2020届吉林省长春市高三质量监测(三)(三模)数学(文)试题(解析版)

2020届吉林省长春市高三质量监测（三）（三模）数学（文）
试题
一、单选题
1．已知集合{
}
2
1A x x =≤，{}
lg 1B x x =≤，则A B =I （ ） A ．[]0,1 B ．(]0,1
C ．()0,1
D ．[]1,10-
【答案】B
【解析】先分别计算集合A 和B ，再计算A B I 【详解】
{}
{}21=-11A x x x x =≤≤≤ {}{}lg 1010B x x x x =≤=<≤ {}01A B x x ⋂=<≤
故答案选B 【点睛】
本题考查了集合的运算，属于简单题型.
2．已知向量,a b r r 满足a =r （2，1），b =r （1，y ），且a b ⊥r r
，则2a b +r r ＝（ ）
A B ．C ．5
D ．4
【答案】C
【解析】根据向量垂直的坐标表示列方程，由此求得y ，根据向量模的坐标表示求得正确答案. 【详解】
根据题意，a =r （2，1），b =r （1，y ），且a b ⊥r r ，则有a b ⋅=r r 2+y ＝0，解可得y ＝﹣2，
即b =r
（1，﹣2），
则2a b +=r r
（4，﹣3），故2a b +=r r =5；
故选：C 【点睛】
本小题主要考查向量垂直和模的坐标表示，属于基础题.
3．已知复数z 满足（1+i ）2•z ＝1﹣i ，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】利用复数除法运算求得z，由此求得z，进而求得z对应点的坐标及其所在象限.
【详解】
由（1+i）2•z＝1﹣i，得z
()()
22
1
1111
(1)2222
i i
i i
i
i i i
--
--
====--
+-
，则
11
22
z i
=-+，
∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（
1
2
-，1
2
），位于第二象限．
故选：B
【点睛】
本小题主要考查复数的除法运算，考查共轭复数，考查复数对应点所在象限，属于基础题.
4．某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则x y
+的值为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解析】对甲组数据进行分析，得出x的值，利用平均数求出y的值，解答即可．
【详解】
由茎叶图可知，茎为8时，甲班学生成绩对应数据只能是83，80+x，85，因为甲班学生成绩众数是83，所以83出现的次数最多，可知x＝3．
由茎叶图可知乙班学生的总分为76+81+82+80+y+91+91+96＝597+y，
又乙班学生的平均分是86，
总分等于86×7＝602．所以597+y＝602，解得y＝5，
可得x+y＝8．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查统计中的众数与平均数的概念．解题时分别对甲组数据和乙组数据进行分析，分别得出x ，y 的值，进而得到x +y 的值．
5．等比数列{a n }中，a 5、a 7是函数f （x ）＝x 2﹣4x +3的两个零点，则a 3•a 9等于（ ） A ．﹣3 B ．3
C ．﹣4
D ．4
【答案】B
【解析】根据根与系数关系关系列方程，结合等比数列的性质求得39a a ⋅的值. 【详解】
∵a 5、a 7是函数f （x ）＝x 2﹣4x +3的两个零点，∴a 5、a 7是方程x 2﹣4x +3＝0的两个根， ∴a 5•a 7＝3，由等比数列的性质可得：a 3•a 9＝a 5•a 7＝3． 故选：B 【点睛】
本小题主要考查等比数列的性质，考查根与系数关系，属于基础题.
