逻辑学导论练习题参考答案

《逻辑学导论（2）》第一章习题解答
1．古希腊有一位智者叫普罗泰哥拉……
【答案】：D
【解析】：题干中普罗泰哥拉的推理形式为：
(p→q)∧(r→q)∧(p∨r)⇒q
选项Ⅰ和Ⅱ中的推理形式也都是如此，而选项Ⅲ中的推理形式则是：
(p→q)∧(⌝p→⌝q)∧⌝q ⇒⌝ p
选项Ⅳ中的推理形式是：
(⌝p→⌝q)∧q ⇒ p
2. 只要呆在学术界……
【答案】：C
【解析】：题干中，学院生活与日常生活的差别在于“只有沉浸在日常生活中，才能靠直觉把握生活的种种情感”。

这是导出论题“小说家呆在学术界不能变伟大”的直接依据。

而这则意味着对日常生活中情感的直觉把握乃是小说家成就其伟大的一个必要条件，没有前者一定没有后者。

故选C。

其余各选项均非原论证所依赖的假设。

例如，A项所支持的论题实际上是呆在学术界有助于小说家变得伟大，与原论题刚好相反。

3．上个世纪60年代初以来……
【答案】：C
【解析】：假设C项的断定不成立，即假设上个世纪60年代造成新加坡人死亡的那些主要疾病，到本世纪，在该国的发病率没有实质性的降低，并且对这些疾病的医治水平也没有实质性的提高，那么，新加坡的人均预期寿命不可能不断上升，更难以在本世纪初成为世界之最。

这说明，如果题干的断定为真，则C项为真，即从题干可以推出C项。

其余各项均不能从题干推出。

例如，A项不能从题干推出。

因为尽管新加坡的人均预期寿命是世界之最，但心血管病仍完全可能是造成目前新加坡人死亡的主要杀手。

4．地球上之所以有生命出现……
【答案】：C
【解析】：题干中的论证过程即：因为其他星球不可能同时具备地球上生命形式赖以存在的两个必要条件，所以其他星球不可能存在与地球上一样的生命。

其中隐含着这样一个前提，即C：在其他星球上的生命形式需要像在地球上的生命形式一样的生存条件。

其余选项均非原论证所必须的前提条件。

例如，A项中“惟一条件”的说法显然与题干中“至少……具备了以下两个条件”的说法相悖，而B项的含义则与原论证的结论相同。

5．对于绝大多数人来说，大学……
【答案】：E
【解析】：题干中谈到读大学是浪费钱，并举出一年挣10万元的人中多数没有大学文凭，进而劝人们最好不要去读大学，可见在说话者的心目中，物质方面的成就要比学识更重要，即有信念Ⅰ。

另外，题干中还谈到在大学里学到的一切在工作中皆不实用，想多挣钱的人上大学是找错了门，可见在说话者的心目中，衡量读大学有无价值的唯一标准，就是看它能不能教会人们多挣钱，即有信念Ⅲ。

此外，信念Ⅱ和Ⅳ在题干中皆找不到依据，显然皆不为说话者所具备。

故选E。

6-1. 如果上述断定为真，且钱选修历史……
【答案】：A
【解析】：根据已知条件，初中生王选修物理，则必有一高中生选修物理。

但三位高中生中，已
知钱选修历史，故不能选修物理；赵选修的是文学或经济，故亦不能选修物理。

由此可知，另一位高中生即孙必定选修物理。

即应选A。

其余各项均不能必然推知为真。

例如，B项断定赵选修文学，然而没有任何条件可以表明赵不能选修经济。

6-2. 如果题干的断定为真，且有人选修经济……
【答案】：B
【解析】：根据已知条件，假设钱和孙两位高中生都选修经济，则二人皆不能选修物理。

又因为另一位高中生赵选修的是文学或经济，故亦不能选修物理。

这样，三位高中生皆不能选修物理。

但是因为初中王选修了物理，根据已知条件，又必有一高中生选修物理。

于是出现矛盾。

说明假定不能成立，即钱和孙两位高中生不可能同时选修经济。

其余各项所述的情况均有可能存在。

例如，A项断定高中生赵和钱同时选修经济，此时只要令高中生孙选修物理，初中生张和李皆选修经济，即符合所有已知条件。

7．新近被介绍的DNA酶解图谱是一种生化程序……
【答案】：C
【解析】：假定C为真，则存在各种不同的亚族群体，且每一群体中所有个体的DNA图谱完全相同。

这将从根本上否定题干中所说的前提，从而使题干中的观点失去必要的支持。

其余各项即使为真，也均不能构成对题干中观点的更严重质疑。

例如，E项为真时，至多表明两个人有可能具有相同或相似的DNA图谱，但由于不具有C中所述情况的普遍性，故不能比C更为有力地否定题干中所说的前提，进而反驳题干中所述的观点。

8．家用电炉有三个部件：加热器……
【答案】：D
【解析】：根据题干的条件，一个电炉，如果其加热的温度超出了温度旋钮的最高读数，则说明当温度达到恒温器的温度旋钮所设定的读数时，加热器并未自动关闭，即恒温器出现了故障；同时也说明当温度超出温度旋钮的最高读数时，加热器并未自动关闭，即安全器出现了故障。

也就是说，一个电炉，如果其加热的温度超出了温度旋钮的最高读数，则它的恒温器和安全器一定都出现了故障。

因此，D项作为题干的结论成立。

因为D项成立，所以E项不成立。

A项显然不成立。

例如在加热器不工作的情况下，恒温器和安全器即使都出现故障，电炉的温度也不会超出温度旋钮的最高读数。

B项不成立。

因为一个电炉，如果其加热的温度超出了温度旋钮的设定读数但加热器未关闭，只能说明恒温器出现故障，不能说明安全器出现故障。

C项不成立。

因为一个电炉加热器自动关闭，可能是恒温器出现故障，但安全器工作正常。

9．目前全球的粮食年产量比满足全球人口的……
【答案】：A
【解析】：题干中基于目前全球的粮食年产量比满足全球人口的最低粮食需求略高的事实，就断定将来不可能因粮食短缺而引发饥饿危机。

