高中数学人教A版选修2-2课件1-6微积分基本定理3

2
＝－cosπ2＋sinπ2＋cos－π2－sin－π2
＝0＋1＋0＋1＝2.
(6)1(x2－x)dx＝(13x3－12x2)|10＝－16. 0
(7)
π 2 0
(3x＋sinx)dx＝(32x2－cosx) |
＝38π2＋1.
(8)3 (3x2－2x＋1)dx＝(x3－x2＋x)|3－1＝24. －1
＝sin1－23.
典例剖析
忽视积分变量致误
1(t2＋t)dx＝________________.
0
[错解]
5 6
1(t2＋t)dx＝(13t3＋12t2)|10＝56.
0
[辨析] 对于积分变量x来说，被积函数表达式f(x)＝t2＋t
为常数，它与f(x)＝x2＋x是不同的．
[正解] 填t2＋t 1(t2＋t)dx＝(t2＋t)x|10＝t2＋t. 0
1．微积分基本定理 如果F(x)是区间[a，b]上的__连__续____函数，并且F ′(x)＝ ___f(_x_) ___，那么bf(x)dx＝__F_(b_)_－__F_(a_)__．
a
2．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x) ＝f(x)的函数F(x)，即找被积函数的__原__函_数___，利用求导运算 与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公 式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．
(9)2x12dx＝________________. 1
(10)e
1xdx＝________________.
1
[答案]
1 (1)2
(2)1
2 (3)ln2
(4)0
(5)2
(6)－16
(7)38π2＋1
(8)24
1 (9)2
(10)1
[解析] (1)∵(x22)′＝x，∴1xdx＝x22|10＝12. 0
3．被积函数的原函数有很多，即若F(x)是被积函数f(x)的 一个__原__函_数___，那么F(x)＋C(C为常数)也是被积函数f(x)的 _原__函__数___．但是在实际运算时，不论如何选择常数C(或者是忽 略C)都没有关系，事实上，以F(x)＋C代替式中的F(x)有bf(x)dx
a
＝[F(b)＋C]－[F(a)＋C]＝F(b)－F(a)． 4．求定积分的方法主要有：①利用定积分的__定_义_____；
π
(3)
2
cos2xdx＝________________.
π
6
[答案]
(1)713
(2)4516
(3)π6－
3 8
[解析] (1)因为(x2)′＝2x，1x′＝－x12， 所以312x－x12dx＝312xdx－31x12dx＝x231 ＋1x13 ＝(9－1)＋13－1＝713.
二.分段函数的定积分计算
④ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱsinxdx＝－cosx|ba； a
⑤bcosxdx＝sinx|ba； a
⑥bexdx＝ex|ba； a
⑦baxdx＝lanxa|ba(a>0且a≠1)． a
跟踪训练
求下列定积分：
(1)312x－x12dx＝________________；
(2)9 x(1＋ x)dx＝________________； 4
• [方法规律总结] 求复杂函数定积分的注意事项 • (1)在求复杂函数定积分时，要熟练掌握基本初等函数及其导数的
运算法则．当原函数不易求解时，可以把函数变形． • (2)合理利用定积分的性质，把复杂函数的定积分转化为简单函数
的定积分再进行求解． • (3)分段函数求定积分，运用积分的性质分段积分后再相加． • (4)确定积分区间，分清积分的上下限．
人教版 选修2-2
第一章 导数及其应用
1.6 微积分基本定理
学习目标
• 1．通过实例，直观了解微积分基本定理的含义． • 2．利用微积分基本定理，求函数的定积分．
• 重点：微积分基本定理． • 难点：导数与积分的关系；利用微积分基本定理求函数的定积
分．
新知导入
一.微积分基本定理
• 我们已经知道利用定积分可以解决一些实际问题，但用定义求解 却很麻烦，有没有简捷有效的计算方法呢？
求2
|x2－x|dx.
