高考数学第一轮复习 第二篇 第12讲 导数的综合应用课件 理 新人教A版
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规律方法
(1)第(2)问证明抓住两点： 一是转化为证明当m＝2时，f(x)>0； 二是依据f′(x0)＝0，准确求f(x)＝ex－ln(x＋2)的 最小值． (2)对于该类问题，可从不等式的结构特点出发， 构造函数，借助导数(dǎo shù)确定函数的性质， 借助单调性或最值实现转化．
第十二页，共20页。
②当 a<0 时，若 0<x< －21a，则 f′(x)>0，
故 f(x)在0， －21a上是增函数； 若 x> －21a，则 f′(x)<0，故 f(x)在 －21a，＋∞上是减函数．
综上，当 a≥0 时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
第十三页，共20页。
导数(dǎo shù)在不等式 中的应用
第三页，共20页。
两个转化
两点注意
一是利用导数研究含参函 数的单调性，常化为不等 式恒成立问题．注意分类 讨论与数形结合思想的应 用；
二是函数的零点、不等式 证明常转化为函数的单调 性、极(最)值问题处理， 如(2)．
一是注意实际问题中函数定义域， 由实际问题的意义和解析式共同 确定，如(3)．
二是在实际问题中，如果函数在 区间内只有一个极值点，那么可 直接根据实际意义判定是最大值 还是最小值，如(4)．若在开区间 内有极值，则一定有最优解.
解 由 f(x)＝x2＋xsinx＋cosx，
得 f′(x)＝2x＋sinx＋x(sinx)′－sinx＝x(2＋cosx)．
审题路线
(1)因为曲线 y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线 y＝b 相切，
所以 f′(a)＝a(2＋cosa)＝0，b＝f(a)．
解得 a＝0，b＝f(0)＝1.
(2)设 g(x)＝f(x)－b＝x2＋xsinx＋cosx－b.
规律方法
(1)在解答本题(2)问时，可转化为判定f(x)＝b有两个 实根时实数b应满足的条件，并注意g(x)的单调性、 奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数y＝f(x) 的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严 谨性，进行必要的论证． (2)该类问题(wèntí)的求解，一般利用导数研究函数 的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零 点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式) 组求解，实现形与数的和谐统一．
综上可知，当 m≤2 时，f(x)>0 成立．
第十一页，共20页。
导数(dǎo shù)在不等式中的 应用 【例 2】(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知函数 f(x)＝ex－ln(x＋m)． (1)设 x＝0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性； (2)当 m≤2 时，证明 f(x)>0.
且 f′(0)＝0. 当 x∈(－1,0)时，f′(x)<0； 当 x>0 时，f′(x)>0. 故 f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
第十页，共20页。
导数(dǎo shù)在不等式中的 应用 【例 2】(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知函数 f(x)＝ex－ln(x＋m)． (1)设 x＝0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性； (2)当 m≤2 时，证明 f(x)>0.
第四页，共20页。
导数在方程(函数(hánshù)零点)中的 应用
【例 1】 (2013·北京卷)已知函数 f(x)＝x2＋xsinx＋cosx. (1)若曲线 y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线 y＝b 相切，求 a 与 b 的值； (2)若曲线 y＝f(x)与直线 y＝b 有两个不同交点，求 b 的取值范围．
解 (1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．
由 f′(x)＝0，得 x＝－1 或 a(a>0)．
当 x 变化时 f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，a) a (a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘ 极小值
↗
故函数 f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；
第七页，共20页。
导数在方程(函数零点(línɡ diǎn)) 中的应用
【训练 1】 (2012·天津卷节选)已知函数 f(x)＝13x3＋1－2 ax2－ax－a，x∈R，
其中 a＞0.
(1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求 a 的取值范围．
转化为方程x2 ＋xsinx＋cosx －b＝0.通过判 定(pàndìng)零 点个数来求解
．
第
【例 1】 (2013·北京卷)已知函数 f(x)＝x2＋xsinx＋cosx. (1)若曲线 y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线 y＝b 相切，求 a 与 b 的值； (2)若曲线 y＝f(x)与直线 y＝b 有两个不同交点，求 b 的取值范围．
解 (1)易知 f′(x)＝ex－x＋1 m. 由 x＝0 是 f(x)的极值点得 f′(0)＝0，所以 m＝1. 于是 f(x)＝ex－ln(x＋1)， 定义域为(－1，＋∞)， ∴f′(x)＝ex－x＋1 1在(－1，＋∞)上是增函数，
审题路线
(1)由极值点确 定出实数m的 值，然后利用 导数求出函数 的单调区间.
