2023年辽宁省大连八中等三校联考高考数学模拟试卷+答案解析(附后)

2023年辽宁省大连八中等三校联考高考数学模拟试卷
1. 已知复数z满足，则在复平面上复数z对应的点位于( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3. 唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了
国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒
部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体假设内壁表面
光滑，忽略杯壁厚度，如图2所示.已知球的半径为R，酒杯
的容积，则其内壁表面积为( )
A.
B.
C.
D.
4. 已知向量，满足，，，则等于( )
A. B. C. D.
5. 已知函数，下列说法正确的是( )
A. 若，则是函数的对称轴
B. 若，则将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称
C. 若函数在上取到最大值，则的最小值为
D. 若函数在上存在两个最值，则的取值范围
6. 若二项式的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为( )
A. 32
B.
C. 16
D.
7. 已知点，，点A关于直线的对称点为点B，在
中，，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8. 已知，，，则a，b，c的大小关系是( )
A. B. C. D.
9. 下列结论中，正确的有( )
A. 数据1，2，4，5，6，8，9的第百分之60分位数为5
B. 已知随机变量X 服从二项分布，若，则
C. 已知回归直线方程为，且
，
，则
D. 对变量x 与y 的统计量
来说，
值越小，判断“x 与y 有关系”的把握性越大
10. 若正整数m ，n 只有1为公约数，则称m ，n 互素，欧拉函数
的函数值
等于所有不超过正整数k ，且与k 互素的正整数的个数，例如：
，
，
，
下列说法正确的是( )
A. B. 数列为递增数列
C. D.
数列
的前n 项和为
，则
11. 已知抛物线C ：
的焦点为F ，焦点到准线的距离为2，Q 为C 上的一
个动点，则( )
A. C 的焦点坐标为
B. 若，则周长的最小值为11
C. 若
，则
的最小值为
D.
在x 轴上不存在点E ，使得为钝角
12. 已知正四棱台
的所有顶点都在球O 的球面上，
，
，E 为
内部含边界的动点，则( )
A. 平面
B. 球O 的表面积为
C.
的最小值为
D. 若AE 与平面
所成角的正弦值为
，则E 点轨迹长度为
13. 某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余
2人负责拖地，则不同的分工方法共有______ 种.
14. 已知定义在R 上的奇函数
满足，则的一个解析式为
______ .
15. 曲率半径可用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆C：上点处的曲率半径公式为
若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的倍，则椭圆C
的离心率为______ .
16. 已知过点不可能作曲线的切线，对于满足上述条件的任意的b，函数
恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是______ . 17. 已知的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，
求角A的大小；
若，求的面积.
18. 已知数列的前n项之积为
求数列的通项公式；
设公差不为0的等差数列中，，____，求数列的前n项和
请从①；②这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答. 19. 已知多面体ABCDEF中，，且，，
证明：；
若，求二面角的余弦值.
20. 为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩频率分布直方图
如图.
用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分同一组中的数据用该组区间的中点值为代表
可以认为这次竞赛成绩X近似地服从正态分布用样本平均数和标准差s分别作
为，的近似值，已知样本标准差，如有的学生的竞赛成绩高于学校期望
的平均分，则学校期望的平均分约为多少结果取整数？
从的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测
份试卷抽测的份数是随机的，若已知抽测的i份试卷都不低于90分，求抽测3份的概率.
参考数据：若，则，
，
21.
已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线交C于点P，垂足为Q，，，M、N为双曲线左右顶点.
求双曲线C的方程；
设过点的动直线l交双曲线C右支于A，B两点在第一象限，若直线AM，BN 的斜率分别为，
试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值：若不是定值，请说明理由；
求的取值范围.