－2
• [分析] 由于被积函数是含绝对值的函数，需在积分区间[－2,2]上 分段积分，这里零点是x＝0，x＝1.
[解析]
2
|x2－x|dx
－2
＝0
(x2－x)dx＋1(x－x2)dx＋2(x2－x)dx
－2
0
1
＝13x3－12x20－2 ＋12x2－13x301
＋13x3－12x221 ＝137.
(9)2x12dx＝－1x|21＝－(12－1)＝12. 1
(10)e
1xdx＝lnx|e1＝1－0＝1.
1
题型探究
一.利用牛顿—莱布尼茨公式求定积分
求下列定积分：
(1)211xdx；
(2)1x3dx； 0
(3)1 exdx. －1
[分析] 根据导数与积分的关系，求定积分要先找到一个
导数等于被积函数的原函数，再根据牛顿—莱布尼茨公式写出
答案，找原函数可结合导数公式表．
[解析] (1)因为(lnx)′＝1x，所以21xdx＝lnx12 ＝ln2－ln1＝ 1
ln2.
(2)∵14x4′＝x3，∴10x3dx＝14x410 ＝14.
(3)∵(ex)′＝ex，∴1
exdx＝ex1－1 ＝e－1e.
－1
• [方法规律总结] 1.利用微积分基本定理求定积分的步骤： • 第一步，利用定积分的性质将被积函数变形为基本初等函数导数
1
1
2．(2015·锦州一中高二期中)2(x2－x)dx＝__________.
0
[答案]
2 3
[解析] ∵(x33－12x2)′＝x2－x.
∴原式＝(x33－12x2)|20＝(83－2)－0＝23.
3．求下列定积分： (1)1xdx＝________________.
0
(2) 02πsinxdx＝________________. (3)22xdx＝________________.
公式中所列函数形式的积分的代数和． • 第二步，依次找出各被积函数的一个满足F ′(x)＝f(x)的原函数
F(x)． • 第三步，利用牛顿——莱布尼茨公式求值．
2．常用公式 ①bcdx＝cx|ba(c 为常数)；
a
②bxndx＝n＋1 1xn＋1|ba(n≠－1)； a
③b1xdx＝lnx|ba(b>a>0)； a
跟踪训练
设f(x)＝xco2 sx－1
x≤0， x>0.
则1
f(x)dx＝_________.
－1
[答案] sin1－23
[解析]
1
f(x)dx＝0－1x2dx＋1(cosx－1)dx
－1
0
＝13x30－1 ＋(sinx－x)01
＝[13×03－13×(－1)3]＋[(sin1－1)－(sin0－0)]
• [警示] 解决定积分问题时，一要确定好积分变量，二要清楚积 分上、下限，三要明确积分的几何意义，注意积分与平面图形面 积的区别与联系，四要会用导数方法寻找原函数，五要用好积分 性质和微积分基本定理．
②利用定积分的__几__何__意_义____；③利用_微__积__分__基__本_定__理______．
预习自测
1．如果1f(x)dx＝1，2f(x)dx＝－1，则2f(x)dx＝_______.
0
0
1
[答案] －2
[解析] 2f(x)dx＝1f(x)dx＋2f(x)dx＝－1，
0
0
1
所以1＋2f(x)dx＝－1，所以2f(x)dx＝－2.
1
(4)0 cosxdx＝________________. －π
π
2
(5)
-π
(sinx＋cosx)dx＝________________.
2
(6)1(x2－x)dx＝________________. 0
(7)
π 2 0
(3x＋sinx)dx＝________________.
(8)3 (3x2－2x＋1)dx＝________________. －1
(2)∵(－cosx)′＝sinx，∴0π2sinxdx＝－cosx| ＝(－cosπ2)－(－cos0)＝1. (3)(l2nx2)′＝2x，∴22xdx＝l2nx2|21＝ln42－ln22＝ln22.
1
(4)∵(sinx)′＝cosx，∴0－πcosxdx＝sinx|0－π＝0.
π 2
(5) (sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx) -π