空间向量知识点归纳总结

空间向量知识点归纳总结
知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈
运算律：⑴加法交换律：a b b a
+=+
⑵加法结合律：)()(c b a c b a
++=++
⑶数乘分配律：b a b a
λλλ+=+)( 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也
叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a
//。

当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b
的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b
存在实数λ，
使a
＝λb 。

4. 共面向量
（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。

6. 空间向量的直角坐标系：
（1）空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使zk yi xi OA ++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。

（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示。

（3）空间向量的直角坐标运算律：
①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，
112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ⋅=++，
112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=。

②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

（4）模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，
则2123||a a a a a =⋅=++，21||b b b b =⋅=+（5）夹角公式：21
cos ||||a b
a b a b a ⋅⋅=
=⋅+ （6）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则2
||(AB AB ==， 或,A B d = 7. 空间向量的数量积。

（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作
,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，
显然有,,a b b a <>=<>；若,2
a b π
<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥。

（2）向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a 。

（3）向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>。

（4）空间向量数量积的性质：
①||cos ,a e a a e ⋅=<>。

②0a b a b ⊥⇔⋅=。

③2||a a a =⋅。

（5）空间向量数量积运算律：
①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅。

②a b b a ⋅=⋅（交换律）。

③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）。

（6）：空间向量的坐标运算： 1.向量的直角坐标运算
设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则
(1) a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2) a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4) a ·b ＝112233a b a b a b ++； 2.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---. 3、设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则
a b ⇔(0)a b b λ=≠； a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=.
4.夹角公式 设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则112233
222222123123
cos ,a b a b a b a b a a a b b b ++<>=++++.
5．异面直线所成角
cos |cos ,|a b θ==
1212122222
2
2
1
1
1
222
||||||||
x x y y z z a b a b x y z x y z ++⋅=
⋅++⋅++.
6．平面外一点p 到平面α的距离
已知AB 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法 向量，A 到平面α的距离为：||
||
AB n d n •=
【典型例题】
例1. 已知平行六面体ABCD －D C B A ''''，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。

⑴AB BC +； ⑵AB AD AA '++；
⑶12AB AD CC '++； ⑷1
()3
AB AD AA '++。

例2. 对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式： OP xOA yOB zOC =++（其中1x y z ++=）的四点,,,P A B C 是否共面？
例3. 已知空间四边形OABC ，其对角线,OB AC ，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，用基底向量,,OA OB OC 表示 向量OG 。

例4. 如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=，60OAB ∠=，求OA 与BC 的夹角的余弦值。

说明：由图形知向量的夹角易出错，如,135OA AC <>=易错写成,45OA AC <>=，切记！
例5. 长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，E 为11AC 与11B D 的交点，F 为1BC 与1B C 的交点，又AF BE ⊥，求长方体的高1BB 。

空间向量与立体几何练习题
一、选择题 1.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -在空间直角坐标
系中，若,E F 分别是1,BC DD 中点，则EF 的坐标为（ ）
A.(1,2,1)-
B.(1,2,1)--
B
A
α
n
G
M
C'
B'
A'D'D
A B C
y
x
z
F
E C 1
D 1
C D(O)
B 1
A 1
A
B
O
A B
C
C.(1,2,1)--
D.(1,2,1)--
2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝
4
1
1B A ，则BE 1
与DF 1所成角的余弦值是（ ） A ．1715 B ．2
1
C ．17
8
D ．23
3.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，
若PA a =，PB b =，PC c =，则BE =（ ）
A.111222a b c -+
B.111222a b c --
C.131222a b c -+
D.113222
a b c -+ 二、填空题
4.若点(1,2,3)A ,(3,2,7)B -,且0AC BC +=,则点C 的坐标为______.
5．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线AD 与平面11A BC 夹角的余弦值为_____. 三、解答题
1、在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中, AB 1与底面ABCD 所成的角为4
π
，
（1）求证11AB C BD ⊥面（2）求二面角1B AC B --的正切值 2．在三棱锥P ABC -中，3AB AC ==
4AP =,PA ABC ⊥面,90BAC ∠=︒, D 是PA 中点,点E 在BC 上,且2BE CE =,(1)求证：AC BD ⊥；(2)求直线DE 与PC 夹角θ的余弦值；(3)求点A 到平面BDE 的距离d 的值. 3．在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD =90°，AD ∥BC ，AB =BC =a ，AD =2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角． （1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； （2）求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值．
4、已知棱长为1的正方体A C 1，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 的中点．（1）求证：E 、F 、D 、B 共面；（2）求点A 1到平面的B DEF 的距离；（3）求直线A 1D 与平面B DEF 所成的角．
图
图
5、已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为棱AB 的中点，求： （Ⅰ）D 1E 与平面BC 1D 所成角的大小；（Ⅱ）二面角D －BC 1－C 的大小；
【模拟试题】
1. 已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD ++； （2）
1
()2
AB BD BC ++；
（3）1
()2
AG AB AC -+。

2. 已知平行四边形ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量。

,,,OE kOA OF kOB OG kOC OH kOD ====。

（1）求证：四点,,,E F G H 共面； （2）平面AC //平面EG 。

3. 如图正方体1111ABCD A B C D -中，1111111
4
B E D F A B ==
， 求1BE 与1DF 所成角的余弦。

4. 已知空间三点A （0，2，3），B （－2，1，6），C （1，－1，5）。

⑴求以向量,AB AC 为一组邻边的平行四边形的面积S ；
⑵若向量a 分别与向量,AB AC 垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标。

5.已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4,3,5,90AB AD AA BAD '===∠=，
60BAA DAA ''∠=∠=，求AC '的长。

[参考答案]
1. 解：如图，
（1）AB BC CD AC CD AD ++=+=；
（2）111()222
AB BD BC AB BC BD ++=++。

AB BM MG AG =++=；
（3）1
()2
AG AB AC AG AM MG -+=-=。

2. 解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD =+， ∵EG OG OE =-， ∴,,,E F G H 共面；
（2）解：∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅，又∵EG k AC =⋅， ∴//,//EF AB EG AC 。

所以，平面//AC 平面EG 。

3.
解：不妨设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系O xyz -，
则(1,1,0)B ，13(1,,1)4E ，(0,0,0)D ， 11(0,,1)4
F ， ∴11(0,,1)4BE =-，11(0,,1)4
DF =，
∴1117
4
BE DF ==
， 111115
00()114416BE DF ⋅=⨯+-⨯+⨯=。

1115
15cos ,17BE DF ==。

4. 分析：⑴1
(2,1,3),(1,3,2),cos 2
||||AB AC AB AC BAC AB AC ⋅=--=-∴∠=
=
∴∠BAC ＝60°，||||sin 6073S AB AC ∴== ⑵设a ＝（x ，y ，z ），则230,a AB x y z ⊥⇒--+=
解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝（1，1，1）或a ＝（－1，－1，－1）。

5. 解：22||()AC AB AD AA ''=++ 所以，||85AC '=。