下海市静安区2020年高二第二学期数学期末调研试题含解析

下海市静安区2020年高二第二学期数学期末调研试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（ ）
①cos ()y x x R =∈是周期函数；②三角函数是周期函数；③cos ()y x x R =∈是三角函数 A ．②③① B ．②①③
C ．①②③
D ．③②①
【答案】A 【解析】 【分析】
根据“三段论”的排列模式：“大前提”→“小前提”→“结论”，分析即可得到正确的顺序. 【详解】
根据“三段论”的排列模式：“大前提”→“小前提”→“结论”，可知： ①cos ()y x x R =∈是周期函数是“结论”； ②三角函数是周期函数是“大前提”； ③cos ()y x x R =∈是三角函数是“小前提”； 故“三段论”模式排列顺序为②③①. 故选：A 【点睛】
本题考查了演绎推理的模式，需理解演绎推理的概念，属于基础题.
2．已知关于x 的方程2e 0x x t a +-=，[]11x ∈-，，若对任意的[]
13
t ∈，，该方程总存在唯一的实数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12,e 1e
⎛
⎤++ ⎥⎝
⎦
B ．13,e 1e ⎛⎤++
⎥⎝⎦
C ．11,e e ⎡
⎤+
⎢⎥⎣⎦
D ．(]1,e
【答案】B 【解析】
由2e 0x x t a +-=成立，得2e x x a t =-，
设()2e x
f x x =，[1,1]x ∈-，则()22
2e (2)x
x
x
f x xe x e x x =+=+'
则[1,0)x ∈-时，()0f x '<，函数单调递减；(0,1]x ∈时，()0f x '>，函数单调递增； 且()1
1,(0)0,(1)f f f e e
-=
==， 使得对于任意[1,1]x ∈-，对任意的[1,3]t ∈，方程2e 0x x t a +-=存在唯一的解， 则(1)(1)f a t f -<-≤，即
1a t e e <-≤，即1
t a e t e
+<≤+，
所以
131a e e +<≤+，所以实数a 得取值范围是1
(3,1]e e
++，故选B ． 点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解得中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值和函数与方程等知识点的综合应用，试题有一定的难度，属于难题，解答中把方程2e 0x x t a +-=存在唯一的解转化为函数的最值问题是解答的关键．
3．图1和图2中所有的正方形都全等，将图1中的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】
分析：将图1的正方形放在图2中①的位置出现重叠的面，不能围成正方体，再根据概率公式求解可得. 详解：由图共有4种等可能结果，其中将图1的正方形放在图2中①的位置出现重叠的面，不能围成正方体，
则所组成的图形能围成正方体的概率是.
故选：C.
点睛：本题考查了概率公式和展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形，注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图.
4．若x ，y 满足约束条件22201y x
x y y ≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≥-⎩
，则z x y =-的最大值为（ ）
A ．35
-
B ．
12
C ．5
D ．6
【答案】C 【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可 【详解】
解：变量x ，y 满足约束条件的可行域如图所示： 目标函数z x y =-是斜率等于1、纵截距为z -的直线， 当直线经过可行域的A 点时，纵截距z -取得最小值， 则此时目标函数z 取得最大值， 由1
220
y x y =-⎧⎨
+-=⎩可得(4,1)A -，
目标函数z x y =-的最大值为：5 故选C ．
【点睛】
本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．
5．函数的定义域为R ，()f 22022-=，对任意的x R ∈，都有()f'x 2x <成立，则不等式()2
f x x 2018
<+的解集为( ) A ．()2,∞-+ B ．()2,2- C ．(),2∞--
D ．R
【答案】A 【解析】 【分析】
把原不等式化为右侧为0的形式，令左侧为()g x ，利用导数得到()g x 的单调性，得解集． 【详解】
原不等式化为()2
f x x 20180--<，
令()()2
g x f x x 2018=--，
则()()g'x f'x 2x =-，
Q 对任意的x R ∈，都有()f'x 2x <成立，
()g'x 0∴<恒成立， ()g x ∴在R 上递减，
()()2g 2f 2(2)2018-=----Q 2022420180=--=，
()g x 0∴<的解集为()2,∞-+，
故选：A ． 【点睛】
此题考查了利用导数研究单调性，解决不等式问题，难度适中．对于没有解析式或者表达式比较复杂的不等式，通常采取的方法是，研究函数的单调性和零点，进而得到解集。

