第四章(无限自由度系统的振动)

(二) 杆的纵向固有振动
1.固有振动
2u(tx2,t)c22u(xx2,t)
（分离变量法）
u(x,t)U (x)q(t)
U (x)q(t)c2q(t)U (x)
q(t)c2U(x)2
q(t) U(x)
U(x) ()2U(x) 0
c
q(t) 2q(t) 0
(二) 固有振动
U(x) ()2U(x) 0
Mt GIp x
Ip t2 x G Ip x M e
t2
c2
2
x2
1
Ip
Me
(一) 轴的扭转振动
(x,t) (x)q(t) (a 1cos cxa2sin cx)(b 1costb 2sint)
2.边界条件
x
简单边界条件
固定端： 0
0
自由端：Mt
GIp
x
0
0
(二) 课堂练习
【课堂练习1】：求如图所示的上端固定，下端有一附加质量M的等
M
x
EA ccos cLM 2sin cL
E c2
cLtancLM AL
(二) 课堂练习
【课堂练习2】：求如图所示的一端固定一端弹性支撑的杆作纵向振 动的频率函数。
E, A,
k
O
x
L
U(x)(a1coscxa2sincx)
左端边界条件： U (0) 0 右端边界条件： EAdU(x) kU(L)
2.边界条件 y
(二) 固有振动
x
简单边界条件
固定端： u 0
U0
自由端： N EAu 0 x
U0
(二) 固有振动
【例1】：求两端固定杆的纵向振动固有频率和固有振型。
固有振型函数：
U(x)a1coscxa2sincx
a10,
a2sincl0
sin l 0 c
x
l
边界条件：
U (0)0, U (l)0
单位长度上的分布外力f(x,t)
单位长度上的分布外力矩m(x,t)
梁的弯曲振动方程
w
f (x,t)
o
x
dx
x
m(x,t)
f (x,t)dx
正负号规定
Q
M
M M dx x
Q Q dx x
m(x,t)dx
剪 力 的 正 负 ： 左 截 面 向 上 为 正 ； 右 截 面 向 下 为 正
弯 矩 的 正 负 ： 左 截 面 上 顺 时 针 方 向 为 正 ； 右 截 面 上 逆 时 针 方 向 为 正
( x ) A ( x ) d x2 u ( tx 2 ,t) [ N ( x ,t)N ( x x ,t)d x ] N ( x ,t) f( x ,t) d x
2 u (x ,t)
u (x ,t)
(x )A (x )
t2
[E (x )A (x ) x
] f(x ,t) x
1
0
tan cL1tan cL2A A1 2
STOP
第四章：无限自由度系统的振动
第三讲： Euler-Bernoli梁的振动
梁：以弯曲为主要变形的杆
引言
引言
引言
Eluer-Bernouli梁：忽略剪切变形和绕中性轴转动惯量的梁 Timoshenko梁：计及剪切变形和绕中性轴转动惯量的梁
瑞士-俄罗斯科学家 Euler（1707-1783）
U (0)0,U (l)0
a10,
a2ccoscl0
各阶固有频率
cos l 0 c
n(n1 2)lc,n1,2,
(二) 固有振动
U n(x)sin(2n 2l1 )x,
ຫໍສະໝຸດ Baidu
n1 ,2,
各阶固有振型函数
y
x
l
1st 2nd 3rd
(二) 固有振动
【课堂练习】：求两端自由杆的纵向振动的固有频率和固有振型。
u fd x
u
N
N N dx
x
u
u
A
dx x
C
u
ABuudx x
B
x
dx
(一) 直杆的纵向振动微分方程
dx
u u dx x
u fd x
N
N N dx
x
微段的轴向应变： (x,t) uu(xx,t)dxuu(x,t)
dx
x
横截面轴向力： N(x,t) E(x)(x,t)A(x)E(x)A(x)u (x x,t)
两端自由
x
U(x)a1coscxa2sincx
U (0)0, U (l)0
a20,
a1csincl0
0
sin l 0 c
nnlc, n1,2,
U0(x) 1
n
Un(x) cos l x
STOP
第二讲： 1. 轴的扭转振动 2. 课堂练习
1.运动方程
(一) 轴的扭转振动
dx x
o
x
x
u(x,t)
f (x,t)
o
x
dx
x
l
长度为 l 材料弹性模量为 E(x)
横截面积为 A(x)
体密度为(x)
u(x, t) 表示坐标为 x 的截面在时刻 t 的纵向位移
