2012届高考数学压轴题预测：4、立体几何
2012年高考数学专题复习(第2轮)——立体几何
《立体几何》专题复习【高考命题分析】【考点剖析】考点一空间几何体的结构、三视图、直观图【例１】（2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C，，分别是GHI△三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）【点评】本题主要考查三视图中的左视图，要有一定的空间想象能力。
【例2】某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（A ）283π- （B ）83π- （C ）82π- （D ）23π【例3】（2008江苏模拟）由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是 ．E F D I AH G B C EF DABC 侧视图1 图2 B E A ．BE B ． B E C ． B E D ． 主视图 左视图 俯视图【点评】从三视图到确定几何体，应根据主视图和俯视图情况分析，再结合左视图的情况定出几何体，最后便可得出这个立体体组合的小正方体个数。
考点二：空间几何体的表面积和体积【例4】（2007广东）已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S【点评】在课改地区的高考题中，求几何体的表面积与体积的问题经常与三视图的知识结合在一起，综合考查。
【例5】（2008山东）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π 【点评】本小题主要考查三视图与几何体的表面积。
既要能识别简单几何体的结构特征，又要掌握基本几何体的表面积的计算方法。
【例6】（湖北高考题）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A. 38πB. 328πC. π28D. 332π 【点评】本题考查球的一些相关概念，球的体积公式的运用。
2012高考数学考前30天冲刺押题系列四立体几何理教师版
考前30天之备战2012高考数学冲刺押题系列四 立体几何（理）教师版 【命题趋势】：理科的立体几何由三部分组成，一是空间几何体，二是空间点、直线、平面的位置关系，三是立体几何中的向量方法．高考在命制立体几何试题中，对这三个部分的要求和考查方式是不同的．在空间几何体部分，主要是以空间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图的识别判断、考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题，试题的题型主要是选择题或者填空题，在难度上也进行了一定的控制，尽管各地有所不同，但基本上都是中等难度或者较易的试题；在空间点、直线、平面的位置关系部分，主要以解答题的方法进行考查，考查的重点是空间线面平行关系和垂直关系的证明，而且一般是这个解答题的第一问；对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题．预测2012年高考的可能情况是： (1)以选择题或者填空题的形式考查空间几何体的三视图以及表面积和体积的计算．对空间几何体的三视图的考查有难度加大的趋势，通过这个试题考查考生的空间想象能力；空间几何体的表面积和体积计算以三视图为基本载体，交汇考查三视图的知识和面积、体积计算，试题难度中等． (2)以解答题的方式考查空间线面位置关系的证明，在解答题中的一部分考查使用空间向量方法求解空间的角和距离，以求解空间角为主，特别是二面角．【方法与技巧】1()2将平面图形沿直线翻折成立体图形，实际上是以该直线为轴的一个旋转．求解翻折问题的基本方法：先比较翻折前后的图形，弄清哪些量和位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化，然后将不变的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论均明朗化的立体几何问题．在解决空间位置关系的问题的过程中，注意几何法与向量法结合起来使用．若图形易找线、面的位置关系例如平面的垂线易作等，则用几何法较简．．便，否则用向量法．而用向量法，一般要求先求出直线的方向向量以及平面的法向量，然后考虑两个相关的向量是否平行或垂直．()(34)()对于空间线面位置的探索性问题，有的是运用几何直观大胆猜测后推理验证，有的是直接建系后进行计算，有时两种办法相结合，它因结果的不确定性，增强能力考查，而成为新高考的热点．重视转化与化归思想的应用，如面面平行或垂直问题转化为线面平行或垂直问题，也可继续转化为线线平行或垂直．．问题来处理．空间角的计算方法都是转化为平面角计算．要充分挖掘图形的性质，寻求平行关系，比如利用“中点”等性质．异面直线所成角强调的是“平行”，直线与平面所成角强调的是“射影”，二面角的平面角强调的是“垂直”．另外，必须注意三类角的取5．值范围．()()()12637求角的一般步骤：找出或作出有关的平面角；证明它是符合定义的角；将所求归到某一三角形中进行计算．向量法求解的关键是建立空间直角坐标系，若题中无明显两两垂直的直线，要先证明后建系，若建系困难可以考虑几何法或利用空间向量的向量式解决．另外，利用向量法求解角，注意向量夹角与所求的空间．．角的关系．()()()()123()(948)求距离的一般步骤是：一作，二证，三计算．即先作出表示距离的线段，再证明它就是所求的距离，然后再计算，其中第二步证明过程在解题中应引起足够的重视．求空间距离的方法可分为直接法、转化法、向量法．直接法是直接作出垂线，再通过解三角形求出距离．转化法是把面面距离转化为线面距离，再把线面距离转化为点面距离．等积法等面积、等体积是求距离点到线、点到面的常用方法，要注意灵．．活运用．向量法是把距离求解转化为向量运算．【高考冲刺押题】【押题1】如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，且2AD =，13AB AA ==，60BAD ∠=，E 为AB 的中点.（Ⅰ） 证明：1AC ∥平面1EB C ；（Ⅱ）求直线1ED 与平面1EB C 所成角的正弦值.【押题指数】★★★★★【解析】（Ⅰ） 证明：连接1BC ，11B CBC F =因为AE EB =，1FB FC =,所以EF ∥1AC …2分因为1AC ⊄面1EB C ，EF ⊂面1EB C 所以1AC ∥面1EB C …4分（Ⅱ）作DH AB ⊥，分别令1,,DH DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴,建立坐标系如图因为60BAD ∠=，2AD =，所以1AH =，DH =1,0)2E ，1(0,0,3)D ，(0,3,0)C，1B ，…6分11135(3,,3),(0,,3),(3,,0)222ED EB EC =--==-设面1EB C 的法向量为(,,)n x y z =,所以10n EB ⋅=，0n EC ⋅=化简得3302502y z y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令1y =，则531(,1,)2n =-…10分设1,n ED θ=，则119cos n ED n ED θ⋅==-⋅设直线1ED 与面1EB C 所成角为α，则cos cos(90)sin θαα=+=- 所以sin 70α=，则直线1ED 与面1EB C 所成角的正弦值为70……12分 【押题2】如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD是直角梯形，AB ⊥AD ，AB∥CD，AB= 2AD =2CD =2．E 是PB 的中点．（I ）求证：平面EAC ⊥平面PBC; （II ）若二面角P-A C-E 的余弦值为3求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．