2016-2017学年高中数学-第二章-解析几何初步-2.1.5-平面直角坐标系中的距离公式课件-北
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|27-(-12)|
d=
13
=3 13.
答案:3 13
3
4
.
5
1
2
3
4
5
4.已知△ABC的三个顶点的坐标为 A( 3,2), B(0,1),C(0,3),则BC边上
的高线AD的长为
.
解析:高线AD的长即为点A到直线BC的距离,由已知得BC的方程为
x=0,因此点A到BC的距离为 3,即|AD|= 3.
探究二
探究三
探究四
易错辨析
证明:以D为原点,以BC边所在直线为x轴建立如图所示的平面直
角坐标系.
设|BC|=3a(a>0),则|BD|=2a,|DC|=a.
于是B(-2a,0),D(0,0),C(a,0),
设A(x,y).
则|AB|2+2|AC|2=(x+2a)2+y2+2[(x-a)2+y2]
=3x2+3y2+6a2;
=
13
2
13
1
= .
2
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究四解析法的应用
【例4】 若D为△ABC的边BC上的一点,且BD=2DC.
求证:|AB|2+2|AC|2=3|AD|2+6|CD|2.
分析:以D为原点建立直角坐标系,设出有关点的坐标,利用两点
间的距离公式求出各线段的长度,寻求关系进行证明.
探究一
答案: 3
1
2
3
4
5
5已知AO是△ABC中BC边上的中线,
证明:|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).
证明:以O为原点,BC所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐
标系.
设A(b,c),B(-a,0),C(a,0).
由两点间的距离公式,得|AB|2+|AC|2=(b+a)2+c2+(ba)2+c2=2(a2+b2+c2),
由|PA|=|PB|得 x=1,
所以点 P 的坐标为(1,0),
且|PA|= (1 + 1)2 + (0-2)2 =2 2.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究二点到直线的距离公式及其应用
【例2】 (1)求点P(-1,2)到直线3x=2的距离;
3
1
(2)求点P(3,-2)到直线 y= x+ 的距离.
当直线过点A(1,2)且与x轴不垂直时,
由题意可设直线方程为y-2=k(x-1),
即kx-y-k+2=0.
∵原点到此直线的距离等于1,
∴
|- +2|
2 +1
3
=1,解得 k= ,
4
3
∴所求直线的方程为 y-2=4(x-1),
即3x-4y+5=0.
综上所述,所求直线的方程为x=1或3x-4y+5=0.
的值等于(
)
A.
7
B.-
9
7
1
9
3
C.- 或-
3
7
1
9
3
D. 或
|6 +3+1|
解析:由题意知
答案:C
1
2 +1
=
|-3-4+1|
2 +1
7
1
9
3
,解得 a=- 或 a=- .
1
4
6
2
3.直线 − =1 与 3x-2y+27=0 之间的距离为
4
6
解析:直线 − =1 可化为 3x-2y-12=0,因此所求距离
|BC|= [3-(-1)]2 + (0-3)2 = 25=5.
因为|AB|2+|AC|2=|BC|2,
所以△ABC 是以顶点 A 为直角顶点的直角三角形.
(2)解:由于 A 是直角,
1
1
2
2
因此△ABC 的面积 S= |AB|·|AC|= ×2 5 × 5=5.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练1 已知点A(-1,2),B(2, 7), |PA|=|PB|,并求|PA|的 值.
解:设所求的点为 P(x,0),
于是有|PA|= ( + 1)2 + (0-2)2 = 2 + 2 + 5,
|PB|= (-2)2 + (0- 7)2 = 2 -4 + 11,
立如图所示的坐标系.
设△ABD和△BCE的边长分别为a,c,
探究一
探究二
探究三
则 A(-a,0),E
于是|AE|=
=
2
=
4
,
2
2
4
2
2
2
所以|AE|=|CD|.
易错辨析
3
2
2
,C(c,0),D - ,
2
+
-(-)
- -
+ +
3
2
2
+ +
|CD|=
2
探究四
3
2
,
【例3】求与直线3x-4y-20=0平行且距离为3的直线的方程.
分析:利用平行直线系方程设出直线方程再套用公式求解.
|-(-20)|
=3,
解:设所求直线方程为3x-4y+C=0(C≠-20),依题意有
32 +(-4)2
即|C+20|=15,解得C=-5或C=-35,
故所求直线的方程为3x-4y-5=0或3x-4y-35=0.
到点 C(4,7)的距离为 (4-2)2 + (7-3)2 =2 5,
答案:B
5
2 5
1
= .故选 B.
2
2.点到直线的距离公式
点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=
A.
1
B.
2
解析:d=
答案:C
|1-(-1)+1|
2
3
C.
