最新离散数学题库及答案

数理逻辑部分
选择、填空及判断
✓下列语句不是命题的（ A ）。

(A) 你打算考硕士研究生吗？ (B) 太阳系以外的星球上有生物。

(C) 离散数学是计算机系的一门必修课。

(D) 雪是黑色的。

✓命题公式P→(P∨⌝P)的类型是（ A ）
(A) 永真式(B) 矛盾式
(C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式
✓A是重言式，那么A的否定式是( A )
A. 矛盾式
B. 重言式
C. 可满足式
D.不能确定
✓以下命题公式中，为永假式的是( C )
A. p→(p∨q∨r)
B. (p→┐p)→┐p
C. ┐(q→q)∧p
D. ┐(q∨┐p)→(p∧┐p)
✓命题公式P→Q的成假赋值是( D )
A. 00,11
B. 00,01,11
C.10,11
D. 10
✓谓词公式)
x
xP∧
∀中，变元x是 ( B )
R
(
,
x
)
(y
A. 自由变元
B. 既是自由变元也是约束变元
C. 约束变元
D. 既不是自由变元也不是约束变元
✓命题公式P→(Q∨⌝Q)的类型是( A )。

(A) 永真式 (B) 矛盾式
(C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式
✓设B不含变元x，)
A
x→
x
∃等值于( A )
)
(
(B
A. B
( D. B
∃)
xA→
x
∃)
(
(
∃ C. B
x∧
A
x
( B. )
∀)
xA→
x
x∨
)
A
(
x
(B
✓下列语句中是真命题的是( D )。

A．你是杰克吗？ B．凡石头都可练成金。

C．如果2+2=4，那么雪是黑的。

D．如果1+2=4，那么雪是黑的。

✓从集合分类的角度看，命题公式可分为( B )
A. 永真式、矛盾式
B. 永真式、可满足式、矛盾式
C. 可满足式、矛盾式
D. 永真式、可满足式
✓命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。

A. ﹁p∨q
B. ﹁(p∨q)
C. ﹁p∧q
D. p→﹁q
✓一个公式在等价意义下，下面写法唯一的是( D )。

(A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式
✓下列含有命题p，q，r的公式中，是主析取范式的是( D )。

(A) (p ∧ q ∧ r) ∨ (⌝p ∧ q) (B) (p ∨ q ∨ r) ∧ (⌝p ∧ q)
(C) (p ∨ q ∨ r) ∧ (⌝p ∨ q ∨ r) (D) (p ∧ q ∧ r) ∨ (⌝p ∧ q ∧ r)
✓设个体域是整数集合，P代表∀x∀y((x<y)→(x-y<x))，下面描述正确的是（ C ）。

(A) P是真命题(B) P是假命题
(C) P 是一阶逻辑公式，但不是命题 (D) P 不是一阶逻辑公式
✓ 对一阶逻辑公式((,)(,))(,)x y P x y Q y z xP x y ∀∀∧∧∃的说法正确的是( B ).
(A) x 是约束的，y 是约束的，z 是自由的；
(B) x 是约束的，y 既是约束的又是自由的，z 是自由的；
(C) x 是约束的，y 既是约束的又是自由的，z 是约束的；
(D) x 是约束的，y 是约束的，z 是约束的；
✓ n 个命题变元可产生( D )个互不等价的布尔小项。

(A) n (B) n 2 (C) 2n (D) 2n
✓ 命题“没有不犯错误的人”符号化为（ D ）。

设x x M ：)(是人，x x P ：)(犯错误。

(A) ))()((x P x M x ∧∀ (B) )))()(((x P x M x ⌝→∃⌝
(C) )))()(((x P x M x ∧∃⌝ (D) )))()(((x P x M x ⌝∧∃⌝
✓ 下列命题公式等值的是（ C ）
B
B A A Q P Q Q P Q B A A B A A Q
P Q P ),()D (),()C ()(),()B (,)A (∧∨⌝∨∨⌝∨→→→⌝→→∨⌝∧⌝ ✓ 给定命题公式：)(R Q P ∧∨，则所有可能使它成真赋值为（ B ），成假赋值为（ C ）。

(A) 111，011；000 (B) 111，011，100，101，110；
(C) 000，010，001； (D) 000，110，011，001，100。

✓ 给定前提：R P Q S Q P ⌝∨→→,,)(，则它的有效结论为：（ B ）。

(A) S ； (B) S R →； (C) P ； (D) Q R →。

✓ 命题：“所有的马都比某些牛跑得快”的符号化公式为：（ C ）。

假设：)(x H ：x 是马；)(x C ：x 是牛；),(y x F ：x 比y 跑得快。

(A) ))),()(()((y x F y C y x H x ∧∃∧∀； (B) ))),()(()((y x F y C y x H x →∃→∀；
(C) ))),()(()((y x F y C y x H x ∧∃→∀； (D) ))),()(()((y x F y C x H x y ∧→∀∃。

