高一数学同步备课系列课件：平面向量基本定理

又
AD x AB y AC , x 1 , y , x y 1
A
反过来 , 若x y 1, 则y 1 x ,由 AD x AB y AC ,
得 AD x AB (1 x ) AC
AD AC x( AB AC ), CD xCB,
B
1 0, 2 0
C
MM
A
C
1 0, 2 0
a
e1
a
N
N
1 0, 2 0
O
C
M
NB
1 0, 2 0
a
a
M
e2
C
环节二：观察分析，感知概念
当a是与e1 , e2共线的非零向量时, a也可以表示成1 e1 2 e2的形式;
当a是零向量时, a 同样也可以表示成1 e1 2 e2的形式. (为什么?)
4
AC b.
(1) 用a , b表示CD, EF .
( 2) 如果A 60, AB 2 AC , CD, EF 有什么关系? 用向量方法证明你的
结论.
1
1
(1) CD AD AC AB AC a b,
4
4
点E , F 分别是AC , BC的中点,
C
1
1
1
EF / / AB , 且EF AB , EF AB a
观察OP (1 t )OA tOB , 你有什么发现 ?
平面向量的等和线，“爪”字型图及性质：
(1) 已知 AB, AC为不共线的两个向量, 则对于向量 AD, 必存在x , y , 使得
AD x AB y AC , 则B, C , D三点共线 x y 1
当0 x y 1, 则点D与A位于BC同侧, 且D位于A与BC 之间.
结论.
2
1
证明：a b a b cos 60 2 b b b ,
2
1
1
C
CD EF a a a
4
2
F
1 2 1
1 2 1 2
E
a ab b b 0
8
2
2
2
B
A
CD EF , 即CD与EF 垂直.
D
当x y 1, 则D与A位于BC两侧.
A
当x y 1时 , 当x 0, y 0, 则D在线段BC 上 ,
当xy 0, 则D在线段BC的延长线上 .
( 2) 已知D在线段AB上, 且 BD : CD m : n,
n
m
则 AD
AB
AC
mn
mn
B
m D
mn
n
mn
2
是直角三角形.
证明：设CD a , DA b, 则CA a b, DB b, 于是CB a b,
2
CA CB (a b) (a b) a b
2
2
2
1
2
因为CD AB , 所以CD DA,因为a CD , b DA2 , 所以CA CB 0,
环节三：抽象概括，形成概念
设1 , 2 是同一平面内两个不共线的向量，则该平面内的任意
一个向量，都存在唯一的一对实数1 , 2 ，使得：
= 1 1 + 2 2
此时将{1 , 2 }称作该平面所有向量的一组基底.
由平面向量基本定理可知，
任一向量都可以由同一个基
底唯一表示， 这为我们研究
A. 满足 2的点P必为BC的中点
B . 满足 1的点P有两个
C . 满足 3的点P有且只有一个
3
D. 满足 的点P有两个
2
D
C
E
P
3
2
A
B
1
1
例2 如图6.3 5, CD是△ABC的中线, CD AB , 用向量方法证明△ABC
C
(1) 已知 AB, AC为不共线的两个向量, 则对于向量 AD, 必存在x , y , 使得
AD x AB y AC , 则B, C , D三点共线 x y 1
证明：若B , C , D三点共线, 则BD / / BC , 存在 R, 使得 BD BC ,
则 AD AB BD = AB BC AB ( AC AB ) (1 ) AB AC ,
2 2
假设1 1 , 2 2不全为0, 不妨假设1 1 0, e1 =
e2 .
1 2
由此得到e1 , e2共线. 这与已知e1 , e2不共线矛盾 ),
即1 1 , 2 2 . 也就是说, 有且只有一对实数1 , 2 , 使a 1 e1 2 e2
2
C
因此CA CB . 于是△ABC 为直角三角形.
向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段
A
（或直线）是否垂直的重要方法之一．
D
B
环节六:归纳总结，反思提升
我们在本节课中学习了如下知识：
平面向量基本定理的内容
用基底表示向量的一般方法
三点共线的重要性质
用向量方法证明简单的几何命题
19
1.平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘
运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表
示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点.
2.向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的
一个几何量，平行向量的夹角是0°或180°，垂直
向量的夹角是90°.
3.向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，
它使得向量具有代数意义.将向量的起点平移到坐标原
例1 如图6.3 4, OA, OB不共线, 且 AP t AB , 用OA, OB表示OP .
因为 AP t AB ,
P
所以OP OA AP
B
OA t AB
A
OA t (OB OA)
O
图6.3-4
OA tOB tOA
(1 t )OA tOB
1