2
=
3 2
2
.
3 2
2
|0 + 0 + |
2 + 2
2
-0
3
+ 2 = 2 + + 2 ,
4
3
+
2
3
-0
2
+ 2 = 2 + + 2 ,
4
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
未考虑直线斜率不存在的情形而致误
典例求经过点A(1,2)且原点到直线的距离等于1的直线方程.
错解:∵所求直线过点A(1,2),
∴可设直线方程为y-2=k(x-1),
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练3 求直线l1:24x-10y+5=0与l2:12x-5y-4=0之间的距离.
5
解:直线 l1 的方程可化为 12x-5y+ =0,因此 l1 与 l2 之间的距离
2
d=
5
-(-4)
2
122 +(-5)2
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
1
2
3
4
1.若点A(1,3)与点B(m,7)之间的距离等于5,那么实数m的值为(
A.4
B.-2 C.-4或2
D.4或-2
解析:由已知得|AB|= (1-m)2 + (3-7)2=5,因此|1-m|=3,
解得 m=4 或 m=-2.
答案:D
5
)
1
2
3
4
5
2.已知点A(-3,-4)和点B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a
|AB|= (2 -1 )2 + (2 -1 )2 .平面内任一点 P(x,y)与原点的距离
|OP|= 2 + 2 .
做一做1 点A(2,3)到点B(3,5)的距离是到点C(4,7)的距离的(
A.1 倍
B.
1
2
C.
1
3
)
1
D.
4
解析:点 A(2,3)到点 B(3,5)的距离为 (3-2)2 + (5-3)2 = 5;点 A(2,3)
即kx-y-k+2=0.
∵原点到此直线的距离为1,
∴
|- +2|
2 +1
3
=1,解得 k= ,
4
3
∴所求直线的方程为y-2= (x-1),即3x-4y+5=0.
4
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
正解:当直线过点A(1,2)且垂直于x轴时,直线方程为x=1,
原点(0,0)到直线的距离等于1,满足题意.
(1)求证△ABC是直角三角形;
(2)求△ABC的面积.
分析:先利用两点间的距离公式求出三角形三条边的长度,根据
边长之间的关系判断其形状,再用面积公式求△ABC的面积.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
(1)证明:由已知得|AB|= (-1-1)2 + [3-(-1)]2 = 20=2 5,
|AC|= (3-1)2 + [0-(-1)]2 = 5,
3|AD|2+6|CD|2=3(x2+y2)+6a2,
因此|AB|2+2|AC|2=3|AD|2+6|CD|2.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练4 △ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角
形,用坐标法证明|AE|=|CD|.
证明:以AC所在的直线为x轴,过点B且垂直于AC的直线为y轴,建
D.
2
2
3.解析法
根据图形特点,建立适当的直角坐标系,利用坐标解决有关问题,这
种方法叫坐标的方法,也称为解析法.
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的
打“×”.
(1)平面直角坐标系中两点间的距离公式不适用于两点在坐标
轴上的情形.
(2)点 A(x0,y 0)关于直线 y=x 对称点 A'的坐标为(y0,x 0).
易错辨析
变式训练2 若点(1,a)到直线4x-3y-4=0的距离不大于3,则a的取值
范围是(
)
A.[0,5] B.[0,15]
C.[-5,5]
解析:由点到直线的距离公式得
答案:C
D.[- 5, 5]
|4-3-4|
4 2 +(-3)2
≤3,解得-5≤a≤5.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究三两条平行直线间的距离公式及应用
4
4
解:(1)由图可知直线 3x=2 平行于 y 轴,
2
5
3
3
所以 d= -(-1) = .
3
1
4
4
(2)直线 y= x+ 可化为一般式 3x-4y+1=0.由点到直线的距离公
|3×3-4×(-2)+1|
式,得 d=
2
32 +(-4)
=
18
5
.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
1.5
平面直角坐标系中的距离公式
学 习 目 标
1.理解两点间的距离
公式,会求两点间的
距离.
2.掌握点到直线的距
离公式,能用这一公
式解决相关问题.
3.会求两条平行直线
间的距离.
4.掌握解析法解决问
题的方法与步骤.
思 维 脉 络
1.两点间的距离公式
若两点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则有
(
)
(
)
(3)一条直线被两条平行线所截,截得的线段的长为这两条平行
线间的距离.
(
)
(4)(x-5)2+(y-1)2 的几何意义是动点 P(x,y)与定点 A(5,1)之间的
距离.
答案:(1)× (2)
(
(3)×
(4)×
)
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一两点间的距离公式及应用
【例1】已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,-1),B(-1,3),C(3,0).
|AO|2+|OC|2=b2+c2+a2,
所以|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).
d=
13
=3 13.