【押题指数】★★★★★ 【解析】（Ⅰ）∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥PC ，∵AB ＝2，AD ＝CD ＝2，∴AC ＝BC ＝2，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ，又BC ∩PC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC ， ∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ． …4分（Ⅱ）如图，以C 为原点，DA →、CD →、CP →分别为x 轴、y 轴、z 轴正向，建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (1，1，0)，B (1，－1，0)．设P (0，0，a )（a ＞0）， 则E ( 1 2，－ 1 2， a2)， …6分CA →＝(1，1，0)，CP →＝(0，0，a )，CE →＝( 1 2，－ 1 2， a 2)，取m ＝(1，－1，0)，则m ·CA →＝m ·CP →＝0，m 为面PAC 的法向量．设n ＝(x ，y ，z )为面EAC 的法向量，则n ·CA →＝n ·CE→＝0，即⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＋az ＝0，取x ＝a ，y ＝－a ，z ＝－2，则n ＝(a ，－a ，－2)，依题意，|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝a a 2＋2＝63，则a ＝2．于是n ＝(2，－2，－2)，PA →＝(1，1，－2)．设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈PA →，n 〉|＝|PA →·n |__________|PA →||n |＝23，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23． …12分 【押题3】如图，在底面是矩形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2,1,PA AB BC ===E 是PD的中点.（1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（2）求二面角E AC D --所成平面角的余弦值. 【押题指数】★★★★★【解析】解法一：（1）PA ⊥平面ABCD,CD ⊂平面ABC∴ PA ⊥CD ABCD 是矩形 ∴AD ⊥CD 而PA ⋂ AD =A ∴ CD ⊥平面PAD CD ⊂平面PDC ∴平面PDC ⊥平面PAD ……4分【押题4】如图，多面体ABCD EF -中，ABCD 是梯形，CD AB //，ACFE 是矩形，平面⊥ACFE 平面ABCD ，a AE CB DC AD ====，2π=∠ACB ．（1）若M 是棱EF 上一点，//AM 平面BDF ，求EM ；（2）求二面角D EF B --的平面角的余弦值． 【押题指数】★★★★★ 【解析】（1）连接BD ，记O BD AC = ，在梯形ABCD 中，因为a CB DC AD ===，CD AB //，所以DAC CAB ACD ∠=∠=∠，23ππ+∠=∠+∠+∠=∠+∠=DAC ACB ACD DAB BCD ABC ，6π=∠DAC ，从而6π=∠CBO ，又因为2π=∠ACB ，a CB =，所以a CO 33=，连接FO ，由//AM 平面BDF 得FO AM //，因为ACFE 是矩形，所以a CO EM 33==。
2012年高考真题理科数学解析汇编立体几何参考答案2
2012年高考真题理科数学解析汇编：立体几何参考答案2则B (2， 0, 0），C (2, 22,0），E (1， 2， 1）,)1,2,1(=AE ,)0,22,0(=BC设AE 与BC 的夹角为θ，则222224||||cos ===⨯⋅BC AE BC AE θ,θ=4π.由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π [解法二］取PB 中点F ,连接EF 、AF ，则EF ∥BC ,从而∠AEF （或其补角)是异面直线 BC 与AE 所成的角在AEF ∆中，由EF =2、AF =2、AE =2 知AEF ∆是等腰直角三角形, 所以∠AEF =4π。
因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π1.解(1）1111224ABC S ∆=⨯⨯=,又1CC 为三棱锥1C MBC-的高,11111123346C MBC ABC V S CC -∆∴=⋅=⨯⨯= (2)//CD AB ，所以1C MB ∠或其补角为导面直线CD 与1MC 所成的角.连接1,BC AB ⊥平面11,BCC B AB BC ∴⊥,在1Rt MBC ∆中,11415,2BC MB =+==15tan 2512C MB ∠==,故1arctan 25C MB ∴∠=,即异面直线CD 与1MC 所成的角为arctan 252.解析:(1)证法一 如图，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设直线,,,a b c n 的方向向量分别是,,,a b c n ，则,,b c n 共面，根据平面向量基本定理，存在实数,λμ使得c b n λμ=+ABCD P EF则()()()a c a b n a b a n λμλμ⋅=⋅+=⋅+⋅ 因为a b ⊥，所以0a b ⋅= 又因为aπ,n π⊥，所以0a n ⋅=故0a c ⋅=，从而a c ⊥证法二 如图,记c b A ⊥=,P 为直线b 上异于点A 的任意一点，过P 作PO π⊥，垂足为O ，则O c ∈ ∵PO π⊥，a π，∴直线PO a ⊥又a b ⊥，b平面PAO ,POb P =∴a ⊥平面PAO ，又c 平面PAO ，∴a c ⊥（2）逆命题:a 是平面π内一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a c ⊥，则a b ⊥. 逆命题为真命题. 3. 解析：（Ⅰ)在等腰梯形ABCD 中,AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD,由余弦定理可知202223)180cos(2CD DAB CB CD CB CD BD =∠-⋅⋅-+=,即AD CD BD 33==，在ABD ∆中,∠DAB=60°,AD BD 3=,则ABD ∆为直角三角形,且DB AD ⊥.又AE⊥BD,⊂AD 平面AED ，⊂AE 平面AED ，且A AE AD = ，故BD⊥平面AED ； (Ⅱ)由(Ⅰ)可知CB AC ⊥,设1=CB ,则3==BD CA ，建立如图所示的空间直角坐标系，)0,21,23(),0,1,0(),01,0(-D B F ，向量)1,0,0(=n 为平面BDC 的一个法向量.设向量),,(z y x m =为平面BDF 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00FB m BD m ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-002323z y y x , 取1=y ，则1,3==z x ,则)1,1,3(=m 为平面BDF 的一个法向量.zx y5551,cos ==⋅>=<nm n m n m ，而二面角F —BD —C 的平面角为锐角，则 二面角F-BD-C 的余弦值为55. 解法二:取BD 的中点G ，连接1,CG FG ，由于CB CD =，因此CG BD ⊥， 又FC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ,所以FC BD ⊥ 由于,,FC CG C FC CG ⋂=⊂平面FCG ,所以BD ⊥平面FCG故BD FG ⊥，所以FGC ∠为二面角F BD C --的平面角.在等腰三角形BCD 中，由于120BCD ∠=︒，因为12CG CB=,又CB CF=，所以225GF CG CF CG =+=，故5cos 5FGC ∠=，因此二面角F BD C --的余弦值为55。
