+4.5++利用三角形全等测距离+讲练课件+2023-2024学年北师大版数学七年级下册
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∵α＋β＝90°，∴∠ ECD ＝β＝∠ AFG .
∵ BE ＝ CD ，∴ FG ＝ CD ．
∠ = ∠，
在△ AGF 和△ EDC 中， = ，
∠ = ∠，
∴△ AGF ≌△ EDC (ASA)．
∴ AG ＝ ED ＝ BD － BE ＝58－20＝38(米)．
西走向公路的沿线上， BD ＝1千米， CD ＝1千米，村庄 A ， C 和
A ， D 间也有公路相连，且 AC ＝3千米， AD ⊥ BC ， A ， B 之间间
隔了一个小湖泊，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上建一座斜
拉桥 EF ，测得 AE ＝1.2千米， BF ＝0.7千米，则建造的斜拉桥 EF
度 AD 设计为35 cm，根据以上信息，求 BC 的长．
解：因为 O 是 AB ， CD 的中点，
所以 OA ＝ OB ， OC ＝ OD ．
= ，
在△ AOD 和△ BOC 中， ∠ = ∠，
= ，
所以△ AOD ≌△ BOC (SAS)．
所以 AD ＝ BC ．
(2)求 BE 的长．
(2)由题意，得 AB ＝1.5×3＝4.5(m)，
EF ＝7×1.5＝10.5(m)．
由(1)，知△ ABP ≌△ PEF .
所以 BP ＝ EF ＝10.5 m， PE ＝ AB ＝4.5 m.
所以 BE ＝ BP ＋ PE ＝15(m)．
本课复习
1． 如图，要测量池塘两岸相对的两点 A ， B 间的距离，小明在池塘
所以△ ABC ≌△ A ′ B ′ C ′(AAS)．
所以 BC ＝ B ′ C ′，即影子一样长．
4． 某中学计划为新生配备如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开后
的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿 AB 和 CD 的长度相
等， O 是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽
离，如果△ PQO ≌△ NMO ，则只需测出其中线段 PQ 的长度．
3． 如图，把两根钢条 AA ′， BB ′的中点 O 连在一起，使 AA ′， BB ′
可绕着点 O 自由转动，就做成了一个测量工具，若 AB ＝4 cm，则 A ′ B ′
＝ 4 cm ．
循环复习
4． 如图，小明课本上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识在另
D ． 已知 AB ＝20米．根据上述信息，标语 CD 的长度为 20 m.
6． 如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小
华家所在单元楼 AB 的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点 E ，然
后小明在自己家阳台 C 处测得 E 处的俯角为α，小华站在 E 处测得眼睛 F
到 AB 楼端点 A 的仰角为β，发现α与β互余，已知 EF ＝1米， BE ＝ CD ＝
AC ∥ A ′ C ′， AB ⊥ BC ， A ′ B ′⊥ B ′ C ′.
所以∠ ACB ＝∠ A ′ C ′ B ′，
∠ ABC ＝∠ A ′ B ′ C ′＝90°.
在△ ABC 和△ A ′ B ′ C ′中，
∠ = ∠′ ′ ′ ，
∠ = ∠′ ′ ′ ，
= ′ ′ ，
落在河对岸的边线上的点 C 处，然后他保持视线方向不变，一步步后退到
视线落在河岸边 B 处，这时他后退的距离 B ′ B 就是河的宽度 BC ，请解释
其中的道理．
解：由题意可知
∠ B ′＝∠ ABC ＝90°.
∠′ = ∠，
在△ A ′ B ′ B 和△ ABC 中， ′ ′ = ，
∠′ = ∠，Biblioteka Baidu
所以△ A ′ B ′ B ≌△ ABC (ASA)．所以 B ′ B ＝ BC ．
2. 如图，小明站在乙楼 BE 前方的点 C 处，恰好看到甲、乙两楼楼顶
上的点 A 和 E 重合为一点，若 B ， C 相距30米， C ， D 相距60米，乙楼高
EB 为20米，小明身高忽略不计，则甲楼的高 AD 是多少米？
等，那么请你判断图中两根钢丝的固定是否合乎要求，并说明理由．(电
线杆的粗细忽略不计)
解：合乎要求．理由如下：
因为 AO ⊥ BC ，所以∠ AOB ＝∠ AOC ＝90°.
