投资学课件第3章风险与收益
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3
31.3 7% 2
▪ 例：假定投资于某股票，初始价格1 0 0美元，持 有期1年，现金红利为4美元，预期股票价格由如 下三种可能，求其期望收益和方差。
r ( 1 ) ( 1 4 0 1 0 0 4 )/1 0 0 4 4 %
24
25
3.4.3 超额收益与风险溢价
风险资产投资收益=无风险收益+风险溢价
的一半，也就是 ▪ 几何平均值=算术平均值-1／2σ2
3.5.4 方差与标准差
▪ 方差 =期望值偏离的平方(expected value of squared deviations)
▪ 历史数据的方差估计：
2
1 n
n s 1
2
r(s) r
▪ 无偏化处理：
1
n
[r(s)r]2
n1s1
31
3.5.3 报酬-风险比率(夏普比率) The Reward-to-Volatility (Sharpe) Ratio
3.7 偏离正态
▪ 偏度，亦称三阶矩(third-order moments)
skewEr(s)3E(r)3
峰度：度量正态分布两侧尾部的厚度程度。
kurtoEsr(si)s4E(r)43
▪ 正态分布的这个比率为3，正态分布的峰度为0， 任何峰度大于0的分布，相对于正态分布存在厚 尾。
37
图 3.3A 正态与偏度分布 (mean = 6% SD = 17%)
38
图3.3B 正态与厚尾分布 (mean = .1, SD =.2)
39
▪ 在险价值(value at risk, VaR) ▪ 在一定概率下发生极端负收益所造成的损失
。 ▪ VaR即分布的分位数(q)，是指一个处在低于
q%价值的值，从业者使用5%的分位数作为 分布的风险价值。 ▪ 5%的最坏的情况下的最好的收益率。 ▪ VaR〔，正态分布〕=均值+〔〕 ×标准差
(投资学课件)第3章风险与收益
本章主要内容 利率水平确实定 期望收益与波动性
2
3.1.4 税收与实际利率
记税率为t，名义利率为 R， 则税后名义利率R为(1t) 税后实际利率为： R(1t) i (r i)(1t) i r(1t) it 可见：税后实际利率着随通胀率的上升而下降
▪ 投资者必须承受通货膨胀带来的损失，这个损失 等于税率乘以通货膨胀率。
▪ 我们可以3%的概率预测收益率低于，即- 41
▪ 在险价值(value at risk, VaR)
▪ 84个样本收益率〔1926-2021〕，3%的观 测的序号为
▪ -23.03%，-23.69%，-33.49%，-41.03%，-
43.64%
▪ 相应的VaR应用差值法计算
▪ VaR=0.2 ×〔 -23.03% 〕+0.8 ×〔 23.69% 〕
7
3.2 不同持有期收益率的比较
▪ 面值为100美元的债券，在持有期内的无风险收 益率为：
100 P(T) 100
rf(T) P(T)
1 P(T)
期限T
半年 1年 25年
价格P(T)
[100/P(T)]1
无风险收益
97.36 0.027113839 r(0.3)
2.71%
93.32 0.046901173 r(1)
3.4.2 期望收益与标准差：E-σ方法
▪ 如何评价该资产？ ▪ 用E(W)表示预期的年终财富：
n
E(W ) Wi pi i 1 pW1 (1 p)W2 0.6150000 0.480000 122000
▪ 预期收益： E(r)1221 00 00 00 2% 0 20 100000
3.4.2 期望收益与标准差：E-σ方法
14
3.3 短期国库券与通货膨胀(1926-2005)
▪ 实际收益率不断提高，见表3-2 ▪ 标准差相对稳定,见表3-2 ▪ 短期利率受到通胀率的影响日趋明显，
见图3-2. ▪ 名义财富指数与实际财富指数相差越来
越大。
15
Table 3.2 History of T-bill Rates, Inflation and Real Rates for Generations, 1926-2005
▪ 用E(r)表示预期收益率：
n
E(r) piri i1