这表明说话者相信将来会和目前的情况一样，不会发生粮食短缺现象。

故选A。

其余各项均不符合题干。

例如，B项断定将来不会有饥饿危机，但是题干中所说的却是饥饿危机的根源在于分配不公而不是生产不够，显然不相符合。

10．赵甲与他的武林宿敌吴方狭路相逢……
【答案】：C
【解析】：I限定了赵甲下一招只能使出三般武艺之一。

但是根据II和IV，可知其不能使出狐步鸳鸯腿。

再根据III，可知其必须使出九曲连环棍。

故选C。

其余选项皆不正确。

例如，A项用狐步鸳鸯腿，则根据情形II，八卦勾魂刀会被吴方打掉，与
情形IV冲突。

B项使八卦勾魂刀，即不用狐步鸳鸯腿，则根据情形III，又必须挥九曲连环棍，同样存在冲突。

D项和E项含义相同，均与情形三冲突，即或者用狐步鸳鸯腿，或者不用狐步鸳鸯腿（从而必须挥九曲连环棍），二者必居其一，不可能狐步鸳鸯腿和九曲连环棍都不用，当然更不能三般武艺一样也不使。

《逻辑学导论（2）》第二章习题解答
一、请将下述命题符号化，如果是复合命题，请根据其中所含的主联结词，指出是何种复合命题：
1．阳光和红霞是好朋友。

【解】：p。

这是一个简单命题，应作为一个整体看待。

2．贝多芬和莫扎特是伟大的作曲家。

【解】：设p表示“贝多芬是伟大的作曲家”，q表示“莫扎特是伟大的作曲家”，则上述命题可表示为：p∧q。

这是一个联言命题。

3．说西红柿是蔬菜是假的。

【解】：设p表示“西红柿是蔬菜”，则上述命题可表示为：⌝p。

这是一个负命题。

4．大连队将获得今年的甲A冠军，否则，冠军就是国安队。

【解】：设p表示“大连队将获得今年的甲A冠军”，q表示“国安队将获得今年的甲A冠军”，
则上述命题可表示为：p∨ q。

这是一个选言命题。

5．尽管并非所有的人都是自私的，但仍然有不少人很自私。

【解】：设p表示“所有的人都是自私的”，q表示“有不少人很自私”，则上述命题可表示为：⌝p∧q。

这是一个联言命题。

6．如果我们再不降低生育率，那我们就会连坐下来的空间都没有了。

【解】：设p表示“我们再不降低生育率”，q表示“我们连坐下来的空间都没有了”，则上述命题可表示为：p→q。

这是一个假言命题。

7．即使我们提高税收，财政赤字仍不会减少，除非我们削减政府开支。

【解】：设p表示“我们提高税收”，q表示“财政赤字会减少”，r表示“我们削减政府开支”，则上述命题可表示为：⌝r→⌝(p→q)。

这是一个假言命题。

8．钱不是万能的，但没有钱是万万不行的。

【解】：设p表示“钱不是万能的”，q表示“没有钱是万万不行的”，则上述命题可表示为：p ∧q。

这是一个联言命题。

9．如果你是草，羊会站在你的身上，践踏你，啃食你，不管你是它的亲人还是朋友；如果你是参天大树，羊会仰望你，赞美你，无论你是残疾还是孩子。

【解】：设p1表示“你是草”，q1表示“羊会站在你的身上践踏你”，r1表示“羊会站在你的身上啃食你”，s1表示“你是它的亲人”，t1表示“你是它的朋友”，则上述命题的前半部分可表示为：p1→⌝(s1∨t1→⌝q1∨⌝r1)。

设p2表示“你是参天大树”，q2表示“羊会仰望你”，r2表示“羊会赞美你”，s2表示“你是残疾”，t2表示“你是孩子”，则上述命题的后半部分可表示为：p2→⌝(s2∨t2→⌝q2∨⌝r2)。

整个命题可表示为：（p1→⌝(s1∨t1→⌝q1∨⌝r1)）∧（p2→⌝(s2∨t2→⌝q2∨⌝r2)）这是一个联言命题。

10．某液体是酸类，当且仅当，它让石蕊试纸变红。

【解】：设p表示“某液体是酸类”，q表示“该液体让石蕊试纸变红”，则上述命题可表示为：
q↔p。

这是一个充分必要条件假言命题。

11．既然不存在完美无缺的事情，我就不应该因我的过失而受到责备。

【解】：设p表示“不存在完美无缺的事情”，q表示“我不应该因我的过失而受到责备”，则上述命题可表示为：p→q。

这是一个充分条件假言命题。

12．恐龙无法被克隆，除非科学家能够获悉恐龙的完整基因。

【解】：设p表示“科学家能够获悉恐龙的完整基因”，q表示“恐龙能被克隆”，则上述命题可表示为：p←q。

这是一个必要条件假言命题。

13．如果你没有失约，老板仍然不高兴，那么或者是因为你没有做成那笔买卖，或者是因为我的错。

【解】：设p表示“你没有失约”，q表示“老板不高兴”，r表示“因为你没有做成那笔买卖”，s表示“因为我的错”，则上述命题可表示为：p∧q→r∨s。

这是一个充分条件假言命题。

14．所有可靠的论证都是有效的，并且它们有真的前提。

【解】：设p表示“所有可靠的论证都是有效的”，q表示“所有可靠的论证都有真的前提”，则上述命题可表示为：p∧q。

这是一个联言命题。

15．如果我们提高税收并且削减政府开支，那么，除非发生大的自然灾害，财政赤字将会减少。

【解】：设p表示“我们提高税收”，q表示“我们削减政府开支”，r表示“发生大的自然灾害”，s表示“财政赤字将会减少”，则上述命题可表示为：p∧q→(⌝r→s)。

这是一个充分条件假言命题。

16．雨、雪、风、霜都不会阻止那位邮递员按时投送邮件。

【解】：设p表示“雨不会阻止那位邮递员按时投送邮件”，q表示“雪不会阻止那位邮递员按时投送邮件”，r表示“风不会阻止那位邮递员按时投送邮件”，s表示“霜不会阻止那位邮递员按时投送邮件”，则上述命题可表示为：p∧q∧r∧s。

