北师大版八年级数学下册第一章《角平分线》公开课课件
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复习： 线段垂直平分线
M P
A
C
B
B
N
A
P C
线段垂直平分线的性质定理 ： 线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点距离相等.
∵ AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点 ∴ PA=PB
M P
性质定理的逆定理： 到一条线段两个端点距离相等的点,A 在这条线段的垂直平分线上.
∵ PA=PB zxxk ∴ 点P在AB的垂直平分线上.
CBN来自复习： 线段垂直平分线
“三角形三边中垂线”定理：
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，
并且这一点到三顶点的距离相等.
A
P
B
C
第一章 第4节 角平分线（1）
角平分线的性质
1 你还记得角平分线上的点有什么性质吗？ －角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
条件：一个点在已知角的平分线上 结论：这个点到已知角的两边的距离相等
例题：
在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上， AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E， F，且 DE = DF，求 DE 的长.
随堂练习 1
1、如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线外角 平分线,它们有什么关系?
C E
D
B
A
F
随堂练习 2
2.如图,一目标在A区，到公路,铁路距离相等，离公 路与铁路的交叉处500m. 在图上标出它的位置 ( 比例尺 1:20 000 ).
.P C
E
B
•1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 •2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/142021/10/142021/10/1410/14/2021 5:03:05 PM •3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 •4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、最有价值的知识是关于方法的知识。 •6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/142021/10/142021/10/1410/14/2021 •7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/142021/10/14October 14, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/142021/10/142021/10/142021/10/14
D
A
2 你能证明它吗？
.P C
E
B
O
“角平分线的性质”的证明
3 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC 上， PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别为D、E.
求证：PD=PE
分析:要证明PD=PE,
只要证明它们所在的三角形全等
即 △OPD≌△OPB，
D
A
老师期望: zx.xk
O
你能写出规范的证明过程.
证线段相等的方法： （1）等角对等边 （2）全等三角形对应边相等 （3 ) 线段垂直平分线的性质
(4 ) 角平分线的性质
证角相等的方法 ： （1） 等边对等角 （ 2）全等三角形对应角相等 （3) 角平分线的性质定理逆定理
“角平分线的性质”的三种语言
性质定理 （文字表示）：
角平分线上的点到这个角的两边距离相
等（.符号表示）：
如图,
∵ OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点 （已知）
又 PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E (已知 )
∴ PD=PE (角平分线性质定理 ).
A D
温馨提示:
（图形）
O
P C
这个结论是用来证明两条线段相等 的根据之一. z/x/xk
E B
角平分线
你能写出 “角平分线性质定理” 的逆命题 原吗命? 题：角平分线上的点到这个角的两边距离相等. D
A
条件：一个点在已知角的平分线上，
O
结论：这个点到这个角的两边的距离相等.
逆命题
P C
E B
条件： 一个点到这个角的两边的距离相等，
结论： 这个点在已知角的平分线上 .
逆命题
角平分线的判定
1＝ x 20000500100
A区
练习：
4、如图,在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平 分∠CAB，交BC于 D,DE⊥AB于E，且AC＝6 cm， 则△DEB的周长为___________cm.
M
P
P
A
D
B
A
B
N
A D
A D
1
P
P
O
2
C
O
C
E B
E B
小
结
用尺规作角的平分线
作角平分线是最基本的尺规作图，这种方法要确实掌握.
1
P
2
C
E B
老师期望: 你能写出规范的证明过程.
角平分线的判定
判定定理 (文字表示)：
在一个角的内部,且到角的两边距离相
等的点,在这个角的平分线上.
A
D
(符号表示)：
P
O
C
如图,
E
∵ PD=PE, （已知）
B
又 PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E( 已知 )
∴点P在∠AOB的平分线上.
( 角平分线判定定理 ).
条件： 一个点到已这知个角的两边的距离相等，
结论： 这个点在这已个知角的平分线上 .
它是真命题吗? 如果是.请你证明它. 已知:如图, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别
A D
是D,E，且PD=PE .
