10 多元函数微分学
《数学分析》第十七章多元函数微分学
06 曲线积分与曲面积分在多 元函数中的应用
曲线积分计算及其在电磁学中的应用
曲线积分的定义与计算方法
包括第一类曲线积分和第二类曲线积分的概念、性质及计算 方法。
曲线积分在电磁学中的应用
通过曲线积分可以计算电场强度、磁场强度等物理量，进而 研究电磁场的分布和变化规律。
曲面积分计算及其在流体力学中的应用
如果函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$ 的某一邻域内有定义，且$lim_{(x,y) to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，则称 函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$连续。
如果函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$ 不连续，则称$P_0(x_0,y_0)$为函数 $f(x,y)$的间断点。
全微分概念与计算
全微分的定义
全微分是多元函数微分学中的一个重要概念，表示函数在某一点附 近的变化量可以近似地用一个线性函数来表示。
全微分的计算
全微分可以通过偏导数来计算，具体为将函数的增量表示为各自变 量增量的线性组合，系数即为偏导数。
全微分的几何意义
全微分表示函数在某一点附近的变化量，可以用来近似计算函数值 的增量。
多元反函数微分法
多元反函数存在定理
若函数$f: D subseteq mathbb{R}^n to mathbb{R}^n$在点$x_0$处可逆，即存在反函数$f^{-1}$，则$f^{1}$在点$f(x_0)$处也可微。
多元反函数微分法
设$y = f(x)$在点$x_0$处可微，且$f'(x_0)$可逆，则反函数$x = f^{-1}(y)$在点$y_0 = f(x_0)$处也可微，且其 导数为$[f^{-1}]'(y_0) = [f'(x_0)]^{-1}$。
多元微积分-多元函数的极值
( x0, y0 ) 处 有 极 值 ， 则 它 在 该 点 的 偏 导 数 必 然 为 零 ：
fx(x0,y0) 0 ， fy(x0,y 0) 0 .
（称驻点）
注意：极值点
驻点
例如, 点(0,0)是函数z xy的驻点，但不是极值点.
定理2 （充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续，
小值.
使函数取得极值的点称为极值点. 极大值、极小值统称为极值.
例1 函数 z 3x2 4 y2
在 (0,0) 处有极小值．
(1)
例2 函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例3 函数 z xy
(3)
在 (0,0) 处无极值．
观察二元函数 z
xy ex2 y2
的图形
回忆一元函数的极值及其求法
100 5x2 48x 10 y2 24 y ，
令
Lx 10x 48 0 Ly 20y 24 0
解得惟一驻点
x 4.8, y 1.2，
A f xx 10 , B f xy 0 , C f yy 20 ,
B2 AC 0 , A 0 , 惟一驻点为极大值点，
即为最大值点，
解 fx (x, y) 3x2 3y fy (x, y) 3y2 3x
fxx (x, y) 6x fxy (x, y) 3 f yy (x, y) 6 y
解方程组
f f
x y
(x, (x,
y) y)
3x2 3y2
3y 3x
0 0
在 0, 0点处
得驻点 0, 0，1,1
A fxx (0, 0) 0 B fxy (0, 0) 3 C f yy (0, 0) 0
多元微积分学
多元微积分学摘要：1.多元微积分学的基本概念2.多元函数的极限与连续3.偏导数4.全微分5.多元函数的泰勒公式6.隐函数定理与微分中值定理7.多元函数的极值与最值问题8.多元函数的曲线拟合与参数估计9.多元微积分学的应用正文：一、多元微积分学的基本概念多元微积分学是微积分学的一个重要分支，主要研究多元函数的极限、连续、微分、积分等性质。
在多元微积分学中，我们通常考虑两个或两个以上的变量，例如x, y, z 等。
多元微积分学的基本概念包括多元函数、多元函数的极限与连续、偏导数、全微分等。
二、多元函数的极限与连续在多元函数中，我们需要研究函数在某一点的极限与连续性。
多元函数的极限定义为函数在某一点的邻域内的函数值趋于某一值的趋势。
而连续性则表示函数在某一点的左右极限存在且相等。
三、偏导数偏导数是多元函数微分学的基础概念，用于研究多元函数在某一点的变化率。
偏导数可分为一阶偏导数和二阶偏导数。
一阶偏导数表示函数在某一点的沿某一方向的变化率，而二阶偏导数表示函数在某一点的沿某一方向的曲率。
四、全微分全微分是多元函数微分学的另一个重要概念，用于研究多元函数在某一点的整体变化率。
全微分可以用于求解多元函数的泰勒公式，以及多元函数在某一点的隐函数定理与微分中值定理。
五、多元函数的泰勒公式多元函数的泰勒公式是多元微积分学中的一种重要公式，用于表示多元函数在某一点的近似值。
泰勒公式可以将多元函数展开为一个无穷级数，从而便于研究函数的性质。
六、隐函数定理与微分中值定理隐函数定理是多元微积分学中的一个重要定理，用于研究多元函数的隐函数。
微分中值定理则表示多元函数在某一点的平均变化率等于函数在该区间内某一点处的瞬时变化率。
七、多元函数的极值与最值问题多元函数的极值与最值问题是多元微积分学中的一个重要问题，研究如何求解多元函数在某一区域内的最大值与最小值。
这个问题可以通过求解多元函数的偏导数方程组来解决。
八、多元函数的曲线拟合与参数估计多元函数的曲线拟合与参数估计是多元微积分学中的一个重要应用，用于研究如何用多元函数来表示一组数据。
高等数学 第十章 多元函数微分学.