这是一个联言命题。

17．甲、乙、丙、丁至少有一人将来会成为杰出人士。

【解】：设p表示“甲将来会成为杰出人士”，q表示“乙将来会成为杰出人士”，r表示“丙将来会成为杰出人士”，s表示“丁将来会成为杰出人士”，则上述命题可表示为：p∨q∨r∨s。

这是一个相容选言命题。

18．聪明的人总是用别人的智慧填补自己的大脑，愚蠢的人总是用别人的智慧干扰自己的情绪。

【解】：设p表示“聪明的人总是用别人的智慧填补自己的大脑”，q表示“愚蠢的人总是用别人的智慧干扰自己的情绪”，则上述命题可表示为：p∧q。

这是一个联言命题。

二、用真值表方法去验证下述公式是不是重言式：
1．⌝(A∧⌝A)
【解】：列真值表进行真值运算如下：
最后一列真值均为1，故原公式为重言式。

2．(A→⌝A)→⌝A
【解】：列真值表进行真值运算如下：
最后一列真值均为1，故原公式为重言式。

3．⌝A→(A→(B→C))
【解】：列真值表进行真值运算如下：
4．(A→(B→C))→((A→B)→(⌝C→⌝A∨D))
【解】：列真值表进行真值运算如下：
主联结词在所有行的真值均为1，故原公式为重言式。

5．A↔A∨(A→C)
【解】
最后一列第三、四行真值均为0，故原公式不是重言式。

6．(A↔B)→((C↔D)→((A↔C)→(B↔D)))
【解】
主联结词在所有行的真值均为1，故原公式为重言式。

三、用归谬赋值法判定下述公式是否重言式：1．(⌝A→A)→A
【解】
变元A的取值出现矛盾，故原公式为重言式。

2．(A→B)→((A∨C)→(B∨C))
【解】：用归谬赋值法判定如下：
变元A的取值出现矛盾，故原公式为重言式。

3．(A→B)→((C→D)→(A∧C→B∧D))
4．(A→(A→C))→(A→C)
【解】
变元C的取值出现矛盾，故原公式为重言式。

5．(A∧(B∨C))→((A∧B)∨(A∧C))
【解】：用归谬赋值法判定如下：
变元C的取值出现矛盾，故原公式为重言式。

6．((A∨B)∧(A∨C))→(A∨(B∧C))
【解】：用归谬赋值法判定如下：
变元C的取值出现矛盾，故原公式为重言式。

四．用树形图方法判定下述公式是否重言式：1．A∧⌝A→(A∧B)∨C
【解】：依画图规则构造树形图如下：
由于该树形图只有一个闭枝，故原公式为重言式。

2．((A →B)→A)→A 【解】：依画图规则构造树形图如下： 该树形图已经终结，并且各个枝都是闭枝，故原公式为重言式。

3．(A →B)→(A ∧C →B) 【解】：依画图规则构造树形图如下： 该树形图已经终结，并且各个枝都是闭枝，故原公式为重言式。

4．(A →B)→((A ∧C)↔(B ∨C)) 【解】：依画图规则构造树形图如下：
⌝（（A ∧⌝A ）→（A ∧B ）∨C ）
︱
A ∧⌝A ⌝（（A ∧
B ）∨
C ））
︱ A ⌝A ※
√
该树形图有不能关闭的枝，故原公式不是重言式。

5．(A ∧B →C)↔(A →(B →C)) 【解】：依画图规则构造树形图如下：
该树形图已经终结，并且各个枝都是闭枝，故原公式为重言式。

6．(A ↔(B ∧C))→(A ↔B)∨(A ↔C) 【解】：依画图规则构造树形图如下：
⌝（（
→C ）
）） A ∧B ⌝（A →（︱ A
⌝（B →C ） ︱ B A ∧B →C ） B →C ） ︱
A ∧
B ⌝
C ︱ A B C ※
⌝A ※
B →⌝B ※
※ ⌝B ※
⌝A ※
√
√ √
√
⌝（（A →B ）→（（A ∧
C ）↔（B ∨C ）））
︱
A →
B
C ）↔A ⌝（B ︱ A C ︱ ⌝B ⌝C ※
⌝A ⌝C
B
C
B
C
※
⌝A ⌝A
⌝A
B B B
该树形图已经终结，并且各个枝都是闭枝，故原公式为重言式。