(2)当 m≤2，x>－m 时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)． 故只需证明当 m＝2 时，f(x)>0.
审题路线
当
m＝2 时，f′(x)＝ex－x＋1 2在(－2，＋∞)上单调递增．
(2)当m≤2时， 转化为求f(x)min，
又 f′(－1)＝1e－1<0，f′(0)＝1－12>0.
证明f(x)min>0.
(2)由(1)知 f(x)在区间(－2，－1)内单调递增； 在区间(－1,0)内单调递减． 从而函数 f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，
f－2＜0， 当且仅当f－1＞0，
f0＜0，
解得 0＜a＜13.
所以，a 的取值范围是0，13.
第九页，共20页。
导数(dǎo shù)在不等式中的 应用 【例 2】(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知函数 f(x)＝ex－ln(x＋m)． (1)设 x＝0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性； (2)当 m≤2 时，证明 f(x)>0.
令 g′(x)＝f′(x)－0＝x(2＋cosx)＝0，得 x＝0.
当 x 变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)
↘ 1－b
↗
(1)由导数的几 何意义(yìyì)， 知f′(a)＝0且f(a) ＝b，解(2)方两程曲得线a， 的b的交值点．问题，
所以 f′(x)＝0 在(－2，＋∞)上有唯一实根 x0，且－1<x0<0. 于是 y＝f(x)在 x＝x0 处，取到最小值．
又 f′(x0)＝0，得 ex0＝x0＋1 2，两边取对数得 ln(x0＋2)＝－x0.
故 f(x)≥f(x0)＝e x0－ln(x0＋2)＝x0＋1 2＋x0＝xx00＋＋122>0.
导数(dǎo shù)在不等式中 的应用
【训练 2】 (2014·郑州一模)已知函数 f(x)＝a(x2＋1)＋lnx. (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)若对任意 a∈(－4，－2)及 x∈[1,3]，恒有 ma－f(x)>a2 成立，求实数 m 的取值范围． 解 (1)由已知，得 f′(x)＝2ax＋1x＝2axx2＋1(x>0)． ①当 a≥0 时，恒有 f′(x)>0， 则 f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
3.导数在研究方程(不等式)中的应用
研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的 个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、 极值(jízhí)与最值的问题，利用导数进行研究．
第二页，共20页。
1.函数最值与不等式(方程 (fāngchéng))的关系 (1)(教材习题改编)对任意 x>0，ax2＋(3a－1)x＋a≥0 恒成立的充
要条件是 a∈15，＋∞.( )
(2)(2011·辽宁卷改编)已知函数 f(x)＝ex－2x＋a 有零点，则 a 的取 值范围是(－∞，2ln2－2]．( )
2.关于实际应用 (yìngyòng)问题
(3)实际问题中函数定义域要由实际问题的意义和函数解析式共同确 定．( ) (4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．( ) (5)(2014·贵阳调研改编)已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为 y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获 取最大年利润的年产量为 9 万件．( )
单调递减区间是(－1，a)．
第八页，共20页。
导数在方程(函数零点(línɡ diǎn))中 的应用
【训练 1】 (2012·天津卷节选)已知函数 f(x)＝13x3＋1－2 ax2－ax－a，x∈R， 其中 a＞0. (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求 a 的取值范围．
知识与方法 (fāngfǎ)回顾
技能与规律探究
知识梳理
辨析(biànxī)感悟
探究 一 导数在方程(函数 零点)中的应用
探究二 导数在不等式中的 应用
探究三 导数与生活中的优 化问题
例1 训练1
例2 训练2
例3 训练3
经典题目再现
第一页，共20页。
1.生活(shēnghuó)中的优 化问题 通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地， 对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点 也是最值点． 2.利用导数(dǎo shù)解决生活中的优化问题的一般步骤
因为 a∈(－4，－2)，所以－2<a＋2<0，即 m≤－2.