22. 已知函数为自然对数的底数
若的最小值为1，求在上的最小值；
若，证明：当时，
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：，
故复数z对应的点位于第一象限．
故答案为：
运用复数除法法则计算及复数几何意义即可求得结果．
本题主要考查复数的几何意义，以及复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：集合或，
，
，
则
故选：
求出集合A，，利用交集定义能求出
本题考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：设圆柱部分的高是h，
所以，
所以，
所以，
内壁表面积为，
故选：
根据圆柱和球的体积公式和表面积公式即可求解．
本题考查几何体的表面积的求解，化归转化思想，属基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为，
所以，即，解得，所以
故选：
先求出，再将平方即可得解．
本题主要考查平面向量的数量积运用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：对于A项，当时，，
，，解得：，，
令，解得：，
不是的对称轴，故A项错误；
对于B项，当时，，将的图象向左移个单位得到
，
又，
为偶函数，即函数图象关于y轴对称，故B项错误；
对于C项，在上取到最大值，
，
，，
解得：，，
又，
当时，的最小值为，故C项错误；
对于D项，当时，，
要使得在上存在两个最值，则，
解得：，故D项正确．
故选：
对于A项，先分析的对称轴，再计算，看k是否为整数即可判断；对于B项，由三角函数图象的平移规则得到平移后的解析式，研究其奇偶性即可判断；对于C项，解三角函数方程即可；对于D项，运用整体思想及解不等式即可．
本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：的展开式共有项，只有第3项的二项式系数最大，
，
，
的第项为，，
令，解得：，
，即：展开式中项的系数为
故选：
运用二项式系数最大项求出n的值，再运用二项展开式的通项公式计算即可．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：设B的坐标为，则，则B的坐标为
，
设，，
即
所以
故选：
先根据对称的性质求出点B的坐标，设，再由可求出点P的轨迹方程，由图可知中BC边上的高为圆的半径时，面积最大，从而可求得结果．
本题主要考查了动点轨迹方程，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：，
，
，
又，
，
令，则，
又中，，
，
在R上恒成立，
在R上单调递增，
，即：，
，即：，
故选：
利用中间值法比较a与c，b与c大小关系，再通过构造函数，然后通过的单
调性比较a与b的大小关系．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A项，，所以第百分之60分位数为6，故A项错误；
对于B项，因为，
所以，
所以，解得，故B项正确；
对于C项，回归直线必过样本中心可得：，解得：，故C项正确；
对于D项，由独立性检验可知，值越大，判断“x与y有关系”的把握性越大，故D项错误．故选：
运用百分位数、二项分布期望及期望运算性质、回归直线必过样本中心、独立性检验的意义依次分析每个选项即可．
本题主要考查百分位数、二项分布期望及期望运算性质，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：与4互素的正整数有1，3，，故A正确；
，数列不为递增数列，故B错误；
与互素的正整数有1，3，5，…，，共有个，，
，①，
②，
由①-②得，
，故D正确；
故选：
根据欧拉函数的定义可判断ABC，求出可判断D，即可得出答案．
本题考查数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：选项A，抛物线C：，焦点到准线的距离为，
则C：，焦点，错误；
选项B，，，，
设Q到准线的距离为d，M到准线的距离为，
则的周长为，正确；
选项C，设，，
则，
当时，的最小值为，正确；
选项D，设，，，，
，
，不可能为钝角，正确．
故选：
利用焦准距求出抛物线C，可得焦点坐标，判断选项A；根据抛物线的定义的应用，结合周长公
式，判断选项B；设，利用两点间距离公式结合二次函数的性质，求出的最小值，
判断选项C；设，由数量积的坐标运算，判断出选项
本题考查抛物线的几何性质，向量数量积的坐标运算，向量夹角公式的应用，化归转化思想，函数思想，属中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A，如图1，设底面ABCD对角线交于点
由棱台的结构特征易知与的延长线必交于一点，故A，，C，共面，
又面面ABCD，而面面，
面面，故，即；
由平面几何易得，即；
所以四边形是平行四边形，故，
而面，面，所以平面，故A正确；
.
对于B，如图2，设为的中点，O为正四棱台外接球的球心，则，
在等腰梯形中，易得，即
，
为方便计算，不妨设，，则由，
即，即，
又，解得，即O与重合，故，
故球O的表面积为，故B正确；
.
对于C，由图2易得，，，、面，故
面，
不妨设E落在图处，过作，则面，故，
故在中，直角边小于斜边；同理，，
所以，故动点E只有落在上，才有可能取得最小值；再看图4，由关于对称点为C可知，
故，故C错误；
.
对于D，由选项C可知，面，面，故面面，
在面内过A作交于F，如图5，
则面，面面，故面，故为AE与平
面所成角，
在中，，，，故为正三
角形，即，故，
在中，，，即E点在以F为圆
心，为半径的圆与所交的圆弧，
而，故圆弧所对圆心角为如图6所示平面图，所以轨迹长为，故D
正确．
故选：
对于A，由条件先证线线平行，进而证得线面平行；
对于B，先假设球心O的位置，利用勾股定理与半径相等建立方程组进而确定O的位置，可求得球O的表面积；
对于C，先判断E落在上，再进一步判断E与O重合时，取得最小值；
对于D，利用面面垂直的性质作出面，故为AE与平面所成角，再利
用得出EF长，继而判断点E轨迹为圆弧．
本题考查四棱台的外接球问题，与动点相关的最值问题，线面角的求解，化归转化思想，属难题．
13.【答案】12
【解析】解：根据题意，分3步分析：
①在4人中选出一人负责清理讲台，有种情况；
②在剩下的3人中选出一人负责扫地，有种情况；
③剩下的2人负责拖地，有1种情况，
则有种不同的分工方法．
故答案为：
根据题意，按照分步计数原理即可得到结果．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