f (x, t) 是作用在杆上的纵向分布力
(一) 直杆的纵向振动微分方程
u(x,t)
f (x,t)
o
x
dx
l
x
dx
u u dx x
2 w ( x ,t)
( x )A ( x ) t2 x 2 [ E ( x ) I( x ) x 2] f( x ,t)x m ( x ,t)
A 2 w t(2 x ,t) E I4 w x (x 4 ,t)f(x ,t) xm (x ,t)
均匀梁的弯 曲振动方程
固有振动
(x)A (x)2w t(2 x,t)x 2 2[E (x)I(x)2 w x (2 x,t)]0 w (x,t)W (x)q(t)
EA1
dU1(x1) dx1
x10
0
b1 0
x2
u2
E, A2,,L2
EA1dU d1x(1x1)x1L1 EA2dU d2x(2x2)x20
EA1a1sincL1EA2b2
U2(x2)x2L2 0
a2cos cL2b2sin cL20
u
1
U1(L1)U2(0)
a1
cos
c
L1
a2
o2
x1
E, A1, ,L1
第四章 无限自由度系统的振动
m
k
c
引言
u1
2k
k
m
c
u2
k m
u3
2k m
离散系统
引言
连续系统 分布参数系统 无限自由度系统
引言
杆：以拉压为主要变形的构件
F
轴：以扭转为主要变形的杆
T
梁：以弯曲为主要变形的杆
F
T
F
一个方向的尺寸远 大于其他两个方向 的尺寸
板：一个方向的尺寸远小于其他两个方向的尺寸的构件
c
q(t) 2q(t) 0
U(x)a1cos c xa2sinc x
q(t) b1cost b2sint
u(x,t)U (x)q(t)
(a 1cos cxa2sin cx)(b 1costb 2sint)
固有振动的 表达式
a1, a2 ,
固有振型函数
由边界条件确定 b 1 , b 2
由初始条件确定
（直杆纵向受迫振动微分方程）
(一) 直杆的纵向振动微分方程
(x )A (x )2 u (x ,t)
u (x ,t)
[E (x )A (x )
] f(x ,t)
t2
x
x
（直杆纵向受迫振动微分方程）
2u(t2 x,t)c22u(xx 2,t)1Af(x,t)
c E
(均匀材料等截面直杆的纵向受迫振动方程)
第四章：无限自由度系统的振动
第一讲： 弹性杆的纵向振动
弹性杆的纵向振动
y
u(x,t)
x
图 弹性杆的纵向振动
杆的纵向振动主要研究杆的任一截面沿 x 方向（轴线）的振动规律。
弹性杆的纵向振动
【纵向振动的例子】
火箭的纵向耦合振动 POGO vibration
大型液体火箭的结构与推进系统相互作用而产生的不稳定振动。 其特征频率是由结构纵向振动与推进剂输送管路振动的固有频率彼 此接近或相等时所产生的一个共振频率，它的幅值开始于动力飞行 过程中的某瞬间,随后达到最大,最后减弱。幅值达到最大时会引起 火箭剧烈振动，使整个火箭出现不稳定状态。振动量级超过设计允 许值时会影响火箭上仪器、设备的工作可靠性。对于载人航天器, 还会导致航天员生理失调,如视力模糊等。
x
Q Q dx x
m(x,t)dx
M(x,t)
Q(x,t)
x
m(x,t)
方程(2)
梁的弯曲振动方程
2 w (x ,t)
2 M (x ,t) m (x ,t)
(x )A (x )
f(x ,t) [
]
t2
x 2
x
M(x,t)E(x)I(x)2w(xx2,t)
2 w ( x ,t) 2
引言
1744年， Euler研究了梁的横向自由振 动，导出了铰支、固定和自由三类边界 条件下的振型函数与频率方程 1759年， Euler解决了矩形膜的自由振 动问题 1814-1850年，Poisson、Kirchhoff、 Navier建立板弯曲振动理论。
瑞士-俄罗斯科学家 Euler（1707-1783）
E I ：梁的弯曲刚度
O
w ( x , t ) ：梁的挠曲线
y
z
dA
y
z
Iz y2dA
A
Iy z2dA
A
梁的弯曲振动方程
w
f (x,t)
o
x
x
dx
l
m(x,t)
梁的长度 l
梁的横截面积 A(x)
梁的体密度 (x)
梁的弹性模量 E(x)
截面惯性矩 I(x)
坐标为x的截面中性轴在t时刻的横向位移为w(x,t)
dx xL
a1 0
EA ccoscLksincL
t
a
n
L c
L
EA kL
c
(二) 课堂练习