▪ 上一例题中，
p1 0.6,
r1
151050% 10
p2 0.4,
r2
810 10
20%
n
E(r) piri 0.650%0.4(20%)22% i2
期望收益与标准差
经济状态
繁荣 平稳 萧条
出现概率
HPR
0.3 0.3 0.2
均值平方差
0.34 0.14 -0.16
0.04 0
0.09
期望收益 标准差
0.14 0.173203
E(r)=(0.3*34%)+(0.3*14%)+0.2*(-16%))=14% Sumproduct(B2:B4,C2:C4)
20.3(3% 41% 42 )0.5(1% 41% 42 )0.2(1% 61% 42 )
s 1
n s1
27
28
3.5.3 几何收益率
Geometric Average Return
Tn V ( 1 r 1 )1 (r 2 ) ( 1 r n )
TV = 投资终值(Terminal Value of the Investment)
g TV 1/n 1
g= 几何平均收益率(geometric average rate of return)
▪ AC 。近似公式应用于通货膨胀率较小或计算连续复利情形
时较为准确。
45
▪ 4．证券的均衡期望收益率是( )之和。
▪ AB C教材80页。名义利率可以认为是无风险资产所要求的实 际利率和预测通货膨胀率“噪声〞之和。
▪ A．均衡实际收益率 B．预期通胀率C．证券特殊风险溢价 D．到期收益率
▪ 3.长期债券与短期债券相比( )。
▪
=-23.36%
42
本章小结
▪ 实际利率与名义利率 ▪ 证券均衡期望收益率 ▪ 风险与收益的权衡
43
投资学 第3章从历史数据中学习收益和风险
练习思考题
44
▪ 1.下面( )因素不会影响名义利率。
▪ 。政府通过联邦储藏银行运作的调整而产生的资金净供给或 净需求。
▪ A．可贷资金B．对贷款资金的需求 C．以前发行国债的零 息票利率D．预期的通货膨胀率 E．政府消费和借款
▪ 2.如果借款者支付的利率和存款者收到的利率都正确地反映 了通货膨胀，那么( )。
▪D
▪ A．借款者受益，存款者损失 B．存款者受益，借款者损失 C．借款者和存款者都损失 D．借款者和存款者都既未损失 也未受益 E．借款者和存款者都受益
▪ 3.名义利率与实际利率间的近似计算关系在( )情况下较准确
其中，风险溢价(risk premium)又称为超额收益 (excess return)
例：上例中我们得到股票的预期回报率为14％，假 设无风险收益率为8％。初始投资100元于股票， 其风险溢价为6元，作为其承担风险〔标准差为 元〕的补偿。
投资者对风险资产投资的满意度取决于其风险厌恶 (risk aversion)程度
4.69%
25.5 3.291843494 r(23)
329.18%
3.2 不同持有期收益率比较
折为 实际年利率〔effective annual rate, EAR〕：一年投资资金增长的百分比。
如何从半年期收益率推导出一年期收益率？
1EAR(1rf (0.5))1(rf (0.5)) (1rf (0.5))2(12.71%2)
EAR5.49%
3.2 不同持有期收益率比较
▪ 对于大于一年的收益率如何转化为一年期 收益率？ (1EAR)25 1rf (25)
1
1EAR(1329.18%) 25 EAR 6.0%
1EA 1 R rf(T 1/)T
3.2.1 年百分比利率
年比分比利率〔annual percentage rate, ARP〕：不考虑复利计息的一年期利率。〔一般 指债券上说明的利率，或银行一年期定存利率〕
A如R果P通每常个等时于每期个利时率期为的r利f(T息)率，乘那以么1 年A中PR时=期n的*r个f(数T)。例如，某汽车贷款
的利率是每个月1%，那么ARP是 1%*12=12%。
3.2.1 年百分比利率
短期投资利率常用年百 分比利率
(APR ， annual percentage rate) 来表示，即若
则有： E(r) p(s)r(s)
s
2 p(s)[r(s)E(r)]2
s
19
3.4.2 期望收益与标准差：E-σ方法