2012年高考真题理科数学解析汇编：立体几何
2012年高考真题理科数学解析汇编：立体几何一、选择题1 ．（2012年高考（新课标理））已知三棱锥S A B C -的所有顶点都在球O 的求面上,A B C ∆是边长为1的正三角形,S C 为球O 的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为（ ）A．6B．6C．3D．22 ．（2012年高考（新课标理））如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为A ．6B ．9C ．12D ．183 ．（2012年高考（浙江理））已知矩形ABCD ,AB =1,BC将∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着,在翻着过程中, A ．存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直 B ．存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直 C ．存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置,三直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直4 ．（2012年高考（重庆理））设四面体的六条棱的长分别为和a ,且长为a 的棱,则a 的取值范围是 （ ）A ．(0,B ．(0,C ．D ．5 ．（2012年高考（四川理））如图,半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内,过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ,过圆O 的直径C D 作平面α成45角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B ,该交线上的一点P 满足60BOP ∠=,则A 、P 两点间的球面距离为（ ）A ．arccos 4R B ．4Rπ C ．arccos 3R D ．3Rπ6 ．（2012年高考（四川理））下列命题正确的是（ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行7 ．（2012年高考（上海春））已知空间三条直线.l m n 、、若l 与m 异面,且l 与n 异面,则[答] （ ）A ．m 与n 异面.B ．m 与n 相交.C ．m 与n 平行.D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能.8 ．（2012年高考（陕西理））如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111A B C A B C -,12A C C C B ==,则直线1BC 与直线1A B 夹角的余弦值为 （ ）A5B3C5D ．359 ．（2012年高考（江西理））如图,已知正四棱锥S-ABCD 所有棱长都为1,点E 是侧棱SC 上一动点,过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记SE=x(0<x<1),截面下面部分的体积为V(x),则函数y=V(x)的图像大致为10．（2012年高考（湖南理））某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是11．（2012年高考（湖北理））我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V,求其直径d的一个近似公式d ≈. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159判断,下列近似公式中最精确的一个是（ ）A．d ≈B．d ≈C．d ≈D ．(一)必考题(11—14题)12．（2012年高考（湖北理））已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A 图1B C D侧视图正视图俯视图A ．8π3B ．3πC ．10π3D ．6π13．（2012年高考（广东理））(立体几何)某几何体的三视图如图1所示,它的体积为 （ ）A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π14．（2012年高考（福建理））一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱柱C ．正方形D ．圆柱15．（2012年高考（大纲理））已知正四棱柱111A B C DA B C D-中,12,AB CC E ==为1C C 的中点,则直线1AC 与平面BED 的距离为 （ ） A ．2BCD ．116．（2012年高考（北京理））某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 （ ）A．28+ B．30+ C．56+D．60+17．（2012年高考（安徽理））设平面α与平面β相交于直线m ,直线a 在平面α内,直线b 在平面β内,且b m ⊥,则“αβ⊥”是“a b ⊥”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分不必要条件二、填空题18．（2012年高考（天津理））―个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为______3m .19．（2012年高考（浙江理））已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积等于___________cm 3.20．（ 2012年高考（四川理））如图,在正方体1111ABC D A B C D -中,M 、N 分别是C D 、1C C 的中点,则异面直线1A M 与D N 所成角的大小是____________.21．（2012年高考（上海理））如图,AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱,BC=2。
2012高考数学必考题型解答策略：立体几何
2012高考数学必考题型解答策略：立体几何D“二面角”，高于教材要求，但对线面角的考查也有加大的趋势。
预测2012年高考的可能情况是： (1)以选择题或者填空题的形式考查空间几何体的三视图以及表面积和体积的计算．对空间几何体的三视图的考查有难度加大的趋势，通过这个试题考查考生的空间想象能力；空间几何体的表面积和体积计算以三视图为基本载体，交汇考查三视图的知识和面积、体积计算，试题难度中等． (2)以解答题的方式考查空间线面位置关系的证明，在解答题中的一部分考查使用空间向量方法求解空间的角和距离，以求解空间角为主，特别是二面角．备考建议(1)空间几何体：该部分要牢牢抓住各种空间几何体的结构特征，通过对各种空间几何体结构特征的了解，认识各种空间几何体的三视图和直观图，通过三视图和直观图判断空间几何体的结构，在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法．(2)空间点、直线、平面的位置关系：该部分的基础是平面的性质、空间直线与直线的位置关系，重点是空间线面平行和垂直关系的判定和性质，面面平行和垂直关系的判定和性质．在复习中要牢牢掌握四个公理和八个定理及其应用，重点掌握好平行关系和垂直关系的证明方法．(3)空间向量与立体几何：由于有平面向量的基础，空间向量部分重点掌握好空间向量基本定理和共面向量定理，在此基础上把复习的重心放在如何把立体几何问题转化为空间向量问题的方法，并注重运算能力的训练．解答策略立体几何解题过程中，常有明显的规律性，所以复习中必需对概念、定理、题型、方法进行总结、归类，进而建立知识框架和网络，弄清各概念之间的包含关系，理清定理的来龙去脉和相互转化的过程，从内涵和外延上区分容易混淆的各个概念、从条件、结论和使用范围上去区分容易混淆的各个定理。
