北京第四中学七年级数学上册第四单元《几何图形初步》-解答题专项经典练习题(培优提高)

一、解答题
1．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
（1）如图1，当∠AOB＝90°，∠BOC＝60°时，∠MON的度数是多少？为什么？（2）如图2，当∠AOB＝70°，∠BOC＝60°时，∠MON＝度．（直接写出结果）（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON的度数是多少？为什么？
解析：（1）45°，理由见解析；（2）35；（3）1
2
α，理由见解析
【分析】
（1）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；
（2）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；
（3）表示出∠AOC度数，表示出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC 求出即可．
【详解】
解：（1）如图1，∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+60°＝150°，
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠MOC＝1
2
∠AOC＝75°，
∠NOC＝1
2
∠BOC＝30°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝75°﹣30°＝45°；
（2）如图2，∵∠AOB＝70°，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝70°+60°＝130°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝1
2∠AOC＝65°，∠NOC＝1
2
∠BOC＝30°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝65°﹣30°＝35°．故答案为：35．
（3）如图3，∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+β，
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠MOC＝1
2∠AOC＝1
2
（α+β），
∠NOC＝1
2∠BOC＝1
2
β，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝1
2（α+β）﹣
1
2
β＝
1
2
α．
【点睛】
本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC的度数和得出∠MON=∠MOC-∠NOC.
2．百羊问题甲赶群羊逐草茂，乙牵肥羊一只随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬．若得原有一群凑，再添一半小一半，得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？请列出方程.(说明：“小一半”是指一半的一半，即四分之一)
解析：x＋x＋1
2
x＋
1
4
x＋1＝100.
【分析】
根据“再有这么一群，再加半群，又加四分之一群，再把你的一只凑进来，才满100只”这一等量关系列出方程即可．
【详解】
设羊群原有羊x只，根据题意可列出方程：x＋x＋1
2
x＋
1
4
x＋1＝100.
【点睛】
此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键在于理解题意列出方程.
3．说出下列图形的名称．
解析：依次是圆、三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、五边形、六边形．【分析】
根据平面图形：一个图形的各部分都在同一个平面内可得答案．
【详解】
根据平面图形的定义可知：它们依次是圆、三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、五边形、六边形．
【点睛】
此题考查认识平面图形，解题关键在于掌握其定义对图形的识别.
4．如图，点B 、C 在线段AD 上，且::2:3:4AB BC CD =，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段CD 上的一点，且9MN =．
（1）若点N 是线段CD 的中点，求BD 的长；
（2）若点N 是线段CD 的三等分点，求BD 的长．
解析：（1）14；（2）
37823或37831. 【分析】
（1）设AB=2x ，则BC=3x ，CD=4x ．根据线段中点的性质求出MC 、CN ，列出方程求出x ，计算即可；
（2）分两种情况：①当N 在CD 的第一个三等分点时，根据MN=9，求出x 的值，再根据BD=BC+CD 求出结果即可；②当N 在CD 的第二个三等分点时，方法同①.
【详解】
设AB=2x ，则BC=3x ，CD=4x ．
∴AC=AB+BC=5x ，
∵点M 是线段AC 的中点，
∴MC=2.5x ，
∵点N 是线段CD 的中点，
∴CN=2x ，
∴MN=MC+CN=2.5x+2x=4.5x
∵MN=9，
∴4.5x=9，解得x=2，
∴BD=BC+CD=3x+4x=7x=14.