6．函数3()x x
x f x e e -=-的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】根据解析式求得函数奇偶性，以及()1f 即可容易求得结果. 【详解】
因为()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()3
x x
x f x f x e e
--==-，故()f x 为
偶函数，
排除C ，D ，验算特值1
1
(1)=0f e e
-<-，排除A, 故选：B 【点睛】
本题考查函数图像的辨识，涉及函数奇偶性的判断和指数运算，属基础题. 7．设,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥r r
的一个充分条件是（ ） A ．,//,a b αβαβ⊥⊥ B ．,,//a b αβαβ⊥⊥ C ．,,//a b αβαβ⊂⊥ D ．,//,a b αβαβ⊂⊥
【答案】C
【解析】根据充分条件的判断，即从选项中找出能推出a b ⊥r r
成立的即可，由空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得出答案. 【详解】
A. 由,//,a b αβαβ⊥⊥，还可能得到 //b a ，如图（1），所以不正确.
B. 由,,//a b αβαβ⊥⊥，还可能得到 //b a ，如图（2），所以不正确.
C. 由,//b βαβ⊥，可得b α⊥，又,a α⊂所以有a b ⊥r r
，所以正确. D. 由,//,a b αβαβ⊂⊥，如图（3），所以不正确. 故选：C
【点睛】
本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，考查充分条件的判断和空间想象能力，属于基础题.
8．已知直线y ＝﹣2与函数()23f x sin x πω⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，（其中w ＞0）的相邻两交点间的距离为π，则函数f （x ）的单调递增区间为（ ）
A ．566k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦，， B ．51212k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦，， C ．51166k k k Z ππππ⎡
⎤-
+∈⎢⎥⎣
⎦
，， D ．511612k k k Z ππππ⎡
⎤-
+∈⎢⎥⎣
⎦
，， 【答案】B
【解析】根据周期求得ω，再根据单调区间的求法，求得()f x 的单调区间. 【详解】
∵y ＝﹣2与函数()23f x sin x πω⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
，（其中w ＞0）的相邻两交点间的距离为π， ∴函数的周期T ＝2，即2π
ω=2，得ω＝2，则f （x ）＝2sin （2x 3
π-
），由2k π2
π-
≤2x 3
π
-
≤2k π2
π
+
，k ∈Z ，
得k π12
π-
≤x ≤k π512π+
，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为[k π12π
-，k π512
π+
]，k ∈Z ， 故选：B 【点睛】
本小题主要考查三角函数的单调性，考查三角函数的周期性，属于基础题.
9．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，且f （﹣4）＝0，则使得xf （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣4，4）
B ．（﹣4，0）∪（0，4）
C ．（0，4）∪（4，+∞）
D ．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
【答案】D
【解析】根据函数的单调性和奇偶性，求得不等式()x f x ⋅的解集. 【详解】
∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，∴函数f （x ）是在（﹣∞，0）上是增函数，
又f （﹣4）＝0，∴f （4）＝0，由xf （x ）＞0，得()00x f x ⎧⎨⎩＞＞或()0
0x f x ⎧⎨⎩
＜＜，∴x ＞4或
x ＜﹣4．
∴x 的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）． 故选：D 【点睛】
本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题. 10．若函数()20
20
x
log x x f x a x ⎧=⎨
--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B ．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞） C ．[﹣1，0） D ．[0，+∞）
【答案】B
【解析】根据()f x 在(],0-∞没有零点列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】
当x ＞0时，因为log 21＝0，所以有一个零点，所以要使函数()20
20x log x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩
，＞，有
且只有一个零点，
则当x ≤0时，函数f （x ）没有零点即可，当x ≤0时，0＜2x ≤1，∴﹣1≤﹣2x ＜0，∴﹣1﹣a ≤﹣2x ﹣a ＜﹣a ，
所以﹣a ≤0或﹣1﹣a ＞0，即a ≥0或a ＜﹣1. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查分段函数零点，属于基础题.
11．已知双曲线2222x y a b -=1（a ＞0，b ＞0）与椭圆22
182
x y +=1有相同焦点F 1，F 2，
离心率为
4
3
．若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为12，N 为线段MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于（ ） A ．4 B ．3
C ．2
D ．
23
【答案】B
【解析】根据双曲线的定义求得NO 的表达式，根据椭圆方程求得双曲线的c ，结合双曲线的离心率求得a ，由此求得NO 的值. 【详解】
如图，∵N 为线段MF 2的中点，∴|NO |12=
|MF 1|1
2
=（|MF 2|﹣2a ）＝6﹣a ，∵双曲线22
22x y a b
-=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为
e
4
3
=，∴
4
3
c
a
=，∵椭圆
22
182
x y
+=1与双曲线
22
22
x y
a b
-=1的焦点相同，
∴c182
=-=4，则a＝3，即6﹣a＝3，∴|NO|＝3．
故选：B．
【点睛】
本小题主要考查双曲线的定义和离心率，考查椭圆的几何性质，属于基础题.