五．在PN 中证明，下述公式是PN 定理： 1．A ∨⌝A 【证明】：
（1） 〇⌝( A ∨⌝A) 假设 （2） | 〇A 假设 （3） | |A ∨⌝A （2）∨+
（4） | |⌝( A ∨⌝A) （1）∈（假设引用） （5） | ⌝A （2）（3）（4）⌝+ （6） | A ∨⌝A （5）∨+
（7） | ⌝( A ∨⌝A) （1）∈（假设引用） （8）A ∨⌝A （1）（6）（7）⌝- 2．⌝⌝A ↔A 【证明】：
（1） 〇A 假设 （2） | 〇⌝A 假设
（3） | | A （1）∈（假设引用） （4） | | A ∧⌝A （2）（3）∧+ （5） | ⌝⌝A （2）（4）⌝+ （6） A →⌝⌝A （1）（5）→+ （7） 〇⌝⌝A 假设 （8） | 〇⌝A 假设
（9） | | ⌝⌝A （7）∈（假设引用） （10）| | ⌝A ∧⌝⌝A （8）（9）∧+ （11）| A （8）（10）⌝-
⌝((A ↔(B ∧C))→(A ↔B)∨(A ↔C))
︱
A ↔(
B ∧C) ⌝((A ↔B)∨(A ↔
C)) ︱
⌝
(A ↔⌝(A ↔⌝A ⌝(B ∧C) ⌝C ⌝B A B ∧C ︱
B
C
A ⌝
B ※ ⌝A B ※ A ⌝B ※ ⌝A B A ⌝B ※ ⌝A B
※ A ⌝C ※ ⌝A C ※ √
√ √ √
（12）⌝⌝A→A （7）（11）→+
（13）⌝⌝A↔A （6）（12）↔+ 3．⌝(A∧⌝A)
【证明】：
（1）〇A∧⌝A 假设
（2） | A （1）∧-
（3） | ⌝A （1）∧-
（4）⌝（A∧⌝A）（1）（2）（3）⌝+ 4．(A→B)→(⌝B→⌝A)
【证明】：
（1）〇A→B 假设
（2） | 〇⌝B 假设
（3） | | 〇A 假设
（4） | | | B （1）（3）→-
（5） | | | ⌝B （2）∈（假设引用）（6） | | | B∧⌝B （4）（5）∧+
（7） | | ⌝A （3）（6）⌝+
（8） | ⌝B→⌝A （2）（7）→+
（9）（A→B）→（⌝B→⌝A）（1）（7）→+ 5．(A→(B→C))→(⌝C→(B→⌝A))
【证明】：
（1）〇A→（B→C) 假设
（2） | 〇⌝C 假设
（3） | | 〇 B 假设
（4） | | | 〇A 假设
（5） | | | | B→C （1）（4）→-
（6） | | | | B （3）∈（假设引用）（7） | | | | C （5）（6）→-
（8） | | | | ⌝C （2）∈（假设引用）（9） | | | | C∧⌝C （7）（8）∧+
（10）| | | ⌝A （4）（9）⌝+
（11）| | B→⌝A （3）（10）→+
（12）| ⌝C→(B→⌝A) （2）（11）→+
（13）(A→(B→C))→(⌝C→(B→⌝A))(1）(12）→+ 6．(A→B)→((B→C)→(A→C))
【证明】：
（1）〇A→B 假设
（2） | 〇B→C 假设
（3） | | 〇A 假设
（4） | | | B （1）（3）→-
（5） | | | C （2）（4）→-
（6） | | A→C （3）（5）→+
（7） |（B→C）→（A→C）（2）（6）→+
（8）（A→B）→（（B→C）→（A→C））（1）（7）→+
7．(A∧B→C)→((⌝C∧A)→⌝B)
【证明】：
（1）〇A∧B→C 假设
（2） | 〇⌝C∧A 假设
（3） | | 〇B 假设
（4） | | | ⌝C∧A （2）∈（假设引用）（5） | | | A （4）∧-
（6） | | | ⌝C （4）∧-
（7） | | | A∧B （5）（3）∧+
（8） | | | A∧B→C （1）∈（假设引用）（9） | | | C （7）（8）→-
（10）| | | C∧⌝C （6）（9）∧+
（11）| | ⌝B （3）（10）⌝+
（12）|（⌝C∧A）→⌝B （2）（11）→+
（13）（A∧B→C）→（（⌝C∧A）→⌝B）（1）（12）→+ 8．(A∧B)∨(A∧C)→A∧(B∨C)
【证明】：
（1）〇（A∧B）∨（A∧C）假设
（2） | 〇A∧B 假设
（3） | | A （2）∧-
（4） | | B （2）∧-
（5） | | B∨C （4）∨+
（6） | | A∧（B∨C）（3）（5）∧+
（7） |（A∧B）→A∧（B∨C）（2）（6）→+
（8） | 〇A∧C 假设
（9） | | A （8）∧-
（10）| | C （8）∧-
（11）| | B∨C （10）∨+
（12）| | A∧（B∨C）（9）（11）∧+
（13）|（A∧C）→A∧（B∨C）（8）（12）→+
（14）| A∧（B∨C）（1）（7）（13）∨- （15）（A∧B）∨（A∧C）→A∧（B∨C）（1）（14）→+ 六．在PN中证明，下述推理是有效的：
1．A∧(B→C)，⌝(C∧A)，∴⌝B
【证明】：
（1） A∧（B→C）前提
（2）⌝（C∧A）前提
（3）〇B 假设
（4） | B→C （1）∧-
（5） | C （3）（4）→-
（6） | A （1）∧-
（7） | C∧A （5）（6）∧+
（8） | ⌝（C∧A）（2）∈（前提引用）（9） |（C∧A）∧⌝（C∧A）（7）（8）∧+
（10）⌝B （3）（9）⌝+
2．H→K，(K∧L)→M，∴L→(H→M)
【证明】：
（1） H→K 前提
（2）（K∧L）→M 前提
（3）〇L 假设
（4） | 〇H 假设
（5） | | K （1）（4）→-
（6） | | K∧L （5）（3）∈、∧+
（7） | | M （2）（6）→-
（8） | H→M （4）（7）→+
（9） L→（H→M）（3）（8）→+
3．A∧B→C，⌝(C∨⌝A)，∴⌝B
【证明】：
（1） A∧B→C 前提
（2）⌝（C∨⌝A）前提
（3）⌝C∧A （2）德*摩根律
（4）〇B 假设-
（5） | ⌝C （3）∧-
（6） | A （3）∧-
（7） | A∧B （4）（6）∧+
（8） | C （1）（7）→-
（9） | C∧⌝C （5）（8）∧+
（10）⌝B （4）（9）⌝+
4．A∨B，C，A∧C→D，⌝(⌝F∧B)，∴D∨F
【证明】：
（1） A∨B 前提
（2） C 前提
（3） A∧C→D 前提
（4）⌝(⌝F∧B) 前提
（5） F∨⌝B （4）德*摩根律
（6）〇⌝D 假设
（7） | ⌝(A∧C) （3）（6）DR1
（8） | ⌝A∨⌝C （7）德*摩根律
（9） | ⌝A （2）（8）否定肯定式（10）| B （1）（9）否定肯定式（11）| F （5）（10）否定肯定式（12）⌝D→F （6）（11）→+
（13）D∨F （12）蕴析律
5．⌝(D∨C)，⌝C→(A→⌝B)，A↔B，∴⌝A
【证明】：
（1）⌝(D∨C) 前提
（2）⌝C→(A→⌝B) 前提
（3） A↔B 前提
（4）⌝D∧⌝C （1）德*摩根律
（5）⌝C （4）∧-
（6） A→⌝B （2）（5）→-
（7） A→⌝A （3）（6）RP（等值置换）（8）〇A 假设
（9） | ⌝A （7）（8）→-
（10）| A∧⌝A （8）（9）∧+
（11）⌝A （8）（10）⌝+
6．A∨B，C，A∧C→D，∴D∨B
【证明】：
（1） A∨B 前提
（2） C 前提
（3） A∧C→D 前提
（4）〇⌝D 假设
（5） | ⌝(A∧C) （3）（4）DR1
（6） | ⌝A∨⌝C （5）德*摩根律
（7） | ⌝A （2）（6）否定肯定式
（8） | B （1）（7）否定肯定式
（9）⌝D→B （4）（8）→+
（10）D∨B （9）蕴析律
7．K→((L∨M→R)，R∨S→T，∴K→(M→T)
【证明】：
（1） K→((L∨M)→R) 前提
（2）（R∨S→T）前提
（3）〇K 假设
（4） | 〇M 假设
（5） | |(L∨M）→R （1）（3）→-
（6） | | L∨M （4）∨+
（7） | | R （5）（6）→-
（8） | | R∨S （7）∨+
（9） | | T （2）（8）→-
（10）| M→T （4）（9）→+
（11）K→(M→T) （3）（10）→+
8．(M∨N)→(M→⌝N)，⌝(N→P)→⌝(M→⌝N)，M∨N，∴M∨P 【证明】：
（1）（M∨N)→(M→⌝N) 前提
（2）⌝(N→P)→⌝(M→⌝N) 前提
（3） M∨N 前提
（4）〇⌝M 假设
（5） |(M→⌝N) （1）（3）→-
（6） | N→P （2）（5）DR1
（7） | ⌝M→N （3）蕴析律
（8） | ⌝M→P （6）（7）DR2
（9） | P （4）（8）→-
（10）⌝M→P （4）（9）→+
（11）M∨P （10）蕴析律
9．A↔B，⌝(A∧⌝R)→(A∧S)，∴⌝(B∧S)→⌝(A∧R)
【证明】：
（1） A↔B 前提
（2）⌝(A∧⌝R)→(A∧S) 前提
（3）〇⌝(B∧S) 假设
（4） | ⌝(A∧S) （1）（3）RP（等值置换）（5） | A∧⌝R （2）（4）DR1
（6） | ⌝R （5）∧-
（7） | ⌝A∨⌝R （6）∨+
（8） | ⌝(A∧R) （7）德*摩根律
（9）⌝(B∧S)→⌝(A∧R) （3）（8）→+
10．(A∧B)∨C，(A∧B)→(E→A)，(C→D) ，∴(E→A)∨D
【证明】：
(1) (A∧B)∨C 前提
(2) (A∧B)→(E→A) 前提
(3) C→D 前提
(4) 〇⌝D 假设
(5) | ⌝C (3)(4)DR1
(6) | A∧B (1)(5)否定肯定式
(7) | E→A (2)(6)→-
(8) ⌝D→(E→A) (4)(7)→+
(9) D∨(E→A) (8)蕴析律
(10)(E→A)∨D (9)交换律
11．C↔D，B→(D∧E)，⌝C∨⌝D，∴⌝B
【证明】：
（1） C↔D 前提
（2） B→(D∧E) 前提
（3）⌝C∨⌝D 前提
（4）⌝D∨⌝D （1）（3）RP（等值置换）（5）⌝D （4）消去律
（6）⌝D∨⌝E （5）∨+
（7）⌝(D∧E) （6）德*摩根律
（8）⌝B （2）（7）DR1
12．A∨(⌝B∨⌝C)，A→(D→E)，⌝(⌝B∨⌝D)，∴C→(D→E)
【证明】：
(1) A∨(⌝B∨⌝C) 前提
(2) A→(D→E) 前提
(3) ⌝(⌝B∨⌝D) 前提
(4) 〇C 假设
(5) | B∧D (3)德*摩根律
(6) |(A∨⌝B)∨⌝C (1)析取结合律
(7) | A∨⌝B (4)(6)否定肯定式
(8) | B (5)∧-
(9) | A (7)(8)否定肯定式
(10)| D→E (2)(9)→-
(11)C→(D→E) (4)(10)→+
七．对于下面的每一个论证，先将其符号化为命题逻辑公式；如果它是有效的，则构造一个其有效性的形式证明；如果它是无效的，则画出相应的树形图揭示它的无效性：
1．如果发现新的能源，那么，仅当世界的人口数量降低时，生活水平才会提高。