比如说，“中点”这个条件在题目中出现的频率相当高，这个现象背后肯定有规律！道理很简单，因为中点如果连到另一个中点，就会出现中位线，然后自然会出现平行关系了，如果出现在等腰（或等边）三角形的底边上，那就是出垂直了。
2012年高考真题理科数学解析汇编立体几何参
2012年高考真题理科数学解析汇编：立体几何参考答案1一、选择题错误！未找到引用源。
【解析】选AABC ∆的外接圆的半径3r =点O 到面ABC 的距离3d ==SC 为球O 的直径⇒点S 到面ABC 的距离为23d =此棱锥的体积为112336ABC V S d ∆=⨯==另:123ABC V S R ∆<⨯=排除,,B C D 错误！未找到引用源。
【解析】选B 该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为3此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯= 错误！未找到引用源。
【答案】B【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着,观察在翻着过程,即可知选项B 是正确的.错误！未找到引用源。
【答案】A【解析】,2BE BF BE AB BF ==<=<【考点定位】本题考查棱锥的结构特征,考查空间相象力,极限思想的运用,是中档题.错误！未找到引用源。
[答案]A[解析] 以O 为原点,分别以OB 、OC 、OA 所在直线为x 、y 、z 轴,则2cos 4AO PO AOP R ∙∴∠== ,A )0,23,21(),22,0,22(R R P R R42arccos =∠∴AOP ,42arccos ⋅=∴R P A[点评]本题综合性较强,考查知识点较为全面,题设很自然的把向量、立体几何、三角函数等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学基本功.错误！未找到引用源。
[答案]C[解析]若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A 错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D 错;故选项C 正确.[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质,需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式. 错误！未找到引用源。
2012高考数学6大解答题最后冲刺(理科)-空间向量与立体几何(36道题详解)
2012高考数学理最后冲刺【六大解答题】空间向量与立体几何专练1．如图，棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为2的菱形，，，侧棱，棱AA 1与底面所成的角为，点F 为DC 1的中点.(I)证明：OF//平面；(II)求三棱锥的体积.2．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，6AC =，63BD =，E 是PB 上任意一点．(1) 求证：AC DE ⊥；(2) 当AEC ∆面积的最小值是9时，证明EC ⊥平面PAB ． 3．如图，在四棱锥P-ABCD 的底面是边长为2的正方形， PD ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是PB 、AD 的中点，PD=2． （1）求证：BC ⊥PC ；（2）求证：EF//平面PDC ； （3）求三棱锥B —AEF 的体积。
4．如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。
（Ⅰ）求该几何体的体积；（Ⅱ）求证：EM ∥平面ABC ；5．如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，030BAC ∠=，BM AC ⊥交 AC 于点 M ，EA ⊥平面ABC ，FCEA ，AC ＝4，EA ＝3，FC ＝1．（I ）证明：EM ⊥BF ；（II ）求平面 BEF 与平面ABC 所成的二面角的余弦值． 6．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P A B C D -中90A D B C A B C ∠=，∥°，P D ⊥平面A B C D ，A D =1，3A B =，4B C =． ⑴求证：B D ⊥P C ； (2)设点E 在棱P C 上，P E P Cλ=，若DE ∥平面PAB ，求λ的值. 2AE BE ==,O 为AB 的中点.（Ⅰ）求证：EO ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求点D 到面AEC 的距离． 9．在三棱锥P －ABC 中，△PAC 和△PBC 都是边长为2的等边三角形，AB ＝2，O ，D 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：OD ∥平面PAC ； (2)求证：PO ⊥平面ABC ；A P E CDB A B CE DM · 4222左视图 俯视图 CA BDPE(3)求三棱锥P －ABC 的体积．11如图所示,三棱柱111ABC A B C -中,12AB AC AA ===,平面1ABC ⊥平面11A ACC , 又11160AAC BAC ∠=∠=,1AC 与1A C 相交于点O . (Ⅰ)求证:BO ⊥平面11A ACC ;(Ⅱ)求1AB 与平面11A ACC 所成角的正弦值;12.如图所示，直角梯形ACDE 与等腰直角ABC ∆F BC 点，90BAC ACD ∠=∠=︒，AE ∥CD ，22DC AC AE ===. （Ⅰ）求证：平面BCD ⊥平面ABC ; （Ⅱ）求证：AF ∥平面BDE ；（Ⅲ）求四面体B CDE -的体积.13．如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。
2012年文科高考数学选择押题必考(3)--三视图
2012年文科高考数学选择押题必考（3）--三视图
（1）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c
）为
（A）48+12
（B）48+24
（C）36+12
（D）36+24
（2）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
（3）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是
A．8 B．
C．10 D．
（4）一个空间几何体的三视图如图1－1所示，则该几何体的表面积为( )
图1－1
A．48 B．32＋8
C．48＋8
D．80
（5）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是
A.9π
B.10π
C.11π D．12π
（6）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是
(A)32
(B)16+
(C)48
(D)
（7）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )
（8）某几何体的三视图如图1－2所示，则它的体积是( )
A．8－
B．8－
C．8－2π D.
