高中数学北师大版必修五课件：3.2.2.2-一元二次不等式的应用ppt讲练课件
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北师大版高中数学必修5《三章 不等式 2 一元二次不等式 2.1一元二次不等式的解法》公开课课件_23
x2
x
x
b
2a
ax2 bx c 0
(a 0)的解集 x x1 x x 2
0
无实根
R
例题讲解（已知不等式解集，求参数）
例4. 已知不等式 x2 + ax + b < 0的解集为 {x | 1 x 1},
试求a,b的值.
32
解：由一元二次方程的解和一元二次不等式解集的
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启发引导 形成结论
△=b2- 4ac
0
0
二次函数
y ax2 bx c
（ a 0）的 x1
x2
图象
对应二次方程 的根
x1, x2( x1 x2 )
b x1 = x2 = - 2a
ax2 bx c 0 (a 0)的解集
x
x
x1或x
一元二次不等式解的端点值是函数图像与x轴 交点的横坐标也是对于二次方程的解。
思考•交流•总结
1.“三个二次”有怎样的关系？
y = ax2 + bx + c与x轴交点横坐标x1, x2
ax2 + bx + c = 0 的解x1, x2
ax2 + bx + c < 0的解集 {x|x1< x < x2}端点值
y=h(x)
o
x
R
o
-3
x o
-1
4x
x 3 x 0
x x 4或x 1
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当堂训练 巩固深化
练习2：解下列不等式：
高中数学 第一部分 第三章 §2 2.2 一元二次不等式的应用课件 北师大版必修5
①(－∞，0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2，＋∞)．
提示：①f(x)＜0；②f(x)＞0；③f(x)＜0；④f(x)＞0.
高次不等式的解法
对于形如(x－a)(x－b)(x－c)＞0(＜0)的不等式，可
以把函数f(x)的图像与x轴的交点形象地看成“ 针眼 ”， 函数f(x)的图像看成“ 线 ”，穿线后观察图像得到不等式 解集的方法称为 穿针引线法 ．
于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，即x2＋10x－2 000＞0，
解得x＞40或x＜－50(不合实际意义，舍去)，这表明乙车
的车速超过40 km/h，超过规定限速．综上所述，甲车无 超速现象，而乙车有超速现象．
8．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成
本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为 1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品 档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增 加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比 例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.
母的正负进行讨论．
2．应用一元二次不等式解决实际问题 的关键是把实际问题转化为数学模型，解
不等式时，要ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ意变量的实际意义．
答案：(－4,2)
x＋1 3．解不等式 ≤2. x－2
x＋1 解：法一：移项得 －2≤0， x－2 左边通分并化简得 －x＋5 x－5 ≤0，即 ≥0， x－2 x－2
x－2x－5≥0， 可转化为 x－2≠0
∴x＜2 或 x≥5， ∴原不等式的解集为{x|x＜2，或 x≥5}．
[一点通]
一元高次不等式f(x)＞0用穿针引线法
求解，其步骤是
(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；
提示：①f(x)＜0；②f(x)＞0；③f(x)＜0；④f(x)＞0.
高次不等式的解法
对于形如(x－a)(x－b)(x－c)＞0(＜0)的不等式，可
以把函数f(x)的图像与x轴的交点形象地看成“ 针眼 ”， 函数f(x)的图像看成“ 线 ”，穿线后观察图像得到不等式 解集的方法称为 穿针引线法 ．
于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，即x2＋10x－2 000＞0，
解得x＞40或x＜－50(不合实际意义，舍去)，这表明乙车
的车速超过40 km/h，超过规定限速．综上所述，甲车无 超速现象，而乙车有超速现象．
8．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成
本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为 1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品 档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增 加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比 例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.
