2024年北京市九年级中考一模数学汇编：圆(含解析)

2024北京初三一模数学汇编
圆章节综合
一、单选题
1．（2024北京东城初三一模）如图，是的弦，是的直径，于点E ．在下列结论中，不一定成立的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2．（2024北京东城初三一模）如图，作线段，在线段的延长线上作点，使得，取线段的中点，以为圆心，线段的长为半径作，分别过点作直径的垂线，交于点，连接，过点作于点．设，给出下面4个结论：
①；
；
；④；上述结论中，正确结论的个数是（
）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
二、填空题
3．（2024北京门头沟初三一模）如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是 ．4．（2024北京大兴初三一模）如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为 ．
AB O CD O CD AB ⊥AE BE =90CBD ∠=︒2COB D ∠=∠COB C
∠=∠AC a =AC B ()CB b a b =<AB O O OA O C O 、AB O D F 、OD AF CF 、、C CE OD ⊥E CF c =2a b c +<c <)a b <+2ab ac bc <+AB O C D O AC BC =D ∠︒
5．（2024北京通州初三一模）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法，刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，的半径为1，运用
“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计的面积，
的面积近似为
的面积，可得的估计值为 ．
6．（2024北京平谷初三一模）如图，内接于，为的直径， D 为上一点，连接．若，则的度数为 ．
7．（2024北京西城初三一模）如图， 在的内接四边形中， 点A 是的中点，连接， 若，则 ．
8．（2024北京石景山初三一模）如图，是的直径，是延长线上一点， 与相切于点．若，则 ．
πO O 1612S =⨯⨯正六边形O πO πABC O BC O O AD CD 、20D ∠=︒ACB ∠O ABCD BD
AC 130DAB ∠=︒ACB =∠︒AB O P AB PC O C 40P ∠=︒A ∠=︒
9．（2024北京顺义初三一模）如图，是的外接圆，，，平分，交于点D ，则的度数为 ．
10．（2024北京朝阳初三一模）如图，是的外接圆，于点，交于点，若，，则的长为 ．
11．（2024北京燕山初三一模）如图，是的直径，点在上，过点作的切线与直线交于点．若，则 °．
三、解答题
12．（2024北京朝阳初三一模）如图，在矩形中，，，点A 在直线l 上，与直线l 相交所得的锐角为．点F 在直线l 上，，⊥直线l ，垂足为点F 且，以为直径，在的左侧作半圆O ，点M 是半圆O 上任一点．
发现：的最小值为 ，的最大值为 ，与直线l 的位置关系是 ．
思考：矩形保持不动，半圆O 沿直线l 向左平移，当点E 落在
边上时，重叠部分面积为多少？
O ABC AB AC =36BAC ∠=︒BD ABC ∠O DAB ∠O Rt ABC △OE AB ⊥D O E 8AB =2DE =BC AB O C O B O AC D 50D ∠=︒BOC ∠=ABCD 6AB =8BC =AD 60︒8AF =EF 6EF =EF EF AM AM OB ABCD AD
13．（2024北京通州初三一模）如图，为的直径，过点A 作的切线，C 是半圆上一点（不与点A 、B 重合），连结，过点C 作于点E ，连接并延长交于点F ．
(1)求证：；
(2)若的半径为5，，求的长．
14．（2024北京东城初三一模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点，，且，则称线段是的“倍弦线”．
(1)如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段，，中，的“倍弦线”是_____；
(2)的“倍弦线”与直线交于点，求点纵坐标的取值范围；
(3)若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出
