2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题 (2)

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题有12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．（原创）已知集合{0,1}M =，则下列关系式中，正确的是（ ） A ．{0}M ∈
B ．{0}M ∉
C ．0M ∈
D ．0M ⊆
2．（原创）已知函数()y f x =在1x =处的切线与直线30x y +-=垂直，则(1)f '=（ ） A ．2
B ． 0
C ．1
D ．－1
3．（原创）设i 为虚数单位，则复数2
2
1i i
+=+（ ） A ．i
B ．i -
C ．2i +
D ．2i -
4．（原创）以复平面的原点为极点，实轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则在极坐标系下的点(2,
)3
π
在复平面内对应的复数为（ ）
A
．1+
B
．1-
C
i + D
i
5．（改编）已知a b c R ∈、、，则下列命题中，正确的是（ ） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，c d >，则a c b d ->-
C ．若0ab >，a b >，则
11a b < D ．若a b >，c d >，则a b
c d
> 6．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛．该项目只设置一等奖一个，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：
小张说：“甲或乙团队获得一等奖”； 小王说：“丁团队获得一等奖”； 小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； 小赵说：“甲团队获得一等奖”． 若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（ ） A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
7．（改编）现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A 城市和交通拥堵严重的B 城市分别随机调查了20名市民，得到了一个市民是否认可的样本，具体数据如下22⨯列联表：
附：2
2
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=++++，d c b a n +++=．
根据表中的数据，下列说法中，正确的是（ ）
A ．没有95% 以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
B ．有99% 以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
C ．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
D ．可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” 8．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输入的a 值为5，则输出的值为（ ） A ．19 B ．35 C ．67
D ．198
9．
（原创）函数()f x =a 的
取值范围是（ ） A ．0a ≥ B ．0a > C ．0a ≤
D ．0a <
10．（原创）函数()sin ([2,2])2
x
f x x x ππ=
-∈-的大致图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．（改编）若正实数a b c 、、满足2
2ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（ ）
A ．2
B ．1
C
D ．
12．（改编）函数()y f x =是定义在[0,)+∞上的可导函数，且()()x f x f x '+<，则对任
意正实数a ，下列式子恒成立的是（ ） A ．()(0)a
f a e f <
B ．()(0)a
f a e f >
C ．()(0)a e f a f <
D ．()(0)a e f a f >
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题有4个小题，每小题5分，共20分）
13．（原创）已知命题“p ：30,3x x x ∀>>”，则p ⌝为__________． 14．（原创）设i 是虚数单位，若复数z 满足3z i i +=-，则z =______．
15．我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：
=
，=
=
=，…．
按照以上规律，若=“穿墙术”，则n =_______． 16．（改编）若存在实数(0)a a ≠满足不等式2211ax a a a +≤--+，则实数x 的取值
范围是________．
三、解答题（本大题有6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考题：共60分．
17．（原创）（12分）已知集合{|3}A x x =>，2{|560}B x x x =--≤，求： （1）A
B ；
（2）()R C A B ．
18．（原创）（12分）已知命题p ：“24x -<<”是“(2)()0x x a ++<”的充分不必要条件；
命题q ：关于x 的函数2
24y x ax =++在[2,)+∞上是增函数． 若p q ∨是真命题，且p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．
19．（改编）（12分）某小区新开了一家“重庆小面”面馆，店主统计了开业后五天中每天的营
业额（单位：百元），得到下表中的数据，分析后可知y 与x 之间具有线性相关关系． （1）求营业额y 关于天数x 的线性回归方程； （2）试估计这家面馆第6天的营业额． 附：回归直线方程y bx a =+中，
1
1
2
22
1
1
()()
()n
n
i
i i i
i i n
n
i
i
i i x
x y y x y
nx y
b x
x x
nx ====---⋅=
=
--∑∑∑∑　
，a y bx =-．
