【原创】人教A版选修2-2：第一章 1.5定积分的概念

第一章导数及其应用
其中 a 与 b 分别叫做_积__分__下__限__与_积__分__上__限__，区间[a，
b] 叫做 __积__分__区__间___ ， 函数 f(x) 叫做 __被__积__函__数__ ，x 叫 做
__积__分__变__量___，f(x)dx 叫做_被__积___式___．
讲一讲
2．汽车做变速直线运动，在时刻 t 的速度(单位：km/h) 为 v(t)＝t2＋2，那么它在 1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的 路程为多少？
[尝试解答] 将区间[1,2]等分成 n 个小区间，第 i 个小区间 为1＋i－n 1，1＋ni (i＝1,2，…，n)．
第 i 个时间区间的路程的近似值为 Δξi≈Δξi′＝v(t)·n1＝v1＋i－n 1·n1＝n3＋2in－2 1＋i－n312，
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第一章导数及其应用
练一练
2．已知作自由落体运动的物体的运动速度 v＝gt，求在 时间区间[0，t]内物体下落的距离．
解：①分割． 将时间区间[0，t]等分成 n 个小区间，其中第 i 个区间 为i－n 1t，int(i＝1,2，…，n)，每个小区间所表示的时间段 Δt ＝int－i－n 1t＝nt ，在各小区间内物体下落的距离，记作 ΔSi.
b
故 f(ξi)·Δxi<0，从而定积分af(x)dx<0，这时它等于图中 所示曲边梯形面积的相反数，
b
b
即af(x)dx<0＝－S 或 S＝－af(x)dx<0.
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2
(7)
0
4－x2dx 的几何意义是什么？
提示：是由直线 x＝0，x＝2，y＝0 和曲线 y＝ 4－x2所
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第一章导数及其应用
求曲边梯形的面积
讲一讲 1.如图所示，求直线 x＝0，x＝3，y＝0 与二 次函数 f(x)＝－x2＋2x＋3 所围成的曲边梯形的 面积． (提示：12＋22＋32＋…＋n2＝16n·(n＋1)(2n＋1))
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第一章导数及其应用
由yy＝＝4x2x≥0， 得交点为(2,4)， 如图所示，先求由直线 x＝2，y＝0 和曲 线 y＝x2(x≥0)围成的曲边梯形的面积．
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(1)分割将区间 [0,2]n 等分，则 Δx＝n2，取 ξi＝2i－n 1. (2)近似代替求和
n
Sn＝
i＝1
2i－n 12·n2＝n83[12＋22＋32＋…＋(n－1)2]＝83
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(ⅰ)分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯
形拆分为一些__小__曲__边___梯__形_ (如图②)；
(ⅱ)近似代替：对每个小曲边梯形
“以直代曲”，即用_矩__形__的面积近似
代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲
边梯形面积的__近__似__值__ (如图②)；
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③定积分的基本性质 (ⅰ)abkf(x)dx＝_k_ba_f_(x_)_d_x_(_k_为__常__数__)__； (ⅱ)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝____baf_1_(x_)_d_x_±__ab_f2_(_x_)d_x__； (ⅲ)abf(x)dx＝__caf_(_x)_d_x_＋___cbf_(_x_)d_x_(_其__中__a_＜__c_＜__b_)__．
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求变速直线运动的路程
[思考] 求变速直线运动的路程与求曲边梯形的面积有 什么相似之处？
名师指津：与求曲边梯形面积类似，将变速直线运动的 路程问题转化为小区间上近似做匀速直线运动的路程问题， 求得各小区间上路程和的极限即为变速直线运动的路程．
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[尝试解答] (1)如图，分割，将区间[0,3]n
等分，则每个小区间3i－n 1，3ni(i＝1,2，…，
n)的长度为 Δx＝n3.分别过各分点作 x 轴的垂 线，把原曲边梯形分成 n 个小曲边梯形．
(2)近似代替 以每个小区间的左端点函数值为高作 n 个小矩形． 则当 n 很大时，用 n 个小矩形面积之和 Sn 近似代替曲 边梯形的面积 S.
所
以
S＝
Sn ＝
＝133. 所以这段时间行驶的路程为133 km. 数学 ·人教A版选修2-2
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类题·通法 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边 梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过 程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直 线运动的时间区间．
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[问题思考]
(1)曲边梯形与“直边图形”的主要区别是什么？ 提示：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边
都是直线段．
(2)求曲边梯形面积时，能否直接对整个曲边梯形进行 “以直代曲”呢？怎样才能减小误差？
提示：不能直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”，否
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练一练
1．求由抛物线 y＝x2 与直线 y＝4 所围成的曲边梯形的 面积．
解：因为 y＝x2 为偶函数，图象关于 y 轴对称，所以所 求曲边梯形的面积应为抛物线 y＝x2(x≥0)与直线 x＝0，y＝ 4 所围图形面积 S 的 阴影 2 倍，下面求 S 阴影．
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第一章导数及其应用
类题·通法 求曲边梯形面积的思想和步骤
(1)求曲边梯形面积的思想是“以直代曲”，即用小矩形 的面积来代替小曲边梯形的面积；“逐步逼近”，即用 n 个 小矩形的面积的和 Sn 来逼近曲边梯形的面积 S.
(2)求曲边梯形面积的步骤：分割、近似代替、求和、取 极限．
＝－91－n11－21n＋91－n1＋9. 所以 S≈Sn＝－91－n11－21n＋91－n1＋9.