✓ 设P ：a 是偶数，Q ：b 是偶数.R ：a +b 是偶数，则命题“若a 是偶数，b 是偶数，则a +b
也是偶数”符号化为( C )．
(A) P ∧Q ∧R (B) P ∧Q ⇔R (C) P ∨Q →R (D) P ∧Q →R
✓ 表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ∀→∃∧∨∀中x ∀的辖域是( B )．
(A) P (x ,y ) (B) P (x ,y )∨Q (z ) (C)R (x ,y ) (D)P (x ,y )∧R (x ,y )
✓ 判断一个语句是否为命题，首先要看它是否为陈述句，然后再看它是否有唯一的真值。

✓ 命题公式(P ∨Q)→R 的只含联结词⌝和∧的等值式为： ))((R Q P ⌝∧⌝∧⌝⌝⌝。

✓ B A B A ⇒∧→)(为假言推理规则。

✓ 在一阶逻辑中符号化命题“有会说话的机器人。

”设M(x):x 是机器人； S(x):x 是会说话
的；上述句子可符号化为： (∃x)(M(x)∧S(x)) 。

✓ 设p:我们爬山,q:我们划船,在命题逻辑中，命题“我们不能既爬山又划船”的符号化形式为¬（p ∧q ） . ✓ 设p:小王走路,q:小王唱歌,在命题逻辑中，命题“小王边走路边唱歌”的符号化形式为
（p ∧q ） .
✓ 量词否定等值式⇔⌝∀)(x xA )(x A x ⌝∃。

✓ 设F(x):x 是人，H(x,y):x 与y 一样高，在一阶逻辑中，命题“人都不一样高”的符号化形
式为(()()(,))x y F x F y H x y ∀∀∧→.
✓ 若含有n 个命题变项的公式A 是矛盾式，则A 的主合取范式含 2n 个极小项。

✓ 取个体域为全体整数的集合，给出下列各公式：
(1) ()()()()x y z x y z ∀∀∃-= (2) ()()x xy x ∀= (3) ()()(2)x y x y y ∃∀+=
其中公式 (1) 的真值为真，公式 (3) 的真值为假。

✓ 若含有n 个命题变项的公式A 是重言式，则A 的主合取范式为 1或T 。

✓ 命题公式)(R Q P ∧∨的所有成假赋值为 000,001,010 。

✓ 谓词公式()()xP x xQ x ∀→∃的前束范式为(()())x P x Q x ∃⌝∨。

✓ 在一阶逻辑中，将命题“没有不能表示成分数的有理数”符号化为
✓ ))()((x G x F x ⌝∧⌝∃或))()((x G x F x →∀（设)(x F ：x 是有理数；)(x G ：x 能表示成分数。

） ✓ 设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为
A (1)∨A (2)∨(
B (1)∧B (2)) .
✓ 设P ，Q 是两个命题，当且仅当P ，Q 的真值均为1时，Q P ↔的值为1。

( × ) ✓ 谓词公式A 是q q p ∧→⌝)(的代换实例，则A 是重言式。

( × )
✓ 重言式的主析取范式包含了该公式的所有的极小项。

( √ )
✓ 命题公式A →(B →C)与(A ∧B)→C 等价。

( √ )
✓ 设A ，B ，C 为命题公式，若,A B B C ⇒⇒，则A C ⇒。

( √ )
✓ 在一阶谓词公式中，同一变元符号不能够既约束出现又自由出现。

( × )
✓ 在一阶逻辑中，公式的前束范式是唯一的。

( × )
计算
✓ 求命题公式(((p ∨q)∧¬p)→q)∧r 的主析取范式。

答案：m 1∨m 3∨m 5∨m 7
✓ 用等值演算法求公式(())P Q R P ∨→∧⌝的主析取范式，并由主析取范式求主合取范式。

解：主析取范式：
013
(())()()()()()()()()
P Q R P
P Q R P
P P Q P R P P Q R P Q R P Q R P Q R m m m ∨→∧⌝⇔∨⌝∨∧⌝⇔∧⌝∨⌝∧⌝∨∧⌝⇔⌝∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧⇔∨∨
主合取范式为：24567M M M M M ∧∧∧∧
✓ 求公式（P ∧Q ）∨（﹁P ∧R ）的主析取范式，并由主析取范式求主合取范式。

解：（P ∧Q
（﹁P ∧﹁Q ∧R ）∨（﹁P ∧Q ∧R ）∨（P ∧Q ∧﹁R ）∨（P ∧Q ∧R ）
主合取范式为：
（P ∨R ∨Q ）∧（﹁Q ∨P ∨R ）∧（﹁P ∨Q ∨R ）∧（﹁P ∨Q ∨﹁R ）
✓ 化公式))]},(),((),([),(){(y x B x y A y y x B y x y x yA x →∀∧∀∃→∃∀⌝为前束范式。