20．（原创）（12分）已知函数2()ln f x x ax bx =+-． （1）若函数()y f x =在2x =处取得极值1
ln 22
-
，求()y f x =的单调递增区间； （2）当1
8
a =-时，函数()()g x f x bx
b =++在区间[1,3]上的最小值为1，求()y g x =在该区间上的最大值．
21．（原创）（12分）已知函数2()(2)f x x m x n =+++（,m n 为常数）． （1）当1n =时，讨论函数()()x g x e f x =的单调性；
（2）当2n =时，不等式()22x f x e x m ≤+++在区间(1,)+∞上恒成立，求m 的取值范围．
（二）选考题，共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（原创）（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C
的参数方程为1212
x t y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）；
以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C
的极坐标方程为
ρθ=．
（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 交于点A B 、，求线段AB 的长．
23．（原创）（10分）（1）求关于x 的不等式125x x ++-<的解集；
（2）若关于x 的不等式221x x m --≥在x R ∈时恒成立，求实数m 的取值范围．
2017—2018学年度第二学期期末七校联考
高二数学（文科）答案
1—5 CCBAC
6—10 DDCDA 11—12 DA
13．03000,3x
x x ∃>≤ 14 15．120 16．[2,1]- 17．解：{|||3}{|33}A x x x x x =>=<->或 ………3分
2{|560}{|16}B x x x x x =--≤=-≤≤ ………6分
（1）{|36}A B x x =<≤ ……… 8分
（2）
{|33}R C A x x =-≤≤
………10分 (){|36}R C A B x x ∴=-≤≤
………12分
18．解：1）若p 为真，则{|24}x x -<<≠⊂{|(2)()0}x x x a ++<
4a ∴->即4a <-
………3分 2）若q 为真，则24
a
-
≤即8a ≥- ………6分
3） p q ∨为真且p q ∧为假
,p q ∴一真一假
………7分 ①若p 真q 假，则4
88
a a a <-⎧⇒<-⎨
<-⎩
………9分
②若p 假q 真，则4
48a a a ≥-⎧⇒≥-⎨
≥-⎩
………11分 综上所述，8a <-或4a ≥-
………12分
19．（1）3x =，5y =， 1.8b =，0.4a =-，所以回归直线为 1.80.4y x =-．………8分
（2）当6x =时，10.4y =，即第6天的营业额预计为10.4（百元）． ………12分 20．（1）1
()2(0)f x ax b x x
'=
+->．
由已知，得11(2)402
810(2)ln 242ln 22f a b a b f a b ⎧'
=+-=⎧⎪=-⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==+-=-⎩⎪⎩
………4分
1(2)(2) () (0)44x x x f x x x x
-+'∴=
-=> 由 ()002f x x '>⇒<<
∴ 函数的单调递增区间为（0，2） ………6分 （2）当18a =-时，21()ln 8g x x x b =-
+，1(2)(2)()44x x x g x x x
-+'=-=． (1,2)x ∈时，()0g x '>；(2,3)x ∈时，()0g x '<
∴ ()g x 在[1，2]单增，在[2，3]单减 ………8分
∴ max 1()(2)ln 22
g x g b ==-
+ 又1(1)8g b =-+，9
(3)ln 38
g b =-+，(3)(1)ln310g g -=->；
∴ min 1
()(1)18
g x g b ==-+=
∴ 9
8
b =
∴ 5
(2)
l n 28
g =+ ∴ 函数()g x 在区间[1，3]上的最大值为5
(2)ln 28
g =+ ………12分
21．（1）当1n =时，2
()[(2)1]x g x e x m x =+++．
2()[(4)(3)](1)[(3)]x x g x e x m x m e x x m '=++++=+++；
令()0g x '=，解得1x =-或(3)x m =-+．
∴当1(3)m -<-+，即2m <-时，增区间为(,1),(3,)m -∞---+∞，减区间为
(1,3)m ---；
当1(3)m -=-+，即2m =-时，增区间为(,)-∞+∞，无减区间；
当1(3)m ->-+，即2m >-时，增区间为(,3),(1,)m -∞---+∞，减区间为
(3,1)m ---．
………6分
（2）当2n =时，不等式化为2(2)222x x m x e x m +++≤+++；
即2
1
x e x m x -≤-在区间(1,)+∞上恒成立．
令2()(1)1x e x h x x x -=>-，则2
(2)()
()(1)
x x e x h x x --'=-． 令()x k x e x =-，则()10x k x e '=->在区间(1,)+∞上恒成立． 所以()(1)10k x k e >=->．
∴ 当12x <<时，()0h x '<，()y h x =单减； 当2x >时，()0h x '>，()y h x =单增； ∴2()(2)4h x h e ≥=-．
∴ 2
4m e ≤-．
………12分
22．（1）1:C 1y =-，2:C 220x y +-=．
(6)
分
（2）圆2C 的圆心为，半径为r =
2C 到直线1C 的距离为1d =．
所以||AB ==
………10分
23．（1）原不等式化为：
①1125x x x <-⎧⎨
---+<⎩ 或 ②12
125
x x x -≤≤⎧⎨+-+<⎩ 或
③2
125x x x >⎧⎨
++-<⎩
．
解得21x -<<-或12x -≤≤或23x <<．
∴ 原不等式的解集为{|23}x x -<<
(6)
分
（2）令2()|21|f x x x =--，则只须min ()m f x ≤即可．
①当1
2x ≥
时，22()21(1)0f x x x x =-+=-≥（1x =时取等）； ②当1
2
x <时，22()21(1)22f x x x x =+-=+-≥-（1x =-时取等）．
∴ 2m ≤-．
………10分。