第十章多元函数微分学一、本章提要１．基本概念多元函数，二元函数的定义域与几何图形，多元函数的极限与连续性，偏导数，二阶偏导数，混合偏导数，全微分，切平面，多元函数的极值，驻点，条件极值，方向导数，梯度．２．基本方法二元函数微分法：利用定义求偏导数，利用一元函数微分法求偏导数，利用多元复合函数求导法则求偏导数．隐函数微分法：拉格朗日乘数法．３．定理混合偏导数与次序无关的条件，可微的充分条件，复合函数的偏导数，极值的必要条件，极值的充分条件．二、要点解析问题１比较一元函数微分学与二元函数微分学基本概念的异同，说明二元函数在一点处极限存在、连续、可导、可微之间的关系．解析 (1)多元函数微分学的内容是与一元函数微分学相互对应的．由于从一元到二元会产生一些新的问题，而从二元到多元往往是形式上的类推，因此我们以二元函数为代表进行讨论．如果我们把自变量看成一点P，那么对于一元函数，点P在区间上变化；对于二元函数f(x,y)，点P(x,y)将在一平面区域中变化．这样，无论对一元、二元或多元函数都可以统一写成u=f(P)，它称为点函数．利用点函数，我们可以把一元和多元函数的极限和连续统一表示成P→P0limf(P)=A,limf(P)=f(P0)．P→P0（２）二元函数微分学与一元函数微分学相比，其根本区别在于自变量点P的变化从一维区间发展成二维为区域．在区间上P的变化只能有左右两个方向；对区域来说，点的变化则可以有无限多个方向．这就是研究二元函数所产生的一切新问题的根源．例如，考察二元函数的极限limxy，x→0x2+y2y→0容易看出，如果先让x→0再让y→0，那么lim(limy→0x→0xy)=lim0=0，22y→0x+y同样，先让y→0再让x→0，也得到lim(limx→0y→0xy)=0， 22x+y但是如果让(x,y)沿直线y=kx(k≠0)而趋于(0,0)，则有xykx2klim2=lim=，2x→0x+y2x→0x2(1+k2)1+ky→kx它将随k的不同而具有不同的值，因此极限limxy x→0x2+y2y→0不存在，从这里我们可以体会到，从一维跨入二维后情况会变得多么复杂．又如，在一元函数中，我们知道函数在可导点处必定连续，但是对于二元函数来说，这一结论并不一定成立．考察函数⎧xy22,x+y≠0,⎪2z=f(x,y)=⎨x+y2⎪x2+y2=0,⎩0,fx'(0,0)=lim∆x→0 f(0+∆x,0)-f(0,0)0-0=lim=0，∆x→0∆x∆x同样fy'(0,0)=lim∆y→0f(0,0+∆y)-f(0,0)0-0=lim=0，∆y→0∆y∆y所以f(x,y)在(0,0)点可导．然而，我们已经看到极限limf(x,y)=limx→0y→0xy x→0x2+y2y→0不存在，当然f(x,y)在(0,0)不连续．多元可导函数与一元可导函数的这一重大差异可能使初学者感到诧异，其实仔细想一想是可以理解的．因为偏导数fx'(0,0)实质上是一元函数f(x,0)在x=0处关于x的导数．它的存在只保证了一元函数f(x,0)在点x=0的连续．同理，偏导数fy'(0,0)的存在保证了f(0,y)在y=0点的连续，从几何意义来看，z=f(x,y)是一张曲面，z=f(x,0)，y=0为它与平面y=0的交线，z=f(0,y)，x=0为它与平面x=0的交线．函数z=f(x,y)在（0,0）处的可导，仅仅保证了上述两条交线在（0,0）处连续，当然不足以说明二元函数z=f(x,y)即曲面本身一定在（0,0）处连续．（３）在一元函数中，可微与可导这两个概念是等价的．但是对于二元函数来说，可微性要比可导性强，我们知道，二元函数的可导不能保证函数的连续，但若z=f(x,y)在(x0,y0)可微，即全微分存在，那么有全增量的表达式∆z=fx'(x0,y0)∆x+fy'(x0,y0)∆y+o(ρ)其中当ρ→0时，o(ρ)→0，从而lim∆z=0，∆x=0∆y=0因此函数在(x0,y0)可微，那么它在(x0,y0)必连续．函数是否可微从定义本身可以检验，但不太方便．然而我们有一个很简便的充分条件：若f(x,y)在(x0,y0)不仅可导而且偏导数都连续，那么f(x,y)必在(x0,y0)可微．函数f(x,y)的偏导数是容易求得的，求出两个偏导数后在它们连续的点处，全微分立即可以写出：dz=fx'(x,y)dx+fy'(x,y)dy．（４）二元函数的极限、连续、偏导、可微关系图：极限存在偏导数连问题２如何求多元函数的偏导数？解析求多元函数的偏导数的方法，实质上就是一元函数求导法．例如，对x求偏导，就是把其余自变量都暂时看成常量，从而函数就变成是x的一元函数．这时一元函数的所有求导公式和法则统统可以使用．对于多元复合函数求导，在一些简单的情况，当然可以把它们先复合再求偏导数，但是当复合关系比较复杂时，先复合再求导往往繁杂易错．如果复合关系中含有抽象函数，先复合的方法有时就行不通．这时，复合函数的求导公式便显示了其优越性．由于函数复合关系可以多种多样，在使用求导公式时应仔细分析，灵活运用．例1 设z=esiny,求xy∂z∂z,．∂x∂y∂z=yexysiny，∂x解直接求偏导数∂z=xexysiny+exycosy ，∂y利用全微分求偏导数dz=sinydexy+exydsiny=exysiny(ydx+xdy)+exycosydy =yexysinydx+(xexysiny+exycosy)dy，所以∂z∂z=yexysiny,=xexysiny+exycosy．∂x∂y∂z∂z,．∂x∂y例2 设z=f(exy,siny),求解由复合函数求导法则，得∂z=f1(exy,siynx)⋅yey，∂x∂z=f1(exy,siny)exy⋅x+f2(exy,siny)cosy，∂y其中f1,f2分别表示f(exy,siny)对exy,siny的偏导数．问题3 二元函数的极值是否一定在驻点取得？解析不一定．二元函数的极值还可能在偏导数不存在的点取得．例3 说明函数f(x,y)=1-x2+y2在原点的偏导数不存在，但在原点取得极大值．-∆x1-(∆x)2-1f(0+∆x,0)-f(0,0)解 lim，=lim=lim∆x→0∆x→0∆x→0∆x∆x∆x此极限不存在，所以在(0,0)处fx'(0,0)不存在．同理∆y→0lim-∆yf(0,0+∆y)-f(0,0) ，=lim∆y→0∆y∆y此极限不存在，所以，在点(0,0)处，fy'(0,0)不存在．但函数f(x,y)=1-x2+y2≤f(0,0)=1，即f(x,y)在点(0,0)取得极大值1．问题4 在解决实际问题时，最值与极值的关系如何？无条件极值问题与有条件极值问题有何区别？如何用拉格朗日乘数法求极值？解析在实际问题中，需要我们解决的往往是求给定函数在特定区域中的最大值或最小值．最大、最小值是全局性概念，而极值却是局部性概念，它们有区别也有联系．如果连续函数的最大、最小值在区域内部取得，那么它一定就是此函数的极大、极小值．又若函数在区域内可导，那么它一定在驻点处取得．由于从实际问题建立的函数往往都是连续可导函数，而且最大（最小）值的存在性是显然的．因此，求最大、最小值的步骤通常可简化为三步： 4（1）根据实际问题建立函数关系，确定定义域；（2）求驻点；（3）结合实际意义判定最大、最小值．从实际问题所归纳的极值问题通常是条件极值．条件极值和无条件极值是两个不同的概念．例如，二元函数z=x2+y2的极小值（无条件极值）显然在(0,0)点取得，其值为零．但是(0,0)显然不是此函数的约束条件x+y-1=0下的条件极小值点．事实上x=0,y=0根本不满足约束条件．容易算出，这个条件极小值在点(,)处取得，其值为11221，从几何2上来看，它们的差异是十分明显的．无条件极小值是曲面z=x2+y2所有竖坐标中的最小⎧z=x2+y2,者，如图所示；而条件极小值是曲面对应于平面x+y-1=0上，即空间曲面⎨⎩x+y-1=0上各点的竖坐标中最小者．我们所说的把条件极值化成无条件极值来处理，并不是化成原来函数的无条件极值，而是代入条件后化成减少了自变量的新函数的无条件极值．例如把条件y=1-x代入函数z=x2+y2，便将原来的条件极值化成了一元函数y2z=x2+(1-x)2=2x2-2x+1 的无条件极值．