6．函数()()sin 0,2f x A x A πωϕϕ⎛⎫
=+><
⎪⎝
⎭
的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只要将()cos2g x x =的图象（ ）
A ．向左平移6π
个单位长度 B ．向右平移
6π
个单位长度 C ．向左平移12
π
个单位长度
D ．向右平移12
π
个单位长度
【答案】D 【解析】 【分析】
先根据图象确定A 的值，进而根据三角函数结果的点求出求ϕ与ω的值，确定函数()f x 的解析式，然后根据诱导公式将函数化为余弦函数，再平移即可得到结果． 【详解】
由题意，函数()()sin 0,2f x A x A πωϕϕ⎛⎫
=+>< ⎪⎝
⎭
的部分图象， 可得11,4
312
4
A T π
π
π
==
-
=
，即T π=，所以2ω=，
再根据五点法作图，可得212
2
π
π
ϕ⨯
+=
，求得3
π
ϕ=
，
故()sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
． 函数()y f x =的图象向左平移12
π
个单位，可得sin[2()]sin(2)1232
y x x πππ
=+
+=+ cos2x =的图象，
则只要将()cos2g x x =的图象向右平移12
π
个单位长度可得()f x 的图象，
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了三角函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质，以及三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
7．世界杯参赛球队共32支，现分成8个小组进行单循环赛，决出16强(各组的前2名小组出线)，这16个队按照确定的程序进行淘汰赛，决出8强，再决出4强，直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为( ) A ．64 B ．72 C ．60 D ．56
【答案】A 【解析】
分析：先确定小组赛的场数，再确定淘汰赛的场数，最后求和.
详解：因为8个小组进行单循环赛，所以小组赛的场数为2
4848C =
因为16个队按照确定的程序进行淘汰赛，所以淘汰赛的场数为842216+++= 因此比赛进行的总场数为48+16=64， 选A.
点睛：本题考查分类计数原理，考查基本求解能力. 8．设实数，满足约束条件，已知
的最大值是，最小值是
，则实数
的值为（ ） A ． B ． C ．
D ．
【答案】D 【解析】
试题分析：画出不等式组表示的区域如图，从图形中看出当不成立，故
，当直线
经
过点
时,取最大值，即
，解之得，所以应选D.
考点：线性规划的知识及逆向运用．
【易错点晴】本题考查的是线性约束条件与数形结合的数学思想的求参数值的问题,解答时先构建平面直角坐标系,准确的画出满足题设条件
的平面区域,然后分类讨论参数的符号,进而移动直
线,发现当该直线经过点时取得最大值,以此建立方程,通过
解方程求出参数的值.
9．函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫
-= ⎪
+⎝⎭
的图象大致为()n n A ． B ． C ． D ．
【答案】C 【解析】
函数f （x ）=（1212
x
x
-+）cosx ，当x=2π时，是函数的一个零点，属于排除A ，B ，当x ∈（0，1）时，cosx ＞0，
1212x x -+＜0，函数f （x ）=（1212
x
x
-+）cosx ＜0，函数的图象在x 轴下方． 排除D ． 故答案为C 。