点E , F 分别是OA, OC的中点, G是CD的三等分点 DG CD .
3


(1) 用a , b表示 DE , FB, OG;
(2) 能由(1)得出DE , BF的关系吗 ?
1
1
1
3
(1) DE AE AD AC AD (a b ) b a b;
若a与e1 (或e2 )共线, 则有2 0(或1 0), 使得a 1 e1 2 e2
M
若a 0, 则有且只有1 =2 =0, 使得0 1 e1 2 e2
C
a
A
e1
O
e2
图6.3-3
N
B
上述讨论表明, 平面内任一向量a都可以按 e1 , e2的方向分解 , 表示成
A
AB CB CA b a ,
F
1
AD CD CA b a ,
2
B
1
BE CE CB a b,
2
E
D
1
1
1
1
CF CA AF CA AB a (b a ) a b
2
2
2
2
C
2. 如图, 平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O , AB a , AD b,
e1共线, ON 与e2共线可得, 存在实数1 , 2 , 使得OM 1 e1 , ON 2 e2 ,
所以a 1 e1 2 e2 , 也就是说 , 与e1 , e2 都不共线的向量a都可以表示成
1 e1 2 e2的形式.
C
M
A
a
e1
e1
e2
a
e2
O
(1)
N
(2)
图6.3-2
1 e1 2 e2的形式, 而且这种表示形式是唯一的. 事实上, 如果 a还可以
表示成1 e1 2 e2的形式, 那么1 e1 2 e2 1 e1 2 e2可得(1 1 )e1
(2 2 )e2 0, 由此式可以推出1 1 , 2 2 全为0.
2
是直角三角形.
分析：由平面向量基本定理可知, 任一向量都可由同一个基底表示,


本题可取 CD, DA 为基底, 用它表示CA, CB. 证明CA CB 0,
可得CA CB, 从而证得△ABC 是直角三角形.
A
C
D
图6.3-5
B
环节五：课堂练习，巩固运用
1
例2 如图6.3 5, CD是△ABC的中线, CD AB , 用向量方法证明△ABC
4
4
4
4
3
3
1
3
FB AB AF AB AC a (a b) a b
4
4
4
4 D
C
F
1
1
1
1
OG DG DO a (a b) a b
3
2
6 DE FB
G
O
E
A
B
1
3. 如图, 在△ABC中, AD AB , 点E , F 分别是AC , BC的中点.设 AB a ,
问题带来了极大的方便．
思考
（1）一组平面向量的基底有多少对？
（有无数对）
C F
M
M
C
A
O
a
a
N
B
O
N
E
思考
(2)若基底选取不同，则表示同一
向量的实数
、 是否相同？
（可以不同，也可以相同）
OC OF OE
OC 2OA OE
OC 2OB ON
M
F
B
A
O
C
a
N
E
环节四：辨析理解，深化概念
圆心且与BD相切的圆上, 若 AP λ AB μ AD，则λ μ的最大值为( A
A. 3
B. 2 2
C. 5
D. 2
)
例. 如图, 延长正方形ABCD的边CD至点E , 使得DE CD, 动点P 从点A
出发 , 沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A, 若 AP AB
AE , 则下列判断正确的是( BCD )
CD / / CB, 且有公共点C , B, C , D三点共线
B
D
C
AD x AB y AC
这一系列的平行线叫做等和线
1
x y
2
C
A
x y 1
B
x y 0
x y 1
x y 2
x y 3
例(2017全国Ⅲ卷理12) 在矩形ABCD中, AB 1, AD 2, 动点P 在以点C 为
四边形, 将力F 分解为多组大小、方向不同的分力．
由力的分解得到启发 , 我们能否通过作平行四边形, 将向量a分解为两
个向量, 使向量a是这两个向量的和呢 ?
F
图6.3-1
如图6.3 3, 过点C 作平行于直线OB的直线, 与直线OA交于点M ; 过点C
作平行于直线OA的直线, 与直线OB交于点N , OC OM ON , 由OM 与
人教A版2019必修第二册
1
学习目标
1.
2.会用基底表示某一向量；
3.通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的
转化思想，培养学生发现问题的能力。
环节一：创设情境，引入课题
我们知道, 已知两个力, 可以求出它们的合力; 反过来 , 一个力可以分解
为两个力. 如图6.3 1, 我们可以根据解决实际问题的需要, 通过作平行
点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标.
环节七：目标检测，作业布置
完成教材：
第27页 练习
第1,2,3,题
第36页 习题6.3 第1,11（1）题
练习（第27页）
1. 如图, AD, BE , CF 是△ABC的三条中线, CA a , CB b, 用a , b表示 AB,
AD, BE , CF .
2
2
2
F
E
A
D
B
1
3. 如图, 在△ABC中, AD AB , 点E , F 分别是AC , BC的中点.设 AB a ,
4
AC b.
(1) 用a , b表示CD, EF .
( 2) 如果A 60, AB 2 AC , CD, EF 有什么关系? 用向量方法证明你的
(2) CD与EF 垂直