用拉格朗日乘数法求出的点可能是极值点，到底是否为极值点还是要用极值存在的充分条件或其他方法判别．但是，若讨论的目标函数是从实际问题中得来，且实际问题确有其值，通过拉格朗日乘数法求得的可能极值点只有一个，则此点就是极值点，无需再判断．22例4 求z=x+y+5在约束条件y=1-x下的极值．解作辅助函数则有F(x,y,λ)=x2+y2+5+λ(1-x-y)， Fx'=2x-λ,Fy'=2y-λ，⎧⎪2x-λ=0,解方程组⎨2y-λ=0,⎪⎩1-x-y=0,1x=y=,λ=1．得 211 现在判断P(,)是否为条件极值点： 2222由于问题的实质是求旋转抛物面z=x+y+5与平面y=1-x的交线，即开口向上5的抛物线的极值，所以存在极小值，且在唯一驻点P(,)处取得极小值z=问题5 方向导数和梯度对于研究函数有何意义？解析二元函数z=f(x,y)在点(x,y)处的方向导数112211．2∂f刻画了函数在这点当自变量∂l沿着射线l变化时的变化率，梯度grad z的方向则是函数在点(x,y)处方向导数最大的射线方向．因此沿梯度方向也是函数值增加最快的方向，所以梯度对寻找函数的最大值很有帮助．例5 求函数u=xy2z在点P(1,-1,2)处函数值下降最快的方向．解负梯度方向是函数值下降最快的方向，因grad u=∂u∂u∂uk =y2zi +2xyzj +xy2k，i +j +∂x∂z∂y(1,-1,2) grad u(1,-1,2)=2i-4j+k，故所求方向为a=-grad u=-2i+4j-k．三、例题精选例6 求函数z=2x-y2ln(1-x-y)22的定义域，并作出定义域图形．解要使函数有意义，需满足条件 2⎧y≤2x,⎧2x-y≥0,⎪2⎪221-x-y>0, 即⎨⎨x+y<1, 21-x-y≠1,⎪(x,y)≠(0,0),⎪⎩⎩2定义域如图阴影部分所示．u例7 设f(u,v)=esinv,求 df(xy,x+y)． u解一因为 f(u,v)=esinv,所以 f(xy,x+y)=esin(x+y)，xy∂f=yexysin(x+y)+exycos(x+y)，∂x∂f=xexysin(x+y)+exycos(x+y)，∂yxyxy所df(xy,x+y)=[ysin(x+y)+cos(x+y)]edx+[xsin(x+y)+cos(x+y)]edy．解二由复合函数求导法则得∂f∂f∂u∂f∂v=+=exysin(x+y)y+exycos(x+y)，∂x∂u∂x∂v∂x∂f∂f∂u∂f∂v=+=exysin(x+y)x+exycos(x+y)，∂y∂u∂y∂v∂y所以df(xy,x+y)=exy[ysin(x+y)+cos(x+y)]dx+exy[xsinx(+y+)cxo+sy(]y．) dy，验证 x例8 设z=f(x,y,u)=xy+xF(u)，其中F为可微函数，且u=x∂z∂z+y=z+xy．∂x∂y证这是带有抽象符号的函数，其复合关系如图所示．∂z∂f∂f∂uydF⎛dF∂u⎫， =+=[y+F(u)]+ x⎪=y+F(u)-∂x∂x∂u∂xxdu⎝du∂x⎭同理有∂z∂f∂f∂udF∂udF=+=x+x=x+，∂y∂y∂u∂ydu∂yduxz y∂z∂zdFdF=2xy+xF(u)=z+xy． +y=xy+xF(u)-y+xy+y∂x∂ydudux2例９设f(x,y,z)=eyz，其中z=z(x,y)由方程x+y+z-xyz=0所确定，求fx'(0,1,-1)．解 f(x,y,z=)x2对eyzx求偏导，并注意到z是由方程所确定的x,y的函数，得 x2xfx'[x,y,z(x,y)]=eyz+2eyz⋅∂z ∂x ①下面求∂zF'∂z1-zy，由F(x,y,z)=x+y+z-xyz=0得，代入①得 =-x=-∂x∂xFz'1-yx于是 fx'[x,y,z(x,y)]=exyz2-2exyz⋅1-zy， 1-yx1-1⋅(-1)=5． 1-0⋅1fx'(0,1,-1)=e0⋅1⋅(-1)2-2e0⋅1⋅(-1)⋅222例10 求曲面x+2y+3z=21平行于平面x+4y+6z=0的切平面方程．解析此题的关键是找出切点．如果平面上的切点为(x0,y0,z0)，则曲面过该点的法7向量可由x0,y0,z0表示．要使所求的切平面与已知平面平行，一定有切平面的法向量与已知平面的法向量对应坐标成比例．于是切点的坐标可找出．解设曲面F(x,y,z)=x2+2y2+3z2-21=0 平行于已知平面的切平面与曲面相切于(x0,y0,z0)，故该切平面的法向量n=Fx'(x0,y0,z0),Fy'(x0,y0,z0),Fz'(x0,y0,z0) {}过(x0,y0,z0)的切平面方程为2x0(x-x0)+4y0(y-y0)+6z0(z-z0)=0，①该切平面与已知平面x+4y+6z=0平行，所以2x04y06z0==， 146 ②又由于(x0,y0,z0)在曲面上，所以222x0+2y0+3z0=21，③联立②与③式，解得⎧x01=1,⎪⎨y01=2,⎪z=2.⎩01⎧x02=-1,⎪⎨y02=-2, ⎪z=-2.⎩02将这两组值分别代入①，最后得到切平面方程为及3 2x+4y+6z-21=0, x+4y+6z+21=0.2例11 求函数z=x-4x+2xy-y的极值．解第一步：由极值的必要条件，求出所有的驻点⎧∂z2=3x-8x+2y=0,⎪∂x⎨∂z =2x-2y=0,⎪⎩∂y解出{x=2,x1=0, 2 y1=0,y2=2.{第二步：由二元函数极值的充分条件判断这两个驻点是否为极值点，为了简明列表如下： 8因此z(0,0)=0．例12 求曲线y=lnx与直线x-y+1=0 之间的最短距离．解一切线法．若曲线上一点到已知直线的距离最短，则过该点平行与已知直线的直线必与曲线相切；反之曲线上在该点处的切线必平行与已知直线．据此，我们先求y=lnx的导数y'=1,令y'=1（已知直线上的斜率为1），得 xx=1，这时y=0，故曲线y=lnx上点(1,0)到直线x-y+1=0的距离最短，其值为d=-0+1+(-1)22=2．解二代入条件法（利用无条件极值求解）．设(x,y)为曲线y=lnx上任意一点，则点(x,y)到已知直线的距离为d=12x-y+，将y=lnx代入上式得d=12x-lnx+1， 12易知x=lnx-1>0(x>0)，故d=(x-lnx+1)．①令u=x-lnx+1，则u'=1-1，由u'=0，得x=1，这是函数u=x-lnx+1在x(0,+∞)内唯一驻点，由问题本身可知，距离的最小值一定存在．于是由①式得所求的最短距离为d=12(1-ln1+1)=2．解三拉格朗日乘数法．设(x,y)为曲线y=lnx上任意一点，则该点到直线的距离为d=x-y+1+(-1)22=12x-y+，令z=d，则2z=12121x+y-xy+x-y+， 222显然，在上式中y=lnx，即y-lnx=0．引入辅导函数 F(x,y)=解方程组12121x+y-xy+x-y++λ(y-lnx)， 222'⎧⎪Fx(x,y)=x-y+1-λx=0,⎨Fy'(x,y)=y-x-1+λ=0, ⎪⎩y-lnx=0,①②③1①+②，得λ(1-)=0．因为λ≠0，故x=1，代入③，得y=0，于是(1,0)是唯一x可能的极值点，由问题本身可知，距离的最小值一定存在，故曲线y=lnx上点(1,0)到已知直线的距离最短，其值为d=12(1-0+1)=2．四、练习题1．判断正误(1) fx(x0,y0)=fx(x,y)x=x0=fx(x,y0)x=x0表达式成立；（√ ）y=y0解析 fx(x0,y0)表示f(x,y)在(x0,y0)对x的偏导数；fx(x,y)x=x0表示f(x,y)对y=y0函数f(x,y0)x的偏导数在(x0,y0)处的值；fx(x,y0)x=x表示f(x,y)先固定y=y0后，在x=x0处的导数．由偏导数定义及偏导数意义可知，三个表达式是相等的．(2) 若z=f(x,y)在(x0,y0)处偏导数存在，则z=f(x,y)在(x0,y0)处一定可微；（⨯）解析由可微的充分条件知，只有z=f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在且连续时，函数z=f(x,y)在该点一定可微．