母的正负进行讨论．
2．应用一元二次不等式解决实际问题 的关键是把实际问题转化为数学模型，解
不等式时，要ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ意变量的实际意义．
答案：(－4,2)
x＋1 3．解不等式 ≤2. x－2
x＋1 解：法一：移项得 －2≤0， x－2 左边通分并化简得 －x＋5 x－5 ≤0，即 ≥0， x－2 x－2
x－2x－5≥0， 可转化为 x－2≠0
∴x＜2 或 x≥5， ∴原不等式的解集为{x|x＜2，或 x≥5}．
[一点通]
一元高次不等式f(x)＞0用穿针引线法
求解，其步骤是
(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；
北师大版高中数学必修五课件《3.2.1一元二次不等式的解法》课件
高中数学课件
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一元二次不等式的解法 （一）
y
o
x
问题：
（1）如何解一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) （2）二次函数y ax2 bx c(a 0) 的图象是
什么曲线？ （3）一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的
解与二次函数y ax2 bx c(a 0) 的图象 有什么联系？
下面我们一起来完成下表：
△＝b2－4ac f(x)＞0的解集 f(x)＜0的解集 f(x) ≥0的解集 f(x) ≤0的解集
△＞0
x x x2或x x1
x x1 x x2
△＝0
x
R
x
b 2a
x x x2或x x1
x x1 x x2
当-2a＜3a，即a＞0时， 原不等式的解集为{x︱-2a＜x＜3a}。
小结：
（1）根据数形结合的思想，利用二次 函数的图象解二次不等式。
（2）根据分类讨论的思想，正确选定 分类标准，解含参数的不等式。
有根，则求出其根。 （3）画出所对应的二次函数的图象； （4）根据图象写出不等式的解集。
例1、求下列不等式的解集：
(1) 6x2 5x 1 0 (2)4x2 4x 15 0
(3)5x2 2x 3
(4)9x2 6x 1
(5)3x2 5 4x
解解：：（（12345））将将原原不 不等等式式变变形形为为：(5293xxx6222x2526)4x(xx25xx315130)0000
而ax2这以往b上x往不c是等容0式易的对忽解x略∈集的R为恒，R成的一立条定。件要为引起大
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一元二次不等式的解法 （一）
y
o
x
问题：
（1）如何解一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) （2）二次函数y ax2 bx c(a 0) 的图象是
什么曲线？ （3）一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的
解与二次函数y ax2 bx c(a 0) 的图象 有什么联系？
下面我们一起来完成下表：
△＝b2－4ac f(x)＞0的解集 f(x)＜0的解集 f(x) ≥0的解集 f(x) ≤0的解集
△＞0
x x x2或x x1
x x1 x x2
△＝0
x
R
x
b 2a
x x x2或x x1
x x1 x x2
当-2a＜3a，即a＞0时， 原不等式的解集为{x︱-2a＜x＜3a}。
小结：
（1）根据数形结合的思想，利用二次 函数的图象解二次不等式。
（2）根据分类讨论的思想，正确选定 分类标准，解含参数的不等式。
有根，则求出其根。 （3）画出所对应的二次函数的图象； （4）根据图象写出不等式的解集。
例1、求下列不等式的解集：
(1) 6x2 5x 1 0 (2)4x2 4x 15 0
(3)5x2 2x 3
(4)9x2 6x 1
(5)3x2 5 4x
解解：：（（12345））将将原原不 不等等式式变变形形为为：(5293xxx6222x2526)4x(xx25xx315130)0000
而ax2这以往b上x往不c是等容0式易的对忽解x略∈集的R为恒，R成的一立条定。件要为引起大
2015-2016学年北师大版数学必修5全册课件：3.2.2 一元二次不等式的应用
2.2 一元二次不等式的应用
-1-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
1.掌握一元二次方程根的分布问题. 2.会解简单的分式不等式与一元高次不等式. 3.能运用不等式的知识和方法解决常见的实际问题.
-2-
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知识梳理
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典例透析
随堂演练
1.简单的分式不等式的解法
分式不等式
ax +b cx +d ax +b cx +d
������(������) ≥0 ������(������)
或
������(������) ≤0 ������(������)
的形式,然后转化为整式不等式.
此不等式等价于(x+2)(x-1)>0, 解得 x<-2 或 x>1, 故原不等式的解集为{x|x<-2 或 x>1}.
-6-
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(������-2)(������ + 1) ≤ 0, ������ + 1 ≠ 0,
-3-
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随堂演练
2.用穿针引线法解简单的一元高次不等式 f(x)>0 的步骤 (1)将 f(x)最高次项的系数化为正数; (2)将 f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积; (3)将每一个一次因式的根标在数轴上,从右上方依次通过每一点画曲 线(注意重根情况,偶次方根穿而不过,奇次方根既穿又过); (4)根据曲线显现出的 f(x)值的符号变化规律,写出不等式的解集. 【做一做 2】 不等式 x(x-1)(1-2x)>0 的解集是 . 解析:原不等式可化为 x(x-1) ������������ ������ < 0 或 < ������ < 1 .