求证: 点P在∠AOB的平分线上. O 分析: 要证明点P在∠AOB的平分线上, 可以先作出过点P的射线OC, 然后证明∠1=∠2.
M P
A
C
B
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线段垂直平分线的性质定理 ： 线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点距离相等.
∵ AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点 ∴ PA=PB
M P
性质定理的逆定理： 到一条线段两个端点距离相等的点,A 在这条线段的垂直平分线上.
∵ PA=PB zxxk ∴ 点P在AB的垂直平分线上.
CBN来自复习： 线段垂直平分线
“三角形三边中垂线”定理：
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，
并且这一点到三顶点的距离相等.
A
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C
第一章 第4节 角平分线（1）
角平分线的性质
1 你还记得角平分线上的点有什么性质吗？ －角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
条件：一个点在已知角的平分线上 结论：这个点到已知角的两边的距离相等
例题：
在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上， AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E， F，且 DE = DF，求 DE 的长.
随堂练习 1
1、如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线外角 平分线,它们有什么关系?
C E
D
B
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F
随堂练习 2
2.如图,一目标在A区，到公路,铁路距离相等，离公 路与铁路的交叉处500m. 在图上标出它的位置 ( 比例尺 1:20 000 ).
.P C
E
B
•1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 •2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/142021/10/142021/10/1410/14/2021 5:03:05 PM •3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 •4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、最有价值的知识是关于方法的知识。 •6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/142021/10/142021/10/1410/14/2021 •7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/142021/10/14October 14, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/142021/10/142021/10/142021/10/14
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A
2 你能证明它吗？
.P C
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“角平分线的性质”的证明
3 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC 上， PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别为D、E.
求证：PD=PE
分析:要证明PD=PE,
只要证明它们所在的三角形全等
即 △OPD≌△OPB，
D
A
老师期望: zx.xk
O
你能写出规范的证明过程.
证线段相等的方法： （1）等角对等边 （2）全等三角形对应边相等 （3 ) 线段垂直平分线的性质
(4 ) 角平分线的性质
证角相等的方法 ： （1） 等边对等角 （ 2）全等三角形对应角相等 （3) 角平分线的性质定理逆定理
“角平分线的性质”的三种语言
性质定理 （文字表示）：
角平分线上的点到这个角的两边距离相
等（.符号表示）：
如图,
∵ OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点 （已知）
又 PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E (已知 )
∴ PD=PE (角平分线性质定理 ).
A D
温馨提示:
（图形）
O
P C
这个结论是用来证明两条线段相等 的根据之一. z/x/xk
E B
角平分线
你能写出 “角平分线性质定理” 的逆命题 原吗命? 题：角平分线上的点到这个角的两边距离相等. D
A
条件：一个点在已知角的平分线上，
O
结论：这个点到这个角的两边的距离相等.
逆命题
P C
E B
条件： 一个点到这个角的两边的距离相等，
结论： 这个点在已知角的平分线上 .
逆命题
角平分线的判定
1＝ x 20000500100
A区
练习：
4、如图,在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平 分∠CAB，交BC于 D,DE⊥AB于E，且AC＝6 cm， 则△DEB的周长为___________cm.
M
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小
结
用尺规作角的平分线
作角平分线是最基本的尺规作图，这种方法要确实掌握.
1
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2
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E B
老师期望: 你能写出规范的证明过程.
角平分线的判定
判定定理 (文字表示)：
在一个角的内部,且到角的两边距离相
等的点,在这个角的平分线上.
A
D
(符号表示)：
P
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C
如图,
E
∵ PD=PE, （已知）
B
又 PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E( 已知 )
∴点P在∠AOB的平分线上.
( 角平分线判定定理 ).
条件： 一个点到已这知个角的两边的距离相等，
结论： 这个点在这已个知角的平分线上 .
它是真命题吗? 如果是.请你证明它. 已知:如图, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别
A D
是D,E，且PD=PE .
求证: 点P在∠AOB的平分线上. O 分析: 要证明点P在∠AOB的平分线上, 可以先作出过点P的射线OC, 然后证明∠1=∠2.