Gabor变换(3)

2 2 2 2
2 7
• 证明 如果g(t)的时频中心分别是 t 与 ，则 窗函数 exp(i t ) g (t t ) 的时频中心都在零 点，所以只需证明对 t 0 成立即可。 1 2 这时 2 2 ˆ ( ) |2d g g | tg (t ) | dt | g ˆ 2 2 ˆ || g ||2 || g ||2
2
• 连续Gabor变换事实上是对f 作一个好的定位 切片 f (t ) g (t b)之后，即给函数f 开窗后再取 它的Fourier变换。 i t • 如果取 W ,b (t ) : e g (t b) ，则 (Gf )(b, ) f (t )W ,b (t )dt f ,W ,b • (Gf )(b, ) 给出了f 在时间窗(这时窗的中心 t b ) [t b , t b ] 的局部信息 在 g g
2 2


18
证明(续)
2 g 2 ˆ g
1 4 || g ||2
再由Cauchy-Schwarz不等式可得 2
Gabor变换
连续Gabor变换 窗函数 例子 测不淮原理 连续Gabor变换性质与重构 离散Gabor变换
自动化系---吴
2012-2-20 Wavelets analysis 1
为什么引入Gabor变换
• 连续Gabor变换是信号时-频分析的一个重 要工具。 • 在许多应用中，给定一个信号f(t) ，最感兴 趣的问题是在局部时间信号的频率含量。 标准的Fourier变换 就是信号f 的频率的一种表示，但不能由Ff 得到关于信号高频脉冲时间定位的信息。 时间定位最初是用开窗得到。
2012-2-20 Wavelets analysis 5

Gauss函数作出的Gabor变换
• 如果取Gauss函数 g (t ) g (t ) 1 e 作 2 为窗函数，即导出Gabor1946年的变换 (G f )(b, ) f (t ) g (t b)ei t dt
1 2
一个窗函数，用Parseval恒等式
ˆ (Gf )(b,) f ,W ,b f ,V ,b
2012-2-20
Wavelets analysis
15
Gabor变换的时-频窗(续)
• 变换还给出频率窗 [ g , g ] ˆ ˆ 的局部信息。 • 这样Gabor变换(Gf)(b,ω)就有了一个时-频 窗

2012-2-20



g (t b)db ga (t) dt 1

f (t ) g (t b)db ei t dt i t ˆ f (t )e dt f ( )abor对图像的滤波
• • • • • • • • • • • • %======================================= %目的：extraction of image's gray value by gabor function filter %======================================= % Fourier transform of gabor filter delta_x=5; delta_y=5; u=2*pi; v=4*pi; [omega_x,omega_y] = meshgrid(1:15,10:24); d1=(1/delta_x)^2*(omega_x-u).^2; d2=(1/delta_y)^2*(omega_y-v).^2; g=1/(2*pi*delta_x*delta_y)*exp(-(d1+d2));
0.42 0.5 cos2t 0.08cos4t , 0 t 1 g (t ) 其它 0,
2012-2-20 Wavelets analysis 13
Gabor变换的例子
• 正弦波f(t)=sin(λt) 的连续Gabor变换为
e i b g ( ) e i b g ( ) ˆ ˆ (Gf )(b, ) 2i
• Gabor变换 (Gf )(b,) f ,W,b 给 出了f(t) 在时间窗 [t b g , t b g ] 的局部信息。 ˆ • 设窗函数 g ( ) 的中心 与半径 g ， 取 ˆ ib
ˆ ( ) ( e )eib g ( ) ˆ V ,b ( ) W ,b 2 V ,b ( ) 是中心为 半径为 g 的 则 ˆ

t2 4
• f 的Gabor变换的集合 {(G f )(b,)} 精确 ˆ 分解 f ( ) ，从而给出信号f 的局部谱信息 由 ˆ g ( ) g (t )ei t dt e 令ω=0，由Gauss是偶函数，则
2
作 业
所以 (G f )(b,)db
2012-2-20
(1 cos2t ) 2 , 0 t 1 g (t ) 其它 0,
Wavelets analysis
12
窗函数例子(续)
• Hamming窗函数
• Blackman窗函数
0.54 0.46cos2t , 0 t 1 g (t ) 其它 0,
i t
• f (t)=δ(t)，得