所以实数 m 的取值范围是(－∞，－2]．
第十四页，共20页。
导数(dǎo shù)与生活中的 优化问题
【例 3】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工 程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋ x)x 万 元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记 余下工程的费用为 y 万元． (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式； (2)当 m＝640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？
所以函数 g(x)在区间(－∞，0)上单调递减， 在区间(0，＋∞)上单调递增，且 g(x)的最小值为 g(0)＝1－b. ①当 1－b≥0 时，即 b≤1 时，g(x)＝0 至多有一个实根， 曲线 y＝f(x)与 y＝b 最多有一个交点，不合题意． ②当 1－b<0 时，即 b>1 时，有 g(0)＝1－b<0， g(2b)＝4b2＋2bsin2b＋cos2b－b>4b－2b－1－b>0. ∴y＝g(x)在(0,2b)内存在零点， 又 y＝g(x)在 R 上是偶函数，且 g(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴y＝g(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，在(－∞，0)也有唯一零点． 故当 b>1 时，y＝g(x)在 R 上有两个零点， 则曲线 y＝f(x)与直线 y＝b 有两个不同交点． 综上可知，如果曲线 y＝f(x)与直线 y＝b 有两个不同交点， 那么 b 的取值范围是(1，＋∞)．
【训练 2】 (2014·郑州一模)已知函数 f(x)＝a(x2＋1)＋lnx. (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)若对任意 a∈(－4，－2)及 x∈[1,3]，恒有 ma－f(x)>a2 成立，求实数 m 的取值范围．
当 a<0 时，f(x)在0， －21a上是增函数，
在 －21a，＋∞上是减函数．
第六页，共20页。
导数在方程(函数零点(línɡ diǎn))中 的应用
【例 1】 (2013·北京卷)已知函数 f(x)＝x2＋xsinx＋cosx. (1)若曲线 y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线 y＝b 相切，求 a 与 b 的值； (2)若曲线 y＝f(x)与直线 y＝b 有两个不同交点，求 b 的取值范围．
(2)由题意，知对任意 a∈(－4，－2)及 x∈[1,3]，
恒有 ma－f(x)>a2 成立，等价于 ma－a2>f(x)max.
因为
a∈(－4，－2)，所以
2 4<
－21a<12<1.
由(1)，知当 a∈(－4，－2)时，f(x)在[1,3]上是减函数，
所以 f(x)max＝f(1)＝2a，所以 ma－a2>2a，即 m<a＋2.
(1)第(2)问证明抓住两点： 一是转化为证明当m＝2时，f(x)>0； 二是依据f′(x0)＝0，准确求f(x)＝ex－ln(x＋2)的 最小值． (2)对于该类问题，可从不等式的结构特点出发， 构造函数，借助导数(dǎo shù)确定函数的性质， 借助单调性或最值实现转化．
第十二页，共20页。
②当 a<0 时，若 0<x< －21a，则 f′(x)>0，
故 f(x)在0， －21a上是增函数； 若 x> －21a，则 f′(x)<0，故 f(x)在 －21a，＋∞上是减函数．
综上，当 a≥0 时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
第十三页，共20页。
导数(dǎo shù)在不等式 中的应用
第三页，共20页。
两个转化
两点注意
一是利用导数研究含参函 数的单调性，常化为不等 式恒成立问题．注意分类 讨论与数形结合思想的应 用；
二是函数的零点、不等式 证明常转化为函数的单调 性、极(最)值问题处理， 如(2)．
一是注意实际问题中函数定义域， 由实际问题的意义和解析式共同 确定，如(3)．
二是在实际问题中，如果函数在 区间内只有一个极值点，那么可 直接根据实际意义判定是最大值 还是最小值，如(4)．若在开区间 内有极值，则一定有最优解.
解 由 f(x)＝x2＋xsinx＋cosx，
得 f′(x)＝2x＋sinx＋x(sinx)′－sinx＝x(2＋cosx)．
审题路线
(1)因为曲线 y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线 y＝b 相切，
所以 f′(a)＝a(2＋cosa)＝0，b＝f(a)．
解得 a＝0，b＝f(0)＝1.
(2)设 g(x)＝f(x)－b＝x2＋xsinx＋cosx－b.
规律方法
(1)在解答本题(2)问时，可转化为判定f(x)＝b有两个 实根时实数b应满足的条件，并注意g(x)的单调性、 奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数y＝f(x) 的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严 谨性，进行必要的论证． (2)该类问题(wèntí)的求解，一般利用导数研究函数 的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零 点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式) 组求解，实现形与数的和谐统一．
综上可知，当 m≤2 时，f(x)>0 成立．
第十一页，共20页。
导数(dǎo shù)在不等式中的 应用 【例 2】(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知函数 f(x)＝ex－ln(x＋m)． (1)设 x＝0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性； (2)当 m≤2 时，证明 f(x)>0.
