第04讲 正弦定理和余弦定理 (精练)(含答案解析)

第04讲正弦定理和余弦定理(精练）-2023年高
考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）
第04讲正弦定理和余弦定理(精练）一、单选题
（2022·全国·高三专题练习）
1．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222a b c +<，则ABC 是（）
A ．等腰三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形
（2022·江苏·高一课时练习）
2．已知正三角形的边长为2，则该三角形的面积（）
A ．4
B
C D ．1
（2022·江苏·高一课时练习）
3．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，45,30,6A C c === ，则a 等于(
)
A ．
B ．
C ．
D ．（2022·河南·高二阶段练习（文））
4．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=︒，2AB =，5CD =，6BC =，则CAD ∠=（
）
A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．75︒
（2022·江苏·南京市第九中学高一期中）
5．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成一个大的正方形．某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若BD ＝1，且三个全等三角形的面积和与小正三角形的面积之比为
9
4
，则△ABC 的面积为（）
A ．
94
B C ．
134
D ．
4
（2022·江苏·盐城市伍佑中学高一期中）
6．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin cos c A C =，c =，
18ab =，则a b +的值是（
）
A ．
B ．
C ．9
D ．11
（2022·重庆八中高一期中）
7．如图，四边形ABCD 四点共圆，其中BD 为直径，4AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，则ACD 的面积为（
）
A ．
6
B ．
2
C ．
6
D ．
6
（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）
8．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯ ．可知a b ⨯
是一个向量，
它的模为||||||sin a b a b θ⨯=⋅
．已知在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,3
a b c A π=，
)22||896
BA BC b a ⨯=- ，则cos B =（）
A B ．C ．7
-
D 二、多选题
（2022·山东淄博·高一期中）9．在ABC 中，如下判断正确的是（
）
A ．若sin 2sin 2A
B =，则AB
C 为等腰三角形B ．若A B >，则sin sin A B >C ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B >
D ．若sin sin A B >，则A B
>
10．在ABC 中，内角、、A B C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（）
A ．
sin sin sin +=
+a b c
A B C
B ．若A B >，则sin 2sin 2A B >
C ．cos cos c a B b A =+
D ．若0AB AC BC AB AC
⎛⎫
⎪+⋅= ⎪⎝
⎭
，且12AB AC AB AC ⋅=
，则ABC 为等边三角形（2022·山东菏泽·高一期中）
11．在ABC 中，D 在线段AB 上，且AD ＝5，BD ＝3，若CB ＝2CD
，cos CDB ∠=则（
）
A
．sin CDB ∠B ．△DBC 的面积为3C ．ABC
的周长为8+D ．ABC 为钝角三角形
三、填空题
（2022·江西·上高二中高二阶段练习（文））
12．已知ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为边BC 上一点，且AD 为BAC ∠的角平分线，若3
BAC π
∠=
，AD =，则4b c +最小值为___________.
（2022·全国·高三专题练习）
13．一艘渔船航行到A 处看灯塔B 在A 的北偏东75°
，距离为C 在A 的北偏西45°
，距离为海里，该船由A 沿正北方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏东45°方向，则CD =______海里.四、解答题
（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）
14．如图，在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2cos 2b A c a =-
.
(1)求角B ；
(2)若2sin sinC sin A B ⋅=，2AD CD ==，求四边形ABCD 面积的最大值.（2022·宁夏·平罗中学三模（文））
15．已知函数()f x m n =⋅ ，向量()
sin cos n x x x =+ ，()cos sin ,2sin m x x x =- ，
在锐角ABC 中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(1)若()1f A =，求角A 的大小；
(2)在（1）的条件下，
a c
b +的最大值.（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））
16．在锐角ABC 中，角,,A B C
所对的边分别为,,,4,sin 4
a b c a b A ===.(1)求sin C 的值；
(2)点,D E 分别在边,AB AC 上，ABC 的面积是ADE V 面积的2倍.求DE 的最小值.
参考答案：
1．D
【分析】根据余弦定理，得到cos 0C <，求得(,)2
C π
π∈，即可求解.
【详解】因为2
2
2
a b c +<，由余弦定理可得222
cos 02a b c C ab
+-=<，
又由(0,)C π∈，所以(,)2
C π
π∈，所以ABC 是钝角三角形.
故选：D.2．B
【分析】由三角形面积公式可求出.
【详解】根据三角形面积公式可得该三角形的面积为1
22sin 602
⨯⨯⨯︒=故选：B.3．B
【分析】根据正弦定理即可求解﹒
【详解】由正弦定理得
sin sin a c A C ＝
，∴66sin4521
sin302
a
＝＝＝故选：B ﹒4．B
【分析】先求出22,AC AD ,再利用余弦定理求解.