（9）(2011年高考湖南卷理科3)设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A.
B.
C.
D.
（10）（2009天津重点学校二模）如图，直三棱柱的主视图面积为2a2,则左视图的面积为（）
A．2a2 B．a2
C．
D．。
高考数学压轴题的主要题型
高考数学压轴题的主要题型包括：
1.数列与不等式问题：这类问题通常涉及到数列的通项公式、求和公式、不等式的性质等知识点，需要运用数列和不等式的性质进行推理和计算。
2.函数与导数问题：这类问题主要考察函数的单调性、极值、最值等知识点，以及导数的应用。
3.解析几何问题：这类问题主要涉及到圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线等）的性质和应用，需要运用曲线的方程和性质进行计算和推理。
4.立体几何问题：这类问题主要考察空间几何体的性质和关系，以及几何量的计算。
需要运用空间几何的知识点进行推理和计算。
5.排列组合与概率问题：这类问题主要涉及到排列组合的基本原理、概率的计算等知识点，需要运用这些知识进行推理和计算。
以上是高考数学压轴题的主要题型，希望对你有帮助。
在备考时，建议对各类题型进行有针对性的练习，加深对知识点的理解和掌握，提高解题能力。
高考数学 压轴题
高考数学压轴题
高考数学压轴题通常是指在试卷中难度最大的题目，通常是最后一道题。
这些题目通常需要较高的数学能力和思维能力，包括对数学知识的深入理解、对数学方法的熟练掌握、以及对复杂问题的分析和解决能力。
以下是一些常见的高考数学压轴题类型：
1.函数与导数：这类题目通常涉及到函数的性质、导数的计算和应用，以及函
数的单调性、极值和最值等。
2.数列与数列和：这类题目通常涉及到数列的通项公式、数列和的计算、数列
的极限和数列的递推关系等。
3.解析几何：这类题目通常涉及到圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线等）的性
质、几何意义和性质，以及其上的点、直线和曲线的位置关系等。
4.立体几何：这类题目通常涉及到空间几何体的性质、几何量的计算和证明，
以及空间几何图形的位置关系等。
5.排列组合与概率：这类题目通常涉及到排列组合的计算、概率的计算和概率
分布的性质等。
在解答高考数学压轴题时，需要注意以下几点：
1.仔细审题，理解题目的要求和条件。
2.回顾相关的数学知识和方法，确定解题思路。
3.逐步推导和计算，注意细节和精度。
4.复查答案，确保没有遗漏或错误。
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2012年高考“立体几何”专题分析
４ ２ Ｄ２ Ｃ２ ．
【 评析】这 两题均 以旋转体为载体 ，其 中文科题是 以如 图 ７
所 示的平 卧式 哑铃 实物为素材 的组合体 ，理 科是 以圆柱被 截得
的 几 何 体 为 素 材 给 出 三视 图 ， 两 题 都 是 要 求 考 生 能根 据 三 视 图
两证 一算 或两 算一证） ，但考查 方式 则呈 现多 样化 的趋 观感知 和 简单 的推 理论证 ；理科 不仅考 查 了直 线、平面 的位 置 三问 （
关系 ，还 以空 间三种 角的计算 为载体 ，考 查考 生的逻辑推理 能 势 ，问题一般 以常 规的几何体 、平 面图形的折叠 、多面体 与旋
２１ ０ ２年 第 ７８期 ＼ －
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周远 方 （ 北省教 学研 究室） 湖
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二 、亮 点 基础 、突出重点 的同时 ，与 ０ ２年
２ １ 年 题型拓展较 宽的力度相 比 ，呈现返璞归真 的势头 ，可谓 ０ １
其 文科 立体几何选择题处在 第 ３题 的位置 ，而理科则处在 第 １ ０题 朴素 中透灵气 ，平实中见真功． 中部分小题 的设计倒是容易看 的位 置） ，大题难度差异加大 （ 如文科 的解答题 以直线、平面的 出其 图形 既贴近教 材又别 出心裁 ，呈 现 出一道 道小巧靓 丽的风 一证一算） ，或 位 置关 系。简单几何体 的表 面积 与体积 的计算 为主 ，侧 重于直 景线 ；而大题 大多 比较老套 ，一般仍设置两 问 （
2012年高考立体几何解答题分析
数 翁
生 心 目 中的地 位 ．
２１ ０ ２年高考 立体几何解答题分析 份 试 卷将 立体 几 何 解 答 题
■俞新 龙
放在第 ３题 ，占 ５ ％．有 ６ ０
２ 从 题 号 上 看 ．有 ９ ．
份 试 卷将 立 体 几何 解 答 题 放在第 ２ ３题 ， 占 ３ ． ， ３３ ％
另有 １ 份试卷将立体 几何 解答题放在第 １ ，因此 ， 题
２ １ 全 国 各省 市 高考 已经 圆满 结束 ，为 了 ０ ２年 ２１ ０ ３年高 考的复习更加具 有针对性 和有效 性 ，我们
很 有 必 要 研 究 今 年 的高 考试 题 ． 过 今 年 试 题 考 查 的 通
立体 几何 解答 题 出现在 前 ３题 中所 占比约 为 ８％ ， １
湖南 （ ） ８ １ ２ １ ２ 江苏 （ ）６ １ ２ １ ４ 江西 （ ） ９ １ ４ １ ２ 辽宁 （ ）８ １ ２ １ ２ 山东 （ ）８ １ ２ １ ２
计 可以看 出 ，１ ８份试卷 中立体几何解 答题 只有陕西
线段 、 探索存在 、 线面角
线 面垂直 、 体积 面面垂直 、 线面平行 探索存在 、 线段 、 平面角 线 面平行 、 参数 线面垂直
结合上 面的统计分析 ．下面我们选取 比较典型 的 两道高考题 （ 四棱锥模 型和翻折 ） 为例具体解析 ， 通过
高考数学压轴题大全
高考数学压轴题大全
高考数学压轴题是考察学生数学综合能力的题目，通常难度较大。
以下是一些高考数学压轴题的示例：
1. 函数与导数问题。
这类问题主要考察函数的单调性、极值、最值等，常常与不等式、方程等结合起来考察。
2. 解析几何问题。
这类问题主要考察直线与圆、圆锥曲线的位置关系，常常涉及到弦长、面积等问题。
3. 数列与不等式问题。
这类问题主要考察数列的求和、通项公式，以及不等式的性质和证明。
4. 立体几何问题。
这类问题主要考察空间几何体的表面积、体积，以及空间向量在解决实际问题中的应用。
5. 概率与统计问题。
这类问题主要考察概率的计算、随机变量的分布，以及统计数据的处理和分析。
这些题目通常需要学生有扎实的数学基础和较强的思维能力，同时还需要学生有一定的解题经验和技巧。