的取值范围．
AB O O AM AB AC CD AB ⊥BD AM ∠=∠CAB AFB O 8AC =DF xOy O PQ PQ O M N ==PM MN NQ PQ O A B C D ，，，AB CB CD O O PQ 2x =E E E y O PQ (1,0)y x b =+PQ b
15．（2024北京西城初三一模）在平面直角坐标系 中，已知的半径为．对于上的点 和平面内的直线 给出如下定义：点关于直线的对称点记为，若射线 上的点满足 则称点为点关于直线的“衍生点”．
(1)当时，已知上两点 在点， 中，点关于直线的“衍生点”是 ，点关于直线的“衍生点”是 ；
(2)为 上任意一点， 直线 与轴， 轴的交点分别为点 ，． 若线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”，直接写出的取值范围；
(3)当时，若过原点的直线上存在线段 ，对于线段 上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”． 将线段长度的最大值记为，对于所有的直线，直接写出的最小值．
16．（2024北京房山初三一模）在平面直角坐标系中，将中心为的等边三角形记作等边三角形，对于等边三角形和点（不与重合）给出如下定义：若等边三角形的边上存在点N ，使得直线与以为半径的⊙相切于点，则称点为等边三角形的“相关切点”
．
xOy O 1O P :l y ax =P l P 'OP Q OQ PP ='，Q P l 0a =O
121.2P P ⎛⎛ ⎝⎝，()112Q
，232Q ⎫⎪⎪⎭
，(
)(341,1Q Q --，1P l 2P l P O y x m =+()0m ≠x y A B AB S T S P l T P l m 11a -≤≤s MN MN R O P l R P l MN ()D s s ()D s xOy M M M P O M OP MN M P P M
(1)如图，等边三角形的顶点分别为点，，．
①在点，，中，等边三角形的“相关切点”是 ；②若直线上存在等边三角形的“相关切点”，求的取值范围；
(2)已知点，等边三角形的边长为
的两个“相关切点”，，使得△为等边三角形，直接写出的取值范围．
17．（2024北京顺义初三一模）在平面直角坐标系中，对于图形M 和图形N 给出如下定义：如果图形M 上存在点P 、轴上存在点T ，使得点P 以点T 为旋转中心，逆时针旋转得到的点Q 在图形N 上，那么称图形N 是形M 的“关联图形”．
(1)如图，点，，，．
①在点B ，C ，D 中，点A 的“关联图形”是_____；
②若不是点A 的“关联图形”，求的半径的取值范围；
(2)已知点，，，的半径为1，以线段为对角线的正方形为，若是正方形的“关联图形”，直接写出的最小值和最大值．
18．（2024北京门头沟初三一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，点P 、Q 是平面内的点，如果点P 关于点Q 的中心对称点在上，我们称圆上的点为点P 关于点Q 的“等距点”．
M ()0,0O (A (3,B 132P ⎛ ⎝23,2P ⎛ ⎝()32,2P M y x b =+M b (2)M m m -，M M E F OEF m xOy y 90︒()3,2A -()0,1B -()3,2C ()1,6D -O O r (),0O m '()3,0E m -()2,1G m -O ' EG EFGH O ' EFGH m xOy O O
(1)已知如图1点．
①如图1，在点 中，上存在点P 关于点Q 的“等距点”的是________；②如图2，点 ，上存在点P 关于点Q 的“等距点”，则m 的取值范围是________；
(2)如图3，已知点，点P 在的图象上，若上存在点P 关于点Q 的“等距点”，求b 的取
值范围．
40（，）P ()()()12330,2,1,1,1Q Q Q -，
O (),Q m n O ()1,1Q y x b =-+O
参考答案
1．D
【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．
根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可．
【详解】解：是的直径，，
，，，，
故A 、B 、C 不符合题意，D 符合题意；
故选：D ．
2．C
