空间中的点的坐标-高中数学知识点讲解(含答案)

空间中的点的坐标（北京习题集）（教师版）
一．选择题（共9 小题）
1．（2014•北京）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A(2 ，0， 0) ，B(2 ，2， 0) ，C(0 ，2， 0) ，D(1，1，2) ，若
S 1 ，S ，分别表示三棱锥在，，坐标平面上的正投影图形的面积，则S D ABC xOy yOz zOx
( )
2 3
A．S S S B．S S 且S S C．S S 且S S D．S S 且
1 2 3 2 1 2 3 3 1 3 2 3 2 S S 3 1
2．（2019 秋•石景山区期末）如图，以长方体ABCD A B C D 的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐
1 1 1 1
标轴，建立空间直角坐标系，若DB 的坐标为 (4 ，3， 2) ，则C 的坐标是 ( )
1 1
A． (0 ，3， 2) B． (0 ，4， 2) C． (4 ，0， 2) D． (2 ，3， 4)
3．（2018 秋•西城区期末）已知点A(2 ，0，1) ，B(4 ，2，3) ，P 是AB 中点，则点P 的坐标为 ( ) A．P ，1， 2) B．P(3，1， 4) C．P(0 ， 2 ，1) D．P(6 ，4，5)
(3
4．（2017 秋•丰台区期末）已知正方体ABCD A B C D 的每条棱都平行于空间直角坐标系的坐标轴，两顶点坐标分
1 1 1 1
别为A ，1，1) ，，3，，那么该正方体的棱长为
( 1 C1(3 3) ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2017 秋•西城区校级期末）已知点A (3，1， 4) ，则点A 关于x 轴的对称点的坐标为 ( ) A． ( 3 ，1，4) B． (3 ，1，4) C． ( 3 ，1，4) D． ( 3 ，1，4)
6．（2016 秋•海淀区期末）在空间直角坐标系中，点P(1，2，3) 关于坐标平面xOy 的对称点为 ( ) A． ( 1 ， 2 ，3) B． ( 1 ， 2 ，3) C． ( 1 ，2，3) D． (1 ，2，3)
7．（2016 秋•西城区期末）在空间直角坐标系O xyz 中．正四面体P ABC 的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是 2，则| OP | 的取值范围是 ( )
A．[ 3 1， 3 1] B．[1，3] C．[ 3 1， 2] D．[1， 3 1]
8．（2016 秋•西城区校级期中）点P (3 ，1， 0) 在空间直角坐标系的位置是 ( )
第1页（共9页）
A．在z 轴上B．在yO z 平面上C．在xO z 平面上D．在xOy 平面上
9．（2015 秋•北京校级期中）在空间直角坐标系中，点B 是点A(1，2，3) 在坐标平面xOy 上的射影，O 为坐标原点，则OB 的长为 ( )
A．10 B．13 C．14 D． 5
二．填空题（共5 小题）
10．（2017 秋•东城区期末）在空间直角坐标系中，点，，在平面内的射影为，，，则
P(2 1 1) yOz Q(x y z) xyz
．
11．（2017 秋•东城区期末）在空间直角坐标系中，点，，在平面内的射影为，，，则
P(2 1 1) yOz Q(x y z) x y z
．
12．（2015 春•北京校级期中）如图空间直角坐标系中，正方体AC 的棱长为 2，E 是BC 中点，则点E 的坐标是．
1
13．（2014•海淀区校级模拟）已知点A(3，1， 4) ，则点A 关于原点的对称点B 的坐标为．14．（2014•海淀区校级模拟）在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3) ，则点A 在yox 面上的投影点坐标是．
三．解答题（共1 小题）
15．（2008•海淀区自主招生）已知A 、B 是球心为O 的球面上的两点，在空间直角坐标系中，他们的坐标分别为O(0 ，0， 0) 、A( 2 ，1，1) 、B(0 ， 2 ，2) ．
求（1）球的半径R （2）OA g OB