10．已知函数2log ,(0)()3,(0)
x
x x f x x >⎧=⎨
≤⎩，则1
[()]8f f 的值是（ ）
A ．27
B ．27-
C ．
127
D ．127
-
【答案】C 【解析】 【分析】
首先计算出18f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再把18f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值带入1[()]8
f f 计算即可． 【详解】
根据题意得32211log log 2388f -⎛⎫===- ⎪⎝⎭，所以()311[()]33827
f f f -=-==，所以选择C 【点睛】
本题主要考查了分段函数求值的问题，属于基础题．
11．已知正三棱锥P ABC -的外接球O 的半径为1，且满足0,OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v
则正三棱锥的体积为()
A B ．
34
C ．
2
D 【答案】A 【解析】 【分析】
根据0OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v
判断出O 为等边三角形ABC 的中心，由此求得正三棱锥的底面积和高，进而求得正三棱锥的体积. 【详解】
由于三棱锥是正三棱锥，顶点P 在底面的射影是底面中心.由0OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v
可知，O 为等边三角形
ABC 的中心，由于正三棱锥P ABC -的外接球O 的半径为1，故由正弦定理得
π
2sin 3
AB BC AC ===⨯=
2
1
134
4
⨯⨯=
.所以本小题选A. 【点睛】
本小题主要考查正三棱锥的几何性质，考查向量加法运算，考查几何体外接球有关问题的求解，属于中档题.
12．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，……，1()'()n n f x f x +=，x ∈N ，则2019()f x =（ ） A ．cos x B ．cos x -
C ．sin x
D ．sin x -
【答案】B
【解析】 【分析】
根据题意，依次求出f 1（x ）、f 2（x ）、f 3（x ）、f 4（x ）的值，分析可得f n+4（x ）＝f n （x ），据此可得f 2019（x ）＝f 3（x ），即可得答案． 【详解】
根据题意，()0f x ＝sinx ，f 1（x ）＝()0'f x ＝cosx ， f 2（x ）＝()1'f x ＝﹣sinx ， f 3（x ）＝()2'f x ＝﹣cosx ， f 4（x ）＝()3'f x ＝sinx ，
则有f 1（x ）＝f 4（x ），f 2（x ）＝f 5（x ），…… 则有f n+4（x ）＝f n （x ）， 则f 2019（x ）＝f 3（x ）＝﹣cosx ； 故选：B ． 【点睛】
本题考查导数的计算，涉及归纳推理的应用，关键是掌握导数的计算公式． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知双曲线2214
y x -=的两条渐近线分别与抛物线22(0)x py p =<的准线交于A ，B 两点．O 为坐标
原点．若△OAB 的面积为2，则p 的值为_______. 【答案】4p =- 【解析】 【详解】
分析：求出双曲线2
214
y x -=的两条渐近线方程与抛物线22(0)x py p =<的准线方程，进而求出,A B 两
点坐标，再由AOB ∆的面积为2，列出方程列方程求解即可.
详解：双曲线2
214
y x -=的两条渐近线方程2y x =±，
又抛物线()2
20x py p =>的准线方程是2
p y =-
， 故,A B 两点的横坐标坐标分别是1
4
y p =±， 又AOB ∆的面积为1，12222
p p
∴⋅
⋅=， 0,p <∴Q 得4p =-，故答案为4-.
点睛：本题主要考查双曲线的几何性质以及抛物线的几何性质，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系
14．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产出一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3，和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利________元． 【答案】37(元) 【解析】 【分析】
由已知条件直接求出数学期望，即可求得结果 【详解】
Q 一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产出
一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3，和0.1， 则这台机器每生产一件产品平均预期可获利： 50×0.6＋30×0.3－20×0.1＝37(元)． 故答案为37(元) 【点睛】
本题主要考查了期望的实际运用，由已知条件，结合公式即可计算出结果，本题较为简单。

15．已知直线l 的一个法向量(1,2)n =v
，则直线l 的倾斜角是_________（结果用反三角函数表示）； 【答案】1
arctan 2
π- 【解析】 【分析】
由法向量与方向向量垂直，求出方向向量，得直线的斜率，从而得倾斜角。

【详解】
直线l 的一个法向量(1,2)n =r ，则直线l 的一个方向向量为(2,1)m =-u r ，其斜率为1
2
k =-，∴倾斜角为
11arctan()arctan 22
ππ+-=-。

故答案为：1arctan 2
π-。

【点睛】
本题考查求直线的倾斜角，由方向向量与法向量的垂直关系可求得直线斜率，从而求得倾斜角，注意倾斜角范围是[0,)π，而反正切函数值域是(,)22
ππ
-。

16．已知集合{}{},,2,3,4a b c =，且下列三个关系：3,3,4a b c ≠=≠有且只有一个正确，则函数
()()2
2,,x x b f x x c a x b
⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩的值域是_______． 【答案】[3,)+∞ 【解析】
分析：根据集合相等的条件，列出a 、b 、c 所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a ，b ，c 的值，结合的最值即可求出函数的值域．
详解：由{a ，b ，c}={2，3，4}得，a 、b 、c 的取值有以下情况： 当a=2时，b=3、c=4时，a ≠3，b=3，c≠4都正确，不满足条件． 当a=2时，b=4、c=3时，a ≠3成立，c ≠4成立，此时不满足题意； 当a=3时，b=2、c=4时，都不正确，此时不满足题意； 当a=3时，b=4、c=2时，c ≠4成立，此时满足题意； 当a=4时，b=2，c=3时，a ≠3，c≠4成立，此时不满足题意； 当a=4时，b=3、c=2时，a ≠3，b=3成立，此时不满足题意； 综上得，a=3、b=4、c=2，
则函数()22()x x b f x x c a x b ⎧=⎨-+≤⎩，＞，=2
24
{(2)34
x x x x -+≤，＞，， 当x ＞4时，f （x ）=2x ＞24=16， 当x ≤4时，f （x ）=（x ﹣2）2+3≥3， 综上f （x ）≥3，即函数的值域为[3，+∞）， 故答案为[3，+∞）．
点睛：本题主要考查函数的值域的计算，根据集合相等关系以及命题的真假条件求出a ，b ，c 的值是解决本题的关键．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，90CAD ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，
1PA BC ==，
2AB =，F 是BC 的中点.
（1）求证：AD ⊥平面PAC ；
（2）求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.。