（2）情形1：当N 在CD 的第一个三等分点时，CN=43
x ， ∴MN=MC+CN=
54239236x x x +== 解得，5423
x =， ∴BD=BC+CD=3x+4x=7x=
37823;
情形2：当当N 在CD 的第二个三等分点时，CN=83x ， ∴MN=MC+CN=58319236x x x +== 解得，5431
x =， ∴BD=BC+CD=3x+4x=7x=
37831
; 故BD 的长为37823或37831
. 【点睛】 本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点和三等分点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
5．[阅读理解]射线OC 是AOB ∠内部的一条射线，若1,2
COA BOC ∠=∠则我们称射线OC 是射线OA 的伴随线．
例如，如图1，60 20AOB AOC COD BOD ∠=∠=∠=∠=，，则
12AOC BOC ∠=∠，称射线OC 是射线OA 的伴随线：同时，由于12
BOD AOD ∠=∠，称射线OD 是射线OB 的伴随线．
[知识运用]
（1）如图2，120AOB ∠=，射线OM 是射线OA 的伴随线，则AOM ∠= ，若AOB ∠的度数是α，射线ON 是射线OB 的伴随线，射线OC 是AOB ∠的平分线，则NOC ∠的度数是 ．（用含α的代数式表示）
（2）如图，如180AOB ∠=，射线OC 与射线OA 重合，并绕点O 以每秒3的速度逆时针旋转，射线OD 与射线OB 重合，并绕点O 以每秒5的速度顺时针旋转，当射线OD 与射线OA 重合时，运动停止，现在两射线同时开始旋转．
①是否存在某个时刻t （秒），使得COD ∠的度数是20，若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由；
②当t 为多少秒时，射线OC OD OA 、、中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 解析：（1）40︒，16α；（2）①存在，当20t =秒或25秒时，∠COD 的度数是20︒；②当907t =
，36019，1807，30时，OC 、OD 、OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
【分析】
（1）根据伴随线定义即可求解；
（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；
②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可．
【详解】
（1）∵120AOB ∠=，射线OM 是射线OA 的伴随线，
根据题意，12AOM BOM ∠=∠，则111204033
AOM AOB ∠=∠=⨯︒=︒； ∵AOB ∠的度数是α，射线ON 是射线OB 的伴随线，射线OC 是AOB ∠的平分线， ∴111233BON AON AOB α∠=∠=∠=，1122
BOC AOB α∠=∠=， ∴111236NOC BOC BON ααα∠=∠-∠=
-=； 故答案为：40︒，1
6
α； （2）射线OD 与OA 重合时，180365
t =
=（秒）， ①当∠COD 的度数是20°时，有两种可能： 若在相遇之前，则1805320t t --=，
∴20t =；
若在相遇之后，则5318020t t +-=，
∴25t =；
所以，综上所述，当20t =秒或25秒时，∠COD 的度数是20°；
②相遇之前：
（i ）如图1，
OC 是OA 的伴随线时，则12AOC COD ∠=
∠， 即()13180532
t t t =--，
∴907t =； （ii ）如图2，
OC 是OD 的伴随线时，
则12COD AOC ∠=∠， 即11805332t t t --=
⨯， ∴36019
t =
； 相遇之后： （iii ）如图3，
OD 是OC 的伴随线时，
则12
COD AOD ∠=∠， 即()153********t t t +-=
-， ∴1807
t =； （iv ）如图4，
OD 是OA 的伴随线时，则12AOD COD ∠=
∠， 即()118053t 5t 1802
t -=
+-， ∴30t =；
所以，综上所述，当907t =
，36019，1807
，30时，OC 、OD 、OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
【点睛】 本题是几何变换综合题，考查了角的计算，考查了动点问题，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
6．小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图，拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题.
（1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余图形，请将多余部分涂黑；若图形不全，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长为5cm ，长方形的长为8cm ，请计算修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积.
解析：（1）多余一个正方形，图形见解析；（2）表面积为：210cm 2；体积为：200cm 3．
【分析】
（1）根据长方体的展开图判断出多余一个正方形；
（2）根据表面积=四个长方形的面积+两个正方形的面积，体积=底面积×高分别列式计算即可得解．
【详解】