因此，在高考备考期间，学生需要通过大量的练习和模拟考试来提高自己的解题能力和自信心。
2012高考真题分类汇编：立体几何
2012高考真题分类汇编：立体几何一、选择题1、【2012高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）A. 28+65B. 30+65C. 56+ 125D. 60+1252、【2012高考真题浙江理10】已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2。
将△沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中。
A.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直.B.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直.C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.D.对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直3、【2012高考真题新课标理7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 184、【2012高考真题新课标理11】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）()A 6 ()B 6 ()C 3 ()D 25、【2012高考真题全国卷理4】已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为6、【2012高考真题重庆理9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1a ，且长为a 的棱与长为a 的取值范围是（A ） （B ） （C ） （D ）(17、【2012高考真题福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是A.球B.三棱柱C.正方形D.圆柱8、【2012高考真题广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为A ．12π B.45π C.57π D.81π9、【2012高考真题湖北理4】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．8π3 B ．3π C ．10π3D ．6π10、【2012高考真题湖南理3】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是11、【2012高考真题陕西理5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）A. 53 C. 5 D. 3512、【2012高考真题四川理10】如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠=，则A 、P 两点间的球面距离为（ ）A 、arccos4R、4R π C 、arccos 3R 、3R π13、【2012高考真题四川理6】下列命题正确的是（ ）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行二、填空题14、【2012高考真题安徽理12】某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是_____．15、【2012高考真题四川理14】如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________。
2012高考数学6大解答题最后冲刺(理科)空间向量与立体几何(36道题详解)
2012高考数学理最后冲刺【六大解答题】空间向量与立体几何专练1．如图，棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为2的菱形，，，侧棱，棱AA 1与底面所成的角为，点F 为DC 1的中点.(I)证明：OF//平面；(II)求三棱锥的体积.2．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，6AC =，BD =E 是PB 上任意一点．(1) 求证：AC DE ⊥；(2) 当AEC ∆面积的最小值是9时，证明EC ⊥平面PAB ．3．如图，在四棱锥P-ABCD 的底面是边长为2的正方形， PD ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是PB 、AD 的中点，PD=2． （1）求证：BC ⊥PC ；（2）求证：EF//平面PDC ； （3）求三棱锥B —AEF 的体积。
4．如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M是BD 的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。
（Ⅰ）求该几何体的体积；5．如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，030BAC ∠=，BM AC ⊥交 AC 于点 M ，EA ⊥平面ABC ，FC EA ，AC ＝4，EA ＝3，FC ＝1．（I ）证明：EM ⊥BF ；（II ）求平面 BEF 与平面ABC 所成的二面角的余弦值．6．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P A B C D -中90A D B C A B C ∠=，∥°，P D ⊥平面A B C D ，A D =1，AB ，4BC =． ⑴求证：BD ⊥P C ； (2)设点E 在棱P C 上，P E P Cλ=，若DE ∥平面PAB ，求λ的值.2,AB EC ==AE BE ==O 为AB 的中点.（Ⅰ）求证：EO ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求点D 到面AEC 的距离．9．在三棱锥P －ABC 中，△PAC 和△PBC 都是边长为2的等边三角形，AB ＝2，O ，D 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：OD ∥平面PAC ； (2)求证：PO ⊥平面ABC ； (3)求三棱锥P －ABC 的体积．APECDB11如图所示,三棱柱111ABC A B C -中,12AB AC AA ===,平面1ABC ⊥平面11A ACC , 又11160AAC BAC ∠=∠=,1AC 与1A C 相交于点O . (Ⅰ)求证:BO ⊥平面11A ACC ;(Ⅱ)求1AB 与平面11A ACC 所成角的正弦值;12.如图所示，直角梯形ACDE 与等腰直角ABC ∆点，90BAC ACD ∠=∠=︒，AE ∥CD ，22DC AC AE ===. （Ⅰ）求证：平面BCD ⊥平面ABC ; （Ⅱ）求证：AF ∥平面BDE ； （Ⅲ）求四面体B CDE -的体积.13．如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。
