2021届江苏省南通市高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含答案

2021届江苏省南通市高三第一次模拟考试
数学(理)试题
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
柱体的体枳公式：心济=仍，其中S 为柱体的底面积，h 为高.
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分.
1 .已知集合庆={1, 3}, B={0, 1},贝IJ 集合 AUB=.
2 .己知复数z=：二一3八3为虚数单位)，则复数z 的模为
3 .某中学组织学生参加社会实践活动，高二(1)班50名学生参加活动的次数统计如下:
4 .如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为.
5 .有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参 这
两位同学参加不同兴趣小组的概率为. 6 .已知正四棱柱的底而边长是3 cm,侧而的对角线长是3小cm, 四
棱柱的体积为 c/
7 .若实数x, y 满足xWyW2x+3,则x+y 的最小值为
•0
&在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线/=2px(p>0)的准线为L 直线1与双曲线宁一y'=l 的两 条渐近线分别交于A ，B 两点，AB=加，贝Up 的值为.
9 .在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y = 3x + t 与曲线y=as 。

x+bcos x(a, b, t £R)相切于点 (0,1),则(a+b) t 的值为 o
10 .已知数列{aj 是等比数列，有下列四个命题：
①数列{11}是等比数列； ②数列瓜a+J 是等比数列；
f .
③数列］工堤等比数列； ④数列{痣 蜴是等比数列.
其中正确的命题有 个.
11 .已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+2)=f(x).当0<xWl 时，f(x)=V — ax+1,则实 数a 的值为.
12 .在平而四边形 ABCD 中，AB=1, DA=DB, AB -AC=3, AC -AD=2,则 AC + 2AD 的最小值为.
13 .在平而直角坐标系xOy 中，圆0： x £+y ：=l,圆C ： (x —4)-+y'=4.若存在过点P(m, 0)的直线1, 直
线1被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是.
14 .已知函数 f(x) = (2x+a)(|x-a +|x + 2a )(a<0).若 f (1)+f (2)+f (3) + …+ f (672) =0,则满 足f(x) =2 019的x 的值为.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
加一个，则
则这个正
15.(本小题满分14分)
如图，在四棱锥PABCD中，M, N分别为棱PA, PD的中点.已知侧而PADJ_底而ABCD,底面ABCD是矩形, DA=DP.求证：
(1)MN〃平面PBC：
(2)MDL平而PAB.
16.(本小题满分14分)
在△ ABC中，a, b, c分别为角A, B» C所对边的长,acos B=A/2bcos A, cos A=坐
(1)求角B的值：
(2)若&=乖,求AABC的面积.
19.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=± + 1A x(a€R). x
(1)讨论函数F(x)的单调性：
(2)设函数f(x)的导函数为f (x),若函数f(x)有两个不相同的零点用，自
①求实数a的取值范围；
② 证明：X，(义)+££ (照)>21n a+2.
20.(本小题满分16分)
已知等差数列5｝满足a,=4,前8项和数=36.
(1)求数列UJ的通项公式：
(2)若数列｛bj满足-(bxa=n+x.a) +2a a=3(2n-l) (nER*). k=l
①证明：｛儿｝为等比数列：
②求集合,(卬，P)£=中，m,
数学附加题
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21.【选做题】本题包括4 5、。

三小题，请选定其中两小题，并作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.［选修4-2：矩阵与变换］（本小题满分10分）
「「「10］「1 J
a b - 0
已知矩阵”，4 1 ,且（削”=4 ,求矩阵〃
° 20 2
［选修4-4：坐标系与参数方程］（本小题满分10分）
IX— 3
. &为参数）.以原点。