解：原式))]},(),((),([),({)(y x B x y A y y x B y x y x yA x →∀∧∀∃∨⌝∃⌝∃⇔
))]},(),((),([),(){(y x B x y A y y x B y x y x yA x →⌝∃∨⌝∃∀∧∃∃⇔
))]},(),((),([),(){(w u B u w A w v u B v u y x yA x →⌝∃∨⌝∃∀∧∃∃⇔
))]},(),((),([),({w u B u w A v u B w v u y x A y x →⌝∨⌝∃∃∀∧∃∃⇔
))]},(),((),([),({w u B u w A v u B y x A w v u y x →⌝∨⌝∧∃∃∀∃∃⇔
（或))]},(),((),([),({w u B u w A v u B y x A w v u y x ⌝∧∨⌝∧∃∃∀∃∃⇔）
证明
✓ 构造下面推理的证明：
任何自然数都是整数；存在着自然数。

所以存在着整数。

个体域为实数集合R 。

证明：先将原子命题符号化：设()
G x：x为整数。

则
F x：x为自然数，()
前提：(()())
∀→，()
x F x G x
xF x
∃
结论：()
∃
xG x
①()
∃前提引入
xF x
②()
F c① ES规则
③(()())
∀→前提引入
x F x G x
④()()
F c
G c
→③ US规则
⑤()
G c②④假言推理
⑥()
xG x
∃⑤ EG规则
✓用自然推理系统中，证明下列推理：
(∀x)(A(x)→B(x)) ⇒ ((∀x)A(x)→(∃x)B(x))
证明：
①(∀x)A(x) 附加前提引入
②A(c) ①-
∀
③(∀x)(A(x)→B(x)) 前提引入
④A(c)→B(c) ③-
∀
⑤B(c) ②④假言推理
∃
⑥(∃x)B(x) ⑤+
⑦(∀x)A(x)→(∃x)B(x) ①⑥CP规则
⑧t ⑤⑥假言推理
✓ 在自然推理系统P 中构造下面推理的证明：
前提：q p r q p ,),(→→
结论：s r ∨
证明：○
1)(r q p →→ 前提引入 ○
2p 前提引入 ○
3r q → ○1○2假言推理 ○
4q 前提引入 ○
5r ○3○4假言推理 ○
6s r ∨ ○5附加律 ✓ 判断下面推理是否正确，并证明你的结论。

如果小王今天家里有事，则他不会来开会。

如果小张今天看到小王，则小王今天来开会了。

小张今天看到小王。

所以小王今天家里没事。

解：
设p:小王今天家里有事，q:小王来开会，r:小张今天看到小王
本题推理的形式结构是：
前提：p q →⌝,r q →,r
所以 (∀x)(A(x)→B(x)) ⇒ ((∀x)A(x)→(∃x)B(x))
✓ 判断下面推理是否正确，并证明你的结论。

如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生，那么他一定学过DELPHI 语言而且学过C++语言。

只要他学过DELPHI 语言或者C++语言，那么他就会编程序。

因此如果他是计算机系本科生，那么他就会编程序。

请用命题逻辑推理方法，证明该推理的有效结论。

证明：令p ：他是计算机系本科生
q ：他是计算机系研究生
r ：他学过DELPHI 语言
s:他学过C++语言
t:他会编程序
前提：(p ∨q)→(r ∧s),(r ∨s)→t
结论：p →t
证①p 附加前提
②p ∨q ①附加律
③(p ∨q)→(r ∧s) 前提引入
④r ∧s ②③假言推理
⑤r ④化简律
⑥r ∨s ⑤附加律
⑦(r ∨s)→t 前提引入
结论：p ⌝
证明：1. r q → 前提引入
2. r 前提引入
3. q 1,2假言推理
4. p q →⌝ 前提引入
5. p ⌝ 3,4拒取式
集合论部分
选择、填空及判断
✓ 设集合A ={1,2,3,4},B ＝{2,4,6,9}，那么集合A ，B 的对称差A ⊕B ＝（ C ）.
(A) {1,3} (B) {2,4,6} (C) {1,3,6,9} (D) {1,2,3,4,6,9}
✓ 集合A = { 1 , 2 , 3 , 6 }，A 上的小于等于关系具有的性质是 （ D ）。

(A) 自反的，对称的，传递的； (B) 反自反的，对称的，传递的；
(C) 反自反的，反对称的，传递的；(D) 自反的，反对称的，传递的。

✓ 设A ={a ，b ，c }，R ={<a ，a >，<b ，b >}，则R 具有性质( C ).
(A) 自反的 (B) 反自反的 (C) 反对称的 (D) 等价的
✓ 设A,B,C 为任意集合，下面结论正确的是( D )
A. 如果C A B A =,则B=C
B. 如果φ=-B A ,则A=B
C. A A A =⊕
D. B A B A ⌝=-
✓ 设B A S ⨯⊆，下列各式中( B )是正确的
A. domS ⊆B
B. domS ⊆A
C. ranS ⊆A
D. domS ⋃ ranS = S
✓ 令A={1,2,3,4},R={<1,2>,<3,4>,<2,2>},则s(R)=( B )。