解：（1）多余一个正方形，如图所示：
（2）表面积为：225285450160210()cm ⨯+⨯⨯=+=，
体积为：23
58200()cm ⨯=
【点睛】
本题考查了几何体的展开图以及长方体的表面积、体积的求法，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键．
7．如图，平面上有四个点A ，B ，C ，D ．
（1）根据下列语句画图:
①射线BA；
②直线AD，BC相交于点E；
③延长DC至F（虚线），使CF=BC，连接EF（虚线）．
（2）图中以E为顶点的角中，小于平角的角共有__________个．
解析：（1）见解析；（2）8
【分析】
（1）根据直线、射线、线段的特点画出图形即可；
（2）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，根据角的概念数出角的个数即可．
【详解】
解：（1）画图如下：
（2）(前面数过的不再重数)以EF为始边的角有4个，以EC为始边的角有1个，以EA为始边的角有1个，以EC的反向延长线为始边的有1个，以EA的反向延长线为始边的有1个，所以以E为顶点的角中，小于平角的角共有8个．
【点睛】
此题主要考查了角、直线、射线、线段，关键是掌握角的概念及直线、射线、线段的特点．
8．如图，两个直角三角形的直角顶点重合，∠AOC＝40°，求∠BOD的度数．结合图形，完成填空：
解：因为∠AOC+∠COB＝°，
∠COB+∠BOD＝①
所以∠AOC＝．②
因为∠AOC＝40°，
所以∠BOD＝°．
在上面①到②的推导过程中，理由依据是：．
解析：90，90，∠BOD，40，同角的余角相等
【分析】
根据同角的余角相等即可求解．
【详解】
解：因为∠AOC+∠COB＝90 °，
∠COB+∠BOD＝90 ° -﹣﹣﹣①
所以∠AOC＝∠BOD ．﹣﹣﹣﹣②-
因为∠AOC＝40°，
所以∠BOD＝40 °．
在上面①到②的推导过程中，理由依据是：同角的余角相等．
故答案为：90，90，∠BOD，40，同角的余角相等．
【点睛】
本题考查了余角的性质：同角（或等角）的余角相等，及角的和差关系．9．如图，平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句画图．
（1）画直线AB、CD交于E点；
（2）画线段AC、BD交于点F；
（3）连接E、F交BC于点G；
（4）连接AD，并将其反向延长；
（5）作射线BC．
解析：见解析．
【分析】
（1）连接AB、CD并向两方无限延长即可得到直线AB、CD；交点处标点E；（2）连接AC、BD可得线段AC、BD，交点处标点F；
（3）连接AD并从D向A方向延长即可；
（4）连接BC，并且以B为端点向BC方向延长．
【详解】
解：所求如图所示：
．
【点睛】
本题考查的是直线、射线、线段的定义及性质，解答此题的关键是熟知以下知识，即直线向两方无限延伸；射线向一方无限延伸；线段有两个端点画出图形即可．
10．仓库里有以下四种规格且数量足够多的长方形、正方形的铁片（单位：分米）．
从中选5块铁片，焊接成一个无盖的长方体（或正方体）铁盒（不浪费材料），甲型盒是由2块规格①，1块规格②和2块规格③焊接而成的铁盒，乙型盒是容积最小的铁盒．（1）甲型盒的容积为________立方分米；乙型盒的容积为________立方分米；（直接写出答案）
（2）现取两个装满水的乙型盒，再将其内部所有的水都倒入一个水平放置的甲型盒，甲型盒中水的高度是多少分米？（铁片厚度忽略不计）
解析：（1）40，8；（2）甲型盒中水的高度是2分米
【分析】
（1）甲型盒是由2块规格①、1块规格②和2块规格③焊接而成的铁盒，可得一个长为2分米，宽为4分米，高为5分米的长方体，其中规格②为长方体的底，可求体积为40立方分米，乙型盒是容积最小，即长宽高最小，可得到长宽高都为2分米的正方体，体积为8立方分米，
（2）甲盒的底面为长2分米，宽为4分米的长方形，根据体积相等，可求出高度．
【详解】
（1）因为甲型盒是由2块规格①，1块规格②和2块规格③焊接而成的，
⨯⨯=（立方分米）．
所以甲型盒的容积为24540
乙型盒容积最小，即长、宽、高最小，
因此乙型盒为长、宽、高均为2分米的正方体，
⨯⨯=（立方分米），
容积为2228
故答案为40，8．
⨯=（平方分米），
（2）甲型盒的底面积为248
⨯=（立方分米），
两个乙型盒中的水的体积为8216
÷=（分米）．
所以甲型盒内水的高度为1682
答：甲型盒中水的高度是2分米．
【点睛】
考查长方体、正方体的展开与折叠，长方体、正方体的体积的计算方法，掌握折叠后的长方体或正方体的棱长以及体积相等是解决问题的关键．
11．小刚和小强在争论一道几何问题，问题是射击时为什么枪管上有准星．小刚说：“过两点有且只有一条直线，所以枪管上才有准星．”小强说：“过两点有且只有一条直线我当然知道，可是若将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，这样不是有三点了吗？既然过两点有且只有一条直线，那弄出第三点是为什么呢？”聪明的你能回答小强的疑问吗？解析：见解析
【分析】
根据直线的性质，结合实际意义，易得答案．
【详解】
解：如果将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，那么要想射中目标，人眼与目标确定的这条直线应与子弹所走的直线重合，即与准星和目标所确定的这条直线重合，即可看到哪儿打到哪儿．换句话说要想射中目标就必须使准星在人眼与目标所确定的直线上．
【点睛】
题考查直线的性质，无限延伸性即没有端点；同时结合生活中的射击场景，立意新颖，熟练掌握直线的性质是解题的关键．
12．如图是由7个相同的小立方体组成的几何体，请画出从正面看、从左面看、从上面看的平面图形．
解析：画图见详解.