= ，
在△ AOB 和△ AOC 中， ∠ = ∠，
= ，
所以△ AOB ≌△ AOC (SAS)．
解：(1)因为∠ ABP ＝∠ PEF ＝90°，
∠ APF ＝90°，
所以∠ PFE ＋∠ EPF ＝90°，∠ APB ＋∠ EPF ＝90°.
所以∠ PFE ＝∠ APB ．
∠ = ∠，
在△ ABP 和△ PEF 中， ∠ = ∠，
= ，
所以△ ABP ≌△ PEF (AAS)．
90°， CD ＝10 m，则水池宽 AB ＝（ B
A． 8 m
B． 10 m
C． 12 m
D． 无法确定
）
3． 如图，太阳光线 AC 与 A ′ C ′是平行的，同一时刻两根高度相同的
木杆在太阳光照射下的影子一样长吗？说说你的理由．
解：影子一样长．理由如下：依题意，知 AB ＝ A ′ B ′，
所以∠ BAO ＝∠ CAO . 所以合乎要求．
5． 杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由 A 处步行到达 B 处的过
程中，通过隔离带的空隙 O ，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主
义核心价值观标语，其具体信息汇集如下．如图， AB ∥ OH ∥ CD ，相
邻两平行线间的距离相等． AC ， BD 相交于点 O ， OD ⊥ CD ，垂足为点
因为 AD ＝35 cm，所以 BC ＝35 cm.
答： BC 的长为35 cm.
5． 如图所示，工人赵师傅用10块高度都是1.5 m的相同长方体新型建
筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙 ABCD 和 EFGH ，点 P 在 BE 上，已知
AP ＝ PF ，∠ APF ＝90°.
(1)试说明：△ ABP ≌△ PEF ；
和点 B 的点 C ，连接 AC 并延长到点 D ，使 CD ＝ CA ；连接 BC 并延长到
点 E ，使 CE ＝ CB ；连接 DE 并测量出它的长度．
(1)求证： DE ＝ AB ；
(1)证明：在△ CDE 和△ CAB 中，
= ，
∠ = ∠，
= ，
所以△ CDE ≌△ CAB (SAS)．所以 DE ＝ AB ．
解：因为 AD ∥ CB ，
所以∠ BCA ＝∠ DAC ．
在△ ABC 和△ CDA 中，
= ，
∠ = ∠，
= ，
所以△ ABC ≌△ CDA (SAS)．所以 AB ＝ CD ．
1. 如图， A ， B 两点分别位于一个物体的两端，小明想用绳子测量
A ， B 间的距离，但无法直接测量，他先在地上取一个可以直接到达点 A
的长至少为 1.1 千 米．
3． 如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点 O (即跷跷
板的中点)至地面的距离是50 cm，当小红从水平位置 CD 下降40 cm时，
这时小明离地面的高度是 90 cm.
4． 如图，由两根钢丝固定的高压电线杆，按要求当两根钢丝与电线
杆的夹角相同时，固定效果最好．现已知钢丝触地点到电线杆的距离相
解：如图，过点 E 作 EF ⊥ AD 于点 F .
因为 AD ⊥ DC ， EB ⊥ BC ，
所以 AD ∥ BE .