【分析】本题考查了圆的基本性质以及勾股定理内容以及完全平方公式的应用，先找出半径，结合斜边大于直角边，得知①是正确的，结合勾股定理以及完全平方公式的变形运算，得证③是错误的；同理得证②是正确的．对④运用反证法，得出
，与①的结论相矛盾，即可作答．【详解】解：∵∴∵∴（斜边）大于即故①是正确的；
∴在中，即∴
∵
故③是错误的；
∵∴∴CD O
CD AB ⊥AE BE ∴=90CBD ∠=︒2COB D ∠=∠CBO C ∠=∠2
a b c +<2a b c +>2a b c +<()
A b C a C
B b a ==>，()1122
OF AB a b ==+OF AB
⊥CF OF
2
a b
c +>()111222
OC AO AC a b a b a =-=+-=-Rt COF △222
OC OF FC +=222112
22a b b a c +⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222
2a b c +==2
a b c +<)a b =+b a
>()2
b a ->222b a ab +>
，故②是正确的；
假设是正确的
则∴∵，且∴∴即与①的结论相矛盾故④是错误的
综上：正确结论的个数是个
故选：C
3．的圆周角所对的弦是直径
【分析】本题考查圆周角定理，掌握“的圆周角所对的弦是直径”是正确解答的关键．
根据圆周角定理进行判断即可．
【详解】解：根据“的圆周角所对的弦是直径”即可得出答案，
故答案为：的圆周角所对的弦是直径．
4．45
【分析】本题主要考查了圆周角定理，先由直径所对的圆周角为，可得，然后由得：，然后根据同弧所对的圆周角相等，即可求出的度数．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：45
5．3
【分析】过作于，求得的度数，根据直角三角形的性质得到，求出三角形的面积，于是得到正十二边形的面积，根据圆的面积公式即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
【详解】如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，设的半径为1，
过作于，
>=>c 2ab ac bc <+0ac ab bc ab
<-+-()()
0a c b b c a <-+-00c b c a -<->，a b
<0
c b c a ->->b c c a
->-2a b c +>2
a b c +<290︒90︒90︒90︒90︒90ACB ∠=︒AC BC =45CAB CBA ∠=∠=︒D ∠AB O 90ACB ∠=︒AC BC =45CAB CBA ∠=∠=︒45D CAB ∠=∠=︒A AM OB ⊥M AOB ∠AM AB O O A AM OB ⊥M
在正十二边形中，
，
∴正十二边形的面积为,，
,的近似值为3，
故答案为：3．
6．/70度
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
由为的直径，可得，由，可得，根据
，计算求解即可．
【详解】解：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
7．25
【分析】本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理等知识，利用圆的内接四边形的性质求出的性质，然后利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵的内接四边形中，，
∴，
∵点A 是
的中点，3601230AOB ∠=︒÷=︒1122
AM OA ∴==111112224
AOB S OB AM ∴=⋅=⨯⨯= 11234
⨯
=231π∴=⨯3π∴=π∴70︒BC O 90BAC ∠=︒ AC AC =20ABC D ∠=∠=︒180ACB BAC ABC ∠=︒-∠-∠BC O 90BAC ∠=︒ AC AC =20ABC D ∠=∠=︒18070ACB BAC ABC ∠=︒-∠-∠=︒70︒BCD ∠O ABCD 130DAB ∠=︒18500DA BCD B ∠︒∠==︒- BD
∴，
∴，故答案为：25．
8．【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，切线的性质，如图，连接，求解，再根据圆周角定理即可得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵ 与相切于点．，
∴，，