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(4)取极限 S＝ln→i∞m Sn＝ln→i∞m －91－n11－21n＋91－n1＋9 ＝－9(1－0)(1－0)＋9(1－0)＋9＝9， 即所求曲边梯形的面积为 9.
b
b
b
即af(x)dx＝af(t)dt＝af(u)du.
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b
(6)在定积分的几何意义中 f(x)≥0，如果 f(x)<0，af(x)dx 表示什么？
提示：如果在区间[a，b]上，函数 f(x)<0，
那么曲边梯形位于 x 轴的下方(如图所示)，
由于 Δxi>0，f(ξi)<0，
②定积分的几何意义
如果在区间[a，b]上函数 f(x)连续且恒有__f_(_x_)≥_0__，那
b
么
定
积
分
a
f(x)dx
表示由直线___x_＝__a_，__x_＝__b_(_a_≠_b_)，__y_＝__0___
和曲线_y_＝__f_(_x_)__所围成的曲边梯形的ห้องสมุดไป่ตู้积．这就是定积分
b
af(x)dx 的几何意义．
(ⅲ)求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的
_近___似__值_求和；
(ⅳ)取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲 边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．
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(3)求变速直线运动的位移(路程) 如果物体做变速直线运动，速度函数为 v＝v(t)，那么 我们也可以采用_分__割__、_近__似__代__替_、_求__和__、_取__极__限__的方法， 求出它在 a≤t≤b 内所作的位移 S.
2．归纳总结，核心必记 (1)连续函数 如果函数 y＝f(x)在某个区间 I 上的图象是一条连续不断 的曲线，那么我们就把它称为区间 I 上的__连__续__函数． (2)曲边梯形的面积 ①曲边梯形：由直线 x＝a，x＝b(a≠b)， ___y_＝__0__和曲线 y＝f(x)所围成的图形称为曲 边梯形(如图①)． ②求曲边梯形面积的方法与步骤：
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(3)求和
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Sn＝i＝n1f3i－n 1Δx＝i＝n1 －9i－n212＋2×3i－n 1＋3×n3
＝－2n73 [12＋22＋…＋(n－1)2]＋1n82 [1＋2＋3＋…＋(n－ 1)]＋9＝－2n73×16(n－1)n(2n－1)＋1n82×nn2－1＋9
n b－a
式n f(ξi)Δx＝__i＝_1___n___f(_ξ_i)_，当 n→∞时，上述和式无限接
i＝1
近某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的定积 n b－a
分，记作baf(x)dx，即abf(x)dx＝_l_ni→_m∞_i_＝_1 ___n__f_(ξ_i_)．
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(4)定积分 ①定积分的概念
如 果 函 数 f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 连 续 ， 用 分 点 a ＝ x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b 将区间[a，b]等分成 n 个小区间， 在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)，作和
(1)通常称这样的平面图形为什么图形？ 提示：曲边梯形． (2)如何求出所给平面图形的面积近似值？ 提示：把平面图形分成多个小曲边梯形，求这些小曲 边梯形的面积和．
(3)如何更精确地求出阴影部分的面积S?
提示：分割的曲边梯形数目越多，所求得面积越精确． 数学 ·人教A版选修2-2
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②近似代替． 在i－n 1t，int上取 ξi＝i－n 1t，则 v(ξi)＝g·i－n 1t，因此在每个小 区间内所经过的距离可近似表示为 ΔSi≈g·i－n 1t·nt (i＝1,2，…，n)． ③求和．
i＝n1ΔSi≈i＝n1g·i－n 1t·nt ＝gnt22[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝12gt21－n1.
共同点？ 提示：求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共
同本质是“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法．
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b
b
(5)af(x)dx 是一个常数还是一个变量？af(x)dx 与积分
变量有关系吗？
b
提示：由定义可得定积分af(x)dx 是一个常数，它的值 仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，
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于是
n
n
Sn＝ Δξi＝
i＝1
i＝1
n3＋2in－2 1＋i－n312
＝n·n3＋n22·(0＋1＋2＋…＋n－1)＋n13[12＋22＋…＋(n－1)2]
＝3＋n22·n－21·n＋n13·n－1n62n－1
＝
3
＋
1－n1
＋
1 3
1－n1
1－21n
.
1－n11－21n.
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(3)取极限 S＝ln→i∞mSn＝ln→i∞m 831－n11－21n＝83.所以所求平面图形 的面积为 S 阴影＝2×4－83＝136.所以 2S 阴影＝332， 即抛物线 y＝x2 与直线 y＝4 所围成的图形面积为332.
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1.5 定积分的概念
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[核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材P38～P47的内容，回答下列问 题．
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第一章导数及其应用
观察教材P39图1.5－2，阴影部分是由抛物线y＝x2与直 线x＝1，y＝0所围成的平面图形．
则误差太大，为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别
对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目
越多，得到面积的误差越小．
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(3)在“近似代替”中，如果取任意 ξi∈i－n 1，ni 处的函
数值 f(ξi)作为近似值，求出的 S 有变化吗？ 提示：没有变化． (4)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程有哪些
围成的曲边梯形面积，即以原点为圆心，2 为半径的14圆的
2
面积即 0
4－x2dx＝π.
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[课前反思] (1)连续函数的定义是什么？
(2)求曲边梯形面积的方法和步骤是什么？
(3)求变速直线运动的位移(路程)的方法和步骤是什么？
(4)定积分的概念、几何意义是什么？有哪些基本性质？