12．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”．整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：
①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是1 2
②当
3
2
a=-时，直线y＝ax+2a与白色部分有公共点；
③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x，y），则x+y的最大值为2；
④设点P（﹣2，b），点Q在此太极图上，使得∠OPQ＝45°，b的范围是[﹣2，2]．其中所有正确结论的序号是（）
A．①④B．①③C．②④D．①②
【答案】A
【解析】根据几何概型概率计算，判断①的周期性.根据直线3
32
y x =-
-和圆()2
211x y ++=的位置关系，判断②的正确性.根据线性规划的知识求得x y +的最大
值，由此判断③的正确性.将45OPQ ∠=o 转化为过P 的两条切线所成的角大于等于
90o ，由此求得OP 的取值范围，进而求得b 的取值范围，从而判断出④的正确性.
【详解】
对于①，将y 轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的面积的一半， 根据几何概型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是
1
2
，正确； 对于②，当32a =-
时，直线()()33
222322
y ax a a x x x =+=+=-+=--,过点()()2,0,0,3--，
所以直线2y ax a =+与白色部分在第I 和第IV 象限部分没有公共点.圆()2
211x y ++=的圆心为()0,1-，半径为1，圆心()0,1-到直线3
32
y x =-
-，即直线3260x y ++=
1=
>，所以直线2y ax a =+与白色部分在第III 象限的部分没有公共点.综上所述，直线y ＝ax +2a 与白色部分没有公共点，②错误；
对于③，设l ：z ＝x +y ，由线性规划知识可知，当直线l 与圆x 2+（y ﹣1）2＝1相切时，z 最大，
1=解得
z 1=
（1z =-，③错误； 对于④，要使得∠OPQ ＝45°，即需要过点P 的两条切线所成角大于等于90o ，
所以
245sin OP ≥︒=
，即OP
，于是22+b 2≤8，解得22b -≤≤． 故选：A 【点睛】
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查几何概型概率计算，属于中档题.
二、填空题
13．已知tanα＝3，π＜α32
＜
π
，则cosα﹣sinα＝_____．
【解析】
根据tan 3α=，求cos ,sin αα的值，由此求得cos sin αα-的值. 【详解】
∵tanα＝3，π＜α32＜
π，∴
cosα10==-，
sinα10
==-
， 则cosα﹣
sinα==
.
【点睛】
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.
14．已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，满足4S n ＝a n 2+2a n （n ∈N ），设b n ＝（﹣1）n •a n a n +1，T n 为数列{b n }的前n 项和，则T 20＝_____． 【答案】880
【解析】利用11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式，由此求得n b 的表达式，
利用并项求和法求得20T . 【详解】
∵4S n ＝a n 2+2a n （n ∈N ），
当n ＝1时，2
11142S a a =+，解得a 1＝2或0（舍去），
当n ≥2时，4S n ＝a n 2+2a n ①，4S n ﹣1＝a n ﹣12+2a n ﹣1②，
①﹣②得：22
11422n n n n n a a a a a --=+--，整理得：（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）＝0，
∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n ﹣a n ﹣1﹣2＝0，即a n ﹣a n ﹣1＝2，
∴数列{a n }是首项为2，公差为2的等差数列，∴a n ＝2+2（n ﹣1）＝2n ，∴b n ＝（﹣1）
n
•a n a n +1＝4×（﹣1）n n （n +1），
∴T20＝4×[﹣2+6﹣12+20﹣30+42﹣……﹣380+420]＝4×[（﹣2+6）+（﹣12+20）+（﹣30+42）+……+（﹣380+420）]
＝4×（4+8+12+……+40）＝4
() 10440
2
⨯+
⨯=880，
故答案为：880
【点睛】
本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查并项求和法，属于中档题.