为极点，X轴正半轴为极{y=f 在平而直角坐标系x分中，曲线。

的参数方程是
轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程是。

sin（。

一?）=也.求:
（1）直线1的直角坐标方程：
（2）直线1被曲线。

截得的线段长.
C.［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）
9
已知实数a，b,。

满足a'+F+c'Wl,求证:
广+1下+ 1 升1
【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22, 121, 3 553等.显然2位“回文数” 共
9个：11, 22, 33,…，99.现从9个不同的2位“回文数”中任取1个乘以4,其结果记为X：从9个不同的
2位''回文数”中任取2个相加，其结果记为Y.
(1)求X为“回文数”的概率：
(2)设随机变量，表示X, Y两数中“回文数”的个数，求，的概率分布和数学期望E(，).
23.(本小题满分10分)
设集合B是集合&={1, 2, 3,…，3n—2, 3n-l, 3n}, nSN/的子集.记集合6中所有元素的和为S(规定：集合5为空集时，5=0).若S为3的整数倍，则称6为4的“和谐子集” .求：
(1)集合4的“和谐子集”的个数；
(2)集合人的“和谐子集”的个数.
2021届江苏省南通市高三第一次模拟考试
数学（理）试题参考答案
1. {0, 1, 3}
2.乖
3.3
4.7
5.1
6.54
7. -6 8.276 9.4 10.3 11.2 12.2邓
13. [-4, § 14. 337
15. （1）在四棱锥PABCD 中，M, N 分别为棱PA, PD 的中点，
所以MN 〃AD.（2分）
又底而ABCD 是矩形，
所以BC 〃AD.
所以MN 〃BC （4分）
又BCcz 平面PBC, MNG 平面PBC,
所以MN 〃平面PBC. （6分）
（2）因为底面ABCD 是矩形，
所以ABJ_AD.
又侧面PAD 底而ABCD,侧面PADG 底而ABCD=AD, ABu 底面ABCD,
所以AB 侧而PAD. （8分）
又MDc 侧面PAD,
所以ABJ_MD.（10分）
因为DA=DP,又M 为AP 的中点，
从而MDJ_PA,（12分）
又 PA, AB 在平面 PAB 内，PAnAB=A,
所以MD_L 平而PAB. （14分）
16. （1）在AABC 中，因为 cosA=^, 0<A< ,
所以 si 他=\j 1 — cog R=芈.（2 分）
因为 acosB=，^bcosA,
由正弦定理——=~",得s 力iAc0sB=，^sfnBcosA.
sinK sj/iD
v
所以cosB=sfnB.（4分） 若 00sB=0,则 si 通=0,与 sinB+1 矛盾,故 cosBWO.
又因为0<B<五，
所以B=/7分） （2）因为s £nA=哗,
于是tanB=
cosB
a b
由（1）及正弦定理一[=一忘,一~r^f
SJ/I A sinii yJ2
3 2
所以b=芈.（9分）
又sir£— sin（兀-A-B）
=sin（A+B）
=sf/iAc0sB+ cosAsfnB
—亚y或qlly更
_ 3 X 2 + 3 * 2
=毡邛.（12分）o
所以4ABC的面积为S二abs£nC=：X#X芈X珥趣=匕芈. (14 分) 乙乙乙O
x' y: 1
17.(1)因为椭圆二+『=l(a>b>0)的离心率为J, a b /
c
所以-=予则a=2c. a Z
因为线段AF中点的横坐标为平，
乙
所以宁=坐乙乙
所以c=[5,则£=8, b s=a:—c3=6.
所以椭圆的标准方程为白4=1.(4分) O O
(2)因为点A(a, 0),点F( —c, 0),
所以线段AF的中垂线方程为x=31s.
又因为aABF的外接圆的圆心C在直线y=-x上,
所以点《甲，一分).(6分)
因为点A(a, 0),点B(0, b),
所以线段AB的中垂线方程为：丫一卜泉一外.
由点C在线段AB的中垂线上，得一寸一沁(三
整理得,b (a-c) +b' = ac» (10 分)
即(b —c) (a+b) =0.
因为a+b>0,所以b=c.(12分)
所以椭圆的离心率e=£=万三—=半.(14分)
a 1一+1 2
18.(1)如图1,过点0作与地面垂直的直线交AB, CD于点0,, 0二,交劣弧CD于点P, 0,P的长即为拱门最高点到地面的距离.
N0；0C=9，C0'=W，
J
在^tAOcOC 中,
所以00：= 1 >圆的半径R=OC=2.
所以O：P=R+O（X=R+OQ二一00二=5.
故拱门最高点到地面的距离为5m. （4分）
（2）在拱门放倒过程中，过点0作与地面垂直的直线与''拱门外框上沿”相交于点P.
当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于圆0的半径长与圆心0到地面距离之和;
当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地而的距离.
由（1）知，在斤f/kOCXB 中，08=400：+03=24
以B为坐标原点，地面所在的直线为x轴，建立如图2所示的坐标系.
①当点P在劣弧CD上时，go —o Z
由N0Bx=（）+V，08=24，
由三角函数定义，
得点《2淄co<。

+ V' 2事si1° + V
则h=2 + 2，5s从（）十高.（8 分）
所以当0 +看=]即° =?时，h取得最大值2+2* （10分）
②如图3,当点P在线段AD上时，0W0W5.
O
设 NCBD=M 在△△BCD 中, DB=qBC:+CD'=2/
. 2小—⑰ 4 sjn<l> = -k= - , cos 中=广=二. 2^/7 I 2M ，
由 NDBx=0+4）,得点 D （2#cos （0+小），2#sM （。

+ 小））. 所以 h=2陋si/?（0 +d ））=4s?j0 +24°OS 0.（14 分）
又当 0< 0"时，' =4cos 。

—2yf3sin 0 >4cos^■—2y （3sirr^-=\[3>0.
所以h=4s 力7 0+245cos 0在0,不上递增.
31
所以当时，h 取得最大值5. 因为2 + 24>5,所以h 的最大值为2+2/.
4sin 0 +2小cos 。