【课堂练习3】：求如图所示的阶梯杆纵向振动时的频率方程。
u1(x1,t)U1(x1)q1(t)
(a1coscx1b1sincx1)q1(t)
u2(x2,t)U2(x2)q2(t)
(a2coscx2b2sincx2)q2(t)
引言
连续系统与离散系统不同之处：
u
o x
A
u (x,t)
x
A
1. 连续系统的振动是时间和空间坐标的函数 2. 连续系统的运动方程要用偏微分方程来描述 3. 连续弹性体有无限多个固有频率和固有振型
引言
连续系统与离散系统相似之处：
1. 连续系统固有振型关于质量与刚度具有加权正交性 2. 连续系统的自由振动可表示为各阶固有振动的线性叠加 3. 对弹性体的振动，模态叠加法、模态截断等方法同样适用
dx
l
长度为 l 材料剪切模量为 G(x)
横截极惯性矩Ip (x)
体密度为(x)
θ(x, t) 表示坐标为 x 的截面在时刻 t 的角位移
Me(x, t) 是单位长度轴上分布的外扭矩
(一) 轴的扭转振动
dx x
o
x
Mt
x
dx
Mt
Mt x
dx
dx
Ip d x t2 ( M t M x td x ) M t M e d x
基本假设： 微振动假设 研究对象为理想弹性体，即匀质分布，各向同性和服 从胡克定律。
引言
实际工作中，如何分析连续系统的振动？
（1）首先判定是否是简单几何和边界条件的系统，如果是，则可获得 系统固有振动特性和响应的解析解（本章内容）
（2）如是复杂几何和边界条件的系统，则用有限单元法求解
图 利用有限单元法将连续系统（阿波罗飞船） 离散化为离散系统
Daniel Bernoulli (1700–1782)
引言
Eluer-Bernouli梁的基本假设： ① 直梁假设 ② 梁具有纵向对称面，在弯曲振动时梁的挠曲线始终在这一平面内
w
y
x
对称面
引言
Eluer-Bernouli定律：
M(x,t)EI2wx(x2,t)
E ：弹性模量
I ：截面对中性轴的惯性矩，简称截面惯性矩
各阶固有频率
nnlcnl E , n1,2,
(二) 固有振动
U(x)
a2
sin c
x
nnlcnl E , n1,2,
Un(x)sincnxsinnlx
x
l
(二) 固有振动
【例2】：求一端固定一端自由杆的纵向振动的固有频率和固有振型。
y
固有振型函数：
U(x)a1coscxa2sincx
x
l
边界条件：
直杆作纵向振动的频率方程。
O
u(x,t)U (x)q(t)
(a 1cos cxa2sin cx)(b 1costb 2sint)
上端边界条件：U (0) 0
a1 0
L
E, A,
下端边界条件：
EAu(L,t) x
2u(L,t) M t2
u(L x,t)a2 ccos cLq(t)
2u(tL 2,t)a2sin cL2q(t)
神州五号飞船神六减轻第120秒痛苦弹性杆的纵向振动横截面积为ax材料弹性模量为ex体密度为x表示坐标为x的截面在时刻t的纵向位移是作用在杆上的纵向分布力dx直杆的纵向振动微分方程直杆纵向受迫振动微分方程杆的纵向固有振动分离变量法cossincossin固有振动的表达式固有振型函数cossincossin简单边界条件固定端
o1
(二) 课堂练习
EA1sin cL1a1EA2b20
cos cL2a2sin cL2b20
coscL1a1a2 0
EA1sinc
L1
0
0
cosc
L2
EA2
sinc L2 aba212 0
cos c L1
1
0
EA1
sin
c
L1
0
EA2
0
cos
c
L2
sin c
L2
0
cos c L1
梁的弯曲振动方程
由牛顿第二定律：
(x)A(x)dx
2w(x,t)
t2
M
Q(x,t)[Q(x,t)Q(x,t)dx] f (x,t)dx
x
[f (x,t)Q(x,t)]dx x
微元力矩平衡：
M(x,t)Q(x,t)dx
方程(1)
M(x,t)M (xx,t)dxm(x,t)dx
f (x,t)dx
Q
M M dx
弹性杆的纵向振动
神六减轻“第120秒痛苦”
“神五” 火箭发射后120秒时，火箭 箭体的纵向振动和液氧输送管路中的液氧 水平振动出现了耦合，形成一种纵向耦合 振动，造成航天员的痛苦。
神六设计时便改动了氧气输送管道的 一个参数。结果虽然还存在耦合振动，但 航天员的痛苦大大减轻。
图 神州五号飞船
(一) 直杆的纵向振动微分方程