⎧2xy⎪,(x,y)≠(0,0)例如f(x,y)=⎨x2+y2在（0，0）处偏导数存在，但不可微．⎪(x,y)=(0,0)⎩0,(3) 若(x0,y0)为z=f(x,y)的极值点，则(x0,y0)一定为驻点；解析偏导数不存在的点也可能是极值点．（⨯）⎧∂z=⎪∂x⎪22例如 z=x+y在（0，0）处取得极小值，但⎨在（0，0）处偏导∂z⎪=∂y⎪⎩数不存在，不是驻点．(4)∂f∂xx=0y=0就是函数f(x,y)在(0,0)处沿x轴方向的方向导数．（√ ）解析沿x轴方向的方向导数2．选择题∂f∂f∂fπ∂f=cos0+co s=．∂l∂x∂y2∂x(1) 设f(x,y)=xy，则下列式中正确的是（ C ）；22x+y(A) f x,⎛⎝y⎫⎪=f(x,y)； (B)f(x+y,x-y)=f(x,y)； x⎭(C) f(y,x)=f(x,y)； (D) f(x,-y)=f(x,y)．解析 f(x,y)=xy是关于x，y的对称函数，故f(y,x)=f(x,y)． 22x+y∂2z(2)设z=ecosy，则； =（ D ）∂x∂yxx (A) esiny； (B) ex+exsiny；(C) -excosy； (D) -exsiny．∂z∂2zx=ecoys，解析 =-exsiny．∂x∂x∂y(3)已知f(x+y,x-y)=x2-y2，则∂f∂f； +=（ C ）∂x∂y(A) 2x+2y； (B) x-y； (C) 2x-2y (D) x+y．解析设 x+y=u，x-y=v，则 f(x+y,x-y)=x2-y2=(x+y)(x-y)变换为 f(u,v)=uv．∂f∂f∂u∂f∂v∂f∂f∂u∂f∂v=⋅+⋅=v+u， =⋅+⋅=v-u，∂x∂u∂x∂v∂x∂y∂u∂y∂v∂y所以∂f∂f+=(v+u)+(v-u)=2v=2x-2y．∂x∂y(4)函数z=x3+y3-3xy的驻点为（ B ）； (A)(0,0)和(-1,0)； (B)(0,0)和(1,1)；(C)(0,0)和(2,2)；(D)(0,1)和(1,1)．⎧∂z2=3x-3y=0,⎪∂xx=0,与x=1, 解析求两个偏导数⎨∂z ⇒ y=0,y=1,2⎪=3y-3x=0,⎩∂y{{所以驻点为(0,0)和(1,1)．(5)函数z=x2-y2+1的极值点为（ D ）． (A)(0,0)； (B)(0,1)； (C)(1,0)；(D)不存在．⎧∂z⎪∂x=2x=0,解析求两个偏导数⎨∂z 得驻点为（0，0），⎪=-2y=0,⎩∂y∂2z∂2z∂2z=2，B=又因为A==0，C=2=-2，则B2-AC=4>0，所以，驻点2∂x∂x∂y∂y 不是极值点，极值点不存在．3．填空题(1) z=y-x2+1的定义域为{(x,y)y≥x2-1} ；22解要使函数有意义，应满足y-x+1≥0，即y≥x-1(2) 已知f(x,x+y)=x2+xy，则解设 x+y=u，则∂f= 2x+y ；∂xf(x,x+y)=x2+xy=x(x+y)=xu，关于x的偏导数∂f∂f∂f∂u=()+=u+x=2x+y．∂x∂x∂u∂xx=1y=1 (3) 设z=ln(x2+y2)，则dz=dx+dy；解设 x2+y2=u，则 z=lnu，所以∂zdz∂u1∂zdz∂u1==⋅2x， ==⋅2y，∂xdu∂xu∂ydu∂yu从而dzx=1y=1=∂z∂xx=1dx+y=1∂z∂yx=1y=1dy=dx+dy．yππ(4) 曲面z=arctan()在点M(1,1,)处的切平面方程为 x-y+2z-=0 ； x42解令 F(x,y,z)=z-arctan(y)， xyy12=则 Fx=-，，F=xπ(1,1,)2x2+y2241+()x11-xF=-，， Fy=-=2yπ(1,1,)y2x+y2241+()x11π曲面的切平面方程为 (x-1)-(y-1)+(z-)=0 ， 224π即 x-y+2z-=0． 2-(5) 设z+ez=xy，则x∂z= ；z1+e∂yz解一令F(x,y,z)=z+e-xy，则 Fz=1+ez， Fy=-x，Fyx∂z=-所以 =．∂yFz1+ez解二设z=z(x,y)，两边对y求偏导数，有x∂zz∂z∂z+e=x ，即 =．z∂y∂y∂y1+e4．解答题 (1)设可微函数z=f(x,u),u=ϕ(x,t),t=sinx,求解偏导数为 dz；dxdz∂z∂z∂u∂z∂udt⋅⋅⋅ =++dx∂x∂u∂x∂u∂tdx∂f∂f∂ϕ∂f∂ϕ⋅⋅⋅cost．=++∂x∂u∂x∂u∂t(2)设z=f(x2+y2)，且f(u)可微，证明 y解设 x2+y2=u，则z=f(u)，∂z∂z-x=0．∂x∂y从而∂zdz∂u∂zdz∂u⋅=f'(u)⋅2x，⋅=f'(u)⋅2y，==∂xdu∂x∂ydu∂y则 y所以，原结论成立．∂z∂z-x=yf'(u)⋅2x-xf'(u)⋅2y=0，∂x∂yz∂z(3) 设x2+z2=yf()，其中f为可微函数，求．y∂y解令F(x,y,z)=x+z-yf()， 22zy设u=z，则 F(x,y,z)=x2+z2-yf(u)， yzz∂F∂F∂u)+⋅=-f(u)-yf'(u)⋅(-2)=f'(u)-f(u)，∂y∂u∂yyy∂F∂F∂u1)+⋅=2z-yf'(u)⋅=2z-f'(u)，∂z∂u∂zy从而 Fy=(Fz=(zzzzf'(u)-f(u)f()-f'()Fy∂zyyyy==-所以． =-2z-f'(u)∂yFz2z-f'()y⎧x=t,⎪(4) 在曲线⎨y=t2,上求一点，使其在该点的切线平行与平面x+2y+z=4，并写出⎪z=t3⎩23解设所求点为（t0，t0，t0），切线方程； dxdtt=t0=1，dydtt=t0=2t0，dzdtt=t02=3t0，23x-t0y-t0z-t0故切线方程为， ==212t03t02由于切线与平面平行，切线的方向向量s={1，2t0，3t0}与平面的法向量n={1，2，1}垂直，有s⋅n ={1，2t0，3t02}·{1，2，1}=1+4t0+3t02=0，解方程，得 t0=-1或-1， 3y-1z+1=； -2311y-z+11111= ，当t0=-时，切点为（-，，-），切线方程为x+=31339273-2311x+y-==z+1．即 3-227当t0=-1时，切点为（-1，1，-1），切线方程为 x+1= (5)用a元钱购料，建造一个宽与深相同的长方体水池，已知四周的单位面积材料费为底面单位面积材料费的1.2倍，求水池的长与宽为多少米，才能使容积最大．解设水池底面的长为x，宽和高为y（如图），底面单位面积材料费为b，则侧面单位面积材料费为1.2b，有bxy+1.2b(2xy+2y)=a，即 3.4bxy+2.4by=a，长方体体积 V=xy，22应用条件极值，设A=xy+λ(3.4bxy+2.4by-a)， 222得偏导方程，有⎧∂A2=y+λ⋅3.4by=0,⎪∂x⎪⎪∂A=2xy+λ(3.4bx+4.8by)=0, ⎨⎪∂y⎪∂A=3.4bxy+2.4by2-a=0,⎪∂λ⎩整理，得 x=45a15a，y=， 17b6b由于驻点（45a15a，）唯一，而使容积最大的情况存在，所以当长方体长为17b6b45a15a，宽和高为时，长方体水池容积最大． 17b6b。
D2-10多元函数微分学二(61p)
例6. (08.11分) 已知曲线 C : 求 C 上距离xoy 面最远的点和最近的点. 分析: 分析 点(x ,y ,z) 到xoy 面的距离为|z|.故求曲线 C 上 距离xoy面最远点和最近点的坐标,等价于求函数 (目标函数) 在条件 束下的最大值点和最小值点. 解: 令
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极值极其应用
一,知识点与考点
1. 二元函数z = f (x , y)极值的概念及求法 某邻域内一切异于 对于二元函数 z = f (x , y),若在 的点(x , y) 恒有 为 f (x , y) 在该邻域的一个极大(小)值. 函数的极大值与极小值通称函数的极值. 函数取得极值的点 称为函数的极值点. (1) 二元函数取得极值的必要条件: 可导函数的极值点必为函数的驻点. 驻点即方程组 的实根.