且 f′(0)＝0. 当 x∈(－1,0)时，f′(x)<0； 当 x>0 时，f′(x)>0. 故 f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
第十页，共20页。
导数(dǎo shù)在不等式中的 应用 【例 2】(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知函数 f(x)＝ex－ln(x＋m)． (1)设 x＝0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性； (2)当 m≤2 时，证明 f(x)>0.
第四页，共20页。
导数在方程(函数(hánshù)零点)中的 应用
【例 1】 (2013·北京卷)已知函数 f(x)＝x2＋xsinx＋cosx. (1)若曲线 y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线 y＝b 相切，求 a 与 b 的值； (2)若曲线 y＝f(x)与直线 y＝b 有两个不同交点，求 b 的取值范围．
解 (1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．
由 f′(x)＝0，得 x＝－1 或 a(a>0)．
当 x 变化时 f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，a) a (a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘ 极小值
↗
故函数 f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；
第七页，共20页。
导数在方程(函数零点(línɡ diǎn)) 中的应用
【训练 1】 (2012·天津卷节选)已知函数 f(x)＝13x3＋1－2 ax2－ax－a，x∈R，
其中 a＞0.
(1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求 a 的取值范围．
转化为方程x2 ＋xsinx＋cosx －b＝0.通过判 定(pàndìng)零 点个数来求解
．
第
【例 1】 (2013·北京卷)已知函数 f(x)＝x2＋xsinx＋cosx. (1)若曲线 y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线 y＝b 相切，求 a 与 b 的值； (2)若曲线 y＝f(x)与直线 y＝b 有两个不同交点，求 b 的取值范围．
解 (1)易知 f′(x)＝ex－x＋1 m. 由 x＝0 是 f(x)的极值点得 f′(0)＝0，所以 m＝1. 于是 f(x)＝ex－ln(x＋1)， 定义域为(－1，＋∞)， ∴f′(x)＝ex－x＋1 1在(－1，＋∞)上是增函数，
审题路线
(1)由极值点确 定出实数m的 值，然后利用 导数求出函数 的单调区间.
(2)当 m≤2，x>－m 时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)． 故只需证明当 m＝2 时，f(x)>0.
审题路线
当
m＝2 时，f′(x)＝ex－x＋1 2在(－2，＋∞)上单调递增．
(2)当m≤2时， 转化为求f(x)min，
又 f′(－1)＝1e－1<0，f′(0)＝1－12>0.
证明f(x)min>0.
(2)由(1)知 f(x)在区间(－2，－1)内单调递增； 在区间(－1,0)内单调递减． 从而函数 f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，
f－2＜0， 当且仅当f－1＞0，
f0＜0，
解得 0＜a＜13.
所以，a 的取值范围是0，13.
第九页，共20页。
导数(dǎo shù)在不等式中的 应用 【例 2】(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知函数 f(x)＝ex－ln(x＋m)． (1)设 x＝0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性； (2)当 m≤2 时，证明 f(x)>0.
令 g′(x)＝f′(x)－0＝x(2＋cosx)＝0，得 x＝0.
当 x 变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)
↘ 1－b
↗
(1)由导数的几 何意义(yìyì)， 知f′(a)＝0且f(a) ＝b，解(2)方两程曲得线a， 的b的交值点．问题，
所以 f′(x)＝0 在(－2，＋∞)上有唯一实根 x0，且－1<x0<0. 于是 y＝f(x)在 x＝x0 处，取到最小值．
又 f′(x0)＝0，得 ex0＝x0＋1 2，两边取对数得 ln(x0＋2)＝－x0.
故 f(x)≥f(x0)＝e x0－ln(x0＋2)＝x0＋1 2＋x0＝xx00＋＋122>0.