∴，故答案为：9．/72度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质及圆周角定理是解题的关键．
根据等边对等角和三角形内角和定理可求得，再由角平分线及圆周角定理确定，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，∵平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
10．【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理和中位线定理，由垂径定理得，，则可得是的中位线，设半径为，由勾股定理得，求出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵
，
AD AB =1252ACD ACB BCD ∠=∠=
∠=︒25
OC 904050COP ∠=︒-︒=︒OC PC O C 40P ∠=︒90OCP ∠=︒904050COP ∠=︒-︒=︒1252
A COP ∠=∠=︒25
72︒72ABC C ∠=∠=︒36CBD CAD ∠=∠=︒AB AC =36BAC ∠=︒180180367222
BAC ABC C ︒-∠︒-︒∠=∠===︒BD ABC ∠36CBD ∠=︒36CBD CAD ∠=∠=︒72DAB DAC CAB ∠=∠+∠=︒72︒6
142
AD BD AB ===90ADO BDO ∠=∠=︒OD ABC r 222OA OD AD =+=5r OE AB ⊥
∴，，∵，∴是的中位线，
∴，即，设半径为，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得，
∴，
∴．
11．【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．先根据圆的切线垂直于经过切点的半径得到，根据直角三角形两个锐角互余计算出，然后根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵是的直径，为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
12
；；平行（或）；思考：【分析】发现：如图1，连接，作于，由题意知，
，，当
三点共线时，最小，为；当重合时，最大，由勾股定理求解即可；由题意知，则，进而求解作答即可； 思考：如图2，连接，作于，则，，由，可得，，根据，计算求解即可．
【详解】发现：解：如图1，连接，作于，
142
AD BD AB ==
=90ADO BDO ∠=∠=︒OA OC =OD ABC 12
OD BC =2BC OD =r 2OD OE DE r =-=-Rt AOD 222OA OD AD =+()2
2224r r =-+=5r 23OD r =-=26BC OD ==80
90ABD Ð=°40A ∠=︒AB O BD O AB BD ⊥90ABD Ð=°50D ∠=︒40A ∠=︒280BOC A ∠=∠=︒80310 3πAO AE 、BP AF ⊥P 3OM =60DAF ∠=︒A M O 、、AM AO OM -M E 、AM 30BAP ∠=︒132
BP AB OF ===OG OH AD ⊥H 30AEF ∠=︒1322
OH OE ==OE OG =120EOG ∠=︒2GE EH =EOG EOG S S S =- 重叠扇形AO AE 、BP AF ⊥P
由题意知，，，
当三点共线时，最小，
由勾股定理得，
∴
；
当重合时，最大，
由勾股定理得，，
∴的最大值为；
∵矩形
，
∴，
∴，
∴，又∵，
∴，
故答案为：平行（或）；
；；平行（或）；
思考：解：如图2，连接，作于，
∵，
∴，
∴，∵，
∴，
∴
3OM =60DAF ∠=︒A M O 、、AM AO ==AM 3-M E 、AM 10AE ==AM 10ABCD 90BAD ∠=︒30BAP ∠=︒132
BP AB OF ===BP OF ∥OB l ∥ 310 OG OH AD ⊥H 60DAF EF AF ∠=︒⊥，30AEF ∠=︒1322
OH OE ==OE OG =120EOG ∠=︒2GE EH ===EOG EOG S S S =- 重叠扇形212031336022π⋅=-⨯3π=
∴重叠部分面积为
【点睛】本题考查了勾股定理，含的直角三角形，平行线的判定，等腰三角形的判定与性质，扇形面积等知识．熟练掌握勾股定理，含的直角三角形，平行线的判定，等腰三角形的判定与性质，扇形面积是解题的关键．