【分析】
分别画出从正面看、左面看、上面看的图形，注意所有看到的棱都要表示到三视图中.
【详解】
如图所示：
【点睛】
本题主要考查了三视图的画法，所有看到的棱都要在三视图中表示出来是画图的关键. 13．如图是一个去掉盖子的长方体礼品盒的展开图(单位：cm).从A，B两题中任选一题作答.
A．该长方体礼品盒的容积为______3
cm.
B．如果把这个去掉盖子的礼品盒沿某些棱重新剪开，可以得到周长最大的展开图，则周长最大为____cm.
解析：A:800；B:146
【分析】
A:根据题意可以得到长方体的长为16宽为10高为5，即可求出体积.
B:依据题意展开，计算即可.
【详解】
解：A:根据题意高为20-15=5 宽为15-5=10 长为 26-10=16
V=16×10×5=800
B:依据题意展开如图
周长=5×2+16×6+10×4=146
【点睛】
此题主要考查了立体图形体积计算及最大展开周长，注意最大展开周长一定是最长棱长最多的.
14．如图，把下列物体和与其相似的图形连接起来．
解析：见解析.
【分析】
根据圆锥，圆柱，球体，正方体的形状连接即可．
【详解】
连接如图．
【点睛】
此题考查认识立体图形，解题关键在于掌握立体图的概念.
15．如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，求∠AOB的度数．
解析：120°
【分析】
此题可以设∠AOC=x，进一步根据角之间的关系用未知数表示其它角，再根据已知的角列方程即可进行计算．
【详解】
解：设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x．
∴∠AOB＝3x．
又OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝1.5x．
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝1.5x﹣x＝20°．
∴x＝40°
∴∠AOB＝120°．
【点睛】
此题考查角平分线的定义及角的计算，设出适当的未知数，运用方程求出角的度数是解题的关键．
16．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于
是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了条棱．
（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．
解析：（1）8；（2）见解析；（3）200000立方厘米
【分析】
1）根据长方体总共有12条棱，有4条棱未剪开，即可得出剪开的棱的条数；
（2）根据长方体的展开图的情况可知有4种情况；
（3）设底面边长为acm，根据棱长的和是880cm，列出方程可求出底面边长，进而得到长方体纸盒的体积．
【详解】
解：（1）由图可得，小明共剪了8条棱，
故答案为：8．
（2）如图，粘贴的位置有四种情况如下：
（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，
∴可设底面边长acm，
∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，长方体纸盒高为20cm，
∴4×20+8a＝880，
解得a＝100，
∴这个长方体纸盒的体积为：20×100×100＝200000立方厘米．
【点睛】
本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 17．如图，C 是线段AB 上一点，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点.
(1)若1AM =,4BC =，求MN 的长度． (2)若6AB =,求MN 的长度． 解析：（1）3；（2）3. 【分析】
（1）由中点可得CN 和MC 的长，再由 MN=MC+CN 可求得MN 的长； （2）由已知可得AB 的长是NM 的2倍，已知AB 的长，可求得MN 的长度． 【详解】
解：(1)∵N 是BC 的中点，M 是AC 的中点，1AM =，4BC =， ∴2CN =，1AM CM ==， ∴3MN MC CN =+=.
