空间向量及其运算知识总结

空间向量及其运算知识总结(总4
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空间向量及其运算
1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
b a AB OA OB +=+=;b a OB OA BA -=-=;)(R a OP ∈=λλ
运算律：⑴加法交换律：a b b a
+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a
++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)(
3．平行六面体： 平行四边形ABCD 平移向量a
到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 4. 平面向量共线定理
方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．
向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .
要注意其中对向量a
的非零要求． 5 共线向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或
平行向量．a 平行于b 记作b a
//．
当我们说向量a 、b 共线（或a b a b a b b 0 a b a b
推论：如果l 为经过已知点A 且平
行于已知非零向量a
的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式
t OA OP +=a ．其中向量a
叫做直线l 的方向向量. 空间直线的向量参数表示式：
t OA OP +=a
或)(OA OB t OA OP -+=OB t OA t +-=)1(，
中点公式．)(2
1
OB OA OP +=
7．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量
说明：空间任意的两向量都是共面的 8．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量
,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+
推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使
MP xMA yMB =+ ①或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++② 或,(1)OP xOA yOB zOM x y z =++++= ③ 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式
a C'
B'A'
D'D A B C A 'p b a
O P A B M
y
k i
A(x,y,z)
O j
x
z 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一
的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底
推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数
,,x y z ，使OP xOA yOB =++
10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作
,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显
然有,,a b b a <>=<>；若,2
a b π
<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥.
11．向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a . 12．向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即
a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．
已知向量AB a =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影. 可以证明A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅． 13．空间向量数量积的性质：
（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）0a b a b ⊥⇔⋅=． （3） 2||a a a =⋅．
14．空间向量数量积运算律：
（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）． （3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）
空间向量的直角坐标及其运算
空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；
（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A
在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．
常见坐标系
①正方体
如图所示，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，一般选择点D 为原点，DA 、DC 、'DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则各点坐标为
A A '
D B
B ' D '
C C '
y z x
C A
D O z y
亦可选A 点为原点.
在长方体中建立空间直角坐标系与之类似. ②正四面体
如图所示，正四面体A BCD -的棱长为a ，一般选择A 在BCD ∆上的射影为原点，OC 、OD （或OB ）、OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为 ③正四棱锥
如图所示，正四棱锥P ABCD -的棱长为a ，一般选择点P 在平面ABCD 的射影为原点，OA （或OC ）、OB （或OD ）、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为
④正三棱柱
如图所示，正三棱柱 '''ABC A B C -的底面边长为a ，高为h ，一般选择AC 中点为原点，OC （或OA ）、OB 、OE （E 为O 在''A C 上的射影）所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为 3．空间向量的直角坐标运算律：
（1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则
112233(,,)a b a b a b a b +=+++，
112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ⋅=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，
1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．
（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．
模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，
则22123||a a a a a a =⋅=++，21||b b b b =⋅=+ 5．夹角公式：21
cos ||||a b
a b a b a ⋅⋅=
=⋅+
6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则2
||(AB AB x ==，
或,A B d =
空间向量应用
一、直线的方向向量
把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在空间直角坐标系中，
由111(,,)A x y z 与222(,,)B x y z 确定直线AB 的方向向量是212121(,,)AB x x y y
z z =---.
平面法向量 如果a α⊥，那么向量a 叫做平面α的法向量. 二、证明平行问题
1．证明线线平行：证明两直线平行可用112233//,,
()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈或
3
12123
//a a a a b b b b ⇔
==. 2.证明线面平行
x y
直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且l α⊄，若a n ⊥即0a n ⋅=则//a α. 3.证明面面平行
平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，若12//n n 即12n n λ=则//αβ.
三、证明垂直问题 1．证明线线垂直
证明两直线垂直可用1122330a b a b a b a b a b ⊥⇔⋅=++=
2．证明线面垂直
直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且l α⊄，若//a n 即a n λ=则a α⊥.
3.证明面面垂直
平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，若12n n ⊥即120n n ⋅=则αβ⊥.
四、夹角
1．求线线夹角
设123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，(0,90]θ∈︒︒为一面直线所成角，则：
||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<>；
21cos ,||||a a b a b a b a ⋅<>=
=⋅+；cos |cos ,|a b θ=<>.
2．求线面夹角
如图，已知PA 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线
PO ，连结OA 则PAO ∠为斜线PA 和平面α所成的角，记为θ易得
sin |sin(,)|2
OP AP π
θ=-<>|cos ,|OP AP =<>
|cos ,|n AP =<>|cos ,|n PA =<>||||||
n PA n PA ⋅=
. 3．求面面夹角
设1
n 、2
n 分别是二面角两个半平面α、β的法向量，
当法向量1n 、2n 同时指向二面角内或二面角外时，二面角
θ的大小为12,n n π-<>；
当法向量1n
、2n 一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角θ的大小为
12,n n <>.
五、距离
1．求点点距离
设111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，,A B d =||(AB AB AB x =⋅=2．求点面距离
如图，A 为平面α任一点，已知PA 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO ，连结OA 则PAO ∠为斜线PA 和平面α所成的角，记为θ易得
||||sin |||cos ,|PO PA PA PA n θ=⋅=⋅<>||||||||PA n PA PA n ⋅=⋅
⋅||
||
PA n n ⋅=
. 3．求线线距离
求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算.如图，设两条异面直线a 、
b 的公垂线的方向向量为n , 这时分别在a 、b 上任取A 、B 两点，则向量在n 上的正射影
长就是两条异面直线a、b的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.
直线a、b的距离
|| ||
||||
n AB n d AB
n n
⋅
=⋅=.
4．求线面距离
一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离.
5.求面面距离
和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.
平面和平面间的距离可转化为求点到平面的距离.。