13．(1)证明见解析
(2)【分析】本题考查切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握切线的性质和判断方法，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理是正确解答的关键．
（1）根据切线的性质，平行线的判定和性质以及圆周角定理即可得出结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质以及垂径定理进行计算即可．
【详解】（1）证明：是的切线，
，
于点，
，
，
，
，
．
（2）解：连结，
于点，是的直径，
，
是的垂直平分线，
，
的半径为5，
，
，
是的直径，
，
3π30︒30︒32
3
DF =AM O 90BAM ∴∠=o CD AB ⊥ E 90CEA ∴∠= CD AF ∴∥∴∠=∠CDB AFB CDB CAB ∠=∠ ∴∠=∠CAB AFB AD CD AB ⊥ E AB O CE DE ∴=AB ∴CD 8AC AD ∴==O 10AB ∴=6BD =∴AB O 90BDA =∴∠
，
，
，，．14．(1)、；
(2)；
(3)．
【分析】本题是新定义阅读题，考查了理解能力，与圆的位置关系，勾股定理等知识，解决问题的关键是
几何直观能力，数形结合．（1）根据定义验证可得结果；
（
2）根据最大值为6，所以以为圆心，3为半径画圆，根据勾股定理求得，进而求得结果；（3）以
为圆心，1为半径作圆，直线与圆相切，此时，以
为圆心，2为半径作圆，直线与圆相切，求得，进而求得结果．
【详解】（1）解：如图1，
，，
，是的“倍弦线”，
与
不相交，，和不是的“倍弦线”，
故答案为：、；
（2）如图2，
BAD AFB ∴∠=∠tan tan ∴∠=∠BAD AFB ∴=AD BD DF AD
2AD DF BD ∴=⋅323
∴=DF AB CD ≤≤E y 21b -≤≤+PQ O EF (2,0)y x b =+2b =-(1,0)-y x b =+I b 2AF FH BH === CG GF DF ===AB ∴CD O BC O 23
AI AE DI BH ==BC ∴AD O AB CD
以为圆心，3 为半径画圆交直线于和，
，
；
（3）如图3，
以为圆心，2为半径画圆，直线与相切，
此时，
以为圆心，1为半径作，直线与线切，
此时
15．(1)(2)
(3)【分析】（1）先得出直线为，根据轴对称得出进而可得
，勾股定理求得点与原点的距离，进而根据新定义即可求解；
（2）依题意，当线段上存在一个点到原点的距离为时，则符合题意，进而分画出图形，即可求解；
（3）根据题意，画出图形，就点的位置，分类讨论，根据新定义即可求解．
【详解】（1）解：∵当时，直线为，即轴，
∵∴∴
∵， O 2x =E E
'EF
E y (1,0)O '-O '1y x b =+ 11b =(2,0)O ''O '' 2y x b =+O '' 22b =-21b ∴-≤≤+23
Q Q ，2m ≤≤2
m -≤≤-2l 0y =121,.2P P ''⎛⎛ ⎝⎝，11PP '=22P P '=1234,,,Q Q Q Q 02PP '≤≤AB 20,0m m ><P 0a =l 0y =x 121.2P P ⎛⎛ ⎝⎝，121,.2P P ''⎛⎛ ⎝⎝，11PP '=
22P P '=()112Q ，232Q ⎫⎪⎪⎭，
()(341,1Q Q --，
∴
，，∴点关于直线的“衍生点”是，点关于直线的“衍生点”是，
故答案为：．
（2）解：依题意，，
由（2）可得当点是点关于直线的
“衍生点”则
，∵为 上任意一点， 直线 与轴， 轴的交点分别为点 ，
．
∴，
∴当线段上存在一个点到原点的距离为时，
当时，如图所示，
当时，即与点重合时，存在点是点关于直线的“衍生点”，则则（除端点外）上所有的点到的距离都，
∵对称轴为直线，不能为轴，则和不是点关于直线的“衍生点”，则符合题意，
∵线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”，∴，
当，此时最短，则当时，，此时只有1个点到的距离为，其他的点都不是点关于直线的“衍生点”，
∴
根据对称性，当时，可得；
综上所述，
（3）∵时
∴随着的变化，点关于直线的对称点
始终在圆上，
如图所示，依题意，直线是经过圆心，且经过的直线，经过圆心，