【详解】因为2226240AC =+=，2226(52)45AD =+-=，在ACD 中，
由余弦定理得222cos 22
AD AC CD CAD AD AC +-∠==
⋅，又因为0180CAD ︒<∠<︒，所以45CAD ∠=︒.故选：B.5．D
【分析】设小正三角形边长为x ，由面积比求得x ，再计算出小正三角形面积可得大正三角形面积．
【详解】设DE x =，则
211sin 1(1)sin12013224ABD DEF
BD AD ADB x S x S x ⋅∠⨯⨯+︒
+==!!，解得2x =（2
3
-舍去），
所以2
24DEF S ==!
，94ABC
S ==!故选：D ．6．C
【分析】由条件sin cos c A C =结合正弦定理可求C ，再结合余弦定理求a b +.
【详解】∵sin cos c A C =，
∴sin sin cos C A A C =，又(0,)A π∈，sin 0A ≠，
∴tan C =(0,)C π∈，∴3
C π
=
，又2222cos c a b ab C =+-
，c =18ab =，
∴222718a b =+-，
∴222()281a b a b ab +=++=，∴9a b +=，故选：C.7．C
【分析】先在ABC 利用余弦定理求出边AC ，再利用正弦定理求出直径BD ，进而利用直角三角形求出AD 、CD ，再利用三角形的面积公式进行求解.【详解】在ABC 中，因为4AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，
所以由余弦定理，得AC =
由正弦定理，得=sin sin 603
AC BD ABC =
=
∠；在Rt △ABD 和Rt BCD
中，
3AD ===
3
CD ==
=
，
又180120ADC ABC ∠=-∠= ，
所以ACD 的面积为123326
S =⨯⨯⨯=
.故选：C.8．B
【分析】根据新定义及三角的面积公式可化为
()221
82
129sin b a bc A -=，再由余弦定理转化为关于,b c 的方程，得出3b c =，再由余弦定理求出cos B 即可.
【详解】因为()22||896
BA BC b a ⨯=
-
，
所以)
221sin 289ac b a B -=,即)2289△ABC S b a -=,
)221
82
9sin b a A -=,由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，即222a b c bc =+-，代入上式得，
222
89()b b c bc ⎤-+-=⎦，化简得22690-+=b bc c ，
即2(3)0-=b c ，3b c ∴=，此时.
a ==
222
14cos 2a c b B ac +-∴-==.
故选：B 9．BCD
【分析】选项A.由题意可得22A B =或22A B π+=，从而可判断；选项B.若A B >,则a b >，由正弦定理可判断；选项C.若ABC 为锐角三角形，则2A B π+>
，即所以022
A B ππ
>>->，由正弦函数的单调性可判断；选项D.在ABC 中,若sin sin A B >，由正弦定理可得22a b
R R
>，从而可判断.
【详解】选项A.在ABC 中,若sin 2sin 2A B =,则22A B =或22A B π+=所以A B =或2
A B π
+=
，所以ABC 为等腰或直角三角形.故A 不正确.选项B.在ABC 中,若A B >,则a b >，
由正弦定理可得2sin 2sin R A R B >,即sin sin A B >，故B 正确.选项C.若ABC 为锐角三角形，则2
A B π+>
所以
02
2A B π
π
>>
->，所以sin sin cos 2A B B π⎛⎫
>-= ⎪⎝⎭
,故C 正确.选项D.在ABC 中,若sin sin A B >，由正弦定理可得22a b
R R
>，即a b >，所以A B >，故D 正确.故选：BCD 10．ACD
【解析】利用正弦定理以及边角互化可判断A 、B 、C ，利用向量数量积可判断D.【详解】对于A ，由
sin sin sin sin sin a b c b c
A B C B C
+===+，故A 正确；对于B ，若A B >，当120A =o ，30B = 时，则sin 2sin 2A B <，故B 不正确；对于C ，()cos cos sin sin cos sin cos sin sin c a B b A C A B B A A B C =+⇒=+=+=，故C 正确；对于D ，由0AB AC BC AB AC
⎛
⎫
⎪+⋅= ⎪⎝
⎭
，可得BAC ∠的角平分线与BC 垂直，所以ABC 为等腰三角形
又1
2
AB AC AB AC ⋅=
，可得3BAC π∠=，所以ABC 为等边三角形，故D 正确；故选：ACD 11．ABD
【分析】由同角的三角函数关系即可判断A ，设CD a =，利用余弦定理及面积公式即可判断B ，利用余弦定理求得AC ，进而判断C ，利用余弦定理可判断D.