(数二数三不要求 数二数三不要求) 数二数三不要求
切线方程为: 法平面方程为:
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若空间曲线Γ 的方程为 此时曲线方程可视为 以x为参数的参数方程 则 对应的曲线Γ上的点 处的
切线方程为: 法平面方程为:
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2.曲面的切平面方程和法线方程 曲面∑: F (x , y , z) = 0 上点 切平面方程为: 法线方程为:
(数二,数三不要求 数二,数三不要求) 数二
处
曲面∑: z = z (x , y)上点 切平面方程为:
处
法线方程为:
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二,典型例题分析与解答
题型1. 空间曲线的切线方程与法平面方程 题型2. 曲面的切平面方程和法线方程
多元函数的微分学的应用
多元函数的微分学的应用
多元函数的微分学在实际生活中有多种应用。
以下是其中几个常见的应用：
1. 最值问题：多元函数的微分学可以用来解决最值问题，例如优化问题，找到函数的最大值或最小值。
这种应用广泛用于物流、金融和工程等领域，其中包括确定最小成本生产和最大利润等问题。
2. 等高线图：多元函数的微分学也可以用来绘制等高线图。
等高线图常常用于表示地形，如山地，海底地形，或者用于表示等值线，如等压线，等温线和等高线等。
3. 导航系统：对于导航系统而言，通过多元函数微分学，不仅能够实时计算用户之间的距离，还能推断用户的行车方向，从而更好地指引用户前进方向。
4. 工程应用：对于工程师而言，他们会使用多元函数的微分学去计算关键参数，例如建筑物的结构支持力量、材料的伸缩性，以及各种形态的机器件等。
5. 统计分析：多元函数的微分学也可以帮助人们进行数据建模、数据预测，诸如对群体的群体大小计算以及分析等等。
在这种场合下，多元函数的微分学可帮助人们发现数据之间的关联以执行信息预测等任务。
总之，多元函数的微分学在实践中具有广泛应用，并为许多领域提供了重要的工
具和方法。
多元函数
第一节多元函数的概念 多元函数的定义 先看几个例子 例题1 直圆柱体的侧面积S和底面半径 和高H之间的依 和底面半径R和高 例题 直圆柱体的侧面积 和底面半径 和高 之间的依 赖关系可用公式S=2 πRH ,｛(R，H)︱R＞ 0，H＞ 0｝表 赖关系可用公式 ｛ ， ︱ ＞ ， ＞ ｝ 示。当（R，H）的值在一定范围内取定一对数值时，S的 ， ）的值在一定范围内取定一对数值时， 的 对应值就随之确定了。 对应值就随之确定了。 例题2 气缸内理想气体的容积V与压强 ，绝对温度T之间 例题 气缸内理想气体的容积 与压强p，绝对温度 之间 与压强 的关系为V=RT/p,其中 是常数，｛ ，p)︱T＞ 0，p＞ 其中R是常数，｛(T， ) 的关系为 其中 是常数，｛ 是随T、 变化而变化的 变化而变化的。 0｝,V是随 、p变化而变化的。当（T，p）在一定范围内取 是随 ， ） 定一对数值时， 的对应值就随之确定了 的对应值就随之确定了。 定一对数值时，V的对应值就随之确定了。 例题3 一氧化氮的氧化过程为2NO+O2→2NO2，由实验可 例题 一氧化氮的氧化过程为 →2N 在此过程中，其氧化速度V与一氧化氮的克分子浓度 与一氧化氮的克分子浓度x、 知，在此过程中，其氧化速度 与一氧化氮的克分子浓度 、 氧气的克分子浓度y之间的关系为 之间的关系为V=Kx2y, ｛(x，y)︱ 氧气的克分子浓度 之间的关系为 ， ) 0≤y≤1｝，其中K为反应速度常数 ｝，其中 为反应速度常数。 0≤x≤1, 0≤y≤1｝，其中 为反应速度常数。当(x,y)在一 在一 定范围内取定一对数值时， 的对应值就随之确定了 的对应值就随之确定了。 定范围内取定一对数值时，V的对应值就随之确定了。
定义1 给定一个数对集合D和一个实数集合 和一个实数集合M,若 定义 给定一个数对集合 和一个实数集合 若 按照某一确定的对应法则f， 内每一数对 内每一数对（ ， ） 按照某一确定的对应法则 ，D内每一数对（x，y） 有惟一的一个实数z∈ 与之对应 则称f是定义 与之对应， 有惟一的一个实数 ∈M与之对应，则称 是定义 上的二元函数， 在D上的二元函数，记作 ：D→M，其中数对集 上的二元函数 记作f： ， 称为函数f的定义域 中任一点（ ， ） 合D称为函数 的定义域，D中任一点（x，y）根 称为函数 的定义域， 中任一点 据对应法则f所对应的实数 所对应的实数z，称为f在点 在点（ ， ） 据对应法则 所对应的实数 ，称为 在点（x，y） 的函数值，记作z=f (x，y)。 的函数值，记作 ， 。 若把定义域中的点（ ， ）的两个坐标x与 作为 若把定义域中的点（x，y）的两个坐标 与y作为 变量看待，则称这两个变量为函数f的自变量 的自变量， 变量看待，则称这两个变量为函数 的自变量，z 称为函数f的因变量 的因变量。 称为函数 的因变量。 类似地，可以定义三元函数、四元函数，…，n 类似地，可以定义三元函数、四元函数， ， 元函数。多于一个自变量的函数统称为多元函数。 元函数。多于一个自变量的函数统称为多元函数。
第6章多元函数微分学4-10(方向导数 梯度)
l X = (x0+x, y0+y) y
f (X ) f (X0) || X 0 X ||
o
x X0=(x0, y0)
x
2.若 z = f (X) = f (x, y)在 X0 = (x0, y0)处偏导存在. 则在 X0 处沿 x 轴正向的方向导数, (此时, y 0, x 0),
由于l的单位方向向量为e = (cos, cos ), 从而 l 的参数式方程为 x = x0 + tcos y = y0 + tcos
t >0
或 (x, y) = (x0, y0) + t (cos , cos ), 即 X = X0+ te
且 || X 0 X || || X X 0 || || te || t
表示在 (x0, y0)处沿 y 轴负方向的变化率.
但在许多实际问题中, 常需知道 f (X)在 X0 沿任何方向的变化率. 比如, 设 f (X)表示某物 体内部点 X 处的温度. 那么, 这个物体的热传导 就依赖于温度沿各方向下降的速度. 因此有必要引进 f (X)在 X0 沿一给定方向 的方向导数.
f ( X 0 ) f ( X 0 ) cos cos x y
特别:
f f • 当 l 与 x 轴同向 0 , 时, 有 2 l x f f • 当 l 与 x 轴反向 , 时, 有 l x 2
4. 推广 公式可推广到三元函数中去.
z = f ( x, y)
x0
o
X0
T2
y
x
即 f 'y (x0, y0) 表示 x = x0 与 z = f (x, y)
多元函数微分学(10)
曲面在点处的法线的参数方程为
取即可.
8.设函数有连续的偏导数,则由方程确定的曲面在任意一点处的切平面平行于一条定直线.
证特殊类型的曲面的切平面.
将方程的左端分别对 , 和 求导, 得曲面的一个法向量 , 它与定向量 垂直.