1OQ =2OQ ==3OQ ==42OQ ==1P l 2Q 2P l 3Q 23Q Q ，02PP '≤≤S P l 2OS ≤P O y x m =+()0m ≠x y A B OA OB m ==AB 20m >2OS =S B S P l 2
m =AB O 2<y ax =y ()0,2()2,0-P l 2m =AB S T S P l T P l m 2≥OS y x m '⊥=+OS '2OS '=m =O 2P l 2m ≤≤0m <2m -≤≤-2m ≤≤2
m -≤≤-11a -≤≤a P l P 'l AB s
①当点在（包括边界）上时，当重合时，当为直径时，则，
根据新定义可得，
∴，
②当点在的内部的圆弧上时（不包括边界）
，当为直径时，则，
则对于线段 上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”．当在轴上时，两条边界线的正中间，则
P AB ,P P 'PP '2OQ PP '==02PP '≤≤()2D s =P AD PP '2OQ PP '==MN R O P l R P l P y PP '
即综上所述，
【点睛】本题考查了一次函数，圆的定义，轴对称的性质，勾股定理求线段长，理解新定义，熟练掌握几何变换是解题的关键．
16．(1)①，；②；(2)或．
【分析】（
）根据新定义即可求解；
找到关键点先求出此时的值，然后即可求解；
（）由
可知，点在直线上，再根据新定义分四种情况画出图即可；
本题考查了圆的切线，勾股定理和等边三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）如图，
根据题意，直线与以为半径的相切，
由图可知，等边三角形的“相关切点
”是，
故答案为：；
根据题意，满足题意的点是以，半径为
的弧上，如图，
2PP OQ '≤=≤()2D s =()2D s =1P 2P 312
b -≤21m ≤≤10m ≤1①②b 2().2M m m -2y x =-①OP MN M M 12P P 、12P P 、②P ()1,01
若直线上存在等边三角形的“相关切点”，如图，由，是等腰直角三角形，，
∴，
∴，即，
∵，∴
，∴
此时，∴的取值范围为；（2）如图，此时中，，
，y x b =+M HIK OSK 1HI
=KI =1OK OS ==b =3,2P ⎛ ⎝PL =
32KL =OG =b =b b 312b -≤≤OEM △30EOM ∠=︒90OEM ∠=︒(),2M m m -
此时，，
解得：
，
如图，此时中，，，此时，，
解得：（正值舍去），
如图，4OM =()2
2224m m +-=1m =+OEM △30EOM
∠=︒90OEM ∠=︒(),2M m m -4OM =()2
2224m m +-=1m =
此时，，
解得：或（舍去），
如图，此时，，
解得：（舍去）或，
综上可知：
．
17．(1)①②；(2)
．【分析】（1）①根据“关联图形”的定义判断即可；
②根据关联图形的定义，判断出点旋转后的轨迹， 从而得到的半径范围
（2）根据关联图形的定义，求出点旋转后的轨迹，当与该轨迹有唯一交点时，取最小值；根据关联图形的定义，求出点旋转后的轨迹，当与该轨迹有唯一交点时，取最大值；
2OM =()2
2222m m +-=2m =0m =2OM =()22222m m +-=2m =0m =21m ≤≤10m ≤B
0r <<m m A O G O ' m E O ' m
【详解】（1）①点绕逆时针旋转得到点，
故答案为：；
②设点，那么点绕点逆时针旋转得到点,作轴交轴于点，作轴交轴于点，如图所示
由旋转可知，，，
，坐标为在上运动
设与轴的交点为，与轴交点为当，，当时，，
，以点为圆心，作圆，当与有为唯一交点时，半径为斜边上的高
当不是点的关联图形时，故答案为：．（2）设点绕点逆时针旋转对应点为点，过点作轴交轴于点
，连接
A (0,2)90
B B (0,)T a A T 90 A 'AJ y ⊥y J A K y '⊥y K AT A T '=90ATA ∠='︒90AJT ∠=︒
90TAJ ATJ ∴∠+∠=︒
90ATJ A TK =︒
'+ TAJ A TK
'∴∠=ATJ A KT
'∴ ≌(3,2)
A - 2TJ a KA '∴=-=3AJ TK
==3
OK TO TK a ∴=-=-∴A '(2,3)
a a --A '∴1y x =-1y x =-x M y N
0x =1y =-0y =1x =(1,0)M ∴(0,1)
N
-MN ∴==O O 1y x =-OMN
OM ON r MN ⋅∴===∴O
A 0r <