(A){<1,2>,<3,4>,<2,2>} (B){<1,2>,<2,1>,<3,4>,<4,3>,<2,2>}
(C){<1,2>,<3,4>,<1,1>,<2,2>,<3,3>} (D){<1,2>,<2,2>}
✓ 设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ C ）个。

(A) 23 (B) 32 (C) 332⨯ (D) 223⨯
✓ 设集合A={1,2,3,5,6,8}，A 上的二元关系R={<a,b>|a,b ∈A ∧a ≡(b mod 3)},则[2]R
=( B )。

(A) {1,2} (B) {2,5,8} (C) {3,6} (D) {1}
✓ 偏序关系具有的性质是 ( D )
A. 自反的，对称的，传递的
B. 反自反的，对称的，传递的
C. 反自反的，反对称的，传递的
D. 自反的，反对称的，传递的
✓ 等价关系具有的性质是 ( A )。

A. 自反的、对称的、传递的
B. 反自反的、对称的、传递的
C. 反自反的、反对称的、传递的
D. 自反的、反对称的、传递的
✓ 集合A={1，2，…，10}上的关系R={<x ，y>|x+y=10，x ∈A ，y ∈A}，则R 的性质是( B )。

A ．自反的
B ．对称的
C ．传递的、对称的
D ．反自反的、传递的
✓ 设A={1,2,3,4,5,6},B={a,b,c,d,e}，以下哪一个关系是从A 到B 的满射函数( B )。

A. f={<1,a>,<2,b>,<3,c>,<4,d>,<5,e>}
B. f={<1,e>,<2,d>,<3,c>,<4,b>,<5,a>,<6,e>}
C. f={<1,a>,<2,b>,<3,c>,<4,a>,<5,b>,<6,c>}
D. f={<1,a>,<2,b>,<3,c>,<4,d>,<5,e>,<1,b>}
✓ 设R 是集合A={ a,b,c} 上的二元关系，且R={<a,a>,<b,b>},下面命题哪些为真？( B ) Ⅰ R 是自反的且是传递的
Ⅱ R 是对称的且是反对称的
Ⅲ R 是A 上的等价关系
A. 只有Ⅰ
B. 只有Ⅱ
C. Ⅰ和Ⅱ
D. Ⅱ和Ⅲ
✓ 设<A,R>是一个偏序集，其中，A={1,2,3,4,5,6},R 是整除关系，下面说法不正确的是
( C )
A. 4,5,6全是A 的极大元
B. A 没有最大元
C. 6是A 的上界
D. 1是A 的最大下界
✓ 设f 和g 都是X 上的双射函数，则1)(-g f 为( C )
A ．11--g f B.1)(-f g C.11--f g D.1-f g
✓ 集合A={1,2,3}上所有的等价关系的总数是( B )
A. 2
B. 5
C. 9
D. 取决于元素是否为数值
✓ 设}3,,2,,1,{},3,2,1{},,,{><><><===c b a f Y c b a X ，则下面命题中唯一正确的是（ D ）
(A)f 是从X 到Y 的二元关系，但不是从X 到Y 的函数
(B)f 是从X 到Y 的函数，但不是满射，也不是单射
(C)f 是从X 到Y 的满射，但不是单射
(D) f 是从X 到Y 的双射
✓ 设X ＝{a ,b ,c }，R 是X 上的二元关系，其关系矩阵为M R ＝100011011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，则传递闭包t(R )的关系图为 100011011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

✓ 设集合A ＝{1,2,3,4}，B ={a ，b ，c }，则∣A ×B ∣＝ 12 .
✓ 设A={a,b,c}，则A 的幂集ρ(A)= {,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}}a b c a b b c a c a b c φ。

✓ 设集合A={1,2}, 则A 上的全域关系A E ={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} 。

✓ 设R 是实数集合，,3)(,:,2)(,:2-=→+-=→x x g R R g x x x f R R f 则=)(x g f 12--x x ✓ 设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为 ( A(1)∨A(2))∨(B(1)
∧B(2)) 。

✓ 给定集合{}2,3,4,6,8,10,12,120A =和这个集合上的整除关系. 在这个关系下, 该集合的最小
元是 不存在 , 而最大元是 120
✓ 设A ，B ，C ，D 为任意集合，则A B C D ⨯⊆⨯的充要条件为,A C B D ⊆⊆。