， 0W 0
2+2@4。

+3 f< 0
艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地而距离的最大值为（2+24）血（16分）
19. (1)函数f(x)的定义域为(0, +8),且f'(x)=W.
X
①当aWO 时,F (x)>0成立，
所以函数f(x)在(0, +8)为增函数：(2分)
②当a>0时，
(i)当x 〉a 时，伊(x)>0,所以函数f(x)在(a,+8)上为增函数：
(ii)当0〈x 〈a 时，f' (xXO,所以函数f(x)在(0, a)上为减函数.(4分)
(2)①由(1)知，当a 《0时，函数f(x)至多一个零点，不合题意：
当a 〉0时,乳工)的最小值为£匕)，
依题意知f(a)=l +加a<0,解得0<a<±(6分) e
一方而，由于l>a, f(l)=a>0,函数f(x)在(a,+8)为增函数，且函数f (x)的图象在(a, 1)上不间 所以函数f(x)在(a, +8)上有唯一的一个零点
.
{
另一方面，因为(Kad,所以0〈a,〈a〈士e e
f (a：) ="+ 2na:=-+27nat 令g(a)=1+21血，a a a
1 1 0 9-a — 1
当0<a/时,g' (a) = _**M<0, e a a a
所以f (a') =g(a) =： + 22Aa>g(：) = e—2〉0.
又f(a)<0,函数f(x)在(0, a)为减函数,且函数f(x)的图象在(a 二，a)上不间断, 所以函数f(x)在S, a)有唯一的一个零点.
综上，实数a 的取值范围是(0,(10分)
②设 p=Xif ， (xj +x ：f r
(xj =1——+1——=2 —| —+~\. Xi X ： \Xi Xc/ 2nxi+-=0> Xi 又彳 则 p=24-2?2(xixc). (12 分) a Znx 二+-=0, Xc
下面证明X 凶)a1
不妨设xKxi 由①知0<Xi<a<x> ■
要证工区》£,即证
X ：
. 因为x“ -e(0, a),函数f(x)在(0, a)上为减函数, x ：
所以只要证f (三卜f(x)
又 f (xj=f (x ：)=0,即证 Wk(xJ. (14 分)
设函数 F(x) =ff-] —f (x) ="---27nx4-22na(x>a). \X7 a x
所以 F' (x)=-，X
ax
所以函数F(x)在(a, +8)上为增函数. 所以 F(xJ >F(a)=0,
所以(X;)成立.
从而x,x ：>a'成立.
所以 p = 2+2A(x 】xO>21na+2,即 Xif ' (x0 +x ：f' (xl >2]na+2 成立.(16 分)
20. (1)设等差数列｛aj 的公差为d.
因为等差数列｛aj 满足④=4,前8项和工=36,
所以数列｛aj 的通项公式为&产11.(3分) (2)①设数列｛bj 的前n 项和为
所以
a+3d=4, 8X7 8a1H 7-d=36»
解得 ai = h
d=L
由(D 及 \ ("azef)+2〃“ =3(2” — 1)
N")得，
3(2i —l)=夕(如31f )+2(刀一1)(刀12),④ 一
由③一④得
3(2”-1) -3(20 x —1) = (bia ：n-i+b ：a ：=-34-, • • 4-ba-ias+Kai+2n) — (bia ：R -s+bza^i
逐+…+bnra ： + 2n -2) =[bi (a ：c -3+2) +b=(ad r+2) + …+bnr(a*+2) +b n ai+2n] — (b ：a-1-3H-b ：a ：n-o4-***+bn-:a 1-l-2n_2) =2(b,+ b+・・+b …)+bn+2 = 2(Bn — bn) +b= + 2.
所以 3 • 2nr=2B..一bn+2(n>2, n £hO,
又3⑵-l)=ba+2,所以&=1,满足上式.
所以 2&—&+2=3 •ZL'GwV),⑤
(6分)
当〃22 时,2A ,一6-,+2=3・2")⑥
由⑤一⑥得，A+Ar=3 • 2-,-=. (8分)
Q2 f _(八一2「二)=・・・=(_1 尸(Q2°)=0,
所以儿=2厂'，筌=2,
On
所以数列｛&｝是首项为1,公比为2的等比数列.（10分）
②由等，得券=探，即20r =垩
Ox 力p / N m
记«=书，由①得, On
所以一二=丁W1,所以①2aH （当且仅当n=l 时等号成立）.
c
R 2n 由==竺，得 Q =3C 〉C ， O B Up
所以nKp. （12分）
设 t=p —m （m, p, t £N*）,
由2p-fl =—,得3=定云.
当亡=1时，20=-3,不合题意；
当亡=2时，227=6,此时p=8符合题意：
9
当亡=3时，m==,不合题意：
□
12
当亡=4时，^=—<1,不合题意.
1J
下而证明当924,亡£“时，片片<1.
不妨设 f(x) =2"—3*-3(才>4), 则，(x)=21n2-3〉0, 3(2〃-1)= »2（仇小11_才）+2〃9
所以函数f(x)在［4, +8)上是单调增函数，
所以 F(x)2f ⑷=1>0,
所以当£>4, 时，5=生<1，不合题意.
综上，所求集合{(出p)第=产,m ，pGN*} = {(6, 8)}.(16分) 仇 bp
21. A .由题意知(初'=
1 . （4 分）
2
1 0
因为4 1
L 0 2.
一 4
所以矩阵40 B. (1)直线 1 的极坐标方程可化为 P (sin ^cos ——cos "sirry)=蛆，即 P sin 。