导数(dǎo shù)在不等式中 的应用
【训练 2】 (2014·郑州一模)已知函数 f(x)＝a(x2＋1)＋lnx. (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)若对任意 a∈(－4，－2)及 x∈[1,3]，恒有 ma－f(x)>a2 成立，求实数 m 的取值范围． 解 (1)由已知，得 f′(x)＝2ax＋1x＝2axx2＋1(x>0)． ①当 a≥0 时，恒有 f′(x)>0， 则 f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
3.导数在研究方程(不等式)中的应用
研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的 个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、 极值(jízhí)与最值的问题，利用导数进行研究．
第二页，共20页。
1.函数最值与不等式(方程 (fāngchéng))的关系 (1)(教材习题改编)对任意 x>0，ax2＋(3a－1)x＋a≥0 恒成立的充
要条件是 a∈15，＋∞.( )
(2)(2011·辽宁卷改编)已知函数 f(x)＝ex－2x＋a 有零点，则 a 的取 值范围是(－∞，2ln2－2]．( )
2.关于实际应用 (yìngyòng)问题
(3)实际问题中函数定义域要由实际问题的意义和函数解析式共同确 定．( ) (4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．( ) (5)(2014·贵阳调研改编)已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为 y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获 取最大年利润的年产量为 9 万件．( )
单调递减区间是(－1，a)．
第八页，共20页。
导数在方程(函数零点(línɡ diǎn))中 的应用
【训练 1】 (2012·天津卷节选)已知函数 f(x)＝13x3＋1－2 ax2－ax－a，x∈R， 其中 a＞0. (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求 a 的取值范围．
知识与方法 (fāngfǎ)回顾
技能与规律探究
知识梳理
辨析(biànxī)感悟
探究 一 导数在方程(函数 零点)中的应用
探究二 导数在不等式中的 应用
探究三 导数与生活中的优 化问题
例1 训练1
例2 训练2
例3 训练3
经典题目再现
第一页，共20页。
1.生活(shēnghuó)中的优 化问题 通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地， 对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点 也是最值点． 2.利用导数(dǎo shù)解决生活中的优化问题的一般步骤
因为 a∈(－4，－2)，所以－2<a＋2<0，即 m≤－2.
所以实数 m 的取值范围是(－∞，－2]．
第十四页，共20页。
导数(dǎo shù)与生活中的 优化问题
【例 3】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工 程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋ x)x 万 元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记 余下工程的费用为 y 万元． (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式； (2)当 m＝640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？
所以函数 g(x)在区间(－∞，0)上单调递减， 在区间(0，＋∞)上单调递增，且 g(x)的最小值为 g(0)＝1－b. ①当 1－b≥0 时，即 b≤1 时，g(x)＝0 至多有一个实根， 曲线 y＝f(x)与 y＝b 最多有一个交点，不合题意． ②当 1－b<0 时，即 b>1 时，有 g(0)＝1－b<0， g(2b)＝4b2＋2bsin2b＋cos2b－b>4b－2b－1－b>0. ∴y＝g(x)在(0,2b)内存在零点， 又 y＝g(x)在 R 上是偶函数，且 g(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴y＝g(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，在(－∞，0)也有唯一零点． 故当 b>1 时，y＝g(x)在 R 上有两个零点， 则曲线 y＝f(x)与直线 y＝b 有两个不同交点． 综上可知，如果曲线 y＝f(x)与直线 y＝b 有两个不同交点， 那么 b 的取值范围是(1，＋∞)．
【训练 2】 (2014·郑州一模)已知函数 f(x)＝a(x2＋1)＋lnx. (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)若对任意 a∈(－4，－2)及 x∈[1,3]，恒有 ma－f(x)>a2 成立，求实数 m 的取值范围．
当 a<0 时，f(x)在0， －21a上是增函数，
在 －21a，＋∞上是减函数．
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导数在方程(函数零点(línɡ diǎn))中 的应用
【例 1】 (2013·北京卷)已知函数 f(x)＝x2＋xsinx＋cosx. (1)若曲线 y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线 y＝b 相切，求 a 与 b 的值； (2)若曲线 y＝f(x)与直线 y＝b 有两个不同交点，求 b 的取值范围．
(2)由题意，知对任意 a∈(－4，－2)及 x∈[1,3]，
恒有 ma－f(x)>a2 成立，等价于 ma－a2>f(x)max.
因为
a∈(－4，－2)，所以
2 4<
－21a<12<1.
由(1)，知当 a∈(－4，－2)时，f(x)在[1,3]上是减函数，
所以 f(x)max＝f(1)＝2a，所以 ma－a2>2a，即 m<a＋2.