基于NURBS曲线插补的五段S曲线加减速控制方法研究_周胜德

第4期2011年4月
组合机床与自动化加工技术
M odular M achine Tool&Auto m atic M anufact ur i n g Technique
N o .4A pr .2011
文章编号:1001-2265(2011)03-0037-05
收稿日期:2010-09-16
*基金项目:国家自然科学基金资助(50675002)项目;辽宁省教育厅资助(20060426)项目
作者简介:周胜德(1980)),男,吉林人,辽宁科技大学机械工程与自动化学院硕士生,主要从事数控技术、CAD /CAM 等研究,(E -m ail)
z h oushengde_1980@yahoo .cn 。

基于NURBS 曲线插补的五段S 曲线
加减速控制方法研究
*
周胜德
1,2
,梁宏斌1,乔 宇
1
(1.辽宁科技大学机械工程与自动化学院,辽宁鞍山 114051;2.齐齐哈尔二机床集团有限责任公
司,黑龙江齐齐哈尔 161005)
摘要:为满足非均匀有理B 样条曲线高速高精度插补加工的需要,针对目前参数曲线插补加减速控制方法的不足,常规直线加减速方法存在冲击,七段S 曲线加减速方法算法复杂等问题,提出了基于NURBS 曲线插补的五段S 曲线加减速控制方法。

该方法将高速加工中容易超限的弓高误差和机床所能承受的法向加速度等参数均考虑在内,而且合理地解决了插补前加减速控制中的减速点预测困难的问题。

仿真结果表明,该方法能够保证加速度的连续,速度的平滑过渡,有效提高了系统的柔性,简化了算法。

关键词:插补算法;非均匀有理B 样条;加减速控制;弓高误差;法向加速度中图分类号:TP273 文献标识码:A
The F ive Phased S -curve Acceleration -deceleration ControlM et hod Based on
NURBS Curve Inter po l a tion
ZHOU Sheng -de 1,2
,L I A NG H ong -bin 1
,Q I A O Yu
1
(1.Co l.l o fM ech .Eng .,Un i v ersity of Sc.i and Tech.L iaoning ,Anshan L iaon i n g 114051,China ;2.Q -i erM ach i n e Too lG r oup Co .,L t d ,H e il o ng jiang ,Q i q i h aer H e ilong jiang 161005,China)
Abst ract :A ne w ACC eleration -DECe l e rati o n m ethod (ACC -DEC )w as put for w ard ,wh ich ai m ed at the shortages of S -curve ACC -DEC .The proposed approach w as desi g ned to satisfy the require m ents o f non -u -n ifo r m rati o nal B -spli n e (NURBS)interpo lation w ith h igh -speed and h i g h -accuracy .B ased on the i m pacts w hich used conventi o na l linear ACC -DEC ,the co m p lex a l g orit h m of t h e seven phased S-curve ,t h e five phased S -curve w as adopted ,tak i n g chor d error and m ax i m a l centri p eta l accelerati o n i n to consi d eration ,solv i n g ra ti o na ll y diffic u lty i n the predeter m i n ation deceleration po i n .t The si m ulati o n resu lts show ed that the m ethod can m ake sure the acce leration w as continuous ,the speed changed s m oothly ,the flex i b ility w as i m pr oved ,the algorithm w as easy to i m ple m en.t
K ey words :i n ter po lati o n a l g orithm;non -un ifor m rati o na l B -sp li n e ;acce leration -deceleration contro;l
cho r d error ;centripetal acceleration
0 引言
目前,用计算机数字控制(Co m puter Nu m erical Con tro,l C NC)系统加工由自由型面构成的复杂型面零件时,一般是将几何型面和刀具路径按加工精度要求离散成大量直线段,再进行线性插补加工,但这种用直线段逼近复杂曲线,并使用线性插补加工存
在很多不足:¹始终存在着拟合精度与生成数据之间的矛盾,逼近精度高则生成的数据量非常大,但减小数据量,又会降低加工精度;º破坏了零件轮廓表面的一阶导数连续性,影响了零件表面的光顺性;»采用微小线段逼近轮廓曲线,导致加工速度难以达到编程要求的进给速度,甚至引起速度的剧烈波动。