▪ 例：有10万元的初始财富W，假定进行投资 有两种可能结果：当概率时，结果令人满意 ，是财富W1增长到15万元；否那么概率时， 结果不太理想，W2=8万元。
W=10万元
W1=13万元 W2=8万元
Sharpe
Ratio
for
Portfolios
=
Risk Premium SD of Excess Return
溢价的标准差
32
3.6 正态分布
为什么正态曲线是“自然的〞？事件树分析
两天好日子，获利=200美元 0.5
0.5 0.5
一天好，一天坏，获利=100美元
0.5
0.5
0.5 两天坏日子，获利=0美元
▪ 练习 40
▪ 在险价值(value at risk, VaR)
▪ 下周有5%的概率损失超过293000美元。
▪ 如果我们队5%的概率水平感兴趣，那么 293000美元就是在险价值。
▪ 例子：
▪ 投资组合的价值是100，下周的期望收益率 是0.2%，标准差是0.3%
▪ 3%的分位数是，即所有可能的收益率中最 低的3%局部均偏离均值超过个标准差。
▪ 当T趋于无限小时，可得连续复利 (continuous compounding)概念
1EAR lim1TAPR 1/T ercc T0
即1： EAR ercc rccln1(EA)R
13
Table 3.1 Annual Percentage Rates (APR) and Effective Annual Rates (EAR)
一年为 n 1 期，每期利率为 T
rf (T )，则有：
APR n rf (T )或 rf (T ) T APR
更一般地，有：
1 EAR 1 rf (T ) n 1 rf (T ) 1/T 1 T APR 1/T
即： APR (1 EAR )T 1 T
12
3.2.2 连续复利收益率
3.6 正态分布
34
正态分布
若随机变量X的概率密度函数
f (x)
1
e(
x)2 2 2
( x )
2
其中,是两个常数，则称X服从参数为
，的正态分布
u
正态分布的性质
(1)曲线关于直线 x 对称； (2)当x 时，f (x)达到最大值 1 ;
2
(3)曲线以x轴为其渐进线；
(4)当x 时，曲线有拐点； (5)若固定，改变值，则曲线沿 x轴平移，形状不;变 (6)若固定，改变，则越小，曲线峰顶越高。
16
Figure 3.3 Nominal and Real Wealth Indexes for Investment in Treasury Bills,
1966-2005
17
3.4 风险和风险溢价
3.4.1 持有期收益
股票收益包括两局部：红利收益(dividends) 与资本利得(capital gains)
26
3.5 历史收益率时间序列分析
3.5.1 时间序列与情景分析 3.5.2 期望收益与算术平均
当使用历史数据时，将每种观察到的结果都看 做一种“情形〞。如果有n个观察事件，式(311)中的P(s)取可能的概率1／n，可以从样本 收益率的算术平均数中得到期望收益E(r)：
E (r) n p(s)r(s) 1 n r(s)
29
几何〔时间加权〕平均收益
▪ 样本期间内的收益绩效可以用年持有期来衡量。定义利 率为g，那么有：
最终价 （ 1值 r1)(1r2)(1r5)1.0275 (1g)n最终价 1.0值 275 g最终1价 /n1值 1.0217/5510.5% 4
▪ 几何平均和算术平均不一致的原因？ ▪ 收益的波动性，方差越大，相差越大 ▪ 如果收益服从正态分布，这种差异可以确切地等于方差
持有期收益率(holding-period return)
HPR 股票期期 -末 期初 价 初价 格 价 现 格 格 金红
18
3.4.2 期望收益与标准差：E-σ方法
▪ 均值与方差(expected value and variance)
记不确定情形的集s， 合p(为 s)为各情形的概率，
r(s)为各情形H的PR，E(r)为期望收益为 ，标准差
31.3 7% 2
▪ 例：假定投资于某股票，初始价格1 0 0美元，持 有期1年，现金红利为4美元，预期股票价格由如 下三种可能，求其期望收益和方差。
