专题培优——两组平行与拐点

2

1

F

A B

E

G H

D

相交与平行终极挑战

类型一：两组平行线问题

例题1：如图，AB∥CD，∠1＝∠2，求证：∠F＝∠M

例题2：如图是一个汉字“互”字，其中，GH||EF，∠1=∠2，∠MEF=∠GHN。求证：（1）∠MGH=∠GHN

（2）AB||CD.

例题3：如图，已知∠1、∠2互为补角，且∠AFE＝∠ACB

(1) 求证：∠EFD＝∠B

(2) 若CE平分∠ACB，且∠1＝75°，∠EFD＝40°，求∠AFE的度数

练习1：如图，已知∠1、∠2互为补角，且∠3＝∠B，求证：∠AFE＝∠ACB

练习2：(1) 如图1，已知：∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B

①求证：AB∥EF；②判断∠AED与∠C的大小关系，并证明

练习3：如图，E在AC上，AB∥ED，∠D＝∠A

(1) 求证：AC∥BD

(2) 若∠D与∠C互余，求证：BC⊥AB

第24题A B

C D E

F

图2

图1

F E

D C B

A 类型二、代数法来研究角之间的数量关系

例题：已知如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ，延长ＢＣ至点Ｅ，连接ＡＥ交ＣＤ于点Ｆ使∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ，∠A ＣＢ＝∠ＣＦＥ （1）求证∠ＢＡＦ＝∠ＣＡＤ （2）求证ＡＤ∥ＢＥ

（3）若ＢＦ平分∠ＡＢＣ，请写出∠ＡＦＢ与∠ＣＡＦ的数量关系并加以证明

类型三：拐点问题 例题1：已知AB ∥EF

1、 如图:1，∠BAC ＋∠ACE ＋∠CEF ＝_________，并证明你的结论

2、如图2，AG 平分∠BAC ，EG 平分∠CEF ，试猜想∠AGE 与∠AOE 的数量关系，并证明你的结论

例题2：已知直线AB ∥CD ，E 为直线AB 、CD 外的一点，连接AE 、EC (1) E 在直线AB 的上方（如图1），求证：∠AEC ＋∠EAB ＝∠ECD (2) ∠BAF ＝2∠EAF ，∠DCF ＝2∠ECF （如图2），求证：∠AEC ＝

2

3

∠AFC (3) 若E 在直线AB 、CD 之间，在(2)条件下（如图3），且∠AFC 比∠AEC 的3

4

倍少40°，则∠AEC 的度数为_________（不用写出解答过程）

A C

D

B E F ①

P A

C

D

B E F ①

P

A C

D B

E

F ③

P

练习：1、(1)如图, AC 平分∠DAB , ∠1=∠2, 试说明AB 与CD 的位置关系, 并予以证明；

图1

(2) 如图, 在(1)的条件下, AB 的下方两点E , F 满足：BF 平分∠ABE , DF 平分∠CDE , 若∠DFB =20°,∠CDE =70º, 求∠ABE 的度数；

(3) 在前面的条件下, 若P 是BE 上一点；G 是CD 上任一点, PQ 平分∠BPG ,PQ ∥GN , GM 平分∠DGP , 下列结论：①∠DGP －∠MGN 的值不变；

②∠MGN 的度数不变.可以证明, 只有一个是正确的, 请你作出正确的选择并求值.

2、 已知AB ∥CD ，线段EF 分别与AB 、CD 相交于点E 、F ．

（1）如图①，当∠A =20°，∠APC =70°时，求∠C 的度数； （2）如图②，当点P 在线段EF 上运动时（不包括E 、F 两点），∠A 、∠APC 与∠C 之间有怎样的数量关系？试证明你的结论；

（3）如图③，当点P 在线段EF 的延长线上运动时，（2）中的结论还成立吗？试探究并直接写出它们之间新的数量关系（不需要证明）．

B

Q

3、两条直线AB ∥CD ，在两直线外取一动点P .

(1)当P 点运动到图1，图2时，直接写出∠BAP ,∠PCD , ∠APC 的关系

(2)当P 点运动到如图3,图4时,写出∠BAP ,∠PCD ,∠APC 的关系,并选择一个证明；

图4

图3

图2

图1

A

B

C

D

P

A

B

C D

P

A

B

C D

P

A

B C

D

P

终极挑战：已知，点E 、F 分别在直线AB 、CD 上，点P 在AB 、CD 之间，连结EP 、FP ．如图1，过FP 上的点G 作GH ∥EP ，交CD 于点H ，且∠1＝∠2 (1) 求证：AB ∥CD

(2) 如图2，将射线FC 沿FP 折叠，交PE 于点J ，若JK 平分∠EJF ，且JK ∥AB ，则∠BEP 与∠EPF 之间有何数量关系，并证明你的结论

(3) 如图3，将射线FC 沿FP 折叠，将射线EA 沿EP 折叠，折叠后的两射线交于点M ，当EM ⊥FM 时，求∠EPF 的度数