显然,采用曲线直接插补就可克服这些不足。

文献[1]和文献[2]分别采用一阶、二阶泰勒展开式近似算法实现了恒定的进给速度,但算法中并没有考虑弓高误差,不能保证加工曲面在允许的精度要求范围内。

为了解决这个问题,文献[3]提出了一种自动调节进给速度的NURBS 实时插补算法,该算法将误差控制在允许范围内,但是未考虑实际机床的加减速能力,当曲率突变时,加速度可能会急剧增大,甚至超出机床允许的最大加速度,导致机床振动,降低加工精度。

文献[4]采用三角函数构造加减速曲线,保证了速度、加速度、加加速度均连续,但是三角函数的计算复杂。

将三角函数加减速算法用于实时插补中会使插补周期变长,影响加工效率。

文献[5]采用七段S 曲线加减速方法(如图1所示),该方法克服直线和指数加减速方法的缺点,保证了加速度和速度的连续,减小了冲击,改善了加工质量,但存在的问题是根据路径长度所划分情况较多,程序实现困难,实时性不好。

文献[6]简化了七段S 曲线加减速算法,采用降速与升速对称的曲线来实现升降速控制,该方法在保证了系统柔性的前提下,简化了算法,但也存在缺陷:当初始进给速度和终点进给速度差值较大时,该算法误差较大,而且没有充分考虑到减速
点预测问题。

图1 七段S 曲线加减速控制
基于以上分析,本文运用曲线直接进行插补的思想,提出了基于非均匀有理B 样条(Non -unifor m
rati o na lB -spline ,NURBS)曲线插补的五段S 曲线加减速控制方法。

1 NURBS 曲线插补算法
111 NURBS 曲线基本理论
一条NURBS 曲线可以被定义为
[3]
:
P (u)=
E n
i=0N
i
,k (u )W i C i
E n i=0
N
i
,k (u )W i
=
E n
i=0
C i
R
i
,k (u)(1)
R i ,k (u)=
N i,k (u)W i
E n
i=0
N
i,k
(u)W i
其中C i (i =0,1,,,n )为控制点,每个控制点附有一个权因子W i (i =0,1,,,n ),首末权因子W 0,W n >0,其余W i \0。

u 是NURBS 曲线的自变量,U ={u 0,u 1,,,u n+k+1}称为节点矢量。

N i,k (u )为k 次规范B 样条基函数,它由节点矢量按德布尔-考克斯递推公式确定,该递推公式表述如下:
N i ,1(u )=
1(u i [
u <u i+1)0
(其他
)
N i ,k (u )=
(u -u i )N i ,k-1(u)u i+k-1-u i +
(u i+k -u)N i+1,k-1(u )
u i+k -u i+1
112 控制速度的N URBS 曲线插补算法
假定
P (u)=(x (u),y (u),z (u))
(2)
表示NURBS 曲线,而时间函数u 是曲线参数,且记u (t i )=u i ,u (t i+1)=u i+1。

明显地,每个参数u 对应于曲线上的一个点。

所以,NURBS 曲线插补的任务是在参数域内选择一系列的u 并计算这些u 对应的曲线(刀具路径)上的点,其详细推导参见文献[7]。

采用一阶泰勒展开式计算参数增量$u,即第(i
+1)个插补周期的参数u i+1由下式计算:
u i+1=u i +
$L
(x c )2+(y c )2+(z c )2
=u i +
T V (t)(x c )2
+(y c )2
+(z c )
2
(3)
式中:V (t))))插补速度;
T )))插补周期;$L )))进给步长。