— Pcos 。

=2. 4 4 Y
又 x= P cos °， y= P sin 〃，
所以直线1的直角坐标方程为x-y+2 = 0.(4分)
所以直线1与曲线。

的交点月(一 1，1), 6(2, 4). (8分)
所以直线1被曲线。

截得的线段长为AB=yj (-1-2) :+ (1-4) ==3^2. (10分) C.由柯西不等式，得
［行+1) + (歹 + D + 5 +1)］(去+告+喜)》
南三9, (5分)
ill q q q
所以—+等—二二「力—=3 do 分)
a-rl 6+1 。

十1 a -rb +c +3 1 + 3 4
22. (1)记“X 是‘回文数为事件A.
9个不同的2位“回文数”乘以4的值依次为44, 88, 132, 176, 220, 264, 308, 352, 396,其中“回 文数”有44, 88.
所以事件A 的概率P(A)=( (3分)
(2)根据条件知，随机变量，的所有可能取值为0, b 2.
0 .（10
x =y,
y+2=0
得 /一x —2=0,
0 4 2 0 (2)曲线 .U 为参数)的普通方程为步=乂
2 由(1)得 P(A)=a (5 分)
设“Y 是‘回文数’”为事件B,则事件A, B 相互独立.
on 5 根据已知条件得，P(B)=^=^.
P(€=0) =P(A)P(B) = (1-1) X (1-1) =||； P Ox
2 5 2 P(C=1)=P(A)P(B) 4-P(A)P(B) = (1--)X-4-5X y y y 2 5 10 P(C =2)=P(A)P(B) =Q X-=— (8 分) P P O X
所以，随机变量，的概率分布为
oo 43 10 7 所以随机变量€的数学期望为E( £>) =OX,+ 1X^+2X^=£ (10分) oi oi oi y
23. (1)集合 A ，={1, 2, 3}的子集有。

，{D, {2},⑶,{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, 其中所有元素和为3的整数倍的集合有。

，{3}, {1, 2}, {1, 2, 3},
所以工的“和谐子集''的个数等于4. (3分)
(2)记般的“和谐子集”的个数等于为，即占有法个所有元素和为3的整数倍的子集：
另记也有bu 个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有Cn 个所有元素和为3的整数倍余2的子集. 由(1)知，a ，=4, bi=2, a=2.
集合A=+1={1, 2, 3,・・•, 3n-2, 3n — 1, 3n, 3n+l, 3n+2, 3(n+l)}的“和谐子集”有以下四类(考
察新增元素 3n+L 3n+2, 3(n+D)：
第一类：集合A={1, 2, 3,…，3n —2, 3n —1, 3n}的"和谐子集",共an 个;
第二类：仅含一个元素3(n+l)的“和谐子集”，共a 「.个：
同时含两个元素3n+l, 3n+2的“和谐子集”，共3a 个:
同时含三个元素3n+L 3n+2, 3(n+l)的“和谐子集”，共法个：
第三类：仅含一个元素3n+l 的“和谐子集”，共的个：
同时含两个元素3n+l, 3(n+l)的“和谐子集”，共g 个：
第四类：仅含一个元素3n+2的“和谐子集”，共h 个：
同时含有两个元素3n+2, 3(n+1)的“和谐子集”,共一个,
所以集合A …的“和谐子集”共有一尸，耳+2卜+2c ti 个.
同理得 b"i=4b"+2cn+2a=, c R » i=4c &+2a n +2b a . (7 分)
所以 an+i —b“i=2(an—bj , a1一bl=2,
所以数列区一bn}是以2为首项，2为公比的等比数列.
所以 a=-b c =2n .同理得 a n -c n =2a .
1
2 q 又热+人+加=2* 所以机=.乂2“+ 0 X2”(n £N).(10分) 4
3 9 厂 81；。