-1-
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1.掌握一元二次方程根的分布问题. 2.会解简单的分式不等式与一元高次不等式. 3.能运用不等式的知识和方法解决常见的实际问题.
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1.简单的分式不等式的解法
分式不等式
ax +b cx +d ax +b cx +d
������(������) ≥0 ������(������)
或
������(������) ≤0 ������(������)
的形式,然后转化为整式不等式.
此不等式等价于(x+2)(x-1)>0, 解得 x<-2 或 x>1, 故原不等式的解集为{x|x<-2 或 x>1}.
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(������-2)(������ + 1) ≤ 0, ������ + 1 ≠ 0,
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2.用穿针引线法解简单的一元高次不等式 f(x)>0 的步骤 (1)将 f(x)最高次项的系数化为正数; (2)将 f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积; (3)将每一个一次因式的根标在数轴上,从右上方依次通过每一点画曲 线(注意重根情况,偶次方根穿而不过,奇次方根既穿又过); (4)根据曲线显现出的 f(x)值的符号变化规律,写出不等式的解集. 【做一做 2】 不等式 x(x-1)(1-2x)>0 的解集是 . 解析:原不等式可化为 x(x-1) ������������ ������ < 0 或 < ������ < 1 .
3.2.2《一元二次不等式的应用》课件(北师大版必修5)
的取值范围； • (2)对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m 的取值范围．
• [策略点睛]
[规范作答]
(1)要 mx2－mx－1＜0 恒成立，
若 m＝0，显然－1＜0. 若
m＜0， m≠0， Δ＝m2＋4m＜0
⇒－4＜m＜0.
∴－4＜m≤0.
(2)方法一：∵f(x)＝mx
方法二：原不等式即 f(x)＋m－5＜0， 即 令
12 3 mx－2 ＋4m－6＜0，x∈[1,3] 12 3 g(x)＝mx－2 ＋4m－6，x∈[1,3]，
当 m＞0 时，g(x)是增函数，∴g(x)max＝g(3)， 6 6 ∴7m－6＜0，得 m＜7.∴0＜m＜7. 当 m＝0 时，－6＜0 恒成立． 当 m＜0 时，g(x)是减函数． ∴f(x)max＝g(1)＝m－6＜0，得 m＜6.∴m＜0.
x－3x＋2≥0 x＋2≠0
⇒x＜－2 或 x≥3.
所以原不等式的解集为{x|x＜－2 或 x≥3}， 即(－∞，－2)∪[3，＋∞)．
4 (2)原不等式⇒ －(x－1)≤0 x－1
x－3x＋1x－1≥0 x－3x＋1 ⇒ ≥0⇒ x－1≠0 x－1
• (2)解分式不等式注意的问题： • ①解分式不等式一定要等价变形为标准形式，
就是右边为零，左边为分式再等价转化为不等 式组或高次不等式来求解． • ②若分式不等式含等号，等价转化为整式不等 式时，其分母不为零最易丢掉，这一点一定要 注意． • ③当分式不等式分母正负不确定时不可通过不 等式两边同乘以分母的方法转化为整式不等 式．
• ． • 2．若ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是∅，则a，b，
c满足的条件是 . a＞0，b2－4ac＜0 • 3．二次函数y＝ax2 ＋bx＋c(x∈R)的部分对应 值如表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
• [策略点睛]
[规范作答]
(1)要 mx2－mx－1＜0 恒成立，
若 m＝0，显然－1＜0. 若
m＜0， m≠0， Δ＝m2＋4m＜0
⇒－4＜m＜0.
∴－4＜m≤0.
(2)方法一：∵f(x)＝mx
方法二：原不等式即 f(x)＋m－5＜0， 即 令
12 3 mx－2 ＋4m－6＜0，x∈[1,3] 12 3 g(x)＝mx－2 ＋4m－6，x∈[1,3]，
当 m＞0 时，g(x)是增函数，∴g(x)max＝g(3)， 6 6 ∴7m－6＜0，得 m＜7.∴0＜m＜7. 当 m＝0 时，－6＜0 恒成立． 当 m＜0 时，g(x)是减函数． ∴f(x)max＝g(1)＝m－6＜0，得 m＜6.∴m＜0.
x－3x＋2≥0 x＋2≠0
⇒x＜－2 或 x≥3.