9.设函数可导,则曲面在任意一点处的切平面过坐标原点.
.
证证明复合函数满足给定方程. 用复合函数导数公式.
将这三个等式代入问题中方程的左端即可.
2.设函数有连续的偏导数, ,求 .
解复合函数的二阶导数.
对 求导, 得 . 再对 求导, 得
评述复合函数的偏导数仍然是复合函数.
3.设函数 有连续的偏导数, 求函数所满足的偏微分方程.
解求复合函数所满足的方程.
多元函数微分学
多元函数的极限
1.求函数 的定义域.
解二元函数的定义域.
由二次根式, 得 且 .
2.设 , 求 .
解1复合函数.
改写, 得 . 于是 .
解2令 . 代入化简, 得 .
即 .
习题
(a)已知 , 求 .
(b)设 ,求 .
3.计算极限 .
解用一元函数极限的法则与定理.
因为,所以.这是型未定式.因为 ,所以 .根据极限存在准则1, .
例5中的直线路径在这里无效.需要寻找曲线路径.当动点沿抛物线趋向于坐标原点时,有
=
极限值与 有关,原极限不存在.
6.研究函数的连续性.
解用定义判定连续.
根据初等函数的连续性,当时,函数连续.因为,所以函数在坐标原点也连续.
当沿着与轴平行的直线趋向于轴上其它的点时,极限不存在.于是这些点是函数的间断点.
求二阶偏导数,有
多元函数微分学
面,点P为切点.
定理3 曲面z f (x, y)在点P(x0, y0, f (x0, y0))存在 不平行于z轴的切平面的充要条件是函数 f 在点 P0(x0, y0)可微. 定理3说明若函数 f 在(x0, y0)可微, 则曲面z f (x, y) 在点P(x0, y0, z0)处的切平面方程为 z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ). 过切点P与切平面垂直的直线称为曲面在点P的 法线. 由切平面方程知道, 法线的方向数是
1
z f ( x, y )
S
S1
R2
P1
1
1
y y0 曲线P0 N z f ( x, y) x x0 曲线P0 R z f ( x, y)
P1 S1 P1 R2 R2 S1 z P1 R2 Q1 R1 dy y M 0
0
M ( x0 dx, y0 dy)
f x
x
tan
M0
偏导与连续的关系.
例 讨论函数
x 2 y 2 , xy 0 f ( x, y) , xy 0 1,
在(0,0)点的偏导数及连续性.
二、 可微性与全微分
定义 设函数 z = f (x, y)在点P0(x0, y0)的某邻域U (P0) 内有定义, 对于U (P0)中的点P(x, y) (x0 x, y0 y), 若函数 f 在P0处的全增量z可表示为: z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0) Ax By o(), 其中A, B是仅与点P0有关的常数, (1)
d f |(x0, y0) fx(x0, y0)· fy(x0, y0)· dx dy.
多元函数微分学相关概念
（2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如 果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上 取得介于这两值之间的任何值至少一次． 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
⑥会求多元函数极值
一、多元函数的概念
是某 设 P0 ( x 0 , y 0 ) 是 xoy 平面上的一个点， 的点P ( x , y ) 一正数，与点 P0 ( x 0 , y 0 ) 距离小于 邻域，记为U ( P0 , ) ， 的全体，称为点P0 的
U ( P0 , )
（1）邻域
设两点为
P ( x1 , x2 ,, xn ), Q( y1 , y2 ,, yn ),
| PQ | ( y1 x1 )2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 .
特殊地当 n 1, 2, 3 时，便为数轴、平面、 空间两点间的距离． n维空间中邻域、区域等概念
{( x , y ) | 0 x 2 y 2 1}
(0,0)既是边界点也是聚点．
点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E ． 2 2 {( x , y ) | 0 x y 1} 例如, (0,0) 是聚点但不属于集合． 例如,
{( x , y ) | x 2 y 2 1}
解 取
0, , 当 0 2
x y 时
2 2
f ( x , y ) f (0,0) 2
( x , y ) ( 0 , 0 )
lim
f ( x , y ) f (0,0),
专升本辅导-第10讲多元函数微分学
这是多元函数与一元函数的
一个本质区别.
例
在热力学中, 已知压强 P 、体积 V 和
温度 T 之间满足关系 PV = k T ,其中, k P V T 1 . 为常数, 证明： V T P
T 由关系 PV k T 得 P k V
一元函数 f ( x) sin a x 的导数
f ( x, a) sin a x
将函数表示为 含参数的形式
f ( x) a cosa x
f x( x , a) a cosa x
用下标显示 是对 x 求导
一元函数 f ( x) sin a x 的导数
f ( x, a) sin a x y y
空间 R 中邻域的定义
2
设 X 0 R ， 0 为实数，则称集合
2
U( X 0 , ) { X | d( X , X 0 ) }
为 R n 中点 X 0 的 邻域，记为 X 0 , ) 。 U(
想想:二维空间中点的邻域是什么样子 ?
在 R 2 中：
U( X 0 , ) {( x, y ) | ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 }
2
U( X 0 , ) {( x, y ) | 0 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 }
开区域、闭区域
有界区域 无界区域
第二节 多元函数的极限与连续性
极限 极限的运算法则 连续性 连续函数的运算法则 有界闭区域上连续函数的性质
推广的思路
第二节 多元函数的极限与连续性
或
x X ( x0 x, y0 ) ( x0 , y0 )
为变量 X 在点 ( x0 , y0 ) 处关于 x 的偏增量.
数学分析试题库填空题
一 填空题（每题4分）第十章 多元函数微分学1、函数arcsin()x y 22+的定义域为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。
2、函数z xy =arcsin 在点（1，13）沿 x 轴正向的方向导数是 ——— 。
3、设f x y x y (,)sin cos =2，则f x (,)ππ2= ——— 。
4、设函数z z x y =(,)由方程232614640222x y z xy x y z -++--++=确定，则函数 z 的驻点是______ 。
5、函数z x y xy=+-arctan1在点（－1，2）沿{}a =-13,方向的方向导数是—— 。
6、设u xy yx=+，则∂∂u y = ——— 。
7、函数y y x =()由12+=x y e y所确定，则d d yx= ——— 。
8、设u xy x y =--ln()tanh()，则d u = ——— 。
9、设函数z z x y =(,)由方程x y z e x y z ++=-++()222所确定，则∂∂zx= ——— 。
10、设函数F u v w (,,)具有一阶连续偏导数，且F F F u v w (,,),(,,),(,,)336333623361--=--=---=，曲面F x xy xyz (,,)=0过点P (,,)312-，则曲面过点P 的法线与yz 平面的交角为_______ 。
11、函数z x y =+ln()的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。
12、设u x y z=⎛⎝ ⎫⎭⎪1/，则∂∂u z(,,)111= ——— 。
13、曲线x y z x 22202-+==⎧⎨⎩在点（2，3，5 ）处的切线与z 轴正向所成的倾角为——— 。
14、设z xyex y=+，则d z = ——— 。
15、设f x y x y (,)=+22，则d f = ——— 。
16、函数u zx y =+arcsin22的定义域为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。
高等数学A第6章多元函数微分学9-10(多元函数的极值 条件极值—拉格朗日乘数法则).
函数 z 3x2 4 y2
在 (0,0) 处有极小值．
(1)
函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
(3)
2.极值存在的必要条件和充分条件 定理1（极值存在的必要条件） 设z f ( x, y)在( x0 , y0 )具有偏导数, 且在( x0 , y0 )取得 极值,则fx ( x0 , y0 ) 0, fy ( x0 , y0 ) 0. 证 设z f ( x, y)在( x0 , y0 )取得极小值,
Q(h, k)
1 A
[(
Ah
2
2ABhk
B2k 2 )
( AC
B2)k2]
1A[(Ah Bk)2 ) ( AC B2 ) k 2 ]
可见 , 当A 0 时,Q(h, k) 0, 从而△z＞0 , 因此 f (x, y)
在点 (x0, y0 ) 有极小值 ;
当A 0 时,Q(h, k) 0, 从而 △z＜0, 因此 f (x, y) 在点
则称z f ( x, y)在P0 ( x0 , y0 )有极大值 或极小值f ( x0, y0 ).