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空间中的点的坐标（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共9 小题）
1．（2014•北京）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A(2 ，0， 0) ，B(2 ，2， 0) ，C(0 ，2， 0) ，D(1，1，2) ，若
S 1 ，，S 分别表示三棱锥D ABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( )
S
2 3
A．S S S B．S S 且S S C．S S 且S S D．S S 且
1 2 3 2 1 2 3 3 1 3 2 3 2 S S 3 1
【分析】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论．
【解答】解：设(2 ，0，，，2，，，2，，，1，，则各个面上的射影分别为，，
A 0) B(2 0) C(0 0) D(1 2) A B
C D
，，
1
在xOy 坐标平面上的正投影A(2 ，0， 0) ，B(2 ，2， 0) ，C(0 ，2， 0) ，D(1，1， 0) ，S 2 2 2 ．
1
2
1
在yOz 坐标平面上的正投影A(0 ，0， 0) ，B(0 ，2， 0) ，C(0 ，2， 0) ，D(0 ，1，2) ，S . 2 2 2
2
2
1
在坐标平面上的正投影，0，，，0，，，0，，，1，， 2 2 2 ，zOx A(2 0) B(2 0) C(0 0) D(0 2) S
3
2
则且S S ，
S S
3 2 3 1
故选：D ．
【点评】本题主要考查空间坐标系的应用，求出点对于的投影坐标是解决本题的关键．
2．（2019 秋•石景山区期末）如图，以长方体ABCD A B C D 的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐
1 1 1 1
标轴，建立空间直角坐标系，若DB 的坐标为 (4 ，3， 2) ，则C 的坐标是 ( )
1 1
A． (0 ，3， 2) B． (0 ，4， 2) C． (4 ，0， 2) D． (2 ，3， 4)
【分析】推导出，， 1 2 ，由此能求出C 的坐标．
AD DC 3 DD
4
1
【解答】解：以长方体ABCD A B C D 的顶点D 为坐标原点，
1 1 1 1
过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
第3页（共9页）
Q DB 的坐标为 (4 ，3， 2) ，
1
AD DC 3 DD 1 2
4 ，，，
C 的坐标是： (0 ，3， 2) ．
1
故选：A ．
【点评】本题考查点的坐标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（2018 秋•西城区期末）已知点A(2 ，0，1) ，B(4 ，2，3) ，P 是AB 中点，则点P 的坐标为 ( ) A．P(3，1， 2) B．P(3，1， 4) C．P(0 ， 2 ，1) D．P(6 ，4，5)
【分析】根据题意，由空间中点坐标的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，点A(2 ，0，1) ，B(4 ，2，3) ，P 是AB 中点，
2 4 0 2 1 3
则点P 的坐标为 ( ，，) ，即 (3 ，1， 2) ；
2 2 2
故选：A ．
【点评】本题考查空间直角坐标系，涉及中点坐标公式，属于基础题．
4．（2017 秋•丰台区期末）已知正方体ABCD A B C D 的每条棱都平行于空间直角坐标系的坐标轴，两顶点坐标分
1 1 1 1
别为，，，1(3，3，，那么该正方体的棱长为
A ( 1 1 1) C 3) ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据正方体的结构特征，以及两点之间的距离公式即可求出．
【解答】解：两顶点坐标分别为，，，1(3，3，，
Q A ( 1 1 1)
C 3)
，
| AC | (3 1) (3 1) (3 1)
3 4
2 2 2 2 2
1
设棱长为，则，