所以原不等式的解集为{x|x＜－2 或 x≥3}， 即(－∞，－2)∪[3，＋∞)．
4 (2)原不等式⇒ －(x－1)≤0 x－1
x－3x＋1x－1≥0 x－3x＋1 ⇒ ≥0⇒ x－1≠0 x－1
• (2)解分式不等式注意的问题： • ①解分式不等式一定要等价变形为标准形式，
就是右边为零，左边为分式再等价转化为不等 式组或高次不等式来求解． • ②若分式不等式含等号，等价转化为整式不等 式时，其分母不为零最易丢掉，这一点一定要 注意． • ③当分式不等式分母正负不确定时不可通过不 等式两边同乘以分母的方法转化为整式不等 式．
• ． • 2．若ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是∅，则a，b，
c满足的条件是 . a＞0，b2－4ac＜0 • 3．二次函数y＝ax2 ＋bx＋c(x∈R)的部分对应 值如表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
高中数学 第3章 不等式 3.2.2 一元二次不等式的应用课件 北师大版必修5
当 7.6<a≤8 时，投资生产乙产品 100 件可获最大年利润．
●思考题 4 某投资商到一开发区投资 72 万元建起一座蔬 菜加工厂，经营中，第一年支出 12 万元，以后每年支出增加 4 万元，从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元．设 f(n)表示前 n 年 的纯利润总和，(f(n)＝前 n 年的总收入－前 n 年的总支出－投资 额 72 万元)，该厂从第几年开始盈利？
结束 语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
复习课件
高中数学 第3章 不等式 3.2.2 一元二次不等式的应用课件 北师大版必修5
2．2 一元二次不等式的应用
要点 1 一元二次方程根的分布 数形结合法求解．
要点 2 分式不等式的解法 (1)解分式不等式的基本思想是将分式不等式转化成整式不 等式．即
f（x） ＞0⇔f(x)·g(x)＞0，
6．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从 2 月 1 日起的 300 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系如下图的一 条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(2)的抛物 线段表示．
(1)写出图①表示的市场售价与时间的函数关系式 P＝f(t)； 写出图②表示的种植成本与时间的函数关系式 Q＝g(t)；
答案 A 解析 原不等式等价于 x(x＋2)(x－3)<0. 结合数轴穿根法(如图)可知：
∴原不等式的解集为{x|x<－2 或 0<x<3}．
5．若关于 x 的二次方程 2(k＋1)x2＋4kx＋3k－2＝0 的两根 同号，求 k 的取值范围．
解析 ∵方程两根同号， 2（k＋1）≠0，
则2Δ（3＝kk＋－（124）k）>20－. 8（k＋1）（3k－2）≥0， 解得－2≤k<－1 或23<k≤1.
●思考题 4 某投资商到一开发区投资 72 万元建起一座蔬 菜加工厂，经营中，第一年支出 12 万元，以后每年支出增加 4 万元，从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元．设 f(n)表示前 n 年 的纯利润总和，(f(n)＝前 n 年的总收入－前 n 年的总支出－投资 额 72 万元)，该厂从第几年开始盈利？
结束 语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
复习课件
高中数学 第3章 不等式 3.2.2 一元二次不等式的应用课件 北师大版必修5
2．2 一元二次不等式的应用
要点 1 一元二次方程根的分布 数形结合法求解．
要点 2 分式不等式的解法 (1)解分式不等式的基本思想是将分式不等式转化成整式不 等式．即
f（x） ＞0⇔f(x)·g(x)＞0，
6．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从 2 月 1 日起的 300 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系如下图的一 条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(2)的抛物 线段表示．
(1)写出图①表示的市场售价与时间的函数关系式 P＝f(t)； 写出图②表示的种植成本与时间的函数关系式 Q＝g(t)；
答案 A 解析 原不等式等价于 x(x＋2)(x－3)<0. 结合数轴穿根法(如图)可知：
∴原不等式的解集为{x|x<－2 或 0<x<3}．
5．若关于 x 的二次方程 2(k＋1)x2＋4kx＋3k－2＝0 的两根 同号，求 k 的取值范围．
解析 ∵方程两根同号， 2（k＋1）≠0，
则2Δ（3＝kk＋－（124）k）>20－. 8（k＋1）（3k－2）≥0， 解得－2≤k<－1 或23<k≤1.