113 限定弓高误差和最大方向加速度的自动调节
进给速度的插补算法
因为$L 为只考虑进给速度的无约束进给步长,所以还需要使其符合加减速要求,设经加减速约束后的进给步长为$L i 1。

(1)NURBS 曲线插补方法的插补点均在曲线上,没有径向误差。

插补所带来的轮廓误差来源于以进给步长为单位的短直线逼近实际曲线所引起的弓高误差D h
[8]
,有下列关系:
$L =
4D h (2Q -D h )U
8Q D h
式中,Q 为曲线曲率半径。

在最大轮廓误差D h m ax 的约
#38#组合机床与自动化加工技术 第4期
束下进给步长为:
$L i 2=
8Q D h m ax
(4)
(2)当曲线曲率较大且进给速度较高时,沿曲线法向加速度会非常大,可能超出机床允许的最大法向加速度。

因此须考虑最大法向加速度a max 的约束。

在a max 的约束下进给步长为:
$L i 3=$T
Q a m ax
(5)
为了满足CNC 系统加工精度要求,NURBS 曲线插补每个插补周期进给步长为$L =m in ($L i 1,$L i 2,$L i 3)。

2 本文提出的基于N URBS 曲线插补的五段
S 曲线加减速控制方法
文献[6]提出了五段S 曲线加减速控制方法,在保证系统柔性的前提下,简化了算法。

本文在此基础上提出了基于NURBS 曲线插补的五段S 曲线加减速控制方法。

不同之处在于:¹文献[6]采用降速与升速对称的曲线来实现升降速控制,存在问题是当初始进给速度和终点进给速度差值较大时,该算法误差较大,而本文不受此影响º文献[6]是针对线性插补方式的加减速控制,而本文是基于参数曲线插补方式的加减速控制;»文献[6]
没有充分考虑到减速点预测问题,而本文可精确地计算插补曲线的弧长,准确地预测减速点。

图2
五段S 曲线加减速控制
211 五阶段S 曲线加减速模型和基本公式
如图2所示,V s 为起始速度,V e 为终点速度,F 为编程进给速度,j 为加加速度,T 1到T 5为各个阶段的运行时间。

t 为时间坐标;t i (i =0,1,2,3,4,5)表示各个阶段的过渡点时刻;S i (i =0,1,2,3,4,5)为局部时间坐标,表示以各个阶段的起始点作为时间零点
的时间表示,S i =t-t i-1(i =0,1,2,3,4,5);T i (i =0,1,2,3,4,5)为各个阶段的持续运行时间。

令加加速度j 为恒定值,为了使起始点和减加速段末尾的加速度都为零,必须满足加加速时间等于减加速时间,即T 1=T 2,同理T 4=T 5,T 3为匀速段时间。

利用加速度、速度和位移对加加速度的积分关
系,可以依次推导出加速度a 、速度V 、位移L 的计算公式分别为:
a(t)=
J S 1
0[t <t 1JT 1-J S 2
t 1[t <t 20t 2[t <t 3-J S 4
t 3[t <t 4-JT 4+J S 5t 4[
t <t 5(6)
V (t)=
V s +
12J S 2
1
0[
t <t 1
V 1+JT 1S 2-
12J S 22
t 1<t <t 2V 2
t 2<t <t 3
V 2-
12J S 2
4
t 3<t <t 4V 4-JT 4S 5+
12J S 25
t 4<t <t 5
(7)
其中:
V 1=V s +
12JT 21
F =V 3=V 2=V 1+JT 1T 2-12JT 2
2
=V S +JT 21V 4=V 2-12JT 24L (t)=
V s S 1+
16J S 31
0[
t <t 1L 1+V 1S 2+12JT 1S 22-16J S 32t 1[t <t 2L 2+V 2S 3t 2[t <t 3L 3+V 2S 4-16J S 34
t 3[t <t 4L 4+V 4S 5-
1JT 4S 5+1J S 35
t 4[
t <t 4
(8)其中:
L 1=V s T 1+
1JT 3
1
L 2=L 1+V 1T 2+12JT 1T 22-16JT 32=L 1+V 1T 1+13JT 31L 3=L 2+V 2T 3L 4=L 3+V 2T 4-
16JT 34
以上是五段S 曲线加减速控制方法的基本公式,可见只要确定了T 1、T 4和T 3三个变量,就可构
造出整段加减速控制曲线,求得各个时刻的加速
#
39#2011年4月 周胜德,等:基于NURBS 曲线插补的五段S 曲线加减速控制方法研究
度、速度和位移值,并能够判断所处加减速的阶段,相比于七段S曲线加减速控制方法,算法较简单,程序易于实现。