【详解】因为cos CDB ∠=
sin CDB ∠，故A 正确；设CD a =，则2BC a =，
在BCD △中，2222cos BC CD BD BD CD CDB =+-⋅⋅∠
，解得a =，
所以112sin 33225
DBC S BD CD CDB =⋅⋅∠=⨯⨯= ，故B 正确；
因为ADC CDB π∠=-∠，
所以(
)cos cos cos 5
ADC CDB CDB π∠=-∠=-∠=
,在ADC △中,2222cos AC AD CD AD DC ADC =+-⋅⋅∠
，解得AC =所以ABC 的周长为(
)3584AB AC BC ++=+++，故C 错误；
因为8AB =为最大边，所以2223
cos 025
BC AC AB C BC AC +-==-<⋅，即C 为钝角，
所以ABC 为钝角三角形，故D 正确.故选：ABD.12．9
【分析】第一步利用等面积法求出,b c 的关系式，再利用基本不等式求解即可.【详解】由题意画图如下：
因为AD 为BAC ∠的角平分线，3
BAC π
∠=
，ABC ABD ADC S S S =+ 所以111
sin 60sin 30sin 30222
AB AC AB AD AD AC ⋅︒=⋅︒+⋅︒化简得
11111,,1
222c c b bc b c b c
⋅==++=利用基本不等式“1的代换”得
()()1145+449
154b c b c b c c b b c b c ⎛⎫
++=+⨯=+=+≥+ ⎪⎝⎭
故答案为：9.13．
【分析】利用方位角求出B 的大小，利用正弦定理直接求解AD 的距离，直接利用余弦定理求出CD 的距离即可．
【详解】如图，在△ABD 中，因为在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°的方向上，距离为海里，
货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在南偏东45°方向上，
所以B ＝180°−75°−45°＝60°由正弦定理
sin sin AD AB
B ADB
=∠，
所以sin 6s in AB B
AD ADB
=
=
∠海里；
在△ACD 中，AD ＝6，AC
＝CAD ＝45°，
由余弦定理可得：
(
2
22222cos 4563263182
CD AD AC AD AC ︒=+-⋅⋅=+-⨯⨯=，所以CD
＝
故答案为：14．(1)π3
B =
(2)【分析】（1）根据正弦定理化边为角，然后利用两角和的正弦公式即可求解.
（2）由余弦定理得到ABC 为等边三角形，在ADC △中，利用余弦定理表达出2=88cos x θ-，然后根据三角形面积公式即可求解.（1）
由正弦定理得：2sin cos 2sin sin B A=C A ⋅-,所以
()2sin cos sin 2sin 2sin cos 2cos sin B A+A=A B A B A B
⋅+=+即sin 2sin cos A=A B
⋅()10,π,sin 0cos 2
A A
B ∈∴≠⇒= ,()π
0,π3
B B ∈∴=
（2）
由2sin sin sin A C =B ⋅2b =ac
∴由余弦定理得222222222cos b a c ac B a c ac a c b =+-=+-=+-，222+2a c =b ∴()2
22222+2+20
a c =a c ac =a c
b =∴---a c
∴=
ABC ∴ 为等边三角形，设=AC =x ADC θ∠，，
在ADC △中，2
4+4cos 222
x =θ-⨯⨯，解得2=88cos x θ-
2++2sin 88cos +2sin ABC ACD ABCD S =S S =
=θθθ- 四边形）π4sin
3=θ-（）
当ππ=32θ-，即5π6
=θ时，S 有最大值15．(1)3A π
=(2)
【分析】（1）利用平面向量数量积运算法则和恒等变换公式化简函数()f x 的解析式，然后求解即可，要注意角A 的取值范围；
（2）利用余弦定理和基本不等式求解即可.
（1）由题()22cos sin cos 2sin 26f x m n x x x x x π⎛⎫=⋅=-+=+ ⎪⎝
⎭所以()2sin 216f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝
⎭，即1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭又因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5266A ππ+=，3A π=.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入数据得：223b c bc =+-，整理得到()()()22221333
24b c b c bc b c b c 骣+琪=+-³+-´=+琪桫解得b c +≤b c ==
等号成立.故c b +的最大值为
16．(1)
4(2)
【分析】（1）根据题意1cos 4A =，进而结合正弦定理得sin B =cos B =()sin sin C A B =+求解即可；
（2）结合（1）得4c b ==，进而根据面积关系得8AD AE ⋅=，最后结合基本不等式与余弦定理得212DE ≥，进而得答案.
(1)
解：ABC
是锐角三角形，1sin cos 44
A A =∴=.在ABC
中，4a b ==
，由正弦定理得
4sin sin b A B a ==
，
cos 4B ∴=
.()C A B =π-+ ，
(
)1sin sin sin cos cos sin 4C A B A B A B ∴=+=+=⨯(2)
解：由（1）知，sin sin ,4B C c b =∴==.由题意得1sin 1622,81sin 2
ABC ADE bc A S AD AE S AD AE AD AE A ==∴⋅=⋅⋅⋅ .由余弦定理得，222132cos 21222DE AD AE AD AE A AD AE AD AE AD AE =+-⋅≥⋅-
⋅=⋅=，
当且仅当AD AE ==“=”成立.
所以DE
的最小值为。