3.2.1一元二次不等式的解法课件ppt(北师大版必修五)
(3)m＜0
3 1 时，原不等式变为x＋ x－ ＜0， m m
1 3 解得 ＜x＜－ .综上，m＝0 时，解集为 R； m m m＞0 m＜0
3 1 时，解集为x－ ＜x＜ m m 1 3 x ＜x＜－ 时，解集为 m m ； .
解 原不等式可变形为(x－a)(x－a2)＞0， 则方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2， (1)当a＜0时，有a＜a2，∴x＜a或x＞a2， 此时原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}； (2)当0＜a＜1时，有a＞a2，即x＜a2或x＞a， 此时原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}； (3)当a＞1时，有a2＞a，即x＜a或x＞a2， 此时原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；
课前探究学习
课堂讲练互动
【训练3】 已知关于x的不等式ax2＋bx＋a2－1≤0的解集是 (－∞，－1]∪[2，＋∞)，求a，b的值．
解 由题意可知，a＜0，且－1,2 是方程 ax2＋bx＋a2－1＝0
的根， a＜0， －1＋2＝－b， a 所以 a2－1 －1×2＝ ， a
课前探究学习
课堂讲练互动
自学导引
一元二次不等式的有关概念 1． ax2＋bx＋c＞0(≥0) ax2＋bx (1)一元二次不等式：形如__________________或________ ____________________的不等式叫做一元二次不等式． ＋c＜0(≤0)(其中a≠0) (2)一元二次不等式的解：一般地，使某个一元二次不等式 x的值 成立的______叫这个一元二次不等式的解． 所有解 (3)一元二次不等式的解集：一元二次不等式的_______组 成的集合，叫做一元二次不等式的解集．
高中数学必修五北师大版 一元二次不等式的应用 课件(60张)
不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或x≥0}．
规律方法 解高次不等式用穿针引线法简捷明了，使用此法时一 定要注意：①所标出的区间是否是所求解的范围，可取特 值检验，以防不慎造成失误；②是否有多余的点，多余的 点应去掉；③总结规律，“遇奇次方根一穿而过，遇偶次 方根只穿，但不过”，如上图.
解不等式(x＋4)(x＋5)2(2－x)3<0. 【分析】 如果多项式f(x)可分解为n个一次或二次因
【尝试解答】 设f(x)＝x2＋(a＋1)x＋2a. (1)若方程的两根均大于1，如图1所示，则有 Δ≥0 f1>0 a＋1 － 2 >1 a＋12－8a≥0 ⇒2＋3a>0 a<－3
a≥3＋2 2或a≤3－2 2 2 ⇒a>－3 a<－3 解得a∈∅，即不存在．
高次不等式的解法
【例2】
解下列不等式．
(1)x3－2x2＋3<0； (2)(x＋1)(1－x)(x－2)>0； (3)x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0.
【思路探究】
通过因式分解，把高次不等式化为一
元一次不等式或一元二次不等式的积问题，然后再依据相 关性质解答．
【尝试解答】
(1)原不等式可化为(x＋1)(x2－3x＋
第三章
不等式
§2
一元二次不等式
2.2 预习篇
一元二次不等式的应用
巩固篇
课堂篇
课时作业 提高篇
学习目标
1.掌握一元二次方程根的分布问题. 2.会解简单的分式不等式与一元高次不等式. 3.能运用不等式的知识和方法解决常见的实际问题.
重点难点
重点：让学生体会问题的转化过程. 难点：体现在形式的转化与方法的转化.
2018-2019学年北师大版必修五 3.2.2一元二次不等式的应用 课件(29张)
价为 12 万元/辆，年销售量为 10 000 辆．本年度为适应市场需求，计划 提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为 x(0 ＜x＜1)，则出厂价相应地提高比例为 0.75x，同时预计年销售量增加的 比例为 0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内？
• 即x2－10x＋24≤0，得4≤x≤6.
• 最高定价：当x＝6 时，2＋0.2x＝3.2(元)；
• 最低定价：当x＝4时，2＋0.2x＝ 2.8(元)．
• 故杂志定价应在2.8元到3.2元之间．
• 令y＝(2＋0.2x)(100 000－5 000x)
• ＝－1 000(x2－10x)＋200 000
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一元二次不等式的实际应用练习 某摩托车生产企业，上年度生产车的投入成本为 1 万元/辆， 出厂价为 1.2 万元/辆，年销售量为 1 000 辆，本年度为适应市场需 要，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增 加的比例为 x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为 0.75x，同时预计 年销量增加的比例为 0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年 销售量． (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 之间的 关系式； (2)为使本年度的利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比 例 x 应在什么范围内？
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解：(1)由题意得 y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0 ＜x＜1)，
整理得 y＝－6 000x2＋2 000 x＋20 000(0＜x＜1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有 y－12－10×10 000＞0， 0＜x＜1， 即－ 0＜6x0＜001x，2＋2 000x＞0， 解得 0＜x＜13， 所以投入成本增加的比例应在0，13范围内．
(1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内？
• 即x2－10x＋24≤0，得4≤x≤6.