0r <<(3,0)E m -(0,)T a 90︒E 'E 'E S y '⊥y S
，，如图所示
由旋转可知，，，
，点坐标为所以在上运动
，
与轴的夹角为设在轴的交点为，那么点坐标为当与有唯一交点时，最大
与相切
为等腰直角三角形且故
；TE TE 'AE =TE T E '=90ETE ∠='︒90ETO E TO '∴∠+∠=︒
90ETO TEO ∠+∠=︒
0E T TEO
'∴∠=∠90EOT E ST '∠=∠=︒
ETO TE S
'∴ ≌3EO TS m ∴==-TO E S a
'==(3)3TS TO SO a m a m
∴=-=--=+-E '∴(,3)
a a m +-E '3y x m =+-1k = 3y x m ∴=+-x 45︒
3y x m =+-x Q Q (3,0)
m -3y x m =+-O ' R m 3y x m =+- O ' 90O RQ ∴='∠︒
O RQ '∴ 1
O R '=(3)23O Q m m m '∴=--=-=m ∴=m
设点绕点逆时针旋转对应点为点，过点作轴交轴于点，过点作轴交连接，，如图所示
同理可证，
，的坐标是在上运动
设与轴的交点为，当与该直线有唯一交点时，取最小值．
同理可证为等腰直角三角形，且故
【点睛】本题考查了线段的旋转，三角形全等的判定与性质，圆与直线的关系判断，圆的切线的性质与计算，一次函数， “关联图形”等知识点，熟练掌握以上知识点并根据画出正确的图形是解题的关键．18．(1)①；②(2)【分析】（
1）①求出点P
关于的对称点，利用点到圆心的距离与半径比较，即可判断“等距点”；
②在上任取一点点P 关于点Q 的“等距点”M ，连接，取的中点即为点Q ，连接，取其中点，连接，根据中位线定理则判断出点Q 的在以为圆心，半径为1的上，即可求解；（2）过点O 作点Q 的对称点，则点为，则上所有的点关于点Q 的对称点都在以为圆心，半径为2的上，那么直线与有公共点即可，找到两个临界状态，即相切位置，分别求b 即可．
(2,1)G m -(0,)T a 90 G 'G 'G P y '⊥y P G GQ y ⊥TG TG 'GTQ G TP ' ≌1TQ PG a '∴==-2GQ TP m
==-(2)2
PO TO TP a m a m ∴=-=--=+-G '∴(1,2)
a a m -+-G '∴1y x m =+-1y x m =+-x (1,0)L m -O ' K m O KL ' O L K ''==112O L m m m '∴=--=-=m ∴=m 12,Q Q 13
m ≤≤44b -≤≤+()()()12330,2,1,1,1Q Q Q -，
O MP MP OP O 'QO '()2,0O 'O ' O 'O '()2,2O O '()2,2O ' y x b =-+O '
【详解】（1）解：①如图，点P 关于的对称点分别为，则，，∴在上，
∴点P 关于点Q 的“等距点”的是故答案为：；
②在上任取一点点P 关于点Q 的“等距点”M ，连接，取的中点即为点Q ，连接，取其中点，连接，
∴，∴点Q 的在以为圆心，半径为1的
上，
()()()12330,2,1,1,1Q Q Q -，
()()()2,0,0,2,2,2--12d R ==22d R =
=3d R
==>()()2,0,0,2-O 12
,Q Q 12,Q Q O MP MP OP O 'QO '112
QO OM '==()2,0O 'O '
∵与轴交于点，
∴，
故答案为：．
（2）解：过点O 作点Q 的对称点，则点为，
∴上所有的点关于点Q 的对称点都在以为圆心，半径为2的上，
∵点P 在的图象上，
∴当直线与相交即可，
当直线与第一次相切时，设切点为点E ，直线与y 轴交点G ，当直线与第二次相切时，设切点为点F ，
∵，
∴
∴，
∵点，
∴其点Q 与点O 的水平距离与铅锤距离均是1，
∴
，由相切得：，
∴为等腰直角三角形，
∴，
同理可求当直线与第二次相切时，
综上：
【点睛】本题考查了新定义，中心对称，圆的定义，中位线定理，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．O ' x ()()1,0,3,0-13m ≤≤13m ≤≤O 'O '()2,2O O '()2,2O ' y x b =-+y x b =-+O ' y x b =-+O ' y x b =-+O ' ()2,2O 'OO ¢=2OE OO O E ''=-=()1,1Q 45EOG ∠=︒GE OO '⊥ OGE 4OG b ==-=y x b =-+O ' 4b =+44b -≤≤+。