精选推荐优化方案2016高中数学 第二章 平面向量 1.1、1.2位移、速度和力、1.2向量的概念 训练案知能提升 新

【优化方案】2016高中数学 第二章 平面向量 1.1、1.2位移、速度
和力、1.2向量的概念 训练案知能提升 新人教A 版必修4
[A.基础达标]
1．下列说法正确的个数是( ) ①零向量没有方向； ②单位向量的方向任意；
③长度为1 cm 的向量是一个单位向量； ④与一个非零向量共线的单位向量有两个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．4
解析：选B.零向量的方向任意，不是没有方向，故①不正确；单位向量一旦确定，其方向也是确定的，故②不正确；单位向量长度为1个单位长度，而1 cm 不一定等于1个单位长度，故③不正确；与一个非零向量共线的单位向量有两个，它们方向相反，故④正确．
2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 边AB ，BC ，CA 的中点，有下列4个结论：
①AD →＝FE →，AF →＝DE →；②DF →∥CB →； ③|CF →|＝|DE →|；④FD →＝BE →. 其中正确的为( ) A ．①②④ B ．①②③ C ．②③ D ．①④
解析：选B.因为D ，E ，F 分别为△ABC 边AB ，BC ，CA 的中点，所以EF 綊1
2
AB ＝AD ，AF
綊DE ，DF ∥CB ，DE 綊CF ，故①②③正确．
3．已知A ＝{与a 共线的向量}，B ＝{与a 长度相等的向量}，C ＝{与a 长度相等，方向相反的向量}，其中a 为非零向量，则下列命题中错误的是( )
A ．C A
B ．A ∩B ＝{a}
C ．C B
D ．A ∩B {a }
解析：选B.因为A ∩B 中还含有与a 方向相反的向量，故B 错． 4．下列说法正确的是( ) A ．若|a |>|b |，则a >b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若a ＝b ，则a 与b 共线
D ．若a ≠b ，则a 一定不与b 共线
解析：选C.A 中，向量的模可以比较大小，因为向量的模是非负实数，虽然|a |>|b |，但a 与b 的方向不确定，不能说a >b ，A 不正确；同理B 错误；D 中，a ≠b ，a 可与b 共线．故选C.
5．把平面内所有长度不小于1且不大于2的向量的起点平移到同一点O ，则这些向量的终点所构成的图形的面积为( )
A ．4π
B ．π
C ．2π
D ．3π
解析：选D.图形是半径为1和2的同心圆对应的圆环，故S 圆环＝π(22－12
)＝3π.
6．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →
是共线向量，则m ＝________．
解析：因为A ，B ，C 不共线，所以AB →与BC →不共线．又因为m 与AB →，BC →
都共线，所以m ＝0.
答案：0
7．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →
，则四边形ABCD 的形状是________．
解析：在四边形ABCD 中，BA →＝CD →，则ABCD 为平行四边形，又|AB →|＝|AD →
|，所以四边形是菱形．
答案：菱形
8.如图所示，在梯形ABCD 中，若E ，F 分别为腰AB ，DC 的三等分点，
且|AD →|＝2，|BC →|＝5，则|EF →
|＝________．
解析：过D 作DH ∥AB ，分别交EF ，BC 于点G ，H ，
因为|AD →|＝2，所以|EG →|＝|BH →
|＝2， 又|BC →|＝5，所以|HC →
|＝3，
又E ，F 分别为腰AB ，DC 的三等分点，
所以G 为DH 的三等分点，所以GF →∥HC →
，
且|GF →
|＝13|HC →|，
所以|GF →|＝1，所以|EF →|＝|EG →|＋|GF →
|＝2＋1＝3. 答案：3
9．在平面上有一个四边形ABCD ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：EF →
＝HG →.
证明：如图，连接AC ，在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，所以|EF →|＝12
|AC →
|，
且EF →与AC →
的方向相同．
同理可得|HG →|＝12
|AC →|，且HG →与AC →
方向相同，
所以|EF →|＝|HG →|且EF →与HG →方向相同，所以EF →＝HG →.
10．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
(1)与AB →
相等的向量共有几个？
(2)与AB →
方向相同且模为32的向量共有几个？
解：(1)与向量AB →相等的向量共有5个(不包括AB →
本身)．如图．
(2)与向量AB →
方向相同且模为32的向量共有2个，如图．
[B.能力提升]
1.如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是( )
A ．与A
B →相等的向量只有一个(不含AB →)
B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →) C.BD →的模恰为DA →
模的3倍 D.CB →与DA →
不共线
解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或
相反．D 中CB →，DA →
所在直线平行，向量方向相同，故共线．
2．给出下列说法：
①若a 是单位向量，b 也是单位向量，则a 与b 的方向相同或相反；
②若向量AB →是单位向量，则向量BA →
也是单位向量； ③两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同． 其中正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
解析：选C.由单位向量的定义知，凡长度为1个单位长度的向量均称为单位向量，对
方向没有任何要求，故①不正确；因为|AB →|＝|BA →|，所以当AB →是单位向量时，BA →
也是单位向量，故②正确；据相等向量的概念知，③是正确的．
3．若A 地位于B 地正西方向5 km 处，C 地位于A 地正北方向5 km 处，则C 地相对于B 地的位移是________．
解析：据题意画出图形如图所示，
由图可知|BC →
|＝5 2 km ，且∠ABC ＝45°， 故C 地相对于B 地的位移是西北方向5 2 km. 答案：西北方向5 2 km
4．给出下列四个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0，
其中能使a ∥b 成立的条件是________．
解析：因为a 与b 为相等向量，所以a ∥b ，即①能够使a∥b 成立；由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向，即②不能够使a∥b 成立；因为a 与b 方向相反时，a∥b ，即③能够使a∥b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a |＝0或|b |＝0时，a∥b 能够成立．故能使a∥b 成立的条件是①③④.
答案：①③④
5.如图，在四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，且AB →＝DC →，求证：CN →＝MA →
.
证明：因为AB →＝DC →
，
所以|AB →|＝|DC →|，且AB →∥DC →， 所以四边形ABCD 为平行四边形，
所以AD →＝BC →.
因为M ，N 分别是BC ，AD 的中点，
所以|AN →|＝12|AD →|，|MC →|＝12|BC →|，
所以|AN →|＝|MC →|.
又因为AN →∥MC →，
所以四边形AMCN 是平行四边形，
所以CN →∥MA →，|CN →|＝|MA →
|， 且CN →，MA →
方向相同，
所以CN →＝MA →.
6．(选做题)如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是中国象棋的走法，“马”可以从
A 跳到A 1或A 2，用向量AA 1→、AA 2→
表示“马”走了一步．试在图中画出“马”在B 、C 处分别走了一步的所有情况．
解：如图所示，在B 处有3种走法；在C 处有8种走法．。