所以∠ EAF ＝∠ CEB ．
由题意，得 EF ＝ BD ＝ CB ＝30米， EB ＝20米．
因为∠ AFE ＝∠ EBC ＝90°，
所以△ AEF ≌△ ECB (AAS)．所以 AF ＝ EB ．
由题意，得 DF ＝ EB ． 所以 AD ＝2 EB ＝40(米)．
答：甲楼的高 AD 是40米．
测量距离的方法选择
两端均可到达的距离测量
SAS
测量距离 只有一端可到达的距离测量
两端均不可到达的距离测量
ASA
构造全等三角形
构造全等三角形
ASA，AAS
构造全等三角形
基础巩固
1． 【教材P109习题T2变式】如图，将两根钢条 AA ′， BB ′的中点 O 连
∴ AB ＝ AG ＋ BG ＝39(米)．
答：单元楼 AB 的高为39米．
外取 AB 的垂线 BF 上的点 C ， D ，使 BC ＝ CD ，再画出 BF 的垂线 DE ，
使点 E 与点 A ， C 在一条直线上，这时测得 DE 的长就是 AB 的长，依据
是（
C
A． SSS
B． SAS
C． ASA
D． AAS
）
2． 如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端 M ， N 间的距
数学(BS版)
七年级下册
第四章
第10课
三角形
利用三角形全等测距离
新课学习
利用三角形全等测距离
例1 如图，已知 A ， B 两点被一个池塘隔开，无法直接测量，但两点
可以到达，现给出一种方案：找两点 C ， D ，使 AD ∥ CB ，且 AD ＝
CB ，量出 CD 的长即得 AB 的长．其理由是什么？
(2)如果 DE 的长度是8 m，则 AB 的长度是多少？
(2)解：由(1)知 DE ＝ AB ．
因为 DE ＝8 m，所以 AB ＝8 m．
所以 AB 的长度是8 m．
例2 如图，一位将军为了使炮弹准确落在河对岸的敌军阵地上，需要
知道河宽，所以他站在河边点 B 处，将帽子压低，使视线沿着帽檐(点 A )
20米， BD ＝58米，试求单元楼 AB 的高．
解：如图，过点 F 作 FG ⊥ AB ，垂足为点 G ，则四边形 BEFG
是矩形．
由题意，得
∠ AGF ＝∠ EDC ＝90°， BG ＝ EF ＝1米， FG ＝ BE ＝20
米，∠ AFG ＝β，∠ CED ＝α.
∴∠ CED ＋∠ ECD ＝90°.
一张纸上画出了完全一样的一个三角形，他的依据是（
A． SSS
B． ASA
C． AAS
D． SAS
B
）
课堂练习
1． 利用三角形全等测量距离的原理是（
A． 全等三角形对应角相等
B． 全等三角形对应边相等
C． 大小和形状相同的两个三角形全等
D． 三边对应相等的两个三角形全等
B
）
2． 如图， A ， B ， C ， D 是四个村庄， B ， D ， C 在同一条东
在一起，使 AA ′， BB ′可以绕点 O 自由转动，就做成了一个测量工件，则
A ′ B ′的长等于内槽宽 AB ，那么判定△ OAB ≌△ OA ′ B ′的理由是
（
C
）
A． 边边边
B． 角边角
C． 边角边
D． 角角边
2． 如图所示， A ， B 在一水池两侧，若 BE ＝ DE ，∠ B ＝∠ D ＝
∵ BE ＝ CD ，∴ FG ＝ CD ．
∠ = ∠，
在△ AGF 和△ EDC 中， = ，
∠ = ∠，
∴△ AGF ≌△ EDC (ASA)．
∴ AG ＝ ED ＝ BD － BE ＝58－20＝38(米)．
西走向公路的沿线上， BD ＝1千米， CD ＝1千米，村庄 A ， C 和
A ， D 间也有公路相连，且 AC ＝3千米， AD ⊥ BC ， A ， B 之间间
隔了一个小湖泊，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上建一座斜
拉桥 EF ，测得 AE ＝1.2千米， BF ＝0.7千米，则建造的斜拉桥 EF
度 AD 设计为35 cm，根据以上信息，求 BC 的长．
解：因为 O 是 AB ， CD 的中点，
所以 OA ＝ OB ， OC ＝ OD ．
= ，
在△ AOD 和△ BOC 中， ∠ = ∠，
= ，
所以△ AOD ≌△ BOC (SAS)．
所以 AD ＝ BC ．
(2)求 BE 的长．
(2)由题意，得 AB ＝1.5×3＝4.5(m)，
EF ＝7×1.5＝10.5(m)．
由(1)，知△ ABP ≌△ PEF .
所以 BP ＝ EF ＝10.5 m， PE ＝ AB ＝4.5 m.
所以 BE ＝ BP ＋ PE ＝15(m)．
本课复习
1． 如图，要测量池塘两岸相对的两点 A ， B 间的距离，小明在池塘
所以△ ABC ≌△ A ′ B ′ C ′(AAS)．
所以 BC ＝ B ′ C ′，即影子一样长．
4． 某中学计划为新生配备如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开后
的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿 AB 和 CD 的长度相
等， O 是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽
离，如果△ PQO ≌△ NMO ，则只需测出其中线段 PQ 的长度．
3． 如图，把两根钢条 AA ′， BB ′的中点 O 连在一起，使 AA ′， BB ′
可绕着点 O 自由转动，就做成了一个测量工具，若 AB ＝4 cm，则 A ′ B ′
＝ 4 cm ．
循环复习
4． 如图，小明课本上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识在另
D ． 已知 AB ＝20米．根据上述信息，标语 CD 的长度为 20 m.