( × ) ✓ 非空集合A 上的任意关系R 不是对称的就是反对称的。

( × )
✓ 关系R 是反对称的当且仅当R R ⊆R 。

( × ).
✓ 集合的笛卡尔积运算满足交换律。

( × )
✓ 集合A 上的恒等关系是一个双射函数。

( √ )
✓ 若集合A 上的关系R 是对称的，则1-R 也是对称的。

( √ )
✓ 设A ，B 为任意集合，如果A ∪B=A ，那么B=∅。

( × )
✓ 设,:A A f →命题“如果f 是双射的，则A I f f =-1 ”是真命题。

( √ )
✓ 集合A 上的全域关系是等价关系。

( √ )
计算
✓ 某班有25个男生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮
球和网球，还有2人3种球都会打。

已知6个会打网球的人都会打篮球或排球。

求不会打球的人数。

答案：利用包含排斥原理或文氏图可求得不会打球的有5人。

✓ 设}20,,3,2,1{ =A ，A 上的关系R 如下：
))}5(mod ()()(,{y x A y A x y x R ≡∧∈∧∈><=，
（1）证明：R 是A 上的等价关系；
（2）求：A 上对应于R 的划分。

解题要点：（1）分别说明R 的自反性、对称性和传递性。

（2）{{1,6,11,16}，{2,7,12,17}，{3,8,13,18}，{4,9,14,19}，{5,10,15,20}}
详细解答：(1) k y x y x R y x 5)5(mod ,=-⇔≡⇔>∈<(k 为整数)
R 的自反性：任意A x ∈，05⋅=-x x ，所以R x x >∈<,；
R 的对称性：任意A y x ∈,，若R y x >∈<,则)(55k x y k y x -⋅=-⇒⋅=-，
所以，R x y >∈<,
R 的传递性：任意A z y x ∈,,，若R z y R y x >∈<>∈<,,且，
有)(5)()(552121k k z y y x z x k z y k y x +⋅=-+-=-⇒⋅=-⋅=-且
所以，R z x >∈<,。

即R 是A 上的等价关系。

（2）
}16,11,6,1{]1[=R ，}17,12,7,2{]2[=R ，}18,13,8,3{]3[=R ， }19,14,9,4{]4[=R ，}20,15,10,5{]5[=R 。

所以，}]5[,]4[,]3[,]2[,]1{[/R R R R R R A =。

✓ 设}6,5,4,3,2,1{=A ，R 为A 上的关系，R 的关系图如下图所示，
（1） 求32,R R 的集合表达式；
（2） 求)(),(),(R t R s R r 的集合表达式。

解：（1）}5,3,1,3,3,3{2><><><=R ，
}5,3,1,3,3,3{3><><><=R （2）}6,6,5,55,4,4,4,1,3,3,3,5,2,2,2,5,1,1,1{)(><>><<><><><><><><><=R r
}4,5,5,4,3,1,1,3,3,3,2,5,5,2,1,5,5,1{)(><><><><><><><><><=R s
}5,4,5,3,1,3,3,3,5,2,5,1{)(><><><><><><=R t
✓ 设集合A ＝{1, 2, 3}，R 和S 是A 上的两个关系，它们的关系矩阵为：
110111111001.101000R S M M ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
(1) 写出关系R 和S 的集合表达式，(2) 画出R 和S 的关系图，(3) 说明R 和S 满足关系的哪些特性.
解：(1) R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,3)};
S = {1,1),(1,2),(2,3),(1,3)}
(2) R 和S 的关系图：（2分）
6
(3) R 满足自反性；S 满足反对称性、传递性。

上界：无，上确界：无
证明
✓ 设R 是集合A 上的二元关系，试证明R 是反对称的当且仅当A I R R ⊆1- ．
证明：（1）R 是反对称的⇒A C I R R ⊆ ，假定<x,y >∈R ∩R c ,则<x,y>∈R ∧<x,y>∈R c ⇒<x,y>
∈R ∧<y,x>∈R,因为R 是反对称的，故x=y.所以<x,y>=<x,x>∈I A .即A C I R R ⊆ （2）A C I R R ⊆ ⇒R 是反对称的，若A C I R R ⊆ ，设<x,y>∈R 并且<y,x>∈R ，则<x,y>∈R ∧<x,y>∈R c ⇔<x,y >∈R ∩R c ⇒<x,y>∈I A ,故x=y,即R 是反对称的。

✓ 如果集合A 上的关系R 和S 是自反的、对称的和传递的，证明：S R ⋂是A 上的等价关系。

证明：（1）,,,,,,S a a R a a S R A a >∈<>∈<∈∀∴自反 S R S R a a ⋂⋂>∈<∴∴,
,自反。

（2）A b a ∈∀,，若S R b a ⋂>∈<,，则,,,,S b a R b a >∈<>∈< 由R ，S 对称，所以，,,,,S a b R a b >∈<>∈< S R a b ⋂>∈<∴,，
✓ 设A={1,2,3,4,5},A 上偏序关系
R={〈1，2〉，〈3，2〉，〈4，1〉，〈4，2〉，〈4，3〉，〈3，5〉，〈4，5〉}∪I A ; (1)作出偏序关系R 的哈斯图
(2)令B={1,2,3,5}，求B 的最大，最小元，极大、极小元，上界，下确界，下界，下确界。

