高考常考的函数奇偶性专题

专题七
高考常考的函数奇偶性的题型总结
学习本专题必备知识点总结：
1. 奇偶函数的定义：（1）奇函数：若函数)(x f 对于定义域内任意的自变量都有
)(x f -=)(x f -，则称该函数为奇函数；
（2）偶函数：若函数)(x f 对于定义域内任意的自变量都有)(x f -=)(x f ，则称该函数为偶函数. 奇偶函数的定义要注意两点：（1）)(x f -与)(x f 的关系；记忆时可联系初中的知识点：负数的奇次方为负数，负数的偶次方为正数. 所以，有负号的为奇函数，没有负号的为偶函数.（2）)(x f -与)(x f 关系成立的前提是对于定义域内的自变量都成立，也就是说定义域一定要关于原点对称. ]1,1(,2-∈=x x y 在如：时，既不是奇函数也不是偶函数；在]1,1[-∈x 时，则为偶函数了.
2. 奇偶函数的图像：奇函数的图像关于原点对称，如x y x y sin ,==；偶函数的图像关于y 轴对称，如x y x y cos ,2==.我们可以通过判断函数的奇偶性得到函数图像是关于原点对称，还是关于y 轴对称.
3. 奇偶函数的性质：（1）奇函数+奇函数=奇函数；（2）偶函数+偶函数=偶函数；（3）奇函数⨯偶函数=奇函数；（4）奇函数⨯奇函数=偶函数；（5）偶函数⨯偶函数=偶函数；（6）奇函数+偶函数=非奇非偶函数. 上述6个运算性质可以这样记忆：把奇函数看作负数，偶函数看作正数进行运算，若运算的结果一定为正数，则函数为偶函数；若运算的结果一定为负数，则函数为奇函数；若结果不定，则函数为非奇非偶函数。

（7）若函数)(x f 为奇函数或偶函数，则)(x f -和
的奇偶性不变的常数为不等于)0()
(a x f a . （8）若奇函数)(x f 在原点有定义，则)0(f =0. 一、关于函数奇偶性定义和图像的题型
函数奇偶性定义的题型一般以两种形式考察：（1）直接用定义证明函数的奇偶性；（2）利用奇偶函数的性质先判断函数的奇偶性，再利用奇偶函数的知识点来解题。