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2012届高考数学压轴题预测专题4 立体几何1. 如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点， （I ）求证：AC ⊥BC 1；（II ）求证：AC 1//平面CDB 1；解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.答案:解法一：（I ）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC =3，BC =4AB =5，∴ AC ⊥BC ，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴ AC ⊥BC 1；（II ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点， ∴ DE//AC 1，∵ DE ⊂平面C D B 1，AC 1⊄平面C D B 1， ∴ AC 1//平面C D B 1；解法二：∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直，如图，以C 为坐标原点，直线CA 、CB 、C 1C 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则C （0,0，0），A（3,0，0），C 1（0,0，4），B （0,4，0），B 1（0,4，4），D （23，2,0）（1）∵＝（－3,0，0），1BC ＝（0，－4,0），∴•1BC ＝0，∴AC ⊥BC 1.（2）设CB 1与C 1B 的交战为E ，则E （0,2，2）.∵DE ＝（－23，0,2），1AC ＝（－3,0，4），∴121AC =，∴DE ∥AC 1. 点评：2．平行问题的转化：面面平行线面平行线线平行；主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理．2. 如图所示，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2，M 为PC 的中点。
(1)求证：BM ∥平面PAD ；(2)在侧面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ；(3)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦。
解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直， 二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.答案：（1） M 是PC 的中点，取PD 的中点E ，则MECD 21，又AB CD 21∴四边形ABME 为平行四边形 ∴BM ∥EA ，PAD BM 平面⊄ PAD EA 平面⊂∴BM ∥PAD 平面（4分）（2）以A 为原点，以AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则())0,0,1B ，()0,2,2C ，()0,2,0D ，()2,0,0P ，()1,1,1M ，()1,1,0E在平面PAD 内设()z y N ,,0，()1,1,1---=→--z y MN ，()2,0,1-=→--PB ，()0,2,1-=→--DB 由→--→--⊥PB MN ∴0221=+--=⋅→--→--z PB MN ∴21=z 由→--→--⊥DB MN ∴0221=+--=⋅→--→--y DB MN ∴21=y ∴⎪⎭⎫⎝⎛21,21,0N ∴N 是AE 的中点，此时BD MN P 平面⊥（8分）（3）设直线PC 与平面PBD 所成的角为θ()2,2,2-=→--PC ，⎪⎭⎫ ⎝⎛---=→--21,21,1MN ，设→--→--MN PC ,为α3226322cos -=⋅-=⋅=→--→--→--→--MNPC MNPC α 32cos sin =-=αθ 故直线PC 与平面PBD 所成角的正弦为32（12分）解法二：（1） M 是PC 的中点，取PD 的中点E ，则MECD 21，又AB CD 21∴四边形ABME 为平行四边形 ∴BM ∥EA ，PAD BM 平面⊄ PAD EA 平面⊂∴BM ∥PAD 平面 （4分）（2）由（1）知ABME 为平行四边形ABCD PA 底面⊥∴AB PA ⊥，又AD AB ⊥∴PAD AB 平面⊥ 同理PAD CD 平面⊥，PAD 平面⊂AE∴AE AB ⊥ ∴ABME 为矩形 CD ∥ME ，PD CD ⊥，又AE PD ⊥ ∴PD ⊥ME ∴ABME 平面⊥PD PBD PD 平面⊂ ∴ABME PBD 平面平面⊥ 作EB ⊥MF 故PBD 平面⊥MFMF 交AE 于N ，在矩形ABME 内，1==ME AB ，2=AE∴32=MF ，22=NE N 为AE 的中点∴当点N 为AE 的中点时，BD MN P 平面⊥（8分）（3）由（2）知MF 为点M 到平面PBD 的距离，MPF ∠为直线PC 与平面PBD 所成的角，设为θ，32sin ==MP MF θ ∴直线PC 与平面PBD 所成的角的正弦值为32点评：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（2）求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从证法中都能十分明显地体现出来3. 如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是60ADC ∠= 的菱形，M 为PB 的中点.