(2)∵M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，6AB =， ∴1
32
NM MC CN AB =+==. 【点睛】
本题主要考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．
18．已知90AOB ∠=︒，OC 为一条射线，OE ，OF 分别平分AOC ∠，BOC ∠，求
EOF ∠的度数．
解析：45︒
【分析】
本题需要分类讨论，当OC 在AOB ∠内部时，根据OE ，OF 分别平分AOC ∠和
BOC ∠，所以1
2COE AOC ∠=∠，12
COF BOC ∠=∠，即可求出EOF ∠的度数；当
OC 在AOB ∠外部时，OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOC ∠，所以
1
2EOC AOC ∠=
∠，12
FOC BOC ∠=∠，所以11
22
EOF FOC EOC BOC AOC ∠=∠-∠=∠-∠，即可解决．
【详解】
解：①如图，当OC 在AOB ∠内部时．
因为OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOC ∠，所以1
2
COE AOC ∠=
∠，1
2
COF BOC ∠=∠，
所以11
22
COE COF AOC BOC ∠+∠=
∠+∠， 即1
2
EOF AOB =∠∠． 又因为90AOB ︒∠=， 所以45EOF ︒∠=．
②如图，当OC 在AOB ∠外部时．
因为OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOC ∠， 所以1
2EOC AOC ∠=∠，12
FOC BOC ∠=∠， 所以
1111
()452222
EOF FOC EOC BOC AOC BOC AOC AOB ︒
∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠=．
综上所述，45EOF ︒∠=． 【点睛】
本题主要考查了角度的计算和角平分线的定义，熟练分类讨论思想，并且画出图形是解决本题的关键．
19．如图，已知点C 为线段AB 上一点，15cm AC =，3
5
CB AC =
，D ，E 分别为线段AC ，AB 的中点，求线段DE 的长．
解析：5cm
【分析】
根据线段的中点定义即可求解． 【详解】
解：因为15cm AC =，3
5
CB AC =， 所以3
159(cm)5
CB =
⨯=， 所以15924(cm)AB =+=．
因为D ，E 分别为线段AC ，AB 的中点，
所以112cm 2AE BE AB ===，1
7.5cm 2
DC AD AC ===． 所以127.5 4.5(cm)DE AE AD =-=-=．
【点睛】
本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是利用线段的中点定义．
20．线段12cm AB =点C 在线段AB 上，点D ，E 分别是AC 和BC 的中点． （1）若点C 恰好是AB 中点，求DE 的长； （2）若4cm AC =，求DE 的长；
（3）若点C 为线段AB 上的一个动点（点C 不与A ，B 重合），求DE 的长． 解析：（1）6cm ；（2）6cm ；（3）6cm 【分析】
（1）根据中点的定义，进行计算即可求出答案；
（2）由中点的定义，先求出DC 和CE 的长度，然后求出DE 即可； （3）利用中点的定义，即可得到结论． 【详解】
解：（1）因为点C 是AB 中点，
所以1
6cm 2
AC BC AB ===． 又因为D ，E 分别是AC 和BC 的中点，
所以111
6cm 222
DE DC CE AC BC AB =+=+==， 故DE 的长为6cm ．
（2）因为12cm AB =，4cm AC =， 所以8cm BC =．
因为点D ，E 分别是AC 和BC 的中点，
所以12cm 2DC AC =
=，1
4cm 2
CE BC ==， 所以6cm DE =．
（3）因为111
222
DE DC CE AC BC AB =+=
+=，
且12cm AB =， 所以6cm DE =． 【点睛】
本题考查了线段中点的定义，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系进行解题． 21．如图所示，已知O 是直线AB 上一点，90BOE FOD ∠=∠=︒，OB 平分COD ∠．
（1）图中与DOE ∠互余的角有________________；
（2）图中是否有与DOE ∠互补的角？如果有，直接写出全部结果；如果没有，说明理由．
解析：（1）EOF ∠，BOD ∠，BOC ∠；（2）BOF ∠，COE ∠． 【分析】
（1）由∠BOE=90°，则∠DOE+∠BOD=90°，要求与∠DOE 互余的角，只要找到与∠BOD 相等的角即可，即∠BOC ，∠EOF ；
（2）根据同角的余角相等，结合OB 平分∠COD ，可得∠DOE=∠AOF ，
∠EOF=∠BOD=∠BOC ，则∠DOE 的补角与∠AOF 的补角相等，即∠DOE 互补的角：∠BOF 、∠EOC ； 【详解】
解：（1）∵∠BOE=∠FOD=90°，
∴∠AOF+∠EOF=90°，∠BOD+∠DOE=90°，∠DOE+∠EOF=90°， ∵OB 平分∠COD ，