极大值与极小值统称为极值. P0 ( x0 , y0 )为极值点.
若引进点函数, 则 当f (P ) f ( P0 )时, f (P0 )为极大值; 当f ( P ) f ( P0 )时, f ( P0 )为极小值.
＋
所以， f(x,y) 没有极值.
－
二、多元函数的最值问题
1.多元函数的最值问题
(1) 闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值: 将函数 f (x,y) 在D内的所有驻点处的函数值与在D 的边界上的函数值相互比较，其中最大的就是最 大值，最小的就是最小值.
多元函数微分学
2 2
问在(0,0)处，f(x, y)的偏导数是否存在？偏 Biblioteka 数是否连续？f(x, y)是否可微？
5.方向导数 , 定义5 设 z f ( x , y )在 点M 0 ( x0, y0 )的 某 邻 域 内 有 定 义
xy si n x y ) （ 证 明l i m 0. 2 2 x 0 x y y 0
si n ( ) xy 求lim x 0 y y 0
例2
例3
xy 2 lim 2 是否存在? 4 x 0 x y y0
xy l n (x 2 y 2 ) x 2 y 2 0, 研 究 函 数 ( x, y) f 0 x2 y2 0 在( 0,0)处 的 连 续 性 。
(2) z x 4 y 3 2 x
在1, 2处
( 34dx 12dy)
xy x2 y2 0 2 例9 设f ( x , y ) x y 2 x2 y2 0 0 求f x (0,0), f y (0,0), 并 讨 论 f ( x , y ) 在 (0,0) 处 的 可 微 性 .
在 点M 0沿 任 一 方 向的 方 向 导 数 都 存 在 ， 且 l
M0 M0
当 l 与grad f ( M 0 )同方向时，z在M 0的方向 导数取最大值，且最大 grad f ( M 0 )， 值 当 l 与grad f ( M 0 )反方向时，z在M 0的方向 导数取最小值，且最小 grad f ( M 0 ) 值
多元函数微分法
1. 多元函数的极限:
多元函数微分学(共184张PPT)
z
sin
x2
1 y2
1
• 在 点圆 都周 是x2间 断y2 点1，是上一没条有曲定线义，. 所以该圆周上各
• 性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域 D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小
值.
• 在D上至少有一点 及一点 ，使得 为最大 值而 为最小值，P 即1 对于一切P 2 P∈D，有f ( P1 )
•
P
于E的点，也有不属于E的点，
•
E
则称P为E的边界点（图8-2）.
•
设D是开集.如果对于D内的
• 图 8-1 任何两点，都可用折线连结起
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•
来,而且该折线上的点都属于D,
•
P 则称开集D是连通的.
•
连通的开集称为区域或开区域.
•
E
开区域连同它的边界一起,称
•
为闭区域.
• 图 8-2
f( x x ,y ) f( x ,y ) A x ( x )
• 上式两边各除以 x ，再令 x 0而极限，就得
limf(xx,y)f(x,y)A • 从而 ，x 偏0导数 z 存 在x，而且等于A.同样可证
• =B.所以三式 x 成立.证毕.
z y
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• 定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数
• 3.n维空间
• 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组
•
的全体为n维空间,而每个有序n元数
(x1组,x2, ,xn) 称为n维空间中的一个点,数 称
(x1,x2, ,xn)
xi
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• 为该点的第i个坐标,n维空间记为 .n
(整理)多元函数微分
第八章多元函数的微积分学上册研究了一元函数微积分学，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。
一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。
多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们的不同之处。
一、教学目标与基本要求(1)理解多元函数的概念。
(2)了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。
(3)理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，以及全微分在近似计算中的应用。
(4)掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。
(5)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。
(6)了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并掌握它们的方程的求法。
(7)理解多元函数极值的概念，会求函数的极值。
了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
(8)理解二重积分积分的概念，了解并会应用重积分的性质。
(9)熟练掌握利用直角坐标和极坐标计算二重积分的方法。
二、教学内容的重点及难点：重点：1．多元函数的极限与连续；2．偏导数的定义；全微分的定义3．多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则4．多元函数的极值与最值的求法5．二重积分概念，二重积分的计算。
难点：1．多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系；2．多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数；3．由方程组确定的隐函数的求导法则；4．条件极值的求法5．对二重积分概念的理解，将重积分化为累次积分时的定限及更换积分次序三、教学内容的深化和拓宽：1．多元函数微分学的几个概念的深刻背景；2．多元复合函数的求导法则的应用；3．由一个方程确定的隐函数，推广到由方程组确定的隐函数4．利用多元函数微分学的知识研究空间曲线和曲面的性质；5．将偏导数的概念推广到方向导数，并由此得到梯地的概念6．利用多元函数微分学的知识研究无条件极值与条件极值。
多元函数微分
多元函数微分在结束了一段旅途之后，我们重新回到了微积分的世界中。
但你我都知道，经历过线性代数世界的我们，有些事已经发生了改变。
在将微积分从一元推广向多元以前，先来重新复习一下导数与微分的概念。
导数与可微我们知道，对于一元函数，其在一点 x_0 处的导数定义为：f\prime(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}如果我们切换一下视角，实际上可以将这个式子看作：f(x)-f(x_0)\approx f\prime(x_0)(x-x_0)换句话说， x_0 处的导数 f\prime(x_0) 实际上起到的作用是使得在该点处附近的自变量差值与函数差值近似的形成一个倍乘关系。
如果我们将 f\prime(x_0) 记作一个确定数值，比如 k ，而后将 x_0 附近的自变量差值记作为新的自变量，比如\delta ，则我们可以将导数的这个近似函数写作：\Delta f(x)=g(\delta)\approx k\cdot \delta这个简单而熟悉的倍乘关系，一下子就能让你联想到我们在《线性代数-0.线性》一文中提到的线性性质之一——齐次性，即 f(kx)=kf(x)而，微分的定义，函数增量（差值）的线性主部，即将这个函数中的近似符号改为等号：df(x)=k\cdot \delta可以看到，当我们说函数在一点处可微，实际上就是将函数在一点处附近看作是线性的。
不过由于对于一元函数，其定义域与值域一般来说是实数域到实数域的映射，即标量到标量的映射，故一般只能体现出线性的齐次性。
但是，当我们从一元推广到二元后，定义域与值域的情况就有了新的变化。
对于二元函数 f(x,y) ，参照一元函数的导数定义进行推广，即在一点 (x_0,y_0) 处的函数差值与自变量差值的比值。
其中，函数差值的部分没有问题，即 f(x,y)-f(x_0,y_0) ，但自变量的差值就出现了变化，即该如何定义 (x,y)-(x_0,y_0) 的差值。
多元函数微分学的应用
多元函数微分学的应用引言在数学中，多元函数微分学是研究多元函数的变化过程的一门学科。
通过微分学的方法，我们可以研究多元函数的局部性质、极值点和方向导数等重要概念。
多元函数微分学在科学、工程和经济等领域有着广泛的应用。
本文将介绍多元函数微分学的一些应用，并重点讨论最小二乘法和梯度下降法的实际应用。
最小二乘法最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它通过最小化实际观测值与理论模型之间的误差平方和，来寻找最佳的参数估计。
在多元函数微分学中，最小二乘法可以用于拟合多元线性回归模型。
假设我们有一组观测数据$(x_1, y_1), (x_2, y_2), \\ldots, (x_n, y_n)$，其中x x是自变量，x x是因变量。
我们的目标是找到一条直线 $y = a + b_1x_1 + b_2x_2 + \\ldots + b_mx_m$，使得所有观测数据到该直线的距离之和最小。
这可以转化为一个最小二乘问题。
在最小二乘法中，我们引入残差$r_i = y_i - (a + b_1x_{i1} +b_2x_{i2} + \\ldots + b_mx_{im})$，其中，x是截距，x x是斜率系数，x xx是第x组数据的第x个自变量的取值。
我们的目标是找到一组最优的x和x x，使得x x的平方和最小。
最小二乘法可以通过求解线性方程组来得到参数的估计值。
具体而言，我们可以通过计算矩阵的逆来得到参数的最小二乘解。
梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化算法，它通过迭代的方式逐步更新参数，以达到函数的最小值。
在多元函数微分学中，梯度下降法可以用于求解多元函数的极值点。
假设我们要求解函数$f(x_1, x_2, \\ldots, x_n)$ 的极小值点，其中x x表示第x个自变量。
梯度下降法的基本思想是：从一个初始点开始，通过迭代更新参数，使得函数的值逐渐减小，直到达到最小值。
梯度下降法的更新规则如下：repeat until convergence {for i from 1 to n {theta_i := theta_i - alpha * (d/dtheta_i J(theta))}}其中，$J(\\theta)$ 是损失函数，$d/d\\theta_iJ(\\theta)$ 是损失函数对第x个参数的偏导数，$\\theta_i$ 是第x个参数的值，$\\alpha$ 是学习率。
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解.