及 第• 讲 的 页
f (t ) exp{ a t } ，而g(t)=1 得
2 2
1 29
(Gf )(b, ) exp{(a t it )}dt
2 2

exp{a t } e
2 2
2012-2-20


i t
dt fˆ ()
a
exp(
2 4a 2
11
)
Wavelets analysis
几个通常的窗函数
• 矩形窗函数
• 三角窗函数 0 t 1 2 2t , g (t ) 2(1 t ) , 1 2 t 1 0, 其它 • Hanning窗函数
1 , 0 t 1 g (t ) 其它 0 ,
[t b g , t b g ] [ g , g ] ˆ ˆ
2012-2-20
Wavelets analysis
16
测不准原理
• Gabor变换的窗面积是 4 g gˆ 为了精确 时间-频率局部化，能否选择出具有很小窗 面积的窗函数呢？ 2 tg (t ) L2 ( R) • 测不准原理 如果选择g (t ) L ( R) 使 ˆ () L2 ( R) 则 g g 1 g ˆ 2 而且，等号如且仅如


ˆ ( ),ig ( ) 2 g, g 2 | g(t ) |2 dt ˆ ig
这时有


ˆ ˆ ˆ | g () | d g (),g ()


2 2 ˆ g g
1 || g || 4 2


| tg (t ) | dt | g(t ) | dt
2012-2-20 Wavelets analysis 2
( Ff )( ) e

i t
f (t )dt
Gabor变换简史
• Gabor 在1046年，为了由信号的Fourier变 换提取局部信息，引入了时间局部化的窗 函数，得到了窗口Fourier变换。由于窗口 Fourier变换只依赖于部分时间的信号，所 以，现在窗口Fourier变换又称为短时 Fourier变换，这个变换又称为Gabor变换。 • 称为Gabor变换是因为这类变换是1946年 Gabor首先引入的，虽然他当时引入的现在 称之为Gabor变换并不是现今这种形式。而 只是窗函数取Gauss函数的特殊情形。
Wavelets analysis 7
2012-2-20
• • • • • • • • • • • • • • •
% draw figure subplot(131); mesh(g) title('Fourier transform of gabor filter','fontsize',12) axis square; subplot(132); f=imread('b','bmp' ); imshow(f); title('original image','fontsize',12) subplot(133); f=imread('b','bmp' ); w=conv2(f,g); mesh(w); title('gabor filter to image','fontsize',12) axis square;
这时
i b
(Gf )(b, ) g (t b)e

i t
dt e
ˆ g( )
(Gf )(b, ) e


it ( )
g (t b)dt
10
ˆ exp{ib( )}g ( )
例子(续)
(Gf )(b, ) (t ) g (t b)e dt g (b) • f (t ) (t t0 )，得 i t (Gf )(b, ) (t t0 )g (t b)e dt 作 i t 0 e g (t0 b) 业
2012-2-20 Wavelets analysis 3
窗函数
• 窗函数定义 非平凡函数 g (t ) L ( R)，且还 tg (t ) L2 ( R)，则称g(t) 是一个窗函数。窗 有 t 与半径 g 分别定义为 函数g(t) 的中心
2
1 t : 2 || g ||2

而窗函数的宽度为2 g 。
这个例子是稳定信号,用Fourier变换更适合。 • 鸟叫声的模型是由正弦波模型产生的函数
e
ib
f (t ) sin{2 [t (t 256) 8000 ]}
2
乌叫声的例子适合时-频分析工具表示。
2012-2-20 Wavelets analysis 14
Gabor变换的时-频窗
g (t ) ce g (t b)
iat
Wavelets analysis
时成立，其中c≠0，α>0和
2012-2-20
a, b ，而 R t2 4 1 g (t ) 2 e
17
ˆ 由Parseval恒等式 || g || 2 || g || 页第 ˆ 讲 又 ig ( ) 是 g (t ) 的Fourier变换,再用Parseval 第 恒等式有 2
2012220waveletsanalysis10gabor变换的例子对于gauss函数容易求得这时窗函数的窗宽度为22012220waveletsanalysis11例子续2012220waveletsanalysis12几个通常的窗函数2012220waveletsanalysis13窗函数例子续cos08cos462012220waveletsanalysis14gabor变换的例子正弦波ftsint的连续gabor变换为这个例子是稳定信号用fourier变换更适合
8
2012-2-20
Wavelets analysis
9
Gabor变换的例子
g (t ) ，容易求得 t 0 ， • 对于Gauss函数
并且对于每个α>0，有 g= 窗函数 g (t ) 的窗宽度为 2 。 • f (t)=1，我们得到 •
f (t ) exp( it ) ，得
2012-2-20 Wavelets analysis 4
1 g : || g ||2




t | g (t ) | dt
2 2
2


(t t ) | g (t ) | dt

12
连续Gabor变换
• 连续Gabor变换 函数 f L ( R) ，关于窗函 g (t ) L2 ( R) 的连续Gabor变换定义为 数 i t (Gf )(b, ) G{ f }(b,) f (t ) g (t b)e dt