6． 如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小
华家所在单元楼 AB 的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点 E ，然
后小明在自己家阳台 C 处测得 E 处的俯角为α，小华站在 E 处测得眼睛 F
到 AB 楼端点 A 的仰角为β，发现α与β互余，已知 EF ＝1米， BE ＝ CD ＝
AC ∥ A ′ C ′， AB ⊥ BC ， A ′ B ′⊥ B ′ C ′.
所以∠ ACB ＝∠ A ′ C ′ B ′，
∠ ABC ＝∠ A ′ B ′ C ′＝90°.
在△ ABC 和△ A ′ B ′ C ′中，
∠ = ∠′ ′ ′ ，
∠ = ∠′ ′ ′ ，
= ′ ′ ，
落在河对岸的边线上的点 C 处，然后他保持视线方向不变，一步步后退到
视线落在河岸边 B 处，这时他后退的距离 B ′ B 就是河的宽度 BC ，请解释
其中的道理．
解：由题意可知
∠ B ′＝∠ ABC ＝90°.
∠′ = ∠，
在△ A ′ B ′ B 和△ ABC 中， ′ ′ = ，
∠′ = ∠，Biblioteka Baidu
所以△ A ′ B ′ B ≌△ ABC (ASA)．所以 B ′ B ＝ BC ．
2. 如图，小明站在乙楼 BE 前方的点 C 处，恰好看到甲、乙两楼楼顶
上的点 A 和 E 重合为一点，若 B ， C 相距30米， C ， D 相距60米，乙楼高
EB 为20米，小明身高忽略不计，则甲楼的高 AD 是多少米？
等，那么请你判断图中两根钢丝的固定是否合乎要求，并说明理由．(电
线杆的粗细忽略不计)
解：合乎要求．理由如下：
因为 AO ⊥ BC ，所以∠ AOB ＝∠ AOC ＝90°.
= ，
在△ AOB 和△ AOC 中， ∠ = ∠，
= ，
所以△ AOB ≌△ AOC (SAS)．
解：(1)因为∠ ABP ＝∠ PEF ＝90°，
∠ APF ＝90°，
所以∠ PFE ＋∠ EPF ＝90°，∠ APB ＋∠ EPF ＝90°.
所以∠ PFE ＝∠ APB ．
∠ = ∠，
在△ ABP 和△ PEF 中， ∠ = ∠，
= ，
所以△ ABP ≌△ PEF (AAS)．
90°， CD ＝10 m，则水池宽 AB ＝（ B
A． 8 m
B． 10 m
C． 12 m
D． 无法确定
）
3． 如图，太阳光线 AC 与 A ′ C ′是平行的，同一时刻两根高度相同的
木杆在太阳光照射下的影子一样长吗？说说你的理由．
解：影子一样长．理由如下：依题意，知 AB ＝ A ′ B ′，
所以∠ BAO ＝∠ CAO . 所以合乎要求．
5． 杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由 A 处步行到达 B 处的过
程中，通过隔离带的空隙 O ，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主
义核心价值观标语，其具体信息汇集如下．如图， AB ∥ OH ∥ CD ，相
邻两平行线间的距离相等． AC ， BD 相交于点 O ， OD ⊥ CD ，垂足为点
因为 AD ＝35 cm，所以 BC ＝35 cm.
答： BC 的长为35 cm.
5． 如图所示，工人赵师傅用10块高度都是1.5 m的相同长方体新型建
筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙 ABCD 和 EFGH ，点 P 在 BE 上，已知
AP ＝ PF ，∠ APF ＝90°.
(1)试说明：△ ABP ≌△ PEF ；
和点 B 的点 C ，连接 AC 并延长到点 D ，使 CD ＝ CA ；连接 BC 并延长到
点 E ，使 CE ＝ CB ；连接 DE 并测量出它的长度．
(1)求证： DE ＝ AB ；
(1)证明：在△ CDE 和△ CAB 中，
= ，
∠ = ∠，
= ，
所以△ CDE ≌△ CAB (SAS)．所以 DE ＝ AB ．
解：因为 AD ∥ CB ，
所以∠ BCA ＝∠ DAC ．
在△ ABC 和△ CDA 中，
= ，
∠ = ∠，
= ，
所以△ ABC ≌△ CDA (SAS)．所以 AB ＝ CD ．
1. 如图， A ， B 两点分别位于一个物体的两端，小明想用绳子测量
A ， B 间的距离，但无法直接测量，他先在地上取一个可以直接到达点 A
的长至少为 1.1 千 米．
3． 如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点 O (即跷跷
板的中点)至地面的距离是50 cm，当小红从水平位置 CD 下降40 cm时，
这时小明离地面的高度是 90 cm.