a a 2 a 2 a 2 3a 2 3 42
解得a 4 ，
故选：D ．
【点评】本题考查了正方体的结构特征，以及两点之间的距离公式，属于基础题．
5．（2017 秋•西城区校级期末）已知点A(3，1， 4) ，则点A 关于x 轴的对称点的坐标为 ( )
第4页（共9页）
A．，1，B．，，C．，，D．，1，
( 3 4) (3 1 4) ( 3 1 4) ( 3 4)
【分析】根据空间中点的位置关系可得：点关于轴的对称点的坐标就是横坐标不变、纵坐标、竖坐标数值的
A x A
相反数．
【解答】解：由题意可得：点A(3，1， 4) ，
所以根据空间中点的位置关系可得：点关于轴的对称点的坐标就是横坐标不变、纵坐标、竖坐标数值的相反
A x A
数，
所以可得( 3，，．
A 1 4)
故选：C ．
【点评】本题主要考查对称点的坐标的求法，解决此类问题的关键是熟练掌握空间直角坐标系，以及坐标系中点之间的位置关系，此题所以基础题．
6．（2016 秋•海淀区期末）在空间直角坐标系中，点P(1，2，3) 关于坐标平面xOy 的对称点为 ( ) A． ( 1 ， 2 ，3) B． ( 1 ， 2 ，3) C． ( 1 ，2，3) D． (1 ，2，3)
【分析】点，，关于坐标平面的对称点为，，．
(a b c) xOy (a b c)
【解答】解：在空间直角坐标系中，
点P(1，2，3) 关于坐标平面xOy 的对称点为 (1 ，2，3) ．
故选：D ．
【点评】本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用．7．（2016 秋•西城区期末）在空间直角坐标系中．正四面体的顶点，分别在轴，轴上移
O xyz P ABC A B x y 动．若该正四面体的棱长是 2，则| OP | 的取值范围是 ( )
A．[ 3 1， 3 1] B．[1，3] C．[ 3 1， 2] D．[1， 3 1]
【分析】根据题意画出图形，结合图形，固定正四面体P ABC 的位置，则原点O 在以AB 为直径的球面上运动，原点到点的最近距离等于减去球的半径，最大距离是加上球的半径．
O P PM PM
【解答】解：
如图所示，若固定正四面体P ABC 的位置，则原点O 在以AB 为直径的球面上运动，
设的中点为，则；
AB M PM 22 12 3
所以原点到点的最近距离等于减去球的半径，
O P PM M
最大距离是PM 加上球M 的半径；
所以，
3 1…| OP |… 3 1
第5页（共9页）
即的取值范围是，．
| OP | [ 3 1 3 1]
故选：．
A
【点评】本题主要考查了点到直线以及点到平面的距离与应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，是综合题．
8．（2016 秋•西城区校级期中）点，，在空间直角坐标系的位置是
P (3 1 0) ( )
A．在z 轴上B．在yO z 平面上C．在xO z 平面上D．在xOy 平面上
【分析】点 (a ，b ， 0) 在xOy 平面上．
【解答】解：点，，在平面上．
P (3 1 0) xOy
故选：D ．
【点评】本题考查空间中点的位置的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用．
9．（2015 秋•北京校级期中）在空间直角坐标系中，点B 是点A(1，2，3) 在坐标平面xOy 上的射影，O 为坐标原点，则OB 的长为 ( )
A．10 B．13 C．14 D． 5
【分析】根据射影的定义，求出点在坐标平面内的射影，计算线段即可．
A xOy
B | OB |
【解答】解：在空间直角坐标系中，
Q点B 是A(1，2，3) 在xOy 坐标平面内的射影，
B 点的坐标是 (1 ，2， 0)
| OB | 1 2 0
5
2 2 2
．
故选：D ．
【点评】本题考查了点在空间直角坐标平面内的射影以及两点间距离公式的应用问题，是基础题目．
第6页（共9页）
二．填空题（共5 小题）
10．（2017 秋•东城区期末）在空间直角坐标系中，点(2 ，，在平面内的射影为，，，则
P 1 1) yOz Q(x y z) xyz 0．
【分析】根据点(2 ，，在平面内的射影为，，，得到在坐标平面上，竖标和纵标与相P 1 1) yOz Q(x y z) B yOz A 同，而横标为 0，写出Q 的坐标是 (0 ，1，1) ，由此能得到结果．