三、解答题
15．已知长方形ABCD中，AB＝1，∠ABD＝60°，现将长方形ABCD沿着对角线BD 折起，使平面ABD⊥平面BCD，则折后几何图形的外接球表面积为_____．
【答案】4π
【解析】设出球心的位置，利用勾股定理列方程组，解方程组求得球的半径，进而求得球的表面积.
【详解】
长方形ABCD中，AB＝1，∠ABD＝60°，可得BD＝2，AD=
作AE⊥BD于E，可得AE•BD＝AB•AD，所以AE
2
=
BE
1
2 ===，
因为平面ABD⊥平面BCD，AE⊂面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AE⊥面BCD，
由直角三角形BCD可得其外接圆的圆心为斜边BD的中点O1，且外接圆的半径
r
1
2
BD
==1，过O1作OO1垂直于底面BCD，所以EO1＝O1B﹣BE＝1
11
22
-=，
所以OO1∥AE，取三棱锥外接球的球心O，设外接球的半径为R，
作OF⊥AE于F，则四边形EFOO1为矩形，O1E＝OF，EF＝OO1，则OA＝OC＝OB＝OD＝R，
在△AFO中，OA2＝AF2+OF2＝（AE﹣EF）2+EO12即R2＝（
2-OO1）2
1
4
+；①
在△BOO1中：OB2＝OO12+EO12，即R2＝OO12
1
4 +；②
由①②可得R2＝1，OO1＝0，即外接球的球心为O1，所以外接球的表面积S＝4πR2＝4π，故答案为：4π
【点睛】
本小题主要考查几何体外接球表面积的有关计算，属于中档题.
16．笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”．笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌（优等品和合格品），某公司年产宣纸10000刀，公司按照某种质量标准值x给宣纸确定质量等级，如表所示：
x
（48，
52]
（44，48]∪（52，
56]
（0，44]∪（56，
100]
质量等级正牌副牌废品
公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（100张）进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元．
（Ⅰ）按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀（100张）纸中抽出一个容量为5的样本，再从这个样本中随机抽出两张，求其中无废品的概率；
（Ⅱ）试估计该公司生产宣纸的年利润（单位：万元）．
【答案】（Ⅰ）
3
5
；（Ⅱ）400万元
【解析】（I）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
（II）根据频率分布直方图求得一刀宣纸的利润，由此估计出年利润.
【详解】
（Ⅰ）按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀（100张）约中抽出一个容量为5的样本，
设抽出的2张正牌为A ，B ，2张副牌为a ，b ，1张废品为t ，从中任取两张，基本事件有：
AB ，Aa ，Ab ，At ，Ba ，Bb ，Bt ，ab ，at ，bt ，共10种，
其中无废品包含的基本事件有：AB ，Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，ab ，共6种，∴其中无废品的概率p 63105
=
=． （Ⅱ）由频率分布直方图得：一刀（100张）宣纸有正牌宣纸100×0.1×4＝40张， 有副牌宣纸100×
0.05×4×2＝40张，有废品100×0.025×4×2＝20张， ∴该公司一刀宣纸的利润为40×10+40×5+20×（﹣10）＝400元， ∴估计该公司生产宣纸的年利润为：400万元． 【点睛】
本小题主要考查古典概型概率计算，考查频率分布直方图的运用，属于基础题. 17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a ＝2b cos C +c sin B ． （Ⅰ）求tan B ； （Ⅱ）若C 4
π
=
，△ABC 的面积为6，求BC ．
【答案】（Ⅰ）tanB ＝2；（Ⅱ）【解析】（I ）利用正弦定理化简已知条件，求得tan B 的值.