4． 如图，由两根钢丝固定的高压电线杆，按要求当两根钢丝与电线
杆的夹角相同时，固定效果最好．现已知钢丝触地点到电线杆的距离相
解：如图，过点 E 作 EF ⊥ AD 于点 F .
因为 AD ⊥ DC ， EB ⊥ BC ，
所以 AD ∥ BE .
所以∠ EAF ＝∠ CEB ．
由题意，得 EF ＝ BD ＝ CB ＝30米， EB ＝20米．
因为∠ AFE ＝∠ EBC ＝90°，
所以△ AEF ≌△ ECB (AAS)．所以 AF ＝ EB ．
由题意，得 DF ＝ EB ． 所以 AD ＝2 EB ＝40(米)．
答：甲楼的高 AD 是40米．
测量距离的方法选择
两端均可到达的距离测量
SAS
测量距离 只有一端可到达的距离测量
两端均不可到达的距离测量
ASA
构造全等三角形
构造全等三角形
ASA，AAS
构造全等三角形
基础巩固
1． 【教材P109习题T2变式】如图，将两根钢条 AA ′， BB ′的中点 O 连
∴ AB ＝ AG ＋ BG ＝39(米)．
答：单元楼 AB 的高为39米．
外取 AB 的垂线 BF 上的点 C ， D ，使 BC ＝ CD ，再画出 BF 的垂线 DE ，
使点 E 与点 A ， C 在一条直线上，这时测得 DE 的长就是 AB 的长，依据
是（
C
A． SSS
B． SAS
C． ASA
D． AAS
）
2． 如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端 M ， N 间的距
数学(BS版)
七年级下册
第四章
第10课
三角形
利用三角形全等测距离
新课学习
利用三角形全等测距离
例1 如图，已知 A ， B 两点被一个池塘隔开，无法直接测量，但两点
可以到达，现给出一种方案：找两点 C ， D ，使 AD ∥ CB ，且 AD ＝
CB ，量出 CD 的长即得 AB 的长．其理由是什么？
(2)如果 DE 的长度是8 m，则 AB 的长度是多少？
(2)解：由(1)知 DE ＝ AB ．
因为 DE ＝8 m，所以 AB ＝8 m．
所以 AB 的长度是8 m．
例2 如图，一位将军为了使炮弹准确落在河对岸的敌军阵地上，需要
知道河宽，所以他站在河边点 B 处，将帽子压低，使视线沿着帽檐(点 A )
20米， BD ＝58米，试求单元楼 AB 的高．
解：如图，过点 F 作 FG ⊥ AB ，垂足为点 G ，则四边形 BEFG
是矩形．
由题意，得
∠ AGF ＝∠ EDC ＝90°， BG ＝ EF ＝1米， FG ＝ BE ＝20
米，∠ AFG ＝β，∠ CED ＝α.
∴∠ CED ＋∠ ECD ＝90°.
一张纸上画出了完全一样的一个三角形，他的依据是（
A． SSS
B． ASA
C． AAS
D． SAS
B
）
课堂练习
1． 利用三角形全等测量距离的原理是（
A． 全等三角形对应角相等
B． 全等三角形对应边相等
C． 大小和形状相同的两个三角形全等
D． 三边对应相等的两个三角形全等
B
）
2． 如图， A ， B ， C ， D 是四个村庄， B ， D ， C 在同一条东
在一起，使 AA ′， BB ′可以绕点 O 自由转动，就做成了一个测量工件，则
A ′ B ′的长等于内槽宽 AB ，那么判定△ OAB ≌△ OA ′ B ′的理由是
（
C
）
A． 边边边
B． 角边角
C． 边角边
D． 角角边
2． 如图所示， A ， B 在一水池两侧，若 BE ＝ DE ，∠ B ＝∠ D ＝