• 最高定价：当x＝6 时，2＋0.2x＝3.2(元)；
• 最低定价：当x＝4时，2＋0.2x＝ 2.8(元)．
• 故杂志定价应在2.8元到3.2元之间．
• 令y＝(2＋0.2x)(100 000－5 000x)
• ＝－1 000(x2－10x)＋200 000
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一元二次不等式的实际应用练习 某摩托车生产企业，上年度生产车的投入成本为 1 万元/辆， 出厂价为 1.2 万元/辆，年销售量为 1 000 辆，本年度为适应市场需 要，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增 加的比例为 x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为 0.75x，同时预计 年销量增加的比例为 0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年 销售量． (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 之间的 关系式； (2)为使本年度的利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比 例 x 应在什么范围内？
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解：(1)由题意得 y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0 ＜x＜1)，
整理得 y＝－6 000x2＋2 000 x＋20 000(0＜x＜1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有 y－12－10×10 000＞0， 0＜x＜1， 即－ 0＜6x0＜001x，2＋2 000x＞0， 解得 0＜x＜13， 所以投入成本增加的比例应在0，13范围内．
北师大版高中数学必修五第三章不等式3.2.1.1一元二次不等式及其解集课件
反思解一元二次不等式,当二次项系数为负时,通常转化为二次项 系数为正的情形.正确计算判别式“Δ”的值,若Δ≥0,解出方程的根, 画出相应二次函数的图像,根据图像求一元二次不等式的解集.
-12-
第1课时 一元二次不等式及其解集
题型一 题型二 题型三 题型四
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1
1 3
解析:因为 Δ=62-4×9×1=0, 1 2 方程 9x +6x+1=0 的根为 x1=x2=− , 3 1 所以原不等式的解集为 - . 3 答案:D
-8-
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S随堂演练
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解: (1)因为 Δ=72-4×2×4>0,所以方程 2x2+7x+4=0 有两个实数 根 x1 =
-7- 17 4
,x2 =
-7+ 17 4
.
二次函数 y=2x2+7x+4 的图像如图所示. 所以原不等式的解集为 ������ ������ >
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解法二 :原不等式可化为 x2-8x+3<0. 因为 Δ=(-8)2-4×1×3> 0,所以方程 x2-8x+3=0 有两个实数根 x1=4− 13, ������2 = 4 + 13. 二次函数 y=x2-8x+3 的图像如图所示 . 所以原不等式的解集为 {x|4− 13 < ������ < 4 + 13}.
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解: (1)因为 Δ=72-4×2×4>0,所以方程 2x2+7x+4=0 有两个实数 根 x1 =
-7- 17 4
,x2 =
-7+ 17 4
.
二次函数 y=2x2+7x+4 的图像如图所示. 所以原不等式的解集为 ������ ������ >
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解法二 :原不等式可化为 x2-8x+3<0. 因为 Δ=(-8)2-4×1×3> 0,所以方程 x2-8x+3=0 有两个实数根 x1=4− 13, ������2 = 4 + 13. 二次函数 y=x2-8x+3 的图像如图所示 . 所以原不等式的解集为 {x|4− 13 < ������ < 4 + 13}.
高中数学 第三章 不等式 2.2 一元二次不等式的应用课件 北师大版必修5.pptx
fx·gx≤0， gx≠0 ；
fx (3) gx
≥a⇔
fx－agx gx
≥0.
6
知识点二 穿针引线法解高次不等式
思考
分别画出y＝x－1，y＝(x－1)(x－2)，y＝(x－1)(x－2)(x－3)的 图 像 ， 并 观 察 它 们 与 相 应 的 x － 1>0 ， (x － 1)(x － 2)>0 ， (x － 1)(x－2)(x－3)>0的关系. 答案
13
பைடு நூலகம்
反思与感悟
一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准 确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应 注意变量具有的“实际含义”.