r ( 1 ) ( 1 4 0 1 0 0 4 )/1 0 0 4 4 %
24
25
3.4.3 超额收益与风险溢价
风险资产投资收益=无风险收益+风险溢价
的一半，也就是 ▪ 几何平均值=算术平均值-1／2σ2
3.5.4 方差与标准差
▪ 方差 =期望值偏离的平方(expected value of squared deviations)
▪ 历史数据的方差估计：
2
1 n
n s 1
2
r(s) r
▪ 无偏化处理：
1
n
[r(s)r]2
n1s1
31
3.5.3 报酬-风险比率(夏普比率) The Reward-to-Volatility (Sharpe) Ratio
3.7 偏离正态
▪ 偏度，亦称三阶矩(third-order moments)
skewEr(s)3E(r)3
峰度：度量正态分布两侧尾部的厚度程度。
kurtoEsr(si)s4E(r)43
▪ 正态分布的这个比率为3，正态分布的峰度为0， 任何峰度大于0的分布，相对于正态分布存在厚 尾。
37
图 3.3A 正态与偏度分布 (mean = 6% SD = 17%)
38
图3.3B 正态与厚尾分布 (mean = .1, SD =.2)
39
▪ 在险价值(value at risk, VaR) ▪ 在一定概率下发生极端负收益所造成的损失
。 ▪ VaR即分布的分位数(q)，是指一个处在低于
q%价值的值，从业者使用5%的分位数作为 分布的风险价值。 ▪ 5%的最坏的情况下的最好的收益率。 ▪ VaR〔，正态分布〕=均值+〔〕 ×标准差
(投资学课件)第3章风险与收益
本章主要内容 利率水平确实定 期望收益与波动性
2
3.1.4 税收与实际利率
记税率为t，名义利率为 R， 则税后名义利率R为(1t) 税后实际利率为： R(1t) i (r i)(1t) i r(1t) it 可见：税后实际利率着随通胀率的上升而下降
▪ 投资者必须承受通货膨胀带来的损失，这个损失 等于税率乘以通货膨胀率。
▪ 我们可以3%的概率预测收益率低于，即- 41
▪ 在险价值(value at risk, VaR)
▪ 84个样本收益率〔1926-2021〕，3%的观 测的序号为
▪ -23.03%，-23.69%，-33.49%，-41.03%，-
43.64%
▪ 相应的VaR应用差值法计算
▪ VaR=0.2 ×〔 -23.03% 〕+0.8 ×〔 23.69% 〕
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3.2 不同持有期收益率的比较
▪ 面值为100美元的债券，在持有期内的无风险收 益率为：
100 P(T) 100
rf(T) P(T)
1 P(T)
期限T
半年 1年 25年
价格P(T)
[100/P(T)]1
无风险收益
97.36 0.027113839 r(0.3)
2.71%
93.32 0.046901173 r(1)
3.4.2 期望收益与标准差：E-σ方法
▪ 如何评价该资产？ ▪ 用E(W)表示预期的年终财富：
n
E(W ) Wi pi i 1 pW1 (1 p)W2 0.6150000 0.480000 122000
▪ 预期收益： E(r)1221 00 00 00 2% 0 20 100000
3.4.2 期望收益与标准差：E-σ方法
14
3.3 短期国库券与通货膨胀(1926-2005)
▪ 实际收益率不断提高，见表3-2 ▪ 标准差相对稳定,见表3-2 ▪ 短期利率受到通胀率的影响日趋明显，
见图3-2. ▪ 名义财富指数与实际财富指数相差越来
越大。
15
Table 3.2 History of T-bill Rates, Inflation and Real Rates for Generations, 1926-2005
▪ 用E(r)表示预期收益率：
n
E(r) piri i1
▪ 上一例题中，
p1 0.6,
r1
151050% 10
p2 0.4,
r2
810 10
20%
n
E(r) piri 0.650%0.4(20%)22% i2