（II ）由tan B 的值求得,cos sinB B 的值，从而求得sin A 的值，利用正弦定理以及三角形的面积公式列方程，由此求得a 也即BC 的值. 【详解】
（Ⅰ）∵2a ＝2b cos C +c sin B ，利用正弦定理可得：2sin A ＝2sin B cos C +sin C sin B ，又sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C ， 化为：2cos B ＝sin B ≠0，∴tanB ＝2． （Ⅱ）∵tan B ＝2，B ∈（0，π），可得sin B
=
，cos B =．
∴sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C
=
=
∴
a b
sinA sinB
=，可得：
a
31032
2
5
b b
=⨯=
．又
1
2
ab sin
4
π
=6，可得b122
a
=．∴a
32122
=⨯，即218
a=，解得BC a
=＝32．
【点睛】
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.
18．四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA＝CD＝2，PA⊥平面ABCD，E在棱PB上．
（Ⅰ）求证：AC⊥PD；
（Ⅱ）若V P﹣ACE
2
9
=，求证：PD∥平面AEC．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析
【解析】（I）过A作AF DC
⊥，判断出四边形ABCF为则方程，由此证得AC DA
⊥，结合AC PA
⊥证得AC⊥平面PAD，从而证得AC PD
⊥.
（II）利用题目所给体积求得E到平面ABCD的距离，连接DB交AC于O，连接OE，通过证明::
PB EB DB OB
=，证得//
PD OE，由此证得//
PD平面AEC.
【详解】
（Ⅰ）过A作AF⊥DC于F，∵AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，∴四边形ABCF为正方形，则CF＝DF＝AF＝1，
∴∠DAC＝90°，得AC⊥DA，又P A⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥P A，
又P A，AD⊂平面P AD，P A∩AD＝A，∴AC⊥平面P AD，又PD⊂平面P AD，∴AC⊥PD；（Ⅱ）设E到平面ABCD的距离为h，则V P﹣ACE()
112
112
329
h
=⨯⨯⨯⨯-=，得h
2
3
=．又P A＝2，则PB：EB＝P A：h＝3：1．∵BC＝1，CD＝2，∴DB5
=，连接DB交AC 于O，连接OE，
∵△AOB ∽△COD ，∴DO ：OB ＝2：1，得DB ：OB ＝3：1，
∴PB ：EB ＝DB ：OB ，则PD ∥OE ．又OE ⊂平面AEC ，PD ⊄平面AEC ，∴PD ∥平面AEC ．
【点睛】
本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面平行的证明考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
19．已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为x 2＝2py （p ＞0），其焦点为F ，过点M （0，4）的直线l 与抛物线相交于P 、Q 两点且△OPQ 为以O 为直角顶点的直角三角形． （Ⅰ）求E 的方程；
（Ⅱ）设点N 为曲线E 上的任意一点，证明：以FN 为直径的圆与x 轴相切． 【答案】（Ⅰ）x 2＝4y ；（Ⅱ）见解析
【解析】（I ）设出直线l 的方程，联立直线l 的方程和抛物线方程，化简后写出根与系数关系，根据三角形OPQ 是直角三角形，结合向量数量积的坐标运算列方程，解方程求得p ，由此求得抛物线方程.
