OE ，
∵点O 为BD 的中点，∴OB ＝OD ，∴OE ＝OD ，
∵∠D ＝90°，∴OC 平分∠ACD
(2)在Rt △ABO 和Rt △AEO 中，
∵AO ＝AO ，OB ＝OE ，∴Rt △ABO ≌Rt △AEO(HL)，
∴∠AOB ＝∠AOE.
同理，∠COD ＝∠COE ，∴∠AOC ＝∠AOE ＋∠COE ＝12
×180°＝90°， ∴OA ⊥OC
(3)∵Rt △ABO ≌Rt △AEO ，∴AB ＝AE ，
同理可得CD ＝CE ，。