生活水平不会提高，就意味着新的能源未被发现。

或者新的能源将被发现，或者我们将不会提供研究经费。

所以，如果我们提供了研究经费，世界的人口数量将会降低。

【解析】：设P——发现新的能源，Q——世界的人口数量降低，R——生活水平提高，S——我们提供研究经费，则上述论证可表示为：
P→(R→Q)，⌝R↔⌝P，P∨⌝S，∴S→Q
这是一个有效的论证。

可构造其有效性的形式证明如下：
【证明】：
（1）P→(R→Q) 前提
（2）⌝R↔⌝P前提
（3）P∨⌝S前提
（4）〇S假设
（5） | P（3）（4）否定肯定式
（6） | R→Q（1）（5）→-
（7） | R（2）（5）PR1
（8） | Q（6）（7）→-
（9）S→Q （2）（11）→+
2．如果语言学研究者是正确的，那么，若在古希腊出现了不止一种方言，则不同的部落就是在不同的时间来自北方。

如果不同的部落在不同的时间来自北方，那么他们必定是来自达卢比河谷。

但是，考古发掘将会揭示某些不同部落的遗迹，如果他们真是在不同时间来自北方的话；而考古发掘并没有在那里发现这样的遗迹。

所以，如果在古希腊出现了不止一种方言，那么语言学研究者必定是搞错了。

【解析】：设P——语言学研究者是正确的，Q——在古希腊出现了不止一种方言，R——不同的部落就是在不同的时间来自北方，S——不同的部落是来自达卢比河谷，T——考古发掘揭示了某些不同部落的遗迹，则上述论证可表示为：
P→(Q→R)，R→S，R→T，⌝T，∴Q→⌝P
这是一个有效的论证。