（II ）设出N 的坐标，求得线段NF 中点N 的纵坐标，结合抛物线的性质，证得结论成立. 【详解】
（Ⅰ）由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y ＝kx +4，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），
联立直线l 与抛物线的方程242y kx x py
=+⎧⎨=⎩，整理可得：x 2﹣8kpx ﹣8p ＝0，
所以x 1x 2＝﹣8p ，所以y 1y 2222
12122()224x x x x p p p
=⋅==16， 因为△OPQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，所以OP OQ ⋅=u u u r u u u r
0，即x 1x 2+y 1y 2＝0，所以
﹣8p +16＝0，解得p ＝2，
所以抛物线的方程为：x 2＝4y ；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得F （0，1），准线方程为：y ＝﹣1， 设N （m ，n ），则NF 的中点M 的纵坐标1
2
n +，即以NF 为直径的圆的圆心M 到x 轴的距离为
1
2
n +， 而由抛物线的性质可得|NF |＝n +1，即以NF 为直径的圆的半径为
1
2
n +， 所以可得圆心M 到x 轴的距离恰好等于圆的半径，所以可证得以FN 为直径的圆与x 轴相切． 【点睛】
本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线方程的求法，属于中档题. 20．已知函数f （x ）＝axe x ，g （x ）＝x 2+2x +b ，若曲线y ＝f （x ）与曲线y ＝g （x ）都过点P （1，c ）．且在点P 处有相同的切线l ． （Ⅰ）求切线l 的方程；
（Ⅱ）若关于x 的不等式k [ef （x ）]≥g （x ）对任意x ∈[﹣1，+∞）恒成立，求实数k 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）4x ﹣y ﹣2＝0；（Ⅱ）
1
e
≤k ≤e 【解析】（I ）根据切点和斜率列方程，解方程组求得,,a b c 的值，进而求得切线方程. （II ）构造函数()()()h x k ef x g x =-⎡⎤⎣⎦，利用导数研究()h x 的单调性，对k 进行分类讨论，结合()0h x ≥恒成立，由此求得k 的取值范围. 【详解】
（Ⅰ）∵f ′（x ）＝ae x
（x +1），g ′（x ）＝2x +2，由已知可得()()()()'1'111f g f g c ⎧=⎪⎨==⎪⎩
，
即243ae ae b c
=⎧⎨
=+=⎩，解得a 2
e =，b ＝﹣1，c ＝2，∴切线的斜率g ′（1）＝4，
∴切线l 的方程为y ﹣2＝4（x ﹣1），即4x ﹣y ﹣2＝0，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f （x ）＝2xe x ﹣
1，g （x ）＝x 2+2x ﹣1，设h （x ）＝k [ef （x ）]﹣g （x ）
＝2kxe x ﹣（x 2+2x ﹣1），
即h （x ）≥0，对任意x ∈[﹣1，+∞）恒成立，从而h （x ）min ≥0， ∴h ′（x ）＝2k （x +1）e x ﹣2（x +1）＝2（x +1）（ke x ﹣1），
①当k ≤0时，h ′（x ）≤0，h （x ）在[﹣1，+∞）上单调递减，又h （1）＝2ke ﹣2＜0，显然h （x ）≥0不恒成立，
②当k ＞0时，h ′（x ）＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝﹣lnk ，
（i ）当﹣lnk ＜﹣1时，即k ＞e 时，h ′（x ）≥0，h （x ）单调递增， 又h （x ）min ＝h （﹣1）2k
e =-
+2()2e k e
-=＜0，显然h （x ）≥0不恒成立， （ii ）当﹣lnk ＝﹣1时，即k ＝e 时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增， ∴h （x ）min ＝h （﹣1）2k
e =-
+2()2e k e
-==0，即h （x ）≥0恒成立， （iii ）当﹣lnk ＞﹣1时，即0＜k ＜e 时，
当x ∈[﹣1，﹣lnk ）时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减，当x ∈（﹣lnk ，+∞）时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，
∴h （x ）min ＝h （﹣lnk ）＝-2lnk ﹣（ln 2k ﹣2lnk ﹣1）＝1﹣ln 2k ≥0，解得1e ≤k ≤e ，∴1
e
≤k ＜e ， 综上所述得：1
e
≤k ≤e ． 【点睛】
本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
21．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极
坐标方程为2
2120,3sin 2πρθθ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭，直线l
的参数方程为235x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数）.
（1）求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程；
（2）设点过P 为曲线C 上的动点，点M 和点N 为直线l 上的点，且满足PMN V 为等边三角形，求PMN V 边长的取值范围.