期望收益与标准差
经济状态
繁荣 平稳 萧条
出现概率
HPR
0.3 0.3 0.2
均值平方差
0.34 0.14 -0.16
0.04 0
0.09
期望收益 标准差
0.14 0.173203
E(r)=(0.3*34%)+(0.3*14%)+0.2*(-16%))=14% Sumproduct(B2:B4,C2:C4)
20.3(3% 41% 42 )0.5(1% 41% 42 )0.2(1% 61% 42 )
s 1
n s1
27
28
3.5.3 几何收益率
Geometric Average Return
Tn V ( 1 r 1 )1 (r 2 ) ( 1 r n )
TV = 投资终值(Terminal Value of the Investment)
g TV 1/n 1
g= 几何平均收益率(geometric average rate of return)
▪ AC 。近似公式应用于通货膨胀率较小或计算连续复利情形
时较为准确。
45
▪ 4．证券的均衡期望收益率是( )之和。
▪ AB C教材80页。名义利率可以认为是无风险资产所要求的实 际利率和预测通货膨胀率“噪声〞之和。
▪ A．均衡实际收益率 B．预期通胀率C．证券特殊风险溢价 D．到期收益率
▪ 3.长期债券与短期债券相比( )。
▪
=-23.36%
42
本章小结
▪ 实际利率与名义利率 ▪ 证券均衡期望收益率 ▪ 风险与收益的权衡
43
投资学 第3章从历史数据中学习收益和风险
练习思考题
44
▪ 1.下面( )因素不会影响名义利率。
▪ 。政府通过联邦储藏银行运作的调整而产生的资金净供给或 净需求。
▪ A．可贷资金B．对贷款资金的需求 C．以前发行国债的零 息票利率D．预期的通货膨胀率 E．政府消费和借款
▪ 2.如果借款者支付的利率和存款者收到的利率都正确地反映 了通货膨胀，那么( )。
▪D
▪ A．借款者受益，存款者损失 B．存款者受益，借款者损失 C．借款者和存款者都损失 D．借款者和存款者都既未损失 也未受益 E．借款者和存款者都受益
▪ 3.名义利率与实际利率间的近似计算关系在( )情况下较准确
其中，风险溢价(risk premium)又称为超额收益 (excess return)
例：上例中我们得到股票的预期回报率为14％，假 设无风险收益率为8％。初始投资100元于股票， 其风险溢价为6元，作为其承担风险〔标准差为 元〕的补偿。
投资者对风险资产投资的满意度取决于其风险厌恶 (risk aversion)程度
4.69%
25.5 3.291843494 r(23)
329.18%
3.2 不同持有期收益率比较
折为 实际年利率〔effective annual rate, EAR〕：一年投资资金增长的百分比。
如何从半年期收益率推导出一年期收益率？
1EAR(1rf (0.5))1(rf (0.5)) (1rf (0.5))2(12.71%2)
EAR5.49%
3.2 不同持有期收益率比较
▪ 对于大于一年的收益率如何转化为一年期 收益率？ (1EAR)25 1rf (25)
1
1EAR(1329.18%) 25 EAR 6.0%
1EA 1 R rf(T 1/)T
3.2.1 年百分比利率
年比分比利率〔annual percentage rate, ARP〕：不考虑复利计息的一年期利率。〔一般 指债券上说明的利率，或银行一年期定存利率〕
A如R果P通每常个等时于每期个利时率期为的r利f(T息)率，乘那以么1 年A中PR时=期n的*r个f(数T)。例如，某汽车贷款
的利率是每个月1%，那么ARP是 1%*12=12%。
3.2.1 年百分比利率
短期投资利率常用年百 分比利率
(APR ， annual percentage rate) 来表示，即若
则有： E(r) p(s)r(s)
s
2 p(s)[r(s)E(r)]2
s
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3.4.2 期望收益与标准差：E-σ方法