可构造其有效性的形式证明如下：
【证明】：
（1）P→(Q→R) 前提
（2）R→S前提
（3）R→T前提
（4）⌝T前提
（5）〇Q假设
（6） | 〇P假设
（7） | | Q→R（1）（6）→-
（8） | | R （5）（7）→-
（9） | | T（3）（8）→-
（10）| | ⌝T（4）∈（前提引用）
（11）| ⌝P（6）（9）（10）⌝+
（12）Q→⌝P（5）（11）→+
3．如果李白获胜，则马丽会感到高兴。

如果傅德获胜，则萨乔会感到高兴。

如果彼尔获胜，则萨乔会感到高兴，并且如果保罗获胜，则马丽会感到高兴。

或者萨乔将不高兴或者马丽将不高兴，并且或者傅德不会获胜或者彼尔不会获胜。

所以，或者彼尔不会获胜或者保罗不会获胜，并且或者傅德不会获胜或者李白不会获胜。

【解析】：设P——李白获胜，Q——马丽会感到高兴，R——傅德获胜，S——萨乔会感到高兴，T——彼尔获胜，U——保罗获胜，则上述论证可表示为：
P→Q，R→S，(T→S)∧(U→Q)，(⌝S∨⌝Q)∧(⌝R∨⌝T)，∴(⌝T∨⌝U)∧(⌝R∨⌝P)
这是一个有效的论证。

可构造其有效性的形式证明如下：
【证明】：
（1）P→Q前提
（2）R→S前提
（3） (T→S)∧(U→Q) 前提
（4） (⌝S∨⌝Q)∧(⌝R∨⌝T) 前提
（5）⌝S∨⌝Q（4）∧-
（6）⌝R∨⌝T（4）∧-
（7）T→S（3）∧-
（8）U→Q（3）∧-
（9）〇T假设
（10）| S（7）（9）→-
（11）| ⌝Q（5）（10）否定肯定式
（12）| ⌝U（8）（11）PR1
（13）T→⌝U （1）（12）→+
（14）⌝T∨⌝U （13）蕴析律
（15）〇R假设
（16）| S（2）（15）→-
（17）| ⌝Q（5）（16）否定肯定式
（18）| ⌝P（1）（17）PR1
（19）R→⌝P （15）（18）→+
（20）⌝R∨⌝P （19）蕴析律
（21）(⌝T∨⌝U)∧(⌝R∨⌝P) （14）（20）∧+
4．如果工资提高或者物价提高，将会有通货膨胀。

如果通货膨胀，则议会必须限制通货膨胀，否则人民将遭受损失。

如果人民遭受损失，议员们就会失掉人心。

国会将不会限制通货膨胀并且议员们不会失掉人心。

因此，工资将不会提高。

【解析】：设P——工资提高，Q——物价提高，R——通货膨胀，S——议会限制通货膨胀，T ——人民将遭受损失，U——议员们会失掉人心，则上述论证可表示为：
P∨Q→R，R→(⌝S→T)，T→U，⌝S∧⌝U，∴⌝P
这是一个有效的论证。

可构造其有效性的形式证明如下：
【证明】：
（1）P∨Q→R前提
（2）R→(⌝S→T) 前提
（3）T→U前提
（4）⌝S∧⌝U前提
（5） 〇 P 假设
（6） | P ∨Q （5）∨+
（7） | R （1）（6）→-
（8） | ⌝S →T （2）（7）→-
（9） | ⌝S （4）∧-
（10）| T （8）（9）→-
（11）| ⌝U （4）∧-
（12）| ⌝T （3）（11）PR1
（13）⌝P （5）（10）（12）⌝+
5．尽管世界人口在增长，但农业产量却在下降，而制造业的产品保持稳定。

如果农业产量下降而世界人口却在增长，那么，或者有新的食品源可资利用，或者将从根本上对世界上的食品资源进行重新分配，除非人类的营养需求降低。

没有新的食品源可资利用，也不鼓励家庭节约食品，并且人类的营养需求也不会降低。

所以，将从根本上对世界上的食品资源进行重新分配。

【解析】：设P ——世界人口在增长，Q ——农业产量在下降，R ——制造业的产品保持稳定，S ——有新的食品源可资利用，T ——将从根本上对世界上的食品资源进行重新分配，U ——人类的营养需求降低，V ——鼓励家庭节约食品，则上述论证可表示为：
P ∧Q ∧R ，Q ∧P →(⌝U →⌝(S ∨T ))，⌝S ∧⌝V ∧⌝U ，∴T
这是一个无效的论证。

可用树形图法证明其无效性如下：
【证明】：⌝((P ∧Q ∧R )∧(Q ∧P →(⌝U →⌝(S ∨T )))∧(⌝S ∧⌝V ∧⌝U ))→T
该树形图已经终结，但是有不能关闭的枝，故原公式不是重言式，上述推理无效。

6．如果上帝愿意阻止邪恶，但没有能力这样做，他就不是万能的；如果他能够阻止邪恶，但不愿意这样做，那么他就不是仁慈的。

只有当上帝或者能够但不愿意或者愿意但不能够阻止邪恶时，邪恶才能存在。

存在着邪恶。

如果上帝存在，那么他既是万能的也是仁慈的。

所以，上帝并不存在。

【解析】：设P ——上帝愿意阻止邪恶，Q ——上帝能阻止邪恶，R ——上帝是万能的，S ——上帝是仁慈的，T ——邪恶存在，U ——上帝存在，则上述论证可表示为：
P ∧⌝Q →⌝R ，Q ∧⌝P →⌝S ，T →(Q ∧⌝P )∨(P ∧⌝Q ) ，T ，U →R ∧S ，∴⌝U
这是一个有效的论证。