答案:3 13
3
4
.
5
1
2
3
4
5
4.已知△ABC的三个顶点的坐标为 A( 3,2), B(0,1),C(0,3),则BC边上
的高线AD的长为
.
解析:高线AD的长即为点A到直线BC的距离,由已知得BC的方程为
x=0,因此点A到BC的距离为 3,即|AD|= 3.
探究二
探究三
探究四
易错辨析
证明:以D为原点,以BC边所在直线为x轴建立如图所示的平面直
角坐标系.
设|BC|=3a(a>0),则|BD|=2a,|DC|=a.
于是B(-2a,0),D(0,0),C(a,0),
设A(x,y).
则|AB|2+2|AC|2=(x+2a)2+y2+2[(x-a)2+y2]
=3x2+3y2+6a2;
=
13
2
13
1
= .
2
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究四解析法的应用
【例4】 若D为△ABC的边BC上的一点,且BD=2DC.
求证:|AB|2+2|AC|2=3|AD|2+6|CD|2.
分析:以D为原点建立直角坐标系,设出有关点的坐标,利用两点
间的距离公式求出各线段的长度,寻求关系进行证明.
探究一
答案: 3
1
2
3
4
5
5已知AO是△ABC中BC边上的中线,
证明:|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).
证明:以O为原点,BC所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐
标系.
设A(b,c),B(-a,0),C(a,0).
由两点间的距离公式,得|AB|2+|AC|2=(b+a)2+c2+(ba)2+c2=2(a2+b2+c2),
由|PA|=|PB|得 x=1,
所以点 P 的坐标为(1,0),
且|PA|= (1 + 1)2 + (0-2)2 =2 2.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究二点到直线的距离公式及其应用
【例2】 (1)求点P(-1,2)到直线3x=2的距离;
3
1
(2)求点P(3,-2)到直线 y= x+ 的距离.
当直线过点A(1,2)且与x轴不垂直时,
由题意可设直线方程为y-2=k(x-1),
即kx-y-k+2=0.
∵原点到此直线的距离等于1,
∴
|- +2|
2 +1
3
=1,解得 k= ,
4
3
∴所求直线的方程为 y-2=4(x-1),
即3x-4y+5=0.
综上所述,所求直线的方程为x=1或3x-4y+5=0.
的值等于(
)
A.
7
B.-
9
7
1
9
3
C.- 或-
3
7
1
9
3
D. 或
|6 +3+1|
解析:由题意知
答案:C
1
2 +1
=
|-3-4+1|
2 +1
7
1
9
3
,解得 a=- 或 a=- .
1
4
6
2
3.直线 − =1 与 3x-2y+27=0 之间的距离为
4
6
解析:直线 − =1 可化为 3x-2y-12=0,因此所求距离
|BC|= [3-(-1)]2 + (0-3)2 = 25=5.
因为|AB|2+|AC|2=|BC|2,
所以△ABC 是以顶点 A 为直角顶点的直角三角形.
(2)解:由于 A 是直角,
1
1
2
2
因此△ABC 的面积 S= |AB|·|AC|= ×2 5 × 5=5.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练1 已知点A(-1,2),B(2, 7), |PA|=|PB|,并求|PA|的 值.
解:设所求的点为 P(x,0),
于是有|PA|= ( + 1)2 + (0-2)2 = 2 + 2 + 5,
|PB|= (-2)2 + (0- 7)2 = 2 -4 + 11,
立如图所示的坐标系.
设△ABD和△BCE的边长分别为a,c,
探究一
探究二
探究三
则 A(-a,0),E
于是|AE|=
=
2
=
4
,
2
2
4
2
2
2
所以|AE|=|CD|.
易错辨析
3
2
2
,C(c,0),D - ,
2
+
-(-)
- -
+ +
3
2
2
+ +
|CD|=
2
探究四
3
2
,
【例3】求与直线3x-4y-20=0平行且距离为3的直线的方程.
分析:利用平行直线系方程设出直线方程再套用公式求解.
|-(-20)|
=3,
解:设所求直线方程为3x-4y+C=0(C≠-20),依题意有
32 +(-4)2
即|C+20|=15,解得C=-5或C=-35,
故所求直线的方程为3x-4y-5=0或3x-4y-35=0.
到点 C(4,7)的距离为 (4-2)2 + (7-3)2 =2 5,
答案:B
5
2 5
1
= .故选 B.
2
2.点到直线的距离公式
点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=
A.
1
B.
2
解析:d=
答案:C
|1-(-1)+1|
2
3
C.
2
=
3 2
2
.
