2014年第一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第五节 数系的扩充、复数的概念与四则运算

1 2 1 2
→ 就是 z ＋z 的和所对应 OP1SP2，对角线 OS 表示的向量OS 1 2 的向量． 2．复数减法的几何意义：两个复数的差 z1－z2 与连接 → ，Oz → 的终点，并指向被减数的向量z→ 向量Oz z 对应．
1 2 2 1
六、几个重要的结论 1．|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)． 2．z· z ＝|z|2＝| z |2. 3．若 z 为虚数，则|z|2≠z2.
(
)
A．3－i B．2－2i
C．1＋i
D．2＋2i
)
(3)(2012· 广东执信中学测试)复数2＋i2 011＝(
A．2＋i
B．－1
C．2－i
D．3
3－i (4)复数 ＝________. 1＋i
解析：(1)∵ω 1 ∴ 2＝ ω 1
2
1 ＝－ ＋ 2
3 1 3 3 2 1 3 i ＝4－4－ 2 i＝－2－ 2 i， 2
p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i；p4：z的 虚部为－1.
其中的真命题为 ( )
A．p2，p3
C．p2，p4
B．p1，p2
D．p3，p4 2－1－i 2－1－i 2 解析：∵z＝ ＝ ＝ ＝－1－i， 2 －1＋i －1＋i－1－i ∴|z|＝ 2，z2＝(－1－i)2＝2i，z 的共轭复数为 z ＝－1＋i，z 的虚部为－1，∴真命题为 p2，p4.故选 C. 答案：C
点评：复数z＝a＋bi表示实数、虚数、纯虚数的充要条件是 本章的重点．完整、准确地理解好这一知识点是解题的关 键．复数与点及向量的对应关系，体现了数形结合这一重要的 数学思想．灵活地运用数形结合思想能很好地帮助我们解决问 题．
变式探究
2 3．(2012· 新课标全国卷)下面是关于复数z＝ 的四个命题： 1 i
基础自测
1．(2012· 湛江市二模)复数 i 1 3等于
i
( D．－8i
)
A．8
1
B．－8
C．8i
解析： i 3＝(i＋i)3＝(2i)3＝－8i.故选D. i 答案：D
2．(2012· 肇庆市期末)已知复数 z 满足(1＋i)z＝1－i，则复数 z 的 共轭复数 z ＝ A．－i B．i C．1＋i D．1－i ( )
变式探究
1．(1)(2012· 安徽卷)复数z满足(z－i)(2－i)＝5，则z＝ A．－2－2i C．2－2i B．－2＋2i D．2＋2i
7i ＝ 3i
(
)
(2)(2012· 天津卷)i是虚数单位，复数 A．2＋i C．－2＋i B．2－i D．－2－i
(
)
(3)(2012· 山东卷)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单 位)，则z为 ( )
根据复数的几何意义z表示复平面内与原点距离小于等于1意在进行复数运算时不能把实数集的某些性质和法则搬到复数集中如不等式的性质绝对值的定义偶次方非负等
第四章
平面向量、数系的扩充与复 数的引入
第五节 数系的扩充、复数的概念与四 则运算
考 纲 要 求
1．理解复数的基本概念． 2．理解复数相等的充要条件．
1＋i 2 012 2 012 (4) ＝ i ＝1.故选 1－i
D. (4)D
答案：(1)D (2)B
(3)A
考点二
复数与复平面内点的对应关系
在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应
【例2】
的点在第二象限，则实数m的取值范围是
A. (0,3) B. (－∞，－2)
答案：D
变式探究
2．(2012· 肇庆市一模)若复数z＝(x－5)＋(3－x)i在复平面内对
应的点位于第三象限，则实数x的取值范围是
A．(－∞，5) B．(3，＋∞)
(
)
C．(3,5)
D．(5，＋∞)
得 3<x<5.故选 C.