∂u ∂u = ϕ ' (u ) + p( x ) , ∂x ∂x
-4-
∂u ∂u = ϕ ' (u ) − p( y ) , ∂y ∂y p( y )
− p( y ) ∂u = ∂y 1 − ϕ ' (u )
∂u ∂u ∂z ∂z + p( x ) = p( y ) z ' (u ) + p ( x ) z ' (u ) ∂y ∂x ∂y ∂x = p( y ) z ' (u ) p( x ) p( x ) z ' (u ) p ( y ) − =0 1 − ϕ ' (u ) 1 − ϕ ' (u )
f1 '+ f 3 '
所以
dz =
( f '+ f ' )dx + ( f1 '+ f 2 ' )dy ∂z ∂z dx + dy = − 1 3 f 2 '+ f 3 ' ∂x ∂y
-1-
2.
zf1 ' ∂z ∂z ∂z ∂z = = f1 ' ( z + x ) + f 2 ' , 所以 ∂x ∂x ∂x 1 − xf 1 '− f 2 ' ∂x − f2 ' ∂z ∂z ∂z ∂z = = f1 ' x + f 2 ' ( − 1) , 所以 ∂y ∂y ∂y ∂y 1 − xf 1 '− f 2 '
1 ∂z y y = f '( ) + ϕ'( ) ∂y x x x
∂2z 1 1 = f ' '+ 2 ϕ ' ' 2 ∂y x x
于是
x2
2 2y y2 ∂2z ∂2z y2 2 ∂ z + 2 xy + y = ' ' ϕ ' ϕ'' f + + ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 x x x2
−2
2y 2y2 y2 ϕ '− 2 ϕ ' ' f ' '− x x x y2 ϕ'' x2
+
y2 f '' x
=0
十. 设 z = f [ x − y , ϕ ( xy )] , 其中 f(u, v)具有二阶连续偏导数,
2
ϕ (u ) 二阶可导, 求
∂2z . ∂; [ x 2 − y , ϕ ( xy )] + yf 2 ' [ x 2 − y , ϕ ( xy )]ϕ ' ( xy ) ∂x
∂2z = e x sin y ( f11 ' ' e x cos y + 2 yf 12 ' ' ) + e x cos yf 1 '+2 x ( f12 ' ' e x cos y + 2 yf 22 ' ' ) ∂x∂y
= f 11 ' ' e
2x
sin x cos x + 2e x ( y sin y + x cos y ) f12 ' '+4 xyf 22 ' '+ f1 ' e x cos y
-2-
z xx ' ' = ln y ( f11 ' ' ln y + f12 ' ' ) + f12 ' ' ln y + f 22 ' '
= f11 ' ' ln y + 2 f12 ' ' ln y + f 22 ' '
2
z xy ' ' =
1 x x f1 '+ ln y ( f11 ' ' − f12 ' ' ) + f12 ' ' − f 22 ' ' y y y 1 x x ln y f11 ' '+( − ln y ) f12 ' '− f 22 ' '+ f1 ' y y y x f1 ' ( x ln y , x − y ) − f 2 ( x ln y , x − y ) y x x x x f '+ ( f11 ' '− f12 ' ' ) − f12 ' '+ f 22 ' ' 2 1 y y y y
− u x ' eαx + y − αueαx + y
-5-
− u y ' eαx + y
− ueαx + y
+ ue
αx + y
= 于是 α = 1.
αu y ' eαx + y − u y ' eαx + y = 0
十四. 若 z = f ( x + y ) 满足
2 2
∂2z ∂2z + = 0 , 其中 f(u)有连续的二阶导数, 求 z. ∂x 2 ∂y 2
∂2z = 2 x[ − f11 ' '+ xf 12 ' ' ϕ ' ] + f 2 ' ϕ '+ yϕ ' [ − f12 ' '+ xf 22 ' ' ϕ ' ] + xyf 2 ' ϕ ' ' ∂x∂y
= (ϕ '+ xyϕ ' ' ) f 2 '−2 xf 11 ' '+ ( 2 x − y )ϕ ' f 12 ' '+ xy (ϕ ' ) f 22 ' '
∂ 2 z ∂z ∂z ∂ 2u − − ， = 0 , 试确定常数α, 使 + z = 0. ∂x∂y ∂x ∂y ∂x∂y
于是
十三. 设 z = u ( x, y )e
αx + y
解.
∂z = u x ' eαx + y + αueαx + y ∂x ∂z = u y ' eαx + y + ueαx + y ∂y
解. 以上两式对 x 求导, 得到关于
dy dz ， 的方程组 dx dx
dz dy + (1 + 2 z ) = −1 dx dx 2 y dy + (1 + 3z ) dz = −1 dx dx
dz dy dz 1+ + + 2z =0 dx dx dx 1 + 2 y dy + dz + 3z dz = 0 dx dx dx
= 4 f 11 '+
4 1 f12 ' '+ 2 f 22 ' ' y y
zy ' = −
x x f 2 ' ( 2 x, ) 2 y y
z yy ' =
2x x2 f ' + f 22 ' ' 2 y3 y4
七. 已知 z = f ( x ln y , x − y )，求z xx ' ' , z xy ' ' , z yy ' ' . 解. z x ' = ln yf 1 ' ( x ln y , x − y ) + f 2 ' ( x ln y , x − y )
所以
dz =
zf ' dx − f 2 ' dy ∂z ∂z dx + dy = 1 1 − xf 1 '− f 2 ' ∂x ∂y
∂2z 五. 设 z = f ( e sin y , x + y ) , 其中 f 具有二阶连续偏导数, 求 . ∂x∂y
x
2
2
解.
∂z = f1 ' ( e x sin y , x 2 + y 2 )e x sin y + 2 xf 2 ' ( e x sin y , x 2 + y 2 ) ∂x
解.
∂F = p y '+ zQ y ' , ∂y
所以
d ∂F = Q x ' +Q y ' y x ' dx ∂z ∂F d ∂F − = p y '+ zQ y '−Q x '−Q y ' y x ' = p y '−Q x '+ ( z − y x ' )Q y ' ∂y dx ∂z
z ∂z
二. 设 x + z = yϕ y , 其中ϕ为可微函数, 求 ∂y .
2 2
解. 原式两边对 y 求导.
2z
z ∂z = ϕ + yϕ ' ∂y y
∂z y−z z ∂y . 所以 2 y y
z z yϕ − zϕ ' y y ∂z = ∂y z 2 yz − yϕ ' y