3 2
2
|0 + 0 + |
2 + 2
2
-0
3
+ 2 = 2 + + 2 ,
4
3
+
2
3
-0
2
+ 2 = 2 + + 2 ,
4
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
未考虑直线斜率不存在的情形而致误
典例求经过点A(1,2)且原点到直线的距离等于1的直线方程.
错解:∵所求直线过点A(1,2),
∴可设直线方程为y-2=k(x-1),
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练3 求直线l1:24x-10y+5=0与l2:12x-5y-4=0之间的距离.
5
解:直线 l1 的方程可化为 12x-5y+ =0,因此 l1 与 l2 之间的距离
2
d=
5
-(-4)
2
122 +(-5)2
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
1
2
3
4
1.若点A(1,3)与点B(m,7)之间的距离等于5,那么实数m的值为(
A.4
B.-2 C.-4或2
D.4或-2
解析:由已知得|AB|= (1-m)2 + (3-7)2=5,因此|1-m|=3,
解得 m=4 或 m=-2.
答案:D
5
)
1
2
3
4
5
2.已知点A(-3,-4)和点B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a
|AB|= (2 -1 )2 + (2 -1 )2 .平面内任一点 P(x,y)与原点的距离
|OP|= 2 + 2 .
做一做1 点A(2,3)到点B(3,5)的距离是到点C(4,7)的距离的(
A.1 倍
B.
1
2
C.
1
3
)
1
D.
4
解析:点 A(2,3)到点 B(3,5)的距离为 (3-2)2 + (5-3)2 = 5;点 A(2,3)
即kx-y-k+2=0.
∵原点到此直线的距离为1,
∴
|- +2|
2 +1
3
=1,解得 k= ,
4
3
∴所求直线的方程为y-2= (x-1),即3x-4y+5=0.
4
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
正解:当直线过点A(1,2)且垂直于x轴时,直线方程为x=1,
原点(0,0)到直线的距离等于1,满足题意.
(1)求证△ABC是直角三角形;
(2)求△ABC的面积.
分析:先利用两点间的距离公式求出三角形三条边的长度,根据
边长之间的关系判断其形状,再用面积公式求△ABC的面积.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
(1)证明:由已知得|AB|= (-1-1)2 + [3-(-1)]2 = 20=2 5,
|AC|= (3-1)2 + [0-(-1)]2 = 5,
3|AD|2+6|CD|2=3(x2+y2)+6a2,
因此|AB|2+2|AC|2=3|AD|2+6|CD|2.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练4 △ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角
形,用坐标法证明|AE|=|CD|.
证明:以AC所在的直线为x轴,过点B且垂直于AC的直线为y轴,建
D.
2
2
3.解析法
根据图形特点,建立适当的直角坐标系,利用坐标解决有关问题,这
种方法叫坐标的方法,也称为解析法.
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的
打“×”.
(1)平面直角坐标系中两点间的距离公式不适用于两点在坐标
轴上的情形.
(2)点 A(x0,y 0)关于直线 y=x 对称点 A'的坐标为(y0,x 0).
易错辨析
变式训练2 若点(1,a)到直线4x-3y-4=0的距离不大于3,则a的取值
范围是(
)
A.[0,5] B.[0,15]
C.[-5,5]
解析:由点到直线的距离公式得
答案:C
D.[- 5, 5]
|4-3-4|
4 2 +(-3)2
≤3,解得-5≤a≤5.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究三两条平行直线间的距离公式及应用
4
4
解:(1)由图可知直线 3x=2 平行于 y 轴,
2
5
3
3
所以 d= -(-1) = .
3
1
4
4
(2)直线 y= x+ 可化为一般式 3x-4y+1=0.由点到直线的距离公
|3×3-4×(-2)+1|
式,得 d=
2
32 +(-4)
=
18
5
.
探究一
探究二
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探究四
易错辨析
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1.5
平面直角坐标系中的距离公式
学 习 目 标
1.理解两点间的距离
公式,会求两点间的
距离.
2.掌握点到直线的距
离公式,能用这一公
式解决相关问题.
3.会求两条平行直线
间的距离.
4.掌握解析法解决问
题的方法与步骤.
思 维 脉 络
1.两点间的距离公式
若两点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则有
(
)
(
)
(3)一条直线被两条平行线所截,截得的线段的长为这两条平行
线间的距离.
(
)
(4)(x-5)2+(y-1)2 的几何意义是动点 P(x,y)与定点 A(5,1)之间的
距离.
答案:(1)× (2)
(
(3)×
(4)×
)
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易错辨析
探究一两点间的距离公式及应用
【例1】已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,-1),B(-1,3),C(3,0).
|AO|2+|OC|2=b2+c2+a2,
所以|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).