【答案】（1）C
：2cos x y α
α=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数，02πα≤≤），l ：280x y +-=；（2
）
1515⎡⎢⎣⎦
【解析】（1）利用公式即可容易化简曲线C 的方程为直角坐标方程，再写出其参数方程即可；利用消参即可容易求得直线的普通方程；
（2）设出P 的坐标的参数形式，将问题转化为求点P 到直线距离的范围问题，利用三
角函数的值域求解即可容易求得结果. 【详解】
（1）曲线C 的极坐标方程为2
2120,3sin 2πρθθ⎛⎫⎡⎤=
∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭
， 故可得222
3sin 12ρρθ+=，则(
)22
2
312x y
y
++=，
整理得2
2
3412x y +=，也即22
143
x y +=，
由0,
2πθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则可得0,0x y ≥≥，
故其参数方程为2cos x y α
α=⎧⎪⎨=⎪⎩
（α为参数，02πα≤≤）；
又直线的参数方程为23x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
故可得其普通方程为280x y +-=.
（2）不妨设点P
的坐标为()
2cos αα， 则点P 到直线280x y +-=
的距离d =
=0,2πα⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
， 容易知4sin 86y πα⎛⎫=+- ⎪
⎝⎭在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的值域为[]6,4--，
故可得d ∈⎣⎦
. 则三角形PMN
，故其范围为,1515⎡⎢⎣⎦
.
【点睛】
本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程之间的相互转化，涉及利用参数求点到直线的距离的范围，属综合中档题.
22．已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，()
3g x x =+．
（Ⅰ）当x ∈R 时，有()()f x g x ≤，求实数m 的取值范围．
（Ⅱ）若不等式()0f x ≥的解集为[]1,3，正数a ，b 满足231ab a b m --=-，求+a b 的最小值． 【答案】（Ⅰ）(],5m ∈
-∞（Ⅱ）()min 7a b +=
【解析】(I)根据不等式恒成立的等价不等式，可转化为求含两个绝对值的最值，利用绝对值的三角不等式求最值即可；
(II)由不等式()0f x ≥的解集为[]
1,3可求出m 的值，代入231ab a b m --=-并用a 表示b ，再把b 代入a b +利用基本不等式求出最小值. 【详解】
解：（Ⅰ）由题意得：()()f x g x ≤Q 在x R ∈上恒成立，
23m x x ∴--≤+在x R ∈上恒成立．
()min 32m x x ∴≤++-，
又()()32235x x x x ++-≥--+=Q ，
当且仅当()()230x x -+≤，即[]
3,2x ∈-时等号成立．
5m ∴≤，即(],5m ∈-∞．
（Ⅱ）令()0f x ≥，2x m ∴-≤， 若0m ≤时，∴解集为∅，不合题意；
若0m >时，2m x m ∴-≤-≤，[]2,2x m m ∴∈-+，又[]
1,3x ∈Q ，
1m ∴=，∴综上所述：1m =， 22ab a b ∴--=，22
1
a b a +∴=
- 00a b >⎧⎨>⎩
Q ，∴解得1a >，2241311a a b a a a a +∴+=+
=-++--，
37a b ∴+≥=，当且仅当411a a -=-，即3a =时等号成立， 此时22
41
a b a +=
=-．∴当3a =，4b =时，()min 7a b +=． 【点睛】
本题考查了绝对值的三角不等式，以及利用基本不等式求最值，属于一般题.
四、双空题
23．若12,x x 是函数2()74ln f x x x x =-+的两个极值点，则12x x =____，
12()()f x f x +=____.
【答案】2 65
4ln 24
-
【解析】根据极值点的定义，即可由方程的根与系数之间的关系，即可求得12x x 以及
12x x +，再结合对数运算即可容易求得结果.
【详解】
2121247
()2702740,22
f x x x x x x x x x '=-+
=⇒-+=⇒+==，22
12111222()()74ln 74ln f x f x x x x x x x +=-++-+
21212121265
()27()4ln()4ln 24
x x x x x x x x =+--++=-
. 故答案为：2；654ln 24
-. 【点睛】
本题考查利用导数求函数的极值点，涉及对数运算，属综合基础题.。