答：(1)偏序关系R 的哈斯图为
(2)B 的最大元：无，最小元：无； 极大元：2，5，极小元：1，3 下界：4， 下确界4；
所以 S R ⋂对称。

（3）A c b a ∈∀,,，若,,,,S R c b S R b a ⋂>∈<⋂>∈< 则,,,,S b a R b a >∈<>∈<,,,,S c b R c b >∈<>∈<
由R ，S 传递性知，,,,,S c a R c a >∈<>∈<从而,,S R c a ⋂>∈< 所以，S R ⋂传递。

综上所述，S R ⋂是A 上的等价关系。

图论部分
选择、填空及判断
✓ 无向完全图K 4是（ B ）.
(A) 欧拉图； (B) 哈密顿图； (C) 树； (D) 非平面图。

✓ 下列编码是前缀码的是( C )
A. {1,11,101}
B. {1,001,0011}
C. {1,01,001,000}
D.{0,00,000} ✓ 设T 为n 阶无向树，T 有几条割边？( C ) A. n 条 B. n-2条 C. n-1条 D. 没有
✓ 具有4个结点的非同构的无向树的数目是（ A ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
✓ 下列编码是前缀码的是( B )
A. {0,11,1101}
B. {1,01,0011}
C. {1,0,01,000}
D.{0,00,000} ✓ 如下图所示各图，其中存在哈密顿回路的图是 ( C )。

✓ 下面哪个图可一笔画出( A )
✓ 设A(G)是有向图G=〈V ，E 〉的邻接矩阵，其第i 行中“1”的数目为（ B ）。

(A) 顶点i
v 的度数； (B) 顶点
i
v 的出度；
(C) 顶点
i
v 的入度； (D) 顶点
j
v 的度数。

✓ n 阶m 条边的无向连通图G ，对应它的生成树T 有( A )条边。

(A) n-1 (B) 1+-n m (C) m-1 (D) m-n-1 ✓ 有向图D 如图所示，D 中长度为2的通路有( D )条。

(A) (B) (C) (D)
图
(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11
✓ 设连通图G 有8个顶点，12条边，则G 的任意一颗生成树的总边数为( A )
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
✓ 关于无向完全图K 5的命题中，哪个（或哪些）是真命题？( D ) ⅠG 中存在欧拉回路 ⅡG 中存在哈密顿回路 A. 均不是 B. 只有Ⅰ C. 只有Ⅱ D.Ⅰ和Ⅱ
✓ 设仅包含根结点的二叉树的高度为0，则高度为K 的二叉树的最大结点数为( C ) A. 2k+1 B. 2k+1 +1 C. 2k+1 -1 D. 2k +1
✓ 下面给出的四个图中，哪个不是Hamilton 图（ D ）．
✓ 给定无向图,G V E =<>如本题图所示，下面哪个边集不是其边割集？( B )
A.
14(,)v v ,34(,)v v B. 14(,)v v ,46(,)v v C. 47(,)v v ,48(,)v v D. 12(,)v v ,23(,)
v v
✓ 一个3阶有向图的度数列是2，2，4，入度数列是2，0，2，出度数列是 0，2，2。

✓ 在下图中，用避圈法构造最小生成树，边的加入顺序是 AE,BC,ED,DC 。

A B
C D
E
1
23
45678
图
✓ 无向图G 有11条边，4个3度结点，其余结点均为5度结点，则G 的结点数为 6 。

✓ 已知n 个结点的无向简单图G 有m 条边，则G 的补图中有 n(n-1)/2-m 条边。

✓ 无向图G 含有欧拉回路的充要条件是 连通且每个结点都是偶结点 。

✓ 无向图G 的结点数n 与边数m 相等，2度和3度结点各2个，其余结点为悬挂点，则G 的边
数m = 6 。

✓ 在有向图的邻接矩阵中，第i 行元素之和与第j 列元素之和分别 为 结点v i 的出度与结点v j 的入度
✓ 设T 是各边带权均为a 的n 阶带权图的一棵最小生成树，则=
)(T W a n )1(-。