x－5<0， 解析：由题意可知， 3－x<0，
答案：C
考点三
1－i 1－i2 －2i 解析：z＝ ＝ ＝ ＝－i，∴ z ＝i.故选 B. 2 1＋i 1＋i1－i 答案：B
3．(2012· 荆州市质检)设i为虚数单位，则1－i＋i2－i3＋i4－…＋ i20＝________. 解析：根据in(n∈N*)的周期性知，－i＋i2－i3＋i4＝－i5＋i6 －i7＋i8＝…＝0， ∴1－i＋i2－i3＋i4－…＋i20＝1. 答案：1
复数概念的理解与应用
mm wenku.baidu.com2 已知m∈R，复数z＝ ＋(m2＋2m－3)i， m 1
【例3】
当m为何值时，(1)z∈R？(2)z为纯虚数？(3)z对应的点位于复平
面第二象限？(4)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上？
思路点拨： 复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，z
为实数；当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；当a<0，b>0时，z对应
考点四
对复数集下的概念与运算的理解
下列命题中：
【例 4】
①任意两个确定的复数都不能比较大小； ②若 z∈C 且|z|≤1，则－1≤z≤1；
2 ③若 z2 ＋ z 1 2＝0，则 z1＝z2＝0；
④若 z＝a＋bi，则当且仅当 a＝0 且 b≠0 时，z 为纯虚数； ⑤z＝ z ⇔z∈R. 其中正确的命题的序号是____________．
解得 m<－3 或 1<m<2.
∴当 m<－3 或 1<m<2 时， z 对应的点位于复平面第二象限．
mm－2 (4)由 ＋(m2＋2m－3)＋3＝0， m－ 1 mm2＋2m－4 得 ＝0，解得 m＝0 或 m＝－1± 5. m－ 1 ∴当 m＝0 或 m＝－1± 5时，z 对应的点在直线 x＋y ＋3＝0 上．
的点位于复平面的第二象限；复数对应的点在直线上，则该点 的坐标是直线方程的解．
解析：(1)由 m2＋2m－3＝0 且 m－1≠0，得 m＝－3. ∴当 m＝－3 时，z∈R. mm－2 ＝ 0， m － 1 (2)由 2 m ＋2m－3≠0，
解得 m＝0 或 m＝2.
∴当 m＝0 或 m＝2 时，z 为纯虚数． mm－2 <0， (3)由 m－1 2 m ＋2m－3>0，
解析：①当两个复数都是实数时，可以比较大小．②根据 复数的几何意义， z 表示复平面内与原点距离小于等于 1 的点． 注 意在进行复数运算时，不能把实数集的某些性质和法则搬到复 数集中，如不等式的性质，绝对值的定义，偶次方非负等． ③ 只有当 z1，z2∈R 时命题才成立，当 z1＝1，z2＝i 满足条件，故 结论不成立．④只有当 a，b∈R 时命题才成立，如当 b＝i 时，z ＝0＋i2∈R，命题不成立．⑤设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－ bi，由 z＝ z ⇒a＋bi＝a－bi⇒b＝0⇒z∈R，反之也成立．所以命 题成立． 答案：⑤
7．复数的代数形式的几何意义：
二、复数代数形式的运算法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 1．z1± z2＝(a＋bi)± (c＋di)＝(a± c)＋(b± d)i ； 2．z1· z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i ； z1 a＋bi ac＋bd bc－ad 3. ＝ ＝ ＋ i(c＋di≠0)． z2 c＋di c2＋d2 c2＋d2
三、常见运算规律 ＋ ＋ ＋ 1．i 的幂运算：i4n＝1；i4n 1＝i；i4n 2＝－1；i4n 3＝－i(其 中 n∈N)． 2．(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2. 3．(1± i)2＝± 2i. 1＋i 1－i 4. ＝ i， ＝－i. 1－i 1＋i 1 3 1 3 5．1 的立方根是 1，－ ＋ i，－ － i；－1 的立方根 2 2 2 2 1 3 1 3 是－1， ＋ i， － i. 2 2 2 2 1 3 6．设 ω＝－ ＋ i，则 ω2＝ ω ，1＋ω＋ω2＝0. 2 2
(
)
C. (－2，0)
D. (3，4)
思路点拨：根据复数的几何意义，复数z＝a＋bi(a，b∈R)
对应的点位于复平面的第二象限时，必须a<0，b>0.
解析：∵z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，z所对应的点在第
二象限， ∴m2－4m<0且m2－m－6>0. ∴0<m<4且m>3或m<－2.
∴m∈(3,4)．故选D.
