高中数学 考点16 空间图形的公理4及等角定理庖丁解题 新人教A版必修2

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考点16 空间图形的公理4及等角定理

公理4：两条直线平行于同一条直线,则这两条直线平行．

等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，这两个角相等或互补．

【例】已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β等于( ) A．60° B．120°

C．30° D．60°或120°

【答案】D

【解析】由等角定理可知，β与α相等或互补，故β＝60°或120°．

【思路归纳】空间中证明两个角相等，可以利用等角定理，也可以利用三角形的相似或全等，还可以利用平行四边形的对角相等．在利用等角定理时，关键是弄清楚两个角对应边的关系．

1．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有( )

A．3条B．4条

C ．5条

D ．6条 【答案】B

2．已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于( ) A ．30°

B ．30°或150°

C ．150°

D ．以上结论都不对 【答案】B

【解析】∠ABC 的两边与∠PQR 的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，∴∠PQR ＝30°或150°．

【解题技巧】要明确等角定理的两个条件，即两个角的两条边分别对应平行，并且方向相同，这两个条件缺一不可．

3．直线a ，b ，ｃ，d 满足a ∥b ，b ∥ｃ，ｃ∥d ，则a 与d 的位置关系是________． 【答案】平行

【解析】∵a ∥b ，b ∥ｃ，ｃ∥d ，∴由公理4可知a ∥d ．

4．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BD 和B 1D 1是正方形ABCD 和A 1B 1C 1D 1的对角线． （1）∠DBC 的两边与________的两边分别平行且方向相同； （2）∠DBC 的两边与________的两边分别平行且方向相反． 【答案】 （1）∠D 1B 1C 1 （2）∠B 1D 1A 1

5．如图，在空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别是CB ，CD 上的点，

且CB CF ＝CD CG ＝32．若BD ＝6 cm ，梯形EFGH 的面积为28 cm 2

，则平行线EH ，FG 间的距离为________．

【答案】 8 cm

【解析】 在△BCD 中，∵CB CF ＝CD CG ＝32

， ∴GF ∥BD ，BD FG ＝32

，∴FG ＝4 cm ．

在△ABD 中，∵点E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH ＝21

BD ＝3(cm)．

设EH ，FG 间的距离为d cm ，则21

×(4＋3)×d ＝28，∴d ＝8． 6．长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点．

（1）求证：D 1E ∥BF ； （2）求证：∠B 1BF ＝∠A 1ED 1．

（2）∵ED1∥BF，BB1∥EA1，

又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，

∴∠B1BF＝∠A1ED1．

【方法技巧】1．应用公理4证明两条直线平行时，其关键是寻找第三条直线，只有具备两条直线均平行于这条直线时，这两条直线才相互平行．

2．证明两个角相等，一般有三种途径：

（1）利用等角定理；

（2）利用三角形相似；

（3）利用三角形全等．

1．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( ) A．全等 B．相似

C．仅有一个角相等D．无法判断

【答案】B

【解析】由题意知，这两个三角形的三个角对应相等，故这两个三角形相似．

2．已知空间四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列判断正确的是( )

A ．MN ≥21

(AC ＋BD ) B ．MN ≤21

(AC ＋BD ) C ．MN ＝21

(AC ＋BD )

D ．MN ＜21

(AC ＋BD )

3．已知

分别为空间四边形各边

的中点，若对角线

，则

的值是（ ）

A ．5

B ．10

C ．12

D ．不能确定

【答案】B

4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：

（1）∠ABC＝∠A1B1C1；

（2）∠A1D1A＝∠B1C1B．

【解析】（1）如下图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，由长方体的性质可得：A1B1∥AB，BC∥B1C1，且方向相同，由等角定理可得∠ABC＝∠A1B1C1．

（2）如上图在长方体ABCD－A1B1C1D1中，

由长方体的性质可得：D1C1∥AB，D1C1＝AB，

∴四边形ABC1D1为平行四边形．

∴AD1∥BC1且A1D1∥B1C1，并且方向相同，

∴∠A1D1A＝∠B1C1B．

树叶上的等角定理

树叶是植物进行光合作用、制造养分的主要器官．它能为人类释放氧气，提供食物，遮风挡雨．有的树叶的脉络清晰可见，如下左图．