【解答】解：在空间直角坐标系中，
Q
点，，在平面内的射影为，，，
P(2 1 1) yOz Q(x y z)
1 1)
Q(0 ，，，
xyz 0
．
故答案为：0．
【点评】本题考查空间中的点的坐标、考查正投影的性质，是一个基础题，本题的运算量比较小，是一个必得分题目．
11．（2017 秋•东城区期末）在空间直角坐标系中，点P(2 ，1，1) 在yOz 平面内的射影为Q(x ，y ，z) ，则x y z 0．
【分析】在空间直角坐标系中，点P(2 ，1，1) 在yOz 平面内的射影为Q(0 ，1，1) ，由此能求出x y z ．【解答】解：在空间直角坐标系中，点，，在平面内的射影为，，，
Q P(2 1 1) yOz Q(x y z)
Q 1 1)
(0 ，，，
x y z 0 11 0
．
故答案为：0．
【点评】本题考查代数式求值，考查空间直角坐标系中点的射影的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
12．（2015 春•北京校级期中）如图空间直角坐标系中，正方体AC 的棱长为 2，E 是BC 中点，则点E 的坐标是
1
(1 ，2， 2) ．
第7页（共9页）
【分析】根据空间直角坐标系，利用中点坐标公式求出的中点的坐标即可．
BC E
【解答】解：Q正方体ABCD A B C D 中，棱长为 2，
1 1 1 1
B(2 ，2， 2) ，C(0 ，2， 2) ，
又Q E 是BC 的中点，
(2 0
E 的坐标为，，) ，
2 2 2 2
2 2 2
即 (1 ，2， 2) ．
故答案为： (1 ，2， 2) ．
【点评】本题考查了空间直角坐标系与中点坐标公式的应用问题，是基础题目．
13．（2014•海淀区校级模拟）已知点A ，1， 4) ，则点A 关于原点的对称点B 的坐标为 (3 ，1，4) ．
( 3
【分析】根据中心对称的性质，得线段AB 的中点为原点O ，由此结合中点坐标公式列方程组，解之即可得到点B 的坐标．
【解答】解：设B(x ，y ，z) ，则
Q点A(3，1， 4) 与B 关于原点O 对称，
x (3)
2
x 3
y 1
O AB 0
原点是线段的中点，可得，解之得y 1
2
z 4
z 4
2
因此点坐标为，，
B (3 1 4)
故答案为：，，
(3 1 4)
【点评】本题给出点A 的坐标，求点A 关于原点的对称点B 的坐标，着重考查了空间点的位置关系的中点坐标公式等知识，属于基础题．
14．（2014•海淀区校级模拟）在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3) ，则点A 在yox 面上的投影点坐标是
第8页（共9页）
( 1 ，2， 0) ．
【分析】直接利用空间直角坐标系，点A 在yox 面上的投影点坐标是竖坐标为 0，写出结果．
【解答】解：在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3) ，则点A 在yox 面上的投影点坐标是竖坐标为 0，即： ( 1 ，2， 0) ．
故答案为： ( 1 ，2， 0) ．
【点评】本题考查空间直角坐标系的应用，点的位置关系，考查基本知识的应用．
三．解答题（共1 小题）
15．（2008•海淀区自主招生）已知A 、B 是球心为O 的球面上的两点，在空间直角坐标系中，他们的坐标分别为O(0 ，0， 0) 、A( 2 ，1，1) 、B(0 ， 2 ，2) ．
求（1）球的半径R （2）OA g OB
【分析】（1）根据球面上的点到球心的距离就是半径，得到只要求出A 到圆心O 的距离即可，利用两点之间的距离公式，得到结果，
（2）根据两个点的坐标，写出以原点为起点的向量的坐标，利用两个向量数量积的坐标形式的公式，代入求出结果．
【解答】解：（1）A 、B 是球心为O 的球面上的两点
半径为 0A或 0B 的长度
R | OA| 2 1 1 2
（2）Q A( 2 ，1，1) 、B(0 ， 2 ，2)
OA ( 2 1 1) OB (0 2 2)
，，，，，
OA g OB 0 2 2 0
【点评】本题考查球的计算，考查空间直角坐标系，考查向量的数量积，是一个基础题，在解题时只要细心，这是一个送分题目．
第9页（共9页）。