15
跟踪训练1 在一个限速40 km/h的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行， 发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车 距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲，乙两种车型的 刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2， S乙＝0.05x＋0.005x2.问谁应负超速行驶主要责任. 解答
10
梳理
一般地，“不等式f(x)>0在区间[a，b]上恒成立”的几何意义是函数y＝ f(x)在区间[a，b]上的图像全部在x轴 上 方.区间[a，b]是不等式f(x)>0的 解集的子集 . 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即： 若f(x)有最大值，则k≥f(x)恒成立⇔k≥ f(x)max ； 若f(x)有最小值，则k≤f(x)恒成立⇔k≤ f(x)min .
x－3 (1)x＋2<0； 解答 x－3 x＋2 <0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3， ∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}.
北师大版高中数学必修5《三章 不等式 2 一元二次不等式 2.2一元二次不等式的应用》公开课课件_23
例题分析
y
O1
x
学习过程
例题分析
优解：我们可以令 f (x) x2 3mx 4m2 ，根据
y
题目所给的条件，可以画出函数的草图如下：
可以看到，当 x 1 时，函数值为正值 所以 f (1) 0，则 f (1) 1 3m 4m2 0
O1
x
我们可以解上述一元二次不等式从而得到 m 的范
13.5(x 7)
假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求： 1、假定收支恰好平衡，则x应取何值？ 2、若要盈利，则x应取何值？
从函数观点看一元二次方程和不等式
修武实验高中 华高潮
学前准备
学前准备
复习目标 复习并熟悉二次 函数的主要性质。
知识目标 1、会求简单的一 元二次不等式的 解集。 2、知道一元二次 方程和相应不等 式之间的联系。
数 学 与 生 活问题提出生活实例• 王经理的工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产 100台某产品的生产成为1万元，设生产该产品x(百 台），其总成本为g(x)万元（总成本＝固定成本＋ 生产成本），并且销售收入r(x)满足
0.5x2 7x 10.5(0 x 7) r(x)
任务目标
能力目标 学习体会函数与 方程的思想及数 形结合的数学思 想并会简单运用。
德育目标 不可孤立看待事 物，要注意它们 的内在联系。
学前准备
学习重点
1、复习回顾二次 函数的图像和性质
3、一元二次方程的解和不 等式的解集之间的关系。
2、一元二次不等式的解 法
4、学习体会重要的数学 思想并会简单运用。
例2、关于 x 的方程 x2 3mx 4m2 0 满足一个根大 m
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4x＋2 不等式 ＞0 的解集是( 3x－1
1 1 A.x|x＞3或x＜－2 3 1 D.x|x＜－2
)
4x＋2 1 1 解析：选 A. ＞0⇔(4x＋2)(3x－1)＞0⇔x＞ 或 x＜－ ，此 3 2 3x－1
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即： k≥f(x)(k＞f(x))恒成立⇔k≥f(x)max(k＞f(x)max)； k≤f(x)(k＜f(x)) 恒成立⇔k≤f(x)min(k＜f(x)min)．
分式不等式的解法 解下列不等式： 2x－1 2－x (1) ≥0；(2) ＞0. 3x＋1 x＋3 【解】 (1)原不等式可化为
法二：原不等式可化为 （2－x）－（x＋3） －2x－1 ＞0，化简得 ＞0， x＋3 x＋3 2x＋1 即 ＜0.所以(2x＋1)(x＋3)＜0. x＋ 3 1 解得－3＜x＜－ . 2 所以原不等式的解集为
1 x|－3＜x＜－ . 2
分式不等式的解法 (1)任何一个分式不等式都是通过移项、通分等一系列手段，把 不等号的一边化为 0，再转化为乘积不等式来求解的，即将分 式不等式等价转化为整式不等式 (组)，进而用整式不等式 (组) 的解法使问题得到解决． (2)不能丢掉分母不为 0 的情况，
1 答案：x|x＜0或x≥2
1．简单的分式不等式的解法
2．一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为 R 的情况，即 ax2＋bx＋c＞ 0(a≠0) 恒 成 立 ⇔
a＜0， ⇔ Δ ＜0. a＞0， Δ ＜0，
ax2 ＋ bx ＋ c ＜ 0(a≠0) 恒 成 立
f（x）g（x）≥0， f （ x） 即 ≥0⇔ ⇔f(x)· g(x)>0 g（x） g（x）≠0 f（x）＝0， 或 g（x）≠0.