可构造其有效性的形式证明如下：
P ∧Q ∧R
Q ∧P →(⌝U →⌝(S ∨T ))
⌝S ∧⌝V ∧⌝U
⌝T
⌝S
⌝V
⌝U
P
Q R
⌝Q ※ ⌝U →⌝(S ∨T ) ⌝(Q ∧P )
⌝ P
※ U ※ ⌝(S ∨T ) ⌝S
⌝T
【证明】：
（1）P∧⌝Q→⌝R前提
（2）Q∧⌝P→⌝S前提
（3）T→(Q∧⌝P)∨(P∧⌝Q) 前提
（4）T前提
（5）U→R∧S前提
（6） (Q∧⌝P)∨(P∧⌝Q) （3）（4）→-
（7）〇U假设
（8） | R∧S（5）（7）→-
（9） | S（8）∧-
（10）| ⌝(Q∧⌝P)（2）（9）PR1
（11）| P∧⌝Q（6）（10）否定肯定式
（12）| ⌝R（1）（11）→-
（13）| R（8）∧-
（14）⌝U （7）（12）（13）⌝+
7．如果你有自由意志，那么你的行动就不是被某个先前的事件所决定。

如果你有自由意志，那么，如果你的行动不是被某个先前的事件所决定，则你的行动就无法预测。

如果你的行动不是被某个先前的事件所决定，那么，如果你的行动无法预测，则你的行动的后果也无法预测。

所以，如果你有自由意志，那么你的行动的后果就无法预测。

【解析】：设P——你有自由意志，Q——你的行动不是被某个先前的事件所决定，R——你的行动无法预测，S——你的行动的后果无法预测，则上述论证可表示为：
P→Q，P→(Q→R)，Q→(R→S)，∴P→S
这是一个有效的论证。

可构造其有效性的形式证明如下：
【证明】：
（1）P→Q前提
（2）P→(Q→R)前提
（3）Q→(R→S)前提
（4）〇P 假设
（5） | Q（1）（4）→-
（6） | Q→R（2）（4）→-
（7） | R（5）（6）→-
（8） | R→S（3）（5）→-
（9） | S（7）（8）→-
（10）P→S（4）（9）→+
8．如果那本书写得很好，那么，若我阅读它我就会喜欢它。

如果我喜欢它，那么，或者我会保存它或者会把它借给朋友。

那本书确实写得很好，并且我读了它但没有保存它，所以我把它借给了朋友。

【解析】：设P——那本书写得很好，Q——我阅读了它，R——我会喜欢它，S——我会保存它，T——我会把它借给朋友，则上述论证可表示为：
P→(Q→R)，R→(S∨T)，P∧Q∧⌝S，∴T
这是一个有效的论证。

可构造其有效性的形式证明如下：
【证明】：
（1）P→(Q→R)前提
（2）R→(S∨T)前提
（3）P∧Q∧⌝S前提
（4）P（3）∧-
（5）Q（3）∧-
（6）⌝S（3）∧-
（7）Q→R（1）（4）→-
（8）R（5）（7）→-
（9）S∨T（2）（8）→-
（10）T（6）（9）否定肯定式
9．如果乙不是盗窃犯，那么，甲昨晚未遇见乙而且盗窃案发生在午夜。

如果盗窃案发生在午夜，则乙是盗窃犯或甲说谎。

所以，如果甲未说谎，则乙是盗窃犯。

【解析】：设P——乙是盗窃犯，Q——甲昨晚遇见乙，R——盗窃案发生在午夜，S——甲说谎，则上述论证可表示为：
⌝P→⌝Q∧R，R→P∨S，∴⌝S→P
【证明】：
（1）⌝P→⌝Q∧R前提
（2）R→P∨S前提
（3）〇⌝S假设
（4） | 〇⌝P假设
（5） | | ⌝Q∧R（1）（4）→-
（6） | | R（5）∧-
（7） | | P∨S（2）（6）→-
（8） | | P（7）（3）否定肯定式
（9） | P（4）（8）⌝-
（10）⌝S→P（3）（9）→+
10．如果宣战是一个正确的战略行动，则或者有50个师作好了战斗准备，或者已有20个远程轰炸机编队已准备好发动攻击。

然而并没有50个师已作好战斗准备。

因而，如果20个远程轰炸机编队尚未准备好发动攻击，则或者宣战不是一个正确的战略行动，或者有新的生化武器可用。

【解析】：设P——宣战是一个正确的战略行动，Q——有50个师作好了战斗准备，R——已有20个远程轰炸机编队已准备好发动攻击，S——有新的生化武器可用，则上述论证可表示为：P→Q∨R，⌝Q，∴⌝R→⌝P∨S
这是一个有效的论证。