例1. 证明下列函数的奇偶性并说明它的图像特征：
（1）.2)3();22cos log()2(;sin 23x y x x y x x x y x -=++=++=
解析：题（1）是三个奇函数相加，由定义或性质都易得题（1）中的函数为奇函数；题（2）是与对数函数有关的函数奇偶性的题目，用定义也不难得出为偶函数；题（3）为一个非奇非偶函数加上一个奇函数的题目，用定义来判断知其为非奇非偶函数 .
证明: (1) 函数的定义域为一切实数，所以定义域关于原点对称.
..).
()sin ()sin()()(33于原点对称所以，原函数的图像关奇函数根据定义知，原函数为又因为x f x x x x x x x f -=++-=-+-+-=-
(2) 函数的定义域为一切实数，所以定义域关于原点对称.
..).
()22cos lg(]2)2cos()lg[()(22轴对称于所以，原函数的图像关偶函数根据定义知，原函数为又因为y x f x x x x x f =++=+-+-=-
(3) 函数的定义域为一切实数，所以定义域关于原点对称.
..),()(),()(),(2)(轴对称关于不关于原点对称，也不所以，原函数的图像既非奇非偶函数因此原函数为
且所以但是因为y x f x f x f x f x x f x ≠-≠---=--
总结：（1）用奇偶性的定义来证明时，要把握住定义的两个要点：①定义域首先要关于原点对称；②)(x f -与)(x f 的关系. （2）关于某个函数图像特征的题目，可以先判断该函数的奇偶性，如果是奇函数，则它的图像关于原点对称，如果为偶函数，则它的图像关于y 轴对称 .（3）对于小题，还可以用奇偶函数的运算性质来判断.
练习1. 证明下列函数的奇偶性并说明它的图像特征：
（1）.cos )3(;3sin tan 5)2(|;|32x x y x x y x x y +=-=-=
参考答案：（1）偶函数，图像关于y 轴对称；（2）奇函数，图像关于原点对称；
（3）非奇非偶函数，图像既不关于原点对称也不关于y 轴对称.
例2. 解下列各题：
（1）设奇函数)(x f 的定义域为[－5,5].若当∈x [0,5]时,
)(x f 的图像如右图,则不等式)(x f <0的解是.
（2）设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=
则=)5(f （ ）c
A ．0
B ．1
C ．25
D ．5
（3）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f
的x 取值范围是（ ）
A.（13，23）
B.［13，23）
C.（12，23）
D. ［12，23
） 解析：题（1）给出了奇函数)(x f 在∈x [0,5]时的图像，由奇函数的图像关于原点对称，
我们容易画出的解；时的图像，由图像易得0)(]0,5[<-∈x f x 题（2）也是已知函数))((R x x f ∈为奇函数，且给出一些条件，让我们求=)5(f ？. 题（3）是已知()f x 为偶函数且在区间[0,)+∞单调增加，要求我们解抽象函数的不等式的题目.
（1）由上面的解析知∈x [－5,5]的图像，根据图像知)(x f <0的解是(－2,0)∪(2,5].
（2）),2(2)1()2()2()1()2()3()23()5(f f f f f f f f f +=++=+=+=
..2
5)5(.1)1(2)2()2()1()1().1()1(,2
1)1()()
2()1()21(1),2()()2(正确因此选项所以且所以为奇函数，且又因为函数得令由条件C f f f f f f f f f x f f f f x f x f x f ===⇒+-=-=-=+-=+--=+=+ （3）由于()f x 是偶函数,故()f x ＝(||)f x ∴得1(|21|)()3f x f -<，再根据()f x 的单调性
得|2x －1|＜13 解得13＜x ＜23
. 所以答案选A. 总结：已知奇偶函数在一定范围内的函数图像，可以利用奇偶函数图像的特点画出对应的另一部分图像（如例2（1）），然后利用图像易解. 当已经给出函数是奇函数或偶函数时，除了利用图像的特点外，别忘记定义中)(x f -与)(x f 的关系！已知函数为奇（偶）函数，并给出函数的单调性，解抽象函数的不等式时，注意由所给条件，可以转化成为基本不等式来解.
本专题典型的函数奇偶性的高考真题汇总及解析
较容易的基础题：
1. 函数1()f x x x
=-的图像关于（ ） A ．y 轴对称 B ．直线x y -=对称 C ．坐标原点对称 D ．直线x y =对称
2. 函数22log 2x y x
-=+的图像（ ） A. 关于原点对称 B. 关于直线y x =-对称
C. 关于y 轴对称
D. 关于直线y x =对称
3. ()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）
Ａ．充要条件
Ｂ．充分而不必要的条件 Ｃ．必要而不充分的条件
Ｄ．既不充分也不必要的条件 4．已知函数=-=+-=)(,2
1)(,11lg )(a f a f x x x f 则若（ ）
A ．21
B ．－21
C ．2
D ．－2 5．2(sin cos )1y x x =--是（ ）
A ．最小正周期为2π的偶函数
B ．最小正周期为2π的奇函数
C ．最小正周期为π的偶函数
D ．最小正周期为π的奇函数 6. 已知函数()1,21
x f x a =-+，若()f x 为奇函数，则a =. 7．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数.若当(0,)x ∈+∞时，()lg f x x =，则满足()0f x >的x 取值范围是________________.
中等难度的提高题：
1. 函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( )
A. ()f x 是偶函数
B. ()f x 是奇函数
C. ()(2)f x f x =+
D.(3)f x +是奇函数
2. 已知函数0()(2≠+=x x a
x x f ，常数)a ∈R ．
（1）当2=a 时，解不等式12)1()(->--x x f x f ；
（2）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由．
较容易的基础题的参考答案：
1. C
2. A
3. B
4. B
5. D
6. 2
1 7. (－1,0)∪(1,+∞). 第1题解析：
}{.)().()(.,0|)(C x f x f x f x x x f 为奇函数，选且它关于原点对称的定义域为函数∴-=-≠ 第2题解析：
}{..)().(22log 22log )(.
,22|)(122A x f x f x x x x x f x x x f 选于原点对称为奇函数，因此图像关且它关于原点对称的定义域为函数∴-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+=-<<--
第3题解析：
.)()(2)()()(,
1)(,1)(.)(),()(.)()()()(),(都是非奇非偶函数和为偶函数，但则如：令不一定为偶函数为偶函数时，但当一定为偶函数均为偶函数时，知：当由奇偶函数的运算性质x g x f x g x f x h x x g x x f x g x f x h x h x g x f x g x f =+=-=+==+
第4题解析： 方法一：由奇函数的定义易知函数.2
1)()()(-=-=-a f a f x f 为奇函数，所以
..21)(),(11lg )(B a f a f a a a f 因此答案选方法二：-=-∴-=-+=-
第5题解析：
.,2sin cos sin 21cos cos sin 2sin 22正确选项D x x x x x x x y ∴-=-=-+-=
第6题解析：
方法一：因为()f x 为上的R x ∈奇函数，所以()00f =.因此，.21=a
.21).()()(=
-=-a x f x f x f 由此可以得到为奇函数，所以方法二：因为 第7题解析：
.010)lg()0,(.10lg ),0().lg()()0,(,lg )(),0()(<<-⇒>---∞∈>⇒>+∞∈--=-∞∈∴=+∞∈x x x x x x x x f x x x f x R x f 时，由当时，由因此，当时，当时，上的奇函数，且为定义在 中等难度题的参考答案：
1. D
2. （1）10<<x ；（2）当0=a 时，)(x f 为偶函数；
当0≠a 时，函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．
第1题解析：
(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--， ∴函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-对称，
函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数.
(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数.故选D. 第2题解析：
（1）由1212)1(222->----+
x x x x x ， ⇒0122>--x x ， ⇒0)1(<-x x . ∴ 原不等式的解为10<<x ．
（2）当0=a 时，2)(x x f =，
对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，，)()()(22x f x x x f ==-=-， )(x f ∴
为偶函数． 当0≠a 时，2()(00)a f x x a x x
=+≠≠，， 取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，，
∴(1)(1)(1)(1)f f f f -≠--≠，， ∴函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．。