(Ⅰ)求PA 与底面ABCD 所成角的大小； (Ⅱ)求证：PA ⊥平面CDM ； (Ⅲ)求二面角D MC B --的余弦值.解析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法，比较好的方法是向量法答案：(I)取DC 的中点O ，由ΔPDC 是正三角形，有PO ⊥DC ．又∵平面PDC ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD 于O ．连结OA ，则OA 是PA 在底面上的射影．∴∠PAO 就是PA 与底面所成角．∵∠ADC =60°，由已知ΔPCD 和ΔACD 是全等的正三角形，从而求得OA =OP ．∴∠PAO =45°．∴PA 与底面ABCD 可成角的大小为45°． ……6分 (II)由底面ABCD 为菱形且∠ADC =60°，DC =2，DO =1，有OA ⊥DC ． 建立空间直角坐标系如图，则0,0),(0,0,(0,1,0)A P D -, 2,0),(0,1,0)BC ．由M 为PB中点，∴M ．∴0,DMPA ==(0,2,0)DC = ．∴200PA DM⋅⨯=，0200(0PA DC ⋅=⨯+⨯=．∴PA ⊥DM ，PA ⊥DC ． ∴PA ⊥平面DMC ．……4分(III)1,0)CMCB ==．令平面BMC 的法向量(,,)n x y z =， 则0n CM ⋅= ，从而x +z =0； ……①, 0n CB ⋅=0y +=． ……②由①、②，取x =−1，则1y z ==．∴可取(1,1)n =-．由(II)知平面CDM的法向量可取0,PA =，∴cos ,||||n PA n PA n PA ⋅<>==．……6分法二：（Ⅰ）方法同上（Ⅱ）取AP 的中点N ，连接MN ，由（Ⅰ）知，在菱形ABCD 中，由于60ADC ∠=，则AO CD ⊥，又PO CD ⊥，则CD APO ⊥平面，即CD PA ⊥， 又在PAB ∆中，中位线//MN 12AB ，1//2CO AB ，则//MN CO ，则四边形OCMN 为 ，所以//MC ON ，在APO ∆中，AO PO =，则ON AP ⊥，故AP MC ⊥而MC CD C = ， 则PA MCD ⊥平面（Ⅲ）由（Ⅱ）知MC PAB ⊥平面，则NMB ∠为二面角D MC B --的平面角，在Rt PAB ∆中，易得PA=PB ===cos 5AB PBA PB ∠===，cos cos()5NMB PBA π∠=-∠=-故，所求二面角的余弦值为5-点评：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强 用平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，是常用的方法.4. 如图所示：边长为2的正方形ABFC 和高为2的直角梯形ADEF 所在的平面互相垂直且DE=2，ED//AF 且∠DAF =90°。
（1）求BD 和面BEF 所成的角的余弦；（2）线段EF 上是否存在点P 使过P 、A 、C 三点的平面和直线DB 垂直，若存在，求EP 与PF的比值；若不存在，说明理由。
解析：1.先假设存在，再去推理，下结论： 2.运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算。
答案：（1）因为AC 、AD 、AB 两两垂直，建立如图坐标系， 则B （2，0，0），D （0，0，2）， E （1，1，2），F （2，2，0），则)0,2,0(),2,1,1(),0,0,2(=-==BF BE DB 设平面BEF 的法向量x z y x -=则),,,(0,02==++y z y ，则可取)0,1,2(=n ，∴向量)1,0,2(=和所成角的余弦为1010)2(21220222222=-++-+⋅。
即BD 和面BEF 所成的角的余弦1010。
（2）假设线段EF 上存在点P 使过P 、A 、C 三点的平面和直线DB 垂直，不妨设EP 与PF 的比值为m ，则P 点坐标为),12,121,121(mm m m m +++++ 则向量=),12,121,121(mm m m m +++++，向量=CP ),12,11,121(mm m m ++-++ 所以21,012)2(12101212==+-++++++m m m m m m 所以。
点评：本题考查了线线关系，线面关系及其相关计算，本题采用探索式、开放式设问方式，对学生灵活运用知识解题提出了较高要求。
5. 已知正方形ABCD E 、F 分别是AB 、CD 的中点,将ADE 沿DE 折起,如图所示,记二面角A DE C --的大小为(0)θθπ<<(I) 证明//BF 平面ADE ;(II)若ACD 为正三角形,试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上,证明你的结论,并求角θ的余弦值分析:充分发挥空间想像能力，重点抓住不变的位置和数量关系，借助模型图形得出结论，并给出证明.解: (I)证明:EF 分别为正方形ABCD 得边AB 、CD 的中点,∴EB//FD,且EB=FD,∴四边形EBFD 为平行四边形 ∴BF//ED.,EF AED BF AED ⊂⊄ 平面而平面,∴//BF 平面ADE(II)如右图,点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上,过点A 作AG 垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD∆ACD 为正三角形,∴AC=AD. ∴CG=GD.G 在CD 的垂直平分线上, ∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上,过G 作GH 垂直于ED 于H,连结AH,则AH DE ⊥,所以AHD ∠为二面角A-DE-C 的平面角 即G AH θ∠=.设原正方体的边长为2a,连结AF,在折后图的∆AEF 中,EF=2AE=2a,即∆AEF 为直角三角形,AG EF AE AF ⋅=⋅.2AG ∴=在Rt ∆ADE 中, AH DE AE AD ⋅=⋅AH ∴=.GH ∴=1cos 4GH AH θ== 点评：在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问题中，一般来说，位于同一平面内的几何元素相对位置和数量关系不变：位于两个不同平面内的元素，位置和数量关系要发生变化，翻折问题常用的添辅助线的方法是作棱的垂线。