第1节 函数概念(有答案)

模块一函数的概念与性质
基础知识回顾
一、函数的三要素
1．定义域：自变量x 的取值集合，若不作特别规定，定义域是使得函数的解析式有意义的x 的取值集合.2．对应关系：将自变量x 对应到函数值y 的方法，对于有解析式的函数，解析式就是该函数的对应关系.3．值域：函数值y 的取值集合.
二、函数的单调性
1．函数的单调性：一般地，设函数()f x 的定义域是I ，区间⊆D I ，如果12,∀∈x x D ，当12<x x 时，都有
12()()<f x f x ，那么就称()f x 在区间D 上单调递增；如果12,∀∈x x D ，当12<x x 时，都有12()()>f x f x ，那
么就称()f x 在区间D 上单调递减.
2．函数单调性的等价定义方法：12,∀∈x x D 且12≠x x ，若1212
()()
0->-f x f x x x 或1212()[(()]0-->x x f x f x ，
则()f x 在区间D 上单调递增；若
1212
()()
0-<-f x f x x x 或1212()[(()]0--<x x f x f x ，则()f x 在区间D 上单调递减.
3．函数的最大值：一般地，设函数()=y f x 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）∀∈x I ，都有()≤f x M ；（2）0∃∈x I ，使得0()=f x M ；那么，我们称M 是函数()=y f x 的最大值.
4．函数的最小值：一般地，设函数()=y f x 的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）∀∈x I ，都有()≥f x m ；（2）0∃∈x I ，使得0()=f x m ；那么，我们称m 是函数()=y f x 的最小值.
5．若函数()f x 和()g x 在区间D 上具有单调性，则：
（1）若C 为常数，则函数()=y f x 与函数()=+y f x C 有相同的单调性.
（2）在区间D 上，若0>a ，则()af x 与()f x 单调性相同；若0<a ，则()af x 与()f x 单调性相反.（3）若()0≥f x
，则=
y 与()=y f x 单调性相同.
（4）若()f x 和()g x 单调性相同，则()()+f x g x 的单调性与它们也相同.
（5）()0>f x ，()0>g x ，且()f x 和()g x 单调性相同，则()()f x g x 的单调性与它们也相同.6．复合函数的单调性：同增异减
()=y f u ()=u g x (())
=y f g x
三、函数的奇偶性
1．奇函数的性质
（1）定义域关于原点对称；（2）()()f x f x -=-；（3）图象关于原点对称；若0x =处有定义，则(0)0f =.2．偶函数的性质
（1）定义域关于原点对称；（2）满足()()f x f x -=；（3）图象关于y 轴对称.3．常见的几个奇函数（1）()log a
m x
f x m x
+=-（2）()log a
m x f x m x
-=+
（3）()log )a f x mx =（4）()log )
a f x mx =（5）()x
x
f x a a
-=-（6）1
()1
x x
a f x a +=-4．加减法结论：奇函数±奇函数=奇函数；偶函数±偶函数=偶函数；奇函数±偶函数=非奇非偶函数.5．乘除法结论：
（1）奇函数⨯奇函数=偶函数；奇函数⨯偶函数=奇函数；偶函数⨯偶函数=偶函数.（2）奇函数÷奇函数=偶函数；奇函数÷偶函数=奇函数；偶函数÷偶函数=偶函数.6．无论()y f x =是什么函数，函数()y f x =和()y f x =-都是偶函数.7．若()y f x =是奇函数或者偶函数，则函数()y f x =是偶函数.8．多项式函数2012()n n f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+的奇偶性：
（1）当且仅当0240a a a ===⋅⋅⋅=时，()f x 为奇函数；（2）当且仅当1350a a a ===⋅⋅⋅=时，()f x 为偶函数.
四、周期性
一般地，设函数()f x 的定义域为D ，若存在0T ≠，使得x D ∀∈，都有()()f x T f x +=，则称()f x 是以T 为周期的周期函数.
五、对称性
对称性有关知识点，请参考本模块第4节，抽象函数问题.
第1节函数概念
内容提要
这一节主要涉及求定义域、求解析式、求一些常见函数的值域这三类问题.1．求定义域
（1，…，根号下的数非负，即()0f x ≥；
（2）对数：log ()a f x ，真数大于0，即()0f x >；（3）分式：如()
()
f x y
g x =
，分母不为0，即()0g x ≠；（4）零次方：0x 中0x ≠；（5）正切：tan x 中()2
x k k π
π≠+
∈Z ；（6）抽象函数求定义域：①定义域永远指自变量x 的取值集合；②“()f ⋅⋅⋅括号范围恒不变”.2．求解析式
（1）换元法：已知(())y f g x =的解析式，求()y f x =的解析式.（2）待定系数法：已经给出函数类型，可用待定系数法求解析式.