点评：在解答复数相关问题时，不要随意把实数的性质、
法则搬到复数集上来．要记清楚复数集上结论成立的条件．
变式探究
4．(2012· 深圳市调研)集合{in|n∈N*}(其中i是虚数单位)中元 素的个数是 A．1 B．2 C．4 ( )
D．无穷多个
1 3 (1)(2012· 高州三中模拟)设复数 ω＝－ ＋ i， 则化简复数 2 2 1 的结果是( ) ω2 1 3 A．－ － i 2 2 1 3 C. ＋ i 2 2
1 3 B．－ ＋ i 2 2 1 3 D. － i 2 2
(2)已知i为虚数单位，若复数z1＝1－i，z2＝2＋i，则z1z2＝
1 3 ＝－ ＋ i.故选 B. 2 2 1 3 － － i 2 2
(2)z1z2＝(1－i)(2＋i)＝2＋i－2i－i2＝2＋1－i＝3－i.故 选 A. (3)2＋i2 011＝2＋i4×502＋3＝2＋i3＝2－i.故选 C. 3－i 3－i1－i 2－4i (4) ＝ ＝ ＝1－2i. 2 1＋i 1＋i1－i 答案：(1)B (2)A (3)C (4)1－2i
3．了解复数的代数表示法及其几何意义．
4．会进行复数代数形式的四则运算． 5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
课 前 自 修
知识梳理
一、复数的有关概念 1．形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i是虚数单位， i2＝－1.把复数a＋bi的形式叫做复数的代数形式，记作z＝a＋ bi(a，b∈R)．当且仅当b＝0时，z为实数；当且仅当a＝b＝0时， z＝0；当b≠0时，z叫做虚数；当a＝0且b≠0时，z叫做纯虚数；a 和b分别叫做复数z＝a＋bi的实部和虚部． 2．两个复数相等：如果a，b，c，d∈R，那么a＋bi＝c＋ di⇔a＝c且b＝d. 3．两个复数，如果不全是实数时，不能比较它们的大小．
4．(2012· 南京市、盐城市一模)若(1－2i)i＝a＋bi(a，b∈R， i为虚数单位)，则ab＝________. 解析：由(1－2i)i＝i－2i2＝2＋i＝a＋bi，根据复数相等的 条件可得a＝2，b＝1，∴ab＝2. 答案：2
考 点 探 究
考点一
复数的四则运算
【例 1】
完成下列各题：
A．3＋5i
C．－3＋5i (4)(2012· 福州市模拟) A．2i C．1＋i
B．3－5i
D．－3－5i
1 i 2 012 ＝ 1i
(
)
B．－1＋i D．1
52＋i 5 解析：(1)(z－i)(2－i)＝5⇔z－i＝ ⇔z＝i＋ ＝2 2－ i 2－i2＋i ＋2i.故选 D. 7－i 7－i3－i 20－10i (2) ＝ ＝ ＝2－i.故选 B. 10 3＋i 3－i3＋i 11＋7i 11＋7i2＋i 15＋25i (3)z＝ ＝ ＝ ＝3＋5i.故选 A. 5 2－i 2－i2＋i
4．建立直角坐标系表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫 做实轴， y 轴叫做虚轴． 实轴上的点都表示实数， 除了原点外， 虚轴上的点都表示纯虚数． 5．复数 z＝a＋bi 可以用复平面内的点 Z(a，b)表示，向 → 的模叫做复数 z ＝ a ＋ bi 的模，表示为 |z| ＝ |a ＋ bi| ＝ 量 OZ a2＋b2. 6．两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复 数叫做共轭复数．复数 z 的共轭复数记作 z .由定义可知：若 z ＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi.
四、复数运算所满足的运算律 1．加法交换律： z1＋z2＝z2＋z1. 2．加法结合律： (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 3．乘法运算律：(1)z1(z2z3)＝(z1z2)z3 ; (2)z1(z2＋z3)＝z1z2＋ z1z3；(3)(z1＋z2)z3＝z1z3＋z2z3.
五、复数加减法的几何意义 1．复数加法的几何意义：如果复数 z1，z2 分别对应于 → ，OP → ，那么，以 OP ，OP 为两边作平行四边形 向量OP