▪ 例：有10万元的初始财富W，假定进行投资 有两种可能结果：当概率时，结果令人满意 ，是财富W1增长到15万元；否那么概率时， 结果不太理想，W2=8万元。
W=10万元
W1=13万元 W2=8万元
Sharpe
Ratio
for
Portfolios
=
Risk Premium SD of Excess Return
溢价的标准差
32
3.6 正态分布
为什么正态曲线是“自然的〞？事件树分析
两天好日子，获利=200美元 0.5
0.5 0.5
一天好，一天坏，获利=100美元
0.5
0.5
0.5 两天坏日子，获利=0美元
▪ 练习 40
▪ 在险价值(value at risk, VaR)
▪ 下周有5%的概率损失超过293000美元。
▪ 如果我们队5%的概率水平感兴趣，那么 293000美元就是在险价值。
▪ 例子：
▪ 投资组合的价值是100，下周的期望收益率 是0.2%，标准差是0.3%
▪ 3%的分位数是，即所有可能的收益率中最 低的3%局部均偏离均值超过个标准差。
▪ 当T趋于无限小时，可得连续复利 (continuous compounding)概念
1EAR lim1TAPR 1/T ercc T0
即1： EAR ercc rccln1(EA)R
13
Table 3.1 Annual Percentage Rates (APR) and Effective Annual Rates (EAR)
一年为 n 1 期，每期利率为 T
rf (T )，则有：
APR n rf (T )或 rf (T ) T APR
更一般地，有：
1 EAR 1 rf (T ) n 1 rf (T ) 1/T 1 T APR 1/T
即： APR (1 EAR )T 1 T
12
3.2.2 连续复利收益率
3.6 正态分布
34
正态分布
若随机变量X的概率密度函数
f (x)
1
e(
x)2 2 2
( x )
2
其中,是两个常数，则称X服从参数为
，的正态分布
u
正态分布的性质
(1)曲线关于直线 x 对称； (2)当x 时，f (x)达到最大值 1 ;
2
(3)曲线以x轴为其渐进线；
(4)当x 时，曲线有拐点； (5)若固定，改变值，则曲线沿 x轴平移，形状不;变 (6)若固定，改变，则越小，曲线峰顶越高。
16
Figure 3.3 Nominal and Real Wealth Indexes for Investment in Treasury Bills,
1966-2005
17
3.4 风险和风险溢价
3.4.1 持有期收益
股票收益包括两局部：红利收益(dividends) 与资本利得(capital gains)
26
3.5 历史收益率时间序列分析
3.5.1 时间序列与情景分析 3.5.2 期望收益与算术平均
当使用历史数据时，将每种观察到的结果都看 做一种“情形〞。如果有n个观察事件，式(311)中的P(s)取可能的概率1／n，可以从样本 收益率的算术平均数中得到期望收益E(r)：
E (r) n p(s)r(s) 1 n r(s)
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几何〔时间加权〕平均收益
▪ 样本期间内的收益绩效可以用年持有期来衡量。定义利 率为g，那么有：
最终价 （ 1值 r1)(1r2)(1r5)1.0275 (1g)n最终价 1.0值 275 g最终1价 /n1值 1.0217/5510.5% 4
▪ 几何平均和算术平均不一致的原因？ ▪ 收益的波动性，方差越大，相差越大 ▪ 如果收益服从正态分布，这种差异可以确切地等于方差
持有期收益率(holding-period return)
HPR 股票期期 -末 期初 价 初价 格 价 现 格 格 金红
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3.4.2 期望收益与标准差：E-σ方法
▪ 均值与方差(expected value and variance)
记不确定情形的集s， 合p(为 s)为各情形的概率，
r(s)为各情形H的PR，E(r)为期望收益为 ，标准差