（3）方程法：题干给出()f x 与()f x -，或()f x 与1()f x
的关系式，可构造新方程，联立求解得出解析式.3．求值域：图象法、同除法、换元法、判别式法等.
典型例题
【例1】函数1
()2
f x x =-的定义域为.
答案：[0,2)(2,)
+∞ 解析：由210
20x x ⎧-≥⎨-≠⎩
解得：0x ≥且2x ≠，所以()f x 的定义域为[0,2)(2,)+∞ .
【反思】函数的定义域一定要写成区间或集合的形式.
【变式1】函数3()ln(3)2
x
f x x x =+--的定义域为.
答案：(,2)(2,3)-∞ 解析：由30
20
x x ->⎧⎨
-≠⎩解得：3x <且2x ≠，所以()f x 的定义域为(,2)(2,3)-∞ .
【变式2】若()f x 的定义域为[0,3]，则函数(1)y f x =-的定义域为.
答案：[1,4]
解析：定义域指的是自变量x 的取值集合，()f x 的定义域为[0,3]03x ⇒≤≤，
抽象函数定义域遵循括号范围恒不变原则，所以在(1)y f x =-中，有013x ≤-≤，解得：14x ≤≤，故(1)y f x =-的定义域为[1,4].
【反思】抽象函数的定义域问题抓住两点：①定义域永远指自变量x 的取值集合；②“()f ⋅⋅⋅括号范围恒不变”.
【变式3】若(21)f x +的定义域为[0,3]，则函数()y f x =的定义域为.
答案：[1,7]
解析：定义域指的是自变量x 的取值集合，(21)f x +的定义域为[0,3]⇒在(21)f x +中，03x ≤≤，所以1217x ≤+≤，即()f ⋅⋅⋅的括号的范围是[1,7]，括号范围恒不变，所以()y f x =的定义域为[1,7].
【例2】已知1)f x =-，则()f x =.
答案：254(1)
x x x -+≥
解析：先将1)f 括号里的整体换元，令1(1)t t +≥，则2(1)x t =-，所以22()(1)3(1)54(1)f t t t t t t =---=-+≥，故2()54(1)f x x x x =-+≥.
【反思】已知函数(())y f g x =的解析式求()f x 的解析式：①令()t g x =，则(())f g x 可化为()f t ，②由()t g x =反解出x ，用t 表示，代入所给函数(())y f g x =的右侧，从而求得()f t ；③由()t g x =研究t 的取值范围，得到()f t 的定义域；④将()f t 的自变量t 换回成x ，得到()f x .
【例3】已知()f x 是一次函数，且(())43f f x x =+，则()f x =.
答案：21x +或23
x --解析：已知了函数类型，用待定系数法求解析式，设()(0)f x ax b a =+≠，则(())()()43f f x af x b a ax b b x =+=++=+，即243a x ab b x ++=+，
所以243a ab b ⎧=⎨+=⎩
，解得：21a b =⎧⎨=⎩或23a b =-⎧⎨=-⎩，所以()21f x x =+或()23f x x =--.
【反思】若已知()f x 的函数类型（如一次函数、二次函数、指数函数等）求()f x 的解析式，可直接设其解析式，运用待定系数法求解.
【例4】已知函数()f x 满足()2()f x f x x =-+，则()f x =.
答案：
3
x
解析：看到()f x 和()f x -在同一个式子中，将x 换成x -，再构造一个函数方程，在()2()f x f x x =-+中将x 换成x -可得()2()f x f x x -=-，所以()2()()2()f x f x x f x f x x =-+⎧⎨
-=-⎩①②
，
2+⨯①②得：()2()2()4()2f x f x f x x f x x +-=-++-，整理得：()3
x f x =
.
【例5】函数21
(0)x x y x x
-+=
>的最小值为.
答案：1
解析：
由题意，211111x x y x x x -+==+-≥=，当且仅当1x =时取等号，所以min 1y =.
【变式1】函数2
2
(0)1
x y x x x =>-+的最大值为.
答案：
43
解析：由题意，2222
114
1111313
1()24
x y x x x x x ===≤-+-+-+，当且仅当2x =时取等号，所以max 43y =.
【变式2】函数21
(1)1
x x y x x -+=
>-的最小值为.