可构造其有效性的形式证明如下：
【证明】：
（1）P→Q∨R前提
（2）⌝Q前提
（3）〇⌝R假设
（4） | 〇P假设
（5） | | Q∨R（1）（4）→-
（6） | | R（2）（5）否定肯定式
（7） | | ⌝R（3）∈（假设引用）
（8） | ⌝P（4）（6）（7）⌝+
（9） | ⌝P∨S（8）∨+
（10）⌝R→⌝P∨S（3）（9）→+
八、在TN中证明公式是定理：
1．□A→A
【证明】：
(1) 〇□A假设
(2) | A(1)□-
(3) □A→A(1)(2)→+ 2．□⌝A→⌝□A
【证明】：
(1) 〇□⌝A假设
(2) | 〇□A假设
(3) | | A(2)□-
(4) | | ⌝A(1)□-
(5) | ⌝□A(2)(3)(4)⌝+
(6) □⌝A→⌝□A(1)(5)→+ 3．□A→◇A
【证明】：
(1) 〇□A假设
(2) | A(1)□-
(3) | ◇A(2)◇+
(4) □A→◇A(1)(3)→+ 4．□⌝A→◇⌝A
【证明】：
(1) 〇□⌝A假设
(2) | ⌝A(1)□-
(3) | ◇⌝A(2)◇+
(4) □⌝A→◇⌝A(1)(3)→+ 5．⌝◇A→⌝□A
【证明】：
(1) 〇⌝◇A假设
(2) | 〇□A假设
(3) | | A(2)□-
(4) | | ◇A(3)◇+
(5) | | ⌝◇A(1)∈(假设重现)
(6) | ⌝□A(2)(4)(5)⌝+
(7) ⌝◇A→⌝□A(1)(6)→+ 6．⌝◇⌝A→⌝□⌝A
【证明】：
(1) 〇⌝◇⌝A假设
(2) | 〇□⌝A假设
(3) | | ⌝A(2)□-
(4) | | ◇⌝A(3)◇+
(5) | | ⌝◇⌝A(1)∈(假设重现)
(6) | ⌝□⌝A(2)(4)(5)⌝+
(7) ⌝◇⌝A→⌝□⌝A(1)(6)→+ 7．□A↔⌝◇⌝A
【证明】：
(1) 〇□A假设
(2) | 〇◇⌝A假设
(3) | | ⌝□A(2)（◇A＝df ⌝□⌝A）
(4) | | □A(1)∈(假设重现)
(5) | ⌝◇⌝A(2)(3)(4)⌝+
(6) □A →⌝◇⌝A(1)(5)→+
(7) 〇⌝◇⌝A假设
(8) | 〇⌝□A假设
(9) | | ⌝⌝□A(7)（◇A＝df ⌝□⌝A）
(10)| | ⌝□A(8)∈(假设重现)
(11)| □A(8)(9)(10)⌝-
(12)⌝◇⌝A →□A(7)(11)→+
(13)□A↔⌝◇⌝A(6)(12)↔+
8．□⌝A↔⌝◇A
【证明】：
(1) 〇□⌝A假设
(2) | 〇◇A假设
(3) | | ⌝□⌝A(2)（◇A＝df ⌝□⌝A）
(4) | | □⌝A(1)∈(假设重现)
(5) | ⌝◇A(2)(3)(4)⌝+
(6) □⌝A →⌝◇A(1)(5)→+
(7) 〇⌝◇A假设
(8) | 〇⌝□⌝A假设
(9) | | ⌝⌝□⌝A(7)（◇A＝df ⌝□⌝A）
(10)| | ⌝□⌝A(8)∈(假设重现)
(11)| □⌝A(8)(9)(10)⌝-
(12)⌝◇A →□⌝A(7)(11)→+
(13)□⌝A↔⌝◇A(6)(12)↔+
9．◇A↔⌝□⌝A
【证明】：
(1) 〇◇A假设
(2) | 〇□⌝A假设
(3) | | ⌝□⌝A(1)（◇A＝df ⌝□⌝A）
(4) | | □⌝A(2)∈(假设重现)
(5) | ⌝□⌝A(2)(3)(4)⌝+
(6) ◇A →⌝□⌝A(1)(5)→+
(7) 〇⌝□⌝A假设
(8) | 〇⌝◇A假设
(9) | | ⌝⌝□⌝A(8)（◇A＝df ⌝□⌝A）
(10)| | ⌝□⌝A(7)∈(假设重现)
(11)| ◇A(8)(9)(10)⌝-
(12)⌝□⌝A →◇A(7)(11)→+
(13)◇A ↔⌝□⌝A(6)(12)↔+
10．◇⌝A↔⌝□A
【证明】：
(1) 〇◇⌝A假设
(2) | 〇□A假设
(3) | | ⌝□A(1)（◇A＝df ⌝□⌝A）
(4) | | □A(2)∈(假设重现)
(5) | ⌝□A(2)(3)(4)⌝+
(6) ◇⌝A →⌝□A(1)(5)→+
(7) 〇⌝□A假设
(8) | 〇⌝◇⌝A假设
(9) | | ⌝⌝□A(8)（◇A＝df ⌝□⌝A）
(10)| | ⌝□A(7)∈(假设重现)
(11)| ◇⌝A(8)(9)(10)⌝-
(12)⌝□A →◇⌝A(7)(11)→+
(13)◇⌝A ↔⌝□A(6)(12)↔+
九、从下列各题的五个备选项中选择一个正确的答案，并作出简单的分析：
1．除非包裹的大小尺寸符合规定，否则邮局不会接受。

而且，所有被邮局接受的包裹都要有退回地址。

如果以上陈述为真，则以下哪项也必为真？
A．邮寄包裹的收费主要是以重量计的。

B．只要包裹的大小尺寸符合规定，邮局就一定会接受。

C．如果一个包裹的大小尺寸符合规定，并有退回地址，则无论它多重，都会被接受投递。

D．一个大小尺寸不符合规定、但却有退回地址的包裹，决不会被邮局接受投递。

E．邮局对必须返回寄件人的包裹不收取任何费用。

【答案】：D
【解析】：首先A、E两项可以排除，因为题干中并未涉及包裹的收费问题，因而不可能从题干中推出。

设P——包裹的大小尺寸符合规定，Q——邮局会接受，R——包裹有退回地址，则题干可表示为：⌝P→⌝Q，Q→R
B项可表示为P→Q，C项可表示为P∧R →Q，D项可表示为⌝P∧R →⌝Q。

用树形图法不难验证，B、C两项亦均不能从题干推出。

正确选项应为D。

下面给出其形式证明：
【证明】：
（1）⌝P→⌝Q前提
（2）Q→R前提
（3）〇⌝P∧R假设
（4） | ⌝P（3）∧-
（5） | ⌝Q（1）（4）→-
（6）⌝P∧R →⌝Q（3）（9）→+
2．甲（男）、乙（男）、丙（女）、丁（女）、戊（女）五个人有亲戚关系，其中凡有一个以上兄弟姐妹并且有一个以上儿女的人总说真话；凡只有一个以上兄弟姐妹或只有一个以上儿女的人，所说的话真假交替；凡没有兄弟姐妹，也没有儿女的人总说假话。

他们各说了以下的话：甲：丙是我的妻子，乙是我的儿子，戊是我的姑姑。

乙：丁是我的姐妹，戊是我的母亲，戊是甲的姐妹。

丙：我没有兄弟姐妹，甲是我的儿子，甲有一个儿子。