2023届上海华二附中高三下学期三模数学试卷及答案

2022-2023华二附中高三下三模考数学试卷
本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分） 【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.】
1、已知集合{A =，{}1,B m =，A
B A =，则m =____________.
2、已知a R ∈，命题“存在x R ∈，使2
30x ax a −−≤”为假命题，则a 的取值范围为 ____________.
3、6
22x x ⎛⎫
− ⎪⎝
⎭展开式中的常数项为____________.
4、已知复数(13)(1)
12i i z i
+−=
−，则z =____________.
5、非负实数x 、y 满足260xy x y −−=，则2x y +的最小值为____________.
6、老师要从6篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某位同学只能背出其中的4篇，则该同学能及格的概率是____________.
7、在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E 是AD 的中点，F 是1BB 的中点，则直线EF 与平面ABCD 所成角的正切值为____________.
8、在等差数列{}n a 中，已知113a =，26311a a =，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为____________.
9、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()0f x f x ++−=，若(2)4f '=，则曲线
()y f x =在6x =−处的切线方程为____________.
10、教授对外汉语的张老师要求班上的留学生们从周一到周四每天学习2首唐诗及正确注释，每周五对一周内所学唐诗随机抽取4首进行检测.若已知抽取进行检测的4首唐诗中有一首诗周四学的，则所抽取的4首唐诗中恰有3首来自本周后两天所学内容的概率为____________.
11、若关于x 的方程x
e a x =恰有两个不同的实数解，则实数a =____________. 12、已知平面上的点A 、B 、M 、N 满足6AB =，4MA MB NB NA −=−=，
2BM =，3AN =，则AB MN ⋅=____________.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13、14题每题4分，15、16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.】
13、设A 、B 、C 、D 为空间中的四个点，则“AD AB AC =+”是“A 、B 、C 、D 四点共圆”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
14、某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为（ ） A.75
B.85
C.90
D.100
15、在ABC ∆中，若
111
12sin sin tan tan A B A B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
，则（ ） A.C 的最大值为3π B.C 的最大值为23
π
C.C 的最小值为
3
π D.C 的最小值为
6
π16、若数列{}n x 满足“对任意正整数i 、j （i j ≠），都存在正整数k ，使得k i j x x x =”，则称数列{}n x 具有“性质P ”.有以下两个命题：①若{}n a 是等比数列，则{}n a 具有性质P ；②若等差数列{}n b 的公差0d <，则{}n b 不具有性质P .那么（ ） A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题C.①、②都是真命题
D.①、②都是假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】
17、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.
在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D 是母线PA的中点.
（1）求该圆锥的侧面积与体积；
（2）求异面直线AB与CD所成角的大小.
已知函数21
()sin 2cos 22
f x x x =
−−，x R ∈. （1）求函数()y f x =在区间5,1212ππ⎡⎤
−
⎢⎥⎣
⎦上的最大值和最小值；
（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c =()0f C =，若
sin 2sin B A =，求ABC S ∆.
某大学毕业生在国家提供的税收、贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数i y （单位：万元）与时间i t （单位：年）的数据，列表如下：
（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请计算相关系数r ，并加以证明（计算结果精确到0.01）（若0.75r ，则线性相关程度较高，可用线性回归模型拟合）；
（2）该专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案： 方案一：每满500元可减50元；
方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为2
5
，中奖就可以获得100元现金奖励.假设顾客每次抽奖的结果相互独立.
①某位顾客购买了1050元的产品，该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客获得100元现金奖励的概率；
②某位顾客购买了1500元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加三次抽奖？请说明理由.
已知椭圆22
22:1x y C a b
+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆C 经过点
(
，离心率为1
2
，直线l 过点2F 与椭圆C 交于A 、B 两点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若点N 为12F AF ∆的内心，求12F NF ∆与12F AF ∆面积的比值；
（3）设点A 、2F 、B 在直线4x =上的射影依次为点D 、G 、E ，连结AE 、BD ，试问当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点T ？若是，请求出定点T 的坐标；若不是，请说明理由.
已知()ln(1)x
f x e x =+.记()()
g x mf ax =，其中常数m 、0a >. （1）证明：对任意m 、0a >，曲线()y g x =过定点；（2）证明：对任意s 、0t >，()()()f s t f s f t +>+；
（3）若对一切1x ≥和一切使得(1)1g =的函数()y g x =，y x λ≥恒成立，求实数λ的取值范围.
2022-2023华二附中高三下三模考数学试卷
参考答案
1、0或3
2、(12,0)
−3、240
4、2
5、0
6、
45
7、
5
8、49
9、424y x =+10、
1655
11、e
12、-36
13-16、DCAB
17、（1）侧面积为8π，体积为
3
；（2）arccos
4
18、（1）()sin 216f x x π⎛
⎫
=−
− ⎪⎝
⎭，max ()03f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，min 2()122f x f π⎛⎫
=−=− ⎪⎝⎭
；
（2）
2
19、（1）0.970.75r ≈>，故y 与t 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合；（2）①
1225；②2~3,5X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，() 1.2E X =，抽三次奖的期望为120元，低于返现的150元，应选择直接返现
20、（1）22143x y +=；
（2）13；（3）定点,02T 5⎛⎫ ⎪⎝⎭
21、（1）证略，定点(0,0)；（2）证略；（3）1
λ≤。