答案：3解法1：像这种
二次函数
一次函数
型的分式函数，可令一次函数部分为t ，
令1t x =-，则0t >，1x t =+
，所以22(1)(1)111113t t t t y t t t t +-++++===++≥=，
当且仅当1
t t
=，即1t =时取等号，此时2x =，故函数21(1)1x x y x x -+=
>-的最小值为3.解法2：也可把函数的解析式看成关于x 的方程，将方程变形，利用判别式研究y 的最值，
将21
1
x x y x -+=-变形成2(1)1y x x x -=-+，整理得：2(1)10x y x y -+++=①，
将式①看成关于x 的一元二次方程，其判别式2(1)4(1)0y y ∆=+-+≥，解得：1y ≤-或3y ≥，我们要求的是y 的最小值，所以先用x 的范围把1y ≤-这一段舍掉，
因为1x >，所以10x ->，210x x -+>，从而0y >，故3y ≥，接下来验证y 可以等于3，
注意到当2x =时，3y =，所以函数21
(1)1
x x y x x -+=
>-的最小值为3.【变式3】函数2
1
(1)1
x y x x x -=>-+的最大值为
.
答案：
13
解法1：像这种
一次函数
二次函数
型的分式函数，可令一次函数部分为t ，再分子分母同除以t ，
令1t x =-，则0t >，1x t =+
，所以2211
1(1)(1)1131t t y t t t t t t =
==≤+-++++++，当且仅当1
t t
=，即1t =时取等号，此时2x =，故函数2
1(1)1x y x x x -=
>-+的最大值为13
.
解法2：也可把函数的解析式看成关于x 的方程，将方程变形，利用判别式研究y 的最值，将2
1
1
x y x x -=
-+变形成2(1)1y x x x -+=-，整理得：2(1)10yx y x y -+++=①，
当0y ≠时，把①看成关于x 的一元二次方程，其判别式2[(1)]4(1)0y y ∆=-+-+≥，解得：113
y -≤≤，要得出y 的最大值是1
3
，还需要验证等号能成立，注意到当2x =时，13
y =，所以函数21(1)
1x y x x x -=
>-+的最大值为1
3
.【变式4】函数22
22
(1)1
x x y x x x -+=>-+的最小值为.
答案：
23
解法1：
二次函数
二次函数
型的分式函数，可以通过拆项把分子化为一次函数，将问题化归成变式1的类型，
由题意，2222
222(1)(1)1
1111
x x x x x x y x x x x x x -+-+---===--+-+-+，令1t x =-，则0t >，1x t =+
，且2212
11111(1)(1)1131t t y t t t t t t =-
=-=-≥-+-++++++，
当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，从而函数22
22(1)1x x y x x x -+=>-+的最小值为23.解法2：将2222
1
x x y x x -+=-+变形成22(1)22y x x x x -+=-+，整理得：2(1)(2)20y x y x y -+-+-=，
当1y ≠时，将该方程看成关于x 的一元二次方程，其判别式2(2)4(1)(2)0y y y ∆=----≥，解得：
2
2(1)3
y y ≤≤≠，要得出y 的最小值为23
，还需要验证等号能成立，
注意到当2x =时，23y =，所以函数2222(1)1x x y x x x -+=>-+的最小值为2
3
.
【变式5
】函数y 的最大值为
.
答案：
14
解析：此处虽不是
一次函数
二次函数
看成一次的，故将其换元成t ，
设t =1t ≥，2
2
1x t =-
，且211
444
t y t t t ==≤++，当且仅当4t t =，即2t =
时取等号，此时x =，所以函数215y x =+的最大值为1
4
.
强化训练
1．（2021·烟台期末·★）函数4ln(1)
y x =+的定义域为（
）
（A ）[2,2]-（B ）(1,2]-（C ）(1,0)(0,2]- （D ）(1,1)(1,2]
- 答案：C
解析：由题意，240ln(1)010x x x ⎧-≥⎪
+≠⎨⎪+>⎩
，解得：10x -<<或02x <≤.
2．（2022·临潼一模·★）已知2(1)ln f x x +=，则()f x =（）
（A ）2ln(1)x +（B ）2ln(1)
x +（C ）2ln 1
x -（D ）2ln(1)
x -答案：C
解析：设1t x =+，则1x t =-，2()ln(1)2ln 1f t t t =-=-，所以()2ln 1f x x =-.
3．（2021·遂宁期末·★★）若函数(1)f x +的定义域为[1,0]-，则(lg )f x 的定义域为（）
（A ）[10,100]（B ）[1,2]
（C ）[1,10]
（D ）(0,1]
答案：C
解析：(1)f x +的定义域为[1,0]10011x x -⇒-≤≤⇒≤+≤，
括号范围恒不变，所以0lg 1x ≤≤，从而110x ≤≤，故(lg )f x 的定义域是[1,10].
4．（2022·安徽四校联考·★★）已知()f x 的定义域为(0,)+∞，且1()2()ln f x f x x
=+，则()f x =.
