人教A版数学必修四第19课时

1.
2．掌握向量减法运算的几何意义，能作出两个向量的差向量．
1．定义：a－b
2．几何意义：以A 为起点，作向量AB →＝a ，AD →＝b ，则DB →
＝a －b .如图所示
.
一、选择题
1．下列运算中正确的是( ) A.OA →－OB →＝AB → B.AB →－CD →＝DB → C.OA →－OB →＝BA →D.AB →－AB →＝0 答案：C
解析：根据向量减法的几何意义，知OA →－OB →＝BA →
，所以C 正确，A 错误；B 显然错误；
对于D ，AB →－AB →
应该等于0，而不是0.
2．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →
|，则四边形ABCD 必为( ) A ．梯形B ．矩形 C ．菱形D ．正方形 答案：B
解析：矩形的对角线相等．
3．已知|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →
|的取值范围为( ) A ．[3,8]B ．(3,8) C ．[3,13]D ．(3,13) 答案：C
解析：因BC →＝AC →－AB →，当AB →，AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3；当AB →，AC →反向时，BC →
＝8＋5
＝13；而当AB →，AC →不平行时，3＜|BC →
|＜13.
4．下列说法正确的是( )
A ．两个方向相同的向量之差等于0
B ．两个相等向量之差等于0
C ．两个相反向量之差等于0
D ．两个平行向量之差等于0 答案：B
解析：根据向量减法的几何意义，知只有两个相等向量之差等于0，其他选项都是不正确的．
5．化简以下各式： (1)AB →＋BC →＋CA →； (2)AB →－AC →＋BD →－CD →； (3)OA →－OD →＋AD →； (4)NQ →＋QP →＋MN →－MP →
则等于0的个数是( ) A ．1B ．2 C ．3D ．4 答案：D
解析：对于(1)：AB →＋BC →＋CA →
＝0；
对于(2)：AB →－AC →＋BD →－CD →＝(AB →＋BD →)－(AC →＋CD →
)＝0；
对于(3)：OA →－OD →＋AD →＝(OA →＋AD →)－OD →＝OD →－OD →
＝0；
对于(4)：NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝(MN →＋NQ →＋QP →)－MP →
＝0.
6．边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →
|的值为( ) A ．1B ．2
C.3
2
D. 3 答案：D
解析：延长CB 至D ，使BC ＝BD ＝1.则－BC →＝BD →，故|AB →－BC →|＝|AB →＋BD →|＝|AD →
|.
二、填空题 7．小王从宿舍要到东边100米的教室去，但他先到宿舍西边50米的收发室拿了一个包裹，这时他需要向________边走________米才能到教室．
答案：东 150
解析：以向东为正方向，则100－(－50)＝150，所以他要向东走150米才能到教室． 8．对于向量a ，b 当且仅当________时，有|a －b |＝||a |－|b ||. 答案：a 与b 同向
解析：当a ，b 不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a －b |>||a |－|b ||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a －b |＝||a |－|b ||.
9．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →
用a ，b ，c 表示为________．
答案：a －b ＋c
解析：DC →＝AC →－AD →＝AB →＋BC →－AD →
＝a ＋c －b . 三、解答题 10.
如图所示四边形ABCD 为平行四边形，设AB →＝a ，AD →
＝b . (1)求当a 与b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |；
(2)求当a 与b 满足什么条件时，四边形ABCD 为菱形，正方形． 解：(1)∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴|a ＋b |＝|AB →＋AD →|＝|AC →|，|a －b |＝|AB →－AD →|＝|DB →
|，又|a ＋b |＝|a －b |， ∴|AC →|＝|DB →|.
∴▱ABCD 的对角线长相等， ∴▱ABCD 为矩形，
∴当a 与b 垂直时，|a ＋b |＝|a －b |. (2)欲使ABCD 为菱形，需|a |＝|b |，
当|a |＝|b |，且a 与b 垂直时，平行四边形为正方形．
11．如图，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →
＝c ，试作向量并分别求模．
(1)a ＋b ＋c ； (2)a －b ＋c .
解：(1)如图，由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →
，
又AC →＝c ，∴延长AC 到E ，使|CE →|＝|AC →|.
则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →
|＝2 2.
(2)作BF →＝AC →，连接CF ，则DB →＋BF →＝DF →， 而DB →＝AB →－AD →＝a －BC →
＝a －b ，
∴a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →
|＝2.
12．下列各式中不能化简为AD →
的是( )
A ．(A
B →－D
C →)－CB → B.A
D →－(CD →＋DC →)
C ．－(C
D →＋MC →)－(DA →＋DM →)
D ．－BM →－DA →＋MB → 答案：D
解析：因为(AB →－DC →)－CB →＝AB →＋CD →＋BC →＝AB →＋BD →＝AD →；AD →－(CD →＋DC →)＝AD →－0＝AD →
；－(CD →＋MC →)－(DA →＋DM →)＝－MD →－DA →－DM →＝DM →＋AD →－DM →＝AD →；－BM →－DA →＋MB →＝MB →＋AD →＋MB →＝AD →＋2MB →.
13．探究不等式||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |的等号成立的条件． 解：若向量a 、b 至少有一个零向量，不等式两端的等号都成立．
若向量a 、b 皆为非零向量，则当向量a 、b 反向时，不等式||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |的右端等号成立；
当向量a 、b 同向时，不等式||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |的左端等号成立．。