✓
n 阶m 条边的无向连通图G ，对应它的生成树T 有1--n m 个基本回路。

( × )
✓ 图的邻接矩阵必为对称矩阵。

( × ) ✓ 当5n ≥时,有n 个结点的完全图n K 都不是欧拉图。

( × ) ✓ 欧拉图中一定不存在桥；哈密顿图中一定存在割点。

( × ) ✓ 有向图是强连通的，则它一定是单向连通的，也弱连通的。

（ √ ) ✓ 哈密顿图中存在经过图中每个顶点一次且仅一次的回路。

( √ ) ✓ 无向图G 必存在生成树。

( × ) ✓ 有割点的连通图可能是哈密尔顿图。

( × ) ✓ 一个n 阶无向图G 是二部图当且仅当G 中无奇圈。

( √ )
计算
✓ 已知无向简单图G 有9个结点，每个结点的度数不是5就是6（注：不存在全为6度的情况）。

试讨论G 的结点度数分配情况。

解题要点：由握手定理的推论知：5度结点只能是偶数个， 故度数分配情况有以下4种：
（1）2个5度结点，7个6度结点； （2）4个5度结点，5个6度结点； （3）6个5度结点，3个6度结点； （4）8个5度结点，1个6度结点；
✓ 有向图G 如图1所示，问：
（1）图中v4到v3长度为2，3的路各有几条？ （2）图中v1到v1长度为3的回路有几条？
（3）该有向图是哪类连通图？
答案：（1）2，2 （2）2 （3）强连通图
✓ 设有向图D 如图所示，试用邻接矩阵求出求D 中长度为2的通路数，并指出其中的回路数，
并判断此图属于哪种连通类型。

解：邻接矩阵2
100010002
0103001100120101
0102
001A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥==⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
D 中长度为2的通路为11条，其中有3条是回路 。

该图是单向连通图，同时也是弱连通图。

✓ 在通信中要传输字母a,b,c,d,e,f,g ，它们出现的频率分别为30%,20%,15%,10%,10%,9%,6%。

设计一个传输它们的最优前缀码，并求传输100个按上述频率出现的字母所需二进制数字个数。

解题要点：以传输频率为树叶的权求最优树并分别对应前缀码即可。

且传100个字母所需二进制数字个数为W （T ）=265。

✓ 今有煤气站A ，将给一居民区供应煤气，居民区各用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。

要求设计一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。

解：该问题相当于求图的最小生成树问题，此图的最小生成树为：
因此如图铺设煤气管道所需费用最小，最小费用为：
Ｗ（Ｔ）＝2＋2＋2＋2＋2＋2＋2+3＋3+4+1＝25．
✓ 世界上六大城市之间的航线距离表如下：(以100英里为一个单位) 伦敦 墨西哥 纽约 巴黎 北京 东京 伦敦 / 55 34 2 50 59 墨西哥 55 / 20 57 70 77 纽约 34 20 / 36 68 67 巴黎 2 57 36 / 51 60 北京 50 77 68 51 / 13 东京 59 70 67 60 13 /
A B C D
E F G H I J K S 2 2 2
2
2 2 3.5 5 4
5 2
6 3 4 5 3 1
13 55
北京 墨西哥
51 20
巴黎 36 纽约 图1
解题要点：
(1) 首先将本题用带权图表示(见图1)。

(2) 求解此题变成为求带权图中的最小生成树问题。

如选择克鲁斯卡尔算法，可给出如图2
所示的代表最短距离的航线网。

东京 伦敦
13 50 34
北京 2 墨西哥 20 巴黎 纽约 图2
✓ 利用Huffman 算法,求带权为1, 1, 2, 3, 4, 5的最优二叉树。

解答：简述Haffman 算法，最优二叉树如图，W(T)=38.
证明
✓ 若图G 的邻接矩阵为A=⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡0001
10111100
0010，试证明图G 是强连通图。

证明：
方法一：由图G 的邻接矩阵画出图G 的示意图，说明图中存在经过每个顶点至少一次的回路，从而证明图G 是强连通图。

方法二：由A ，求出A 2, A 3, A 4,进而求出可达矩阵P ，也可证明图G 是强连通图。

✓ 今有6名学生要去完成3个实验，已知他们中的任何人至少与其余5个人中的三个人相互合作。

问能否将他们分成三个小组，每组两个人能相互合作，分别去完成3个实验。

解答：作无向图G=<V,E>,其中V 由6名学生组成，E={（u,v ）|u,v ∈V ∧u ≠v ∧u 与v 能合作}。

则G 为简单图，且由题意知δ（G ）≥3。

于是，任意u,v 有)d(u)+d(v)≥6.由定理知，G 为哈密尔顿图，存在哈密尔顿回路。

在回路上2个结点相邻，说明他们代表的两个学生能够合作。

设C=v1v2v3v4v5v6v1为G 中的一条哈密尔顿回路，则{v1,v2},{v3,v4},{v5,v6}就是一种分配方案。

代数结构部分
选择、填空及判断
✓ 设A = {1 , 2 , …, 10 },下面（ D ）运算对集合A 不封闭。

(A) ),max(b a b a =*； (B) ),min(b a b a =*；
(C) =*b a a 和b 的最大公约数； (D) =*b a a 和b 的最小公倍数。

✓ 以下四个命题，其中不正确的是（ C ）。

(A) 循环群是Abel 群；
(B) 循环群有有限多个生成元；
(C) 无限循环群的子群都是无限循环群；
(D) n 阶循环群有唯一的d 阶子群，其中d 是n 的正因子。