x＋2 1.(1)不等式 2 ＞1 的解集为________． x ＋x＋1 (2)若关于 x 的不等式 ax－b>0 的解集为(1，＋∞)，求关于 x ax＋b 的不等式 >0 的解集． x－2
f(x)· g(x)≥0 且 g(x)≠0
f(x)· g(x)≤0 且 g(x)≠0
2．高次不等式的解法——穿针引线法 穿针引线法解高次不等式的一般步骤是 (1)整理—原式化为标准型．把 f(x)进行因式分解，并化简为下 面形式：(x－x1)(x－x2)„(x－xn)>0(或<0)． (2)标根—在数轴上标根．将 f(x)＝0 的 n 个根 x1，x2，„，xn 按照大小顺序标在数轴上，这 n 个根中可能出现重根． (3)画线—画穿根线．从最大根右上方开始，按照大小顺序依次 经过每个根画一条连续曲线， 作为穿根线． 遇奇次根穿过 x 轴， 遇偶次根弹回，即“奇穿偶回”．
第三章 不等式
2．2
一元二次不等式的应用
1．解分式不等式的同解变形 f（x） (1) >0 g（x） f（x） (2) <0 g（x） f（x） (3) ≥0 g（x） f（x） (4) ≤0 g（x）
f(x)g(x)>0 f(x)g(x)<0
． ． f(x)· g(x)>0 或 f(x)＝0. f(x)g(x)<0 或 f(x)＝0.
x2－1 解：(1)原不等式可化为 2 ＜0. x ＋x＋1 因为 x
2
1 2 3 ＋x＋1＝x＋2 ＋ ＞0， 4
所以 x2－1＜0，解得－1＜x＜1， 所以原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}．
则 x(x＋2)(x－3)＜0 的解集为 {x|x＜－2 或 0＜x＜3}， x（x＋2） 即不等式 ＜0 的解集为{x|x＜－2 或 0＜x＜3}． x－ 3
x＋1 不等式 x ≤3 的解集为________．
x＋1 x＋ 1 2x－1 解析： x ≤3⇔ x －3≤0⇔ x ≥0⇔ 1 x(2x－1)≥0 且 x≠0⇔x＜0 或 x≥ . 2
（2x－1）（3x＋1）≥0， 3x＋1≠0，
1 1 x≤－3或x≥2， 解得 x≠－1， 3
1 1 所以 x＜－ 或 x≥ . 3 2 所以原不等式的解集为
1 1 x|x＜－ 或x≥ . 3 2
(2)原不等式可转化为(2－x)(x＋3)＞0， 即(x－2)(x＋3)＜0.解得－3＜x＜2， 所以原不等式的解集为{x|－3＜x＜2}．
1 1 不等式的解集为x|x＞3或x＜－2.
x（x＋2） 不等式 ＜0 的解集为( x－3 A．{x|x＜－2 或 0＜x＜3} B．{x|－2＜x＜0 或 x＞3} C．{x|x＜－2 或 x＞0} D．{x|x＜0 或 x＞3}
)
x（x＋2） 解析：选 A. ＜0⇔x(x＋2)(x－3)＜0. x－3 如图所示．
(4)选解—写出解集．结合图像，在数轴上方的曲线对应的区间 为
f(x)>0
的解集，在数轴下方的曲线对应的区间为
f(x)<0 的解集．至于 f(x)≥0，f(x)≤0 的解集再把交点坐 ___________
标加上即可．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)最高次数为 n(n≥3)的不等式所对应的方程的根一定有 n 个 不同的根．( × ) （x－3）（x－2）（x－5） (2) 不等式 ≥0 等价于 (x － 3)2(x － （x－3）（x－7） 2)(x－5)(x－7)≥0.( × ) (3)不等式(x＋1)2(2－4x)(6＋2x)≤0 与(x＋1)2(4x－2)(2x＋6)≥0 同解．( √ )
2－x 若将本例(2)变为 ＞1，则应如何解呢？ x＋3
x＋3＞0， x＋3＜0， 解：法一：原不等式可化为 或 2－x＞x＋3 2－x＜x＋3，
x＞－3， x＜－3， 解得 1 或 1 x＜－ x＞－ ， 2 2 1 所以－3＜x＜－ . 2 1 所以原不等式的解集为{x|－3＜x＜－ }． 2