212五阶段S曲线加减速控制算法
实际加工中路径段的长度对于加减速控制是一个很重要的因素,当路径段足够长时就能够达到编程进给速度F,而较短时只能达到低于F的某一值,所以对于长度不同的路径段,加减速曲线也有所不同。

五段S曲线加减速控制算法就是根据路径段的长度求出T1、T4和T3,然后利用上述公式进行加速度和速度控制。

(1)能够达到编程进给速度F的情况
设路径段长度为L,当L较大时可以达到编程进给速度F,这时加减速曲线如图2所示。

由加速过程中的速度增加量JT21=F-V s,可得:
T
1=
F-V
s
J
(9)
由减速过程中的速度减少量JT24=F-V e,可得:
T
4=
F-V
e
J
(10)
由式(8)可求得加速区长度L a=L(T1+T2)= 2V s T1+JT31,将式(9)代入可得:
L a =(F+V
s
)
F-V
s
J
同理,减速区长度
L d =(F+V
e
)
F-V
e
J
可得匀速段时间:
T
3=
L-L
a
-L
d
F
(11)
根据路径段的长度求得T1、T4和T3后,就可以由公式(6)、(7)、(8)构造出完整的加速度、速度、位移曲线。

(2)未达到编程进给速度F的情况
当L<L a+L d时,未达到编程进给速度F,V max 为能够达到的最大进给速度,这时没有匀速段,T3= 0,根据二分法可求出V max。

因此,可计算出T1和T4:
T
1=
V
m ax
-V
s
J
T
4
=
V
m ax
-V
e
J
求得T1和T4后,就可以由公式(6)、(7)、(8)构造出完整的加速度、速度、位移曲线。

213弧长的计算及减速点的预测
采用复合S i m pson求积公式近似计算NURBS曲线的弧长[9],该方法求得的弧长远远精确于CAD/CAM软件计算的弧长,而且比平分逼近法计算弧长更具有快速性和准确性,这样就为减速点的预测提供了准确的依据。

设NURBS曲线的弧长为L(u):
L(u)=Q b a f(u)d u=Q b a(x c(u))2+(y c(u))2+(z c(u))2d u
(12)其中:
a[u[b
f(u)=(x c(u))2+(y c(u))2+(z c(u))2计算公式:
L(u)U L
n
(u)
=
h
6f(a)+4
E n-1
k=0
f u
k+
1
2
+2E n-1k=0f(u k+1)+f(b)
(13)其中:
h=
b-a
n
u
k
=a+kh(k=0,1,,,n)
u
k+1
2
=
1
2
(u
k
+u
k+1
)
误差为:
R[f]=-
b-a
180
h
2
4
f(4)(N)
按照公式(13)计算已走过的弧长L c(u),比较曲线的弧长L(u),若L(u)-L c(u)>L d(L d为减速段弧长),则继续运动,否则进入减速段。

3仿真验证
以NURBS曲线插补加工的一段空间曲线为例(如图3所示),为了检验所提出算法的效果,采用七段S曲线加减速和五段S曲线加减速两种方法对比实验。

曲线的曲率如图4所示,控制顶点为A(50,40, 20),B(-50,50,25),C(-50,10,5),D(50,-20,-10),E(50,-50,-25),F(-50,-40,-20);节点
向量为(0,0,0,0,0141,0172,1,1,1,1);权因子为(1,1,1,1,1,1)。

