扬州2019-2020学年度第二学期5月调研考试试题高三数学参考答案(新)

2019-2020学年度第二学期5月调研考试试题
高三数学参考答案
则 sin J = cos A ，
因为在中，,6（0頒），所以sin 』二cos 』＞0 所以 tan A = 1' 所以/ = %
4
由(1)^0 A = — 9 又因为 tan B =—,
4 5
]+ °
所以 tan(A + B) = tan(— + B) = '' B _ = 一11 ,
4 1-tanB ]_Q
5
因为在臨8。

中，, + 3 + C =〃，所以 tanC = -tan(yl + B)=ll ,
bi 、【• g - •八 - 2sinCcosC 2tanC 2x11 22 11 所以 sm2C = 2smC cosC = ---------- z= ------------ z= ---------- =——=— sin 2C + cos 2C l + tan 2C l + ll 2 122 61 证明：(1)取力。

中点O,连
结QD.
在三棱柱ABC-AiBiCi 中，四边形ACCiAi 为平行四边形，BBU/CG//AA i 且那i=44i. 因为O 为平行四边形ACCiAi 对角线的交点，所以O 为AiC 中点.
又 BBi //AAi, BBi=AAi,所以 OD//BB1,且OD = -BBi.
2
又F 为BBi 中点，所以OD 〃段，且OD=BF,所以OD 段为平行四边形
所以世〃瓦），
..................... 5分
又因为3£）u 平面/3C, 骨。

平面ABC, 所以骨〃平面/3C ；
............... 7分 （2）因为30=3（, F 为BBi 中点.所以以丄B 句
又因为丄平面BCCfi ,邸iu 平面BCC.B,,所以AFIBBi.
............... 9分 因为C •尸丄3句，AFIBBi, CFu 平面AFC, /Fu 平面/死，CFC\AF=F, 所以邸1丄平面/死. ....... 11分
又/Cu 平面/死，所以BBiLAC
1. {x 0 v x v 2}
2.
画
2
3. 30
4. 15
5.
6. 1
7. 2>/5
o
&2皿
9. 121 10.
6
6
11. 充分不必要
12.頌
13. -1
33 14.
2
—•.
解答题：
-1 15. 解：⑴因为 2S3ccM 所以 2x»smQcc°s/, 一、填空题:
3>/10 5
14分
16. 又。

为如中点，所以8〃"，且。

睥扣L
....................... 2分
又由（1）知 881HCC\,所以 ACICCu
在三棱柱ABC-AiBiCi 中，四边形ACCiAi 为平行四边形， 所以四边形ACCiAi 为矩形.
........... 14分
17. 解：（1）因为架面与架底平行，且44］与地面所成的角为三,米，
所以“支架高度” A = lxsin| = ^（米）. ......4分
（2）过。

作OO X 1平面43］G ，垂足为Q. 又Q4u 平面46G ，所以OQ 丄Q4，
又44］与地面所成的角为。

，所以O X A X =-cos0
3
同理 O 1C 1 = QB ］ = —cos0 ,
所以Q 为等边三角形4A C I 外心，也为其重心， 所以 8Ci =4Q •；,亍=jcos^x ^3 = ^^-cos0 , 答：（1）当0 =-时，“支架高度”为由米；
3 2
9
（2） “支架需要空间”的最大值为兰立方米.
50 18. 解：（1）设椭圆E 的焦距为2c （c 〉0）,
则e=g=M=乎可知/=2胪.
S WEG =^X (^COS 0)2 =
冬 cosM
100
记“支架需要空间”为 则 J 響cosWsin 。