14.【答案】答案不唯一
【解析】解：为R上的奇函数，，
又，用“”替换“x“，
，
，
的周期为8，
的一个解析式可以为
故答案为：答案不唯一
根据已知条件可得到的周期为8，结合为奇函数，所以可以考虑三角函数
答案不唯一
本题主要考查了函数的奇偶性和周期性，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为点在椭圆上，故，
即，
则，
而，所以，则，
故，
因为椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的倍，
故，即，
所以椭圆离心率为
故答案为：
根据椭圆中x的范围求出的取值范围，结合曲率半径的最大值是最小值的
倍，求出a ，b 的关系，即可求得椭圆离心率．
本题考查了椭圆的性质以及曲率半径的性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由过点
不可能作曲线
的切线，则点
在曲线
的上方，所以
，
则对于满足条件的b ，函数恒有两个不同的极值点，
等价于恒有两个不同的变号零点，
即方程有两个不同的解，
令，则，即
因为且
，所以
，可得
，
即直线和曲线的图象有两个交点，
令，可得
，即，则，所以
单调递增，
令，可得，当时，，可得，单调递减；当
时，
，可得
，单调递增，
因为t 趋近于0和时，均趋近于
，
所以，所以
，
又因为，可得
，即
，解得，
又由，所以实数a 的取值范围是
故答案为：
根据题意求得，转化为等价于
恒有两个不同的变号零点，
即方程有两个不同的解，令
，得到
，进而转化为直
线和曲线
的图象有两个交点，令
，求得
，
令
，求得
，得到
单调递增，结合
，求得
的
单调性和极值，得出不等式，再由
，即可求得实数a 的取值范围．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，属于
中档题．
17.【答案】解：根据题意，得，
由正弦定理得，即，
得，
又，所以，所以，所以
由，得，又，，
由余弦定理可得，解得，
所以
【解析】由，得到，再将代入求解；
由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理定理求得b，c，然后利用三
角形面积公式求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形面积我刚刚那是的应用，属于中档题．18.【答案】解：，
当时，，
当时，，
将代入得，符合上式
数列的通项公式为；
若选①：，
设等差数列的公差为，
，，
，解得，
，
若选②：，
设等差数列的公差为，
，，
又，则，解得，
，
，
，
故
【解析】利用与其前n项之积的关系，即可得出答案；
运用等差数列基本量计算求得的通项公式，再运用分组求和法，即可得出答案．本题考查数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：证明：连接BD，DF，如图所示：
在中，，，，
由余弦定理得，
，则，即，
同时，则，
，
，，且平面BDF，平面BDF，，
平面BDF，
又平面BDF，则；
在中，，且，
即，则，
由得，，
建立以D为原点的空间直角坐标系，如图所示：
则，
设平面ABF的法向量为，
则，取，则，
平面ABF的法向量为，
设平面ACF的法向量为，
则，取，则，，
故平面ACF的法向量为，
，
由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为
【解析】由题意得，，利用线面垂直的判定定理可得平面BDF，即可证明结论；
由题意得，建立以D为原点的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案．
本题考查直线与平面垂直和二面角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：由频率分布直方图可知，
平均分；
由可知
设学校期望的平均分约为m，则，
因为，，
所以，即，
所以学校期望的平均分约为73分；
由频率分布直方图可知，分数在和的频率分别为和，
那么按照分层抽样，抽取10人，其中分数在应抽取人，
分数在应抽取人，
记事件：抽测i份试卷，2，3，事件B：取出的试卷都不低于90分，
则，，，
则
【解析】根据平均数的求法求得平均数．
根据正态分布的对称性求得正确答案．
根据分层抽样、条件概型等知识求得正确答案．
本题主要考查频率分布直方图，正态分布曲线，离散型随机变量的期望，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：因为，所以，
由题意可得，所以，
所以双曲线C的方程为
设，，直线AB的方程为，
由，消元得
则，且，
法一
；
法二由韦达定理可得，即，
，即与的比为定值
设直线AM：，代入双曲线方程并整理得
，
由于点M为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，
由韦达定理得：，解得
因为点A在双曲线的右支上，所以，
又点A在第一象限，所以，同理可得，
由中结论可知，
得，所以，
故，
故的取值范围为
【解析】运用双曲线的定义及双曲线的焦点到其渐近线的距离为b可求得a、b的值，进而求得双曲线方程．
设出直线AB的方程，联立其与双曲线方程可得，
法一对进行配凑得，代入计算即可；
法二先由韦达定理得，再代入计算即可．
设出直线AM方程，联立其与双曲线方程可求得，结合点A在第一象限且且
可求得的范围，进而求得的范围．
本题主要考查双曲线的性质及标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．
22.【答案】解：因为，可得，
若，则，在R上单调递减，无最小值，
因此，令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，解得，
则，可得，
设，则在上恒成立，
所以在单调递增，即在上是增函数，
又由，所以在上是增函数，所以
证明：由得时，，即，从而
，
当时，，
又因为，所以，
所以在上成立，
即在上成立，
当时，，，，
要证，只要证明，
即要证，
设，，，
易知，所以，是增函数，所以，
又时，，所以，
即成立，
综上，当时，
【解析】求得，求得函数的单调性和，求得，得到
，求得，设，由，得到
在上是增函数，进而得到在上是增函数，即可求解．
第21页，共21页由
得时，得到，从而得到，转化为上成立，进而转化为
，即证，设，利用导数求得函数的单调性，得到
，进而证得
成立．
本题考查导数的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．。