✓ 六阶群的子群的阶数可以是（ D ）。

(A) 1,2,5 (B) 2,4 (C) 3,5,6 (D) 2,3 ✓ 下列不是klein 四元群的子群的是( B )。

(A) {e} (B) {e,a,b} (C) {e,a} (D) {e,b}
✓ 设G=<a>,为12阶循环群，则G 的4阶子群是 {e,a 3,a 6,a 9}
✓ H 是G 的非空子集，<H,*>是<G,*>的子群当且仅当对,x y H ∀∈ 有1x y H -*∈。

✓ 循环群<N 6，＋6>的生成元是 [1], [5] 。

✓ 设Z 为整数集合， 为Z 上的二元运算，3-+=y x y x
，则Z 关于 运算构成群，已知
45=x ，则=x _2____。

✓ 循环群一定是Abel 群。

( √ ) ✓ 群中除了幺元以外,任何其它元素都不可能是幂等元。

( √ ) ✓ 设G 是有限群，H 是G 的子群，则|H|是|G|的因子。

( √ )
计算
✓ 设A={e,a,b,c},在A 上定义二元运算*见表一。

(1) 找出<A ，*>的幺元和等幂元; (2) 求每个元素的逆元; (3) 证明<A ，*>是群;
(4) 是循环群吗？简述理由。

表1 A 上的*运算的运算表
解答：(1) 幺元和等幂元都是e ； (2) 每个元素的逆元都是其自己；
(3) <A ，*>：运算封闭，满足结合性，幺元为e,每个元素都有逆元，逆元是自己。

(4)该代数系统不是循环群。

e 的阶为1;a,b,c 的阶为2；无4阶元。

证明
✓ 在整数集合Z 上定义如下的乘法运算“ ”：2a b a b =++，证明>< ,Z 构成一个阿贝尔群。

证明：（1）运算封闭且满足结合律
（2）幺元是2-
（3）每个元素a 的逆元是14a a -=--
（4）满足交换律，它作成一个可换群（或Abel 群）。

✓ 设(A,*)是群(B,*)的子群，定义}**,|{C 1A x A x B x x =∈=-。

试证明(C,*)是(B,*)的子群。

证明：先证C 是非空。

设群(B,*)的单位元是e,则e 也是(A,*)的单位元。

因为e*A*e -1=A ，所有，e ∈A.
再证任取a,b ∈C,a*b -1∈C.
由a,b ∈C,有a *A*a -1=A ，b*A*b -1=A ，b -1*A* b =A 。

所以，a* b -1*A* b *a -1=A ，即(a* b -1)*A*( a *b -1)-1=A ，所以(a* b -1) ∈C 。

由子群判断定理二知，(C,*)是(B,*)的子群。

高中英语单词表
必修一
Learning to learn
问卷，调查表________
要紧，有重大关系________
搭挡,合作者________
Unit 1
Warm-up
生活方式________
牧羊人________
和平的；平静的________
轻松的，放松的________
充满压力的，紧张的________ 认为，猜想________
Lesson 1
连续，系列，丛书________
电视连续剧________________ 卡通片，动画片________
谈话节目，现场访谈________ 抱怨，投诉________
睡椅，长沙发________
终日懒散在家的人________
转换，转变________
把开关打开，接通________
把关掉，关上________
转换频道，转变________
戏剧，短剧________
英国广播公司________
轻便的,手提(式)的________
遥远的________
遥控，遥控器________
工作第一的人,专心工作的人_______ 日常文书工作________
警报，警告器________
闹钟________
(爆竹,铃等)响起________
占据________
充满着________
急迫的，紧急的________
私人的，个人的________
公文，文件________
午夜，半夜________
厌烦的，不感兴趣的________
Lesson 2
压力________
工作室,演播室________
专家________
感到疼痛，遭受(痛苦) ________ 忍受, 遭受________
压力________
爱交际的;社交的________
减少，降低________
组织________
饮食,节食________
忍耐，忍受________
更喜欢,宁愿________
Lesson 3
志愿者________
毕业________
负，零下________
水盆,脸盆________
挑战________
支持;支撑________
拨(电话号码) ________
设计________
广告________
表演，展示________
解答，解决________
Lesson 4
会计,会计师________
（英）地铁________
拥挤的________
附近的在附近________
否则，另外________
预测，预报________
人群，一伙人________
肺________
距离________
远程学习________
疾病________
雪茄烟________
Communication Workshop 此刻，目前________
数年间________
古典的________
调查________
正式的，合礼仪的________ 迷你裙，超短裙________ 骑自行车________
(中国)功夫________
风格,作风________
Unit 2
Warm-up
镇静的，沉着的________ 慷慨的，大方的________ 暴力的________
人物，性格________
Lesson 1
太空船________
载人宇宙飞船________
省________
宇航员________
飞行，航班________
发射________
地心引力________
火箭________
高飞；翱翔________
联合国________
探险________
和平地，平静地________ 记者，通讯员________。