∴∠BOD=∠BOC ，∠AOF=∠DOE ，
∴与∠DOE 互余的是：∠EOF 、∠BOD 、∠BOC ； 故答案为：∠EOF 、∠BOD 、∠BOC ；
（2）由（1）以及同角的余角相等可知，∠AOF=∠DOE ，∠EOF=∠BOD=∠BOC ， ∴∠DOE 的补角与∠AOF 的补角相等， ∵∠AOF+∠BOF=180°，∠BOF=∠EOC ， ∴∠AOF+∠EOC=180°，
∴∠DOE 的补角有：∠BOF 和∠EOC ． 【点睛】
本题考查了补角和余角的定义，以及角平分线的定义，解题的关键是根据同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等进行解答．
22．如图，C ，D 两点将线段AB 分成2:3:4三部分，E 为线段AB 的中点，
6cm AD =．求：
（1）线段AB 的长；
（2）线段DE 的长．
解析：（1）10.8cm ；（2）0.6cm 【分析】
（1）设2cm AC x =，3cm CD x =，4cm BD x =，则根据6cm AD =列式计算即可. （2）由E 为线段AB 的中点，且根据（1）知AB 的长为10.8cm ，即可求出DE 的长． 【详解】
（1）设2cm AC x =，3cm CD x =，4cm BD x =． 则有236x x +=， 解得 1.2x =．
则234910.8x x x x ++==． 所以AB 的长为10.8cm ． （2）因为E 为线段AB 的中点， 所以1
5.4cm 2
AE AB =
=． 所以6 5.40.6cm DE AD AE =-=-= 【点睛】
本题考查的是两点之间的距离，熟知各线段之间的和及倍数关系是解答此题的关键． 23．如图，是一个几何体的表面展开图．
（1）该几何体是________；
A ．正方体
B ．长方体
C ．三棱柱
D ．四棱锥 （2）求该几何体的体积． 解析：（1）C ；（2）4 【分析】
（1）本题根据展开图可直接得出答案． （2）本题根据体积等于底面积乘高求解即可． 【详解】
（1）本题可根据展开图中两个全等的等腰直角三角形，以此判定该几何体为三棱柱，故选C ．
（2）由图已知：该几何体底面积为等腰三角形面积1
2222
=⨯⨯=；该几何体的高为2；
故该几何体体积=底面积⨯高=22=4⨯． 【点睛】
本题考查几何体展开图以及体积求法，根据展开图推测几何体时需要以展开图的特征位置作为推测依据，求解体积或者面积时按照公式求解即可．
24．如图，点O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．（1）分别写出图中∠AOD和∠AOC的补角
（2）求∠DOE的度数．
解析：（1）∠BOD，∠BOC；（2）90°．
【分析】
（1）由题意根据补角的定义即和是180度的两个角互补，一个角是另一个角的补角进行分析；
（2）根据角平分线的性质，可得∠COE，∠COD，再根据角的和差即可得出答案．
【详解】
解：（1）根据补角的定义可知，∠AOD的补角是∠BOD；
∠AOC的补角是∠BOC；
（2）∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COD= 1
2∠AOC，∠COE=1
2
∠BOC．
由角的和差得∠DOE=∠COD+∠COE=1
2
∠AOC+1
2
∠BOC=1
2
∠AOB=90°．
【点睛】
本题考查余角和补角，利用了补角的定义和角的和差以及角平分线的性质进行分析求解．25．已知线段AB＝10cm，直线AB上有一点C，BC＝6cm，M为线段AB的中点，N为线段BC的中点，求线段MN的长．
解析：2cm或8cm
【分析】
分两种情况：（1）点C在线段AB上时，（2）点C在AB的延长线上时，分别求出线段MN的值，即可．
【详解】
解：（1）若为图1情形，
∵M为AB的中点，
∴MB＝MA＝5cm，
∵N为BC的中点，
∴NB＝NC＝3cm，
∴MN＝MB﹣NB＝2cm；
（2）若为图2情形，
∵M为AB的中点，
∴MB＝AB＝5cm，
∵N为BC的中点，
∴NB＝NC＝3cm，
∴MN＝MB+BN＝8cm．
【点睛】
本题主要考查线段的和差倍分和线段的中点概念，根据题意，画出图形，分类讨论，是解题的关键．
26．作图：如图，平面内有 A，B，C，D 四点按下列语句画图：
（1）画射线 AB，直线 BC，线段 AC
（2）连接 AD 与 BC 相交于点 E.
解析：答案见解析
【分析】
利用作射线，直线和线段的方法作图．
【详解】
如图：
【点睛】
本题考查了作图﹣复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．
27．如图，已知OE是∠AOB的平分线，C是∠AOE内的一点，若∠BOC＝2∠AOC，∠AOB ＝114°，则求∠BOC，∠EOC的度数．
解析：∠BOC＝76°，∠EOC＝19°．
【分析】
由∠BOC＝2∠AOC，则∠AOB=∠BOC+∠AOC=3∠AOC，即∠BOC=2
3
∠AOB，然后求解即可;
再根据OE是∠AOB的平分线求得∠BOE，最后根据角的和差即可求得∠EOC．【详解】
解：∵∠BOC＝2∠AOC，∠AOB＝114°，
∴∠BOC＝2
3∠AOB =2
3
×114°＝76°，
∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝114°，
∴∠BOE＝1
2∠AOB ＝1
2
×114°＝57°.