图3待加工的NURB S曲线
参数如下:插补周期T=1m s,进给速度F= 12m/m in,最大法向加速度a m ax=3000mm/s2,加加
#
40
#组合机床与自动化加工技术第4期
速度j =50000mm /s 3
,最大弓高误差为1L m ,初始速度Vs =112m /m in ,终点速度Ve =118m /m in ,七段S 曲线加减速匀加速段加速度为A =2250mm /s 2。

图4 NURBS 曲线曲率图
综合考虑加减速特性,最大弓高误差、最大法向加速度的约束,插补本段NURBS
曲线。

图5 七段S 曲线加减速控制
仿真结果表明:由图5和图6可以看出:(1)
两种加减速控制方法均可以保证加速度连
图6 五段S 曲线加减速控制
续变化,速度平滑过渡,有效的提高了系统的柔性。

(2)采用七段S 曲线加减速弓高误差最大值为0128L m,五段S 曲线加减速弓高误差最大值为
0131L m,两者均极大地提高了轮廓精度。

(3)采用七段S 曲线加减速运行时间为1735m s ,五段S 曲线加减速运行时间为1669m s ,后者缩短了加减速时间,时间响应快,实时性较好,提高了效率。

若要加工的曲线越长、越复杂,后者的效率就越高。

(4)两种加减速控制方法均满足最大法向加速度的约束,七段S 曲线加减速为2250mm /s 2
,五段S 曲线加减速为2950mm /s 2。

相对与七段S 曲线加减速,五段S 曲线加减速没有匀加速段、匀减速段(无需另设定匀加速段加速度A ),算法简单,程序易实现。

由于NURBS 曲线插补算法本身就比较复杂,若
加减速控制算法也复杂,则系统的实时性将难于满足。

(下转第46页)
#
41#2011年4月 周胜德,等:基于NURBS 曲线插补的五段S 曲线加减速控制方法研究
初始质心方法的聚类准确率不稳定,平均准确率较低,应用于实际的数据聚类,不能产生好的聚类效果。

改进后的算法能够得到较高且稳定的准确率,根据启发式算法来寻找初始质心和聚类数k,因而产生的初始质心较符合数据实际分布,也更适实际数据的聚类。

4结束语
改进后的K-m ean s算法,初始质心和聚类数k的选择更加科学,并且在一定程度上有效的避免了局部极值的情况,使得算法具有较好的适应性[12]。

在原始的K-m eans算法上,每一次迭代都是把数据对象分到最近的初始质心中,迭代过程结束后,总的时间复杂度为o(迭代次数t@数据对象个数n@聚类数k@数据的维数d)。

算法经过改进后,由于已经对聚类的中心进行了优化,所以在循环迭代计算过程中能更快的收敛,但是初始质心和聚类数k的计算增加了该算法的时间复杂度o1,总的时间复杂度是增加的。

原有的K-m eans算法并没有考虑孤立点的情况,应用基于密度的初始质心选择后,可以将孤立点归类到距其最近的类中,有效的避免了孤立点对算法的影响。

本文主要是针对K-m eans算法的初始质心和聚类数k选择的局限性,根据算法的特点和需要改进的问题,提出的改进算法。

实验结果证明该算法能消除对初始质心和聚类数k的敏感性,具有很好的适应性并能得到较好的聚类结果。

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(编辑赵蓉)
(上接第41页)
4结束语
本文提出了一种新的基于NURBS曲线插补的五段S曲线加减速控制方法,该方法在满足机床各种约束条件下,保证速度、加速度曲线在任一点连续变化,避免了柔性冲击,速度的平滑性很好,运动精度高,显著地减小了小曲率半径零件加工时的轮廓误差,极大地提高了加工精度。

仿真结果也证实了这种方法的有效性和准确性。

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#
46
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