答案：
ln 3
x
解析：在1()2()ln f x f x x =+中将x 换成1x 可得11()2()ln f f x x x =+，所以1()2(ln 11()2()ln f x f x x f f x x
x ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩①②，
2+⨯①②得：111()2()2()ln 4()2ln f x f f x f x x x x +=+++，整理得：ln ()3
x
f x =.
5．（2021·德州模拟·★★）函数2
2()2(03)x x
f x x -=≤≤的值域是
.
答案：1
[,8]
2
解析：将指数部分换元成t ，令22t x x =-，则2(1)1t x =--，且()2t f x =，因为03x ≤≤，所以13t -≤≤，从而
1282t ≤≤，故()f x 的值域是1[,8]2
.6．（2022·湖北模拟·★★）函数22
1
x x y x -+=+在[0,4]上的最小值为
.
答案：1
解法1：设1t x =+，则1x t =-，因为04x ≤≤，所以15t ≤≤，
且2222(1)(1)23443311x x t t t t y t x t t t -+---+-+====+-≥=+，
当且仅当4
t t =，即2t =时取等号，此时1x =，所以函数221x x y x -+=+在[0,4]上的最小值为1.
解法2：将22
1
x x y x -+=+变形成2(1)2y x x x +=-+，整理得：2(1)20x y x y -++-=①，
将式①看成关于x 的一元二次方程，则其判别式2(1)4(2)0y y ∆=+--≥，解得：7y ≤-或1y ≥，因为04x ≤≤，所以10x +>，220x x -+>，从而0y >，故1y ≥，
注意到当1x =时，1y =，所以函数22
1
x x y x -+=+在[0,4]上的最小值为1.
7．（2022·辽宁模拟·★★★）函数221
1
x x y x x ++=-+的值域为
.
答案：1[,3]
3
解法1：先将分子的平方项按分母的形式配凑，拆项化为
一次函数
二次函数
的结构，
由题意，222221(1)221111
x x x x x x
y x x x x x x ++-++===+
-+-+-+，下面将x 除到分母上，先考虑0x =的情形，当0x =时，1y =；当0x ≠时，2111y x x =+
+-，易求得12x x +≤-或1
2x x +≥，所以1
13x x +-≤-或111x x
+-≥，从而22013
1x x -≤
<+-或20211x x
<≤+-，所以1
13y ≤<或13y <≤，综上所述，函数2211x x y x x ++=-+的值域为1
[,3]3
.
解法2：2222
1
(1)11
x x y y x x x x x x ++=⇒-+=++-+，整理得：2(1)(1)10y x y x y --++-=①，当1y =时，0x =；当1y ≠时，方程①可以看成关于x 的一元二次方程，其判别式22(1)4(1)0y y ∆=+--≥，解得：1
3(1)3
y y ≤≤≠，
综上所述，函数2211x x y x x ++=-+的值域为1
[,3]3
.
8．（2022·北京西城二模·★★★）若函数2
23,0
()(2),0x x f x x x a ⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩
的定义域和值域的交集为空集，则实数a 的取值范围是（）
（A ）(0,1]（B ）(0,1)
（C ）(1,4)
（D ）(2,4)
答案：B
解析：由题意，()f x 的定义域是(,]a -∞，下面求()f x 的值域，在两段上分别考虑，当0x ≤时，()23x f x =+，因为3234x <+≤，所以()f x 在(,0]-∞上的值域为(3,4]；此时要使()f x 的定义域和值域交集为空集，则03a <≤，下面再考虑第二段的值域，要讨论a 和对称轴2x =的位置关系，当02a <≤时，()f x 在(0,]a 上的值域为2[(2),4)a -，
要使定义域(,]a -∞与2[(2),4)a -的交集为空集，应有2(2)a a ->，解得：1a <或4a >，故01a <<，当23a <≤时，()f x 在(0,]a 上的值域为[0,4)，此时()f x 的定义域和值域交集不为空集，不合题意，综上所述，实数a 的取值范围是(0,1).
9．（2021
·江苏模拟·★★★）函数y =的最大值为
.
答案：
12
解析：
设t ，则1t ≥
，且211
112
t y t t t ===≤++，当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时0x =
，所以函数22y x =+的最大值为1
2
.
10．（2021
·广西三校联考·★★★）函数y 的最小值为.
答案：4
解析：解析式中分母这部分最复杂，将其整体换元，
设1t ，则1t ≥，2(1)1x t =-+，
所以222[(1)1]124332444
t t t y t t t t -+--+=
==+≥=，
当且仅当32t
t
=，即t =
时取等号，从而函数y 的最小值为4.。