∴∠EOC＝∠BOC－∠BOE＝19°．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义以及角的和差运算，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
28．如图所示，已知射线OC将∠AOB分成1∶3的两部分，射线OD将∠AOB分成5∶7的两部分，若∠COD＝15°，求∠AOB的度数．
解析：90°
【分析】
设∠AOB的度数为x，根据题意用含x的式子表示出∠AOC，∠AOD，根据角的关键列出方程即可求解．
【详解】
解：设∠AOB的度数为x．
因为射线OC将∠AOB分成1∶3两部分，
所以∠AOC＝1
4 x．
因为射线OD将∠AOB分成5∶7两部分，
所以∠AOD＝
5
12
x．
又因为∠COD＝∠AOD－∠AOC，∠COD＝15°，
所以15°＝
5
12
x－
1
4
x．
解得x＝90°，
即∠AOB的度数为90°．
【点睛】
本题考查了角的和差，设出未知数，表示出∠AOC，∠AOD，列出方程是解题关键．
29．已知：如图，在∠AOB的内部从O点引3条射线OC，OD，OE，图中共有多少个角？若在∠AOB的内部，从O点引出4条，5条，6条，…，n条不同的射线，可以分别得到多少个不同的角？
解析：角的个数分别为10，15，21，28，…，(2)(1)
2
n n
++
．
【分析】
1、在锐角∠AOB的内部以O为顶点作3条射线,由此你能得到以O为顶点的射线共有多少条吗?
2、根据以一条射线为边,以其余n+1条射线为另一边可作n+1个角,相信你能求得5条射线共多少个锐角；
3、由于任意两射线所得的角都多计一次,所以当在∠AOB的内部从O点引3条射线共有
1
45
2
⨯⨯个角；
4、结合作3条射线得到的角的个数,可以推出以O为顶点共有n条射线时,得到的角的个数
为(1)(2)
2
n n
++
，继而将n=5、6、7代入即可．
【详解】
解：顺时针数，与射线OA构成的角有4个，与射线OC构成的角有3个，与射线OD构成的角有2个，与射线OE构成的角有1个，故共有角4＋3＋2＋1＝10(个). 类似地，引4条射线有角5＋4＋3＋2＋1＝15(个)，引5条射线有角6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(个)，引6条射线有角7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28(个)，…，以此类推，引n条射线有角(n＋1)＋n＋(n－1)
＋…＋2＋1＝(1)(2)
2
n n
++
(个) ．
【点睛】
本题中,根据以点O为顶点的射线有n+2条,再求这n+2条射线可形成的角的个数.要求同学们能够准确利用题目中的已知信息,灵活运用所学知识进行解答.本题还可以采用顺序枚举法进行解答,按一定顺序,把所有元素一一列举出来,要做到不重不漏,适合元素(射线)个数较少情况,如果图中有n条射线这时无法逐一列举,可用规律归纳法.
30．如图，O在直线AC上，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内．
（1）若OE是∠BOC的平分线，则有∠DOE=90°，试说明理由；
（2）若∠BOE=1
2
∠EOC，∠DOE=72°，求∠EOC的度数．
解析：（1）见解析；（2）72°【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义可以求得∠DOE=1
2
∠AOC=90°；（2）设∠EOB=x度，∠EOC=2x
度，把角用未知数表示出来，建立x的方程，用代数方法解几何问题是一种常用的方法．【详解】
（1）如图，因为OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，
所以∠BOD=1
2
∠AOB，∠BOE=1
2
∠BOC，
所以∠DOE=1
2
（∠AOB+∠BOC）=
1
2
∠AOC=90°；
（2）设∠EOB=x，则∠EOC=2x，
则∠BOD=1
2
（180°–3x），
则∠BOE+∠BOD=∠DOE，
即x+1
2
（180°–3x）=72°，
解得x=36°，
故∠EOC=2x=72°．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义．设未知数，把角用未知数表示出来，列方程组，求解．角平分线的运用，为解此题起了一个过渡的作用．。