，姦
71 71
令，二 sin 。

，R1J t e
1 V3
2’ 2 所以 F = 27A /3
2
27^ 3) ?
隹 100 100
1 V3 2’ 2
又
27A /3Z 1 喝2、 810/ 1、 81熟\ 爲“ &、 ------ (1 - 3r) = ---------- (r --) = ------------- (t + —)(z ------ ), 100 100 3 100 3 3 则当捉乌手）时，r>0, T 单调递增；当捉（手，乎）时， r<o, /单调递减.
27气旦（鸟］=空^<也丄史（立方米）.13分
与ax
100 L 3 '3
------ X ---- X —： 100 3 3 50
14分
又因为椭圆E 过点(1.—)，所以丄+丄=1,
2 a 2b
Y 2
解得疽=2 $ = 1 ,所以椭圆的标准方程为^- + /=1, ⑵设,31舟)，£(&以)，C(x 37y 3), D(x 47y 4).
y ~X + t
' 得3x?+4/X + 2尸 一2 = 0 , x 2 + 2y- = 2
又直线/ :y = x + t 与椭圆E 相交于力,8两点,
4
X
1 + X
2 = —
J
2 厂 I 且 A = (4 庁一 4x3x(2 户一 2)>0,则一右5〈右. x }x 2 = 所以 CD = yj(x 4 — x 3)2 + (y 4 — y 3)2
=+ (T)? - y/(x 3 + x 4)2 — 4x 3x 4
又 teW),所以当 f = 0 时，C£»max =>/2-Jt ⑶ 由(2)知，AC-AD = (x 3 -x 1?y 3 --(x 4
-x 1?i y 4 -^)
=(X 3 - 乂])(乂4 -工1) + (》3 - ZX^4 - Z) 4 4
=(乂3 -X 1
)(X 4
—*]) + (—丛 _X
1 _
—0(_X
4 —乂1 —
,
\
2
/
4
、/ 、 2 8 16 2
=*3*4 —(工3 + *4)*1 + *] + *3*4 + (*1 ------------ 『)(*3 + *4)+ *1 疣 1 ---------- 1
c 4 /
、 c 2 8 16 2
=2x,x /| H —n Xo
+ *』)+ 2X] H —tx y ------ 1 ,
3 4
3
1 3 9
3x ； + 4/X] + 2尸—2 = 0,
所以 AC • AD — 2工3*4 + —札工3 + *4)+ a (3x 《+ 4 疣])-\—— t 。

所以
设如的中点M(X M , y M ),则x M -x ^ + x
-
2
所以如的中垂线的方程为＞ =-x-
2 1
=-必/=知+「= 了， 即直线CD 的方程为〉=-*-；匚
由＜ 1 ’―—X —5 '得27乂2+12/X + 2" —18 = 0 ,贝 ° <
4
X
3 + 工
4 = - § 八
2 尸-18
E =
27
J(—» —4(勺尹)*/ 畠+§,
81 3
10分
13分
X3X4 =
2? -18
27
c 2"—18 4 / 4、 2八。

2、 16 2 =2x ---------- + -/x (——0 + -(2-2?) +
27 3 9 3 9 ,4 16 36 48、2 八 27 27 27 27
19. 解：(1)设力(x) = /(x) - g(x) = x - — - In x ?
x
,1、2
3
贝"，3)=1 + 4_丄=「±1=_
>0 XX X
X
所以力⑴在(0?+oo)上递增，又h(l) = 0 ,所以0<x<l, 所以Z(x)-g(x)< 0的解集为(0,1). ................... 4分
(2)① 证明：u(m)+u(ri) = 0
f7(m 2 -l)-lnm + f7(^2 -l)-ln^ = 0 ,
BP a(m 2
+ n 2
-2) -Inm -Inz? = 0 , 又 & < 0 , 所以 + 乃2 _ 2) - In 77? - In = 0 < a(2mn -2) - In 因为,所以”=”不成立.
^mn = t, v(t) = a(2t-2)-]nt (/>0 ),贝lj v f (t) = 2a-^<0 ,
所以V (O 在(0,+8)单调递减， 又 v(l) = 0,所以 fvl,即 mn<l.
思路二:
{ixiS mn>l,贝 lj 2mn - 2 > 0 , In(m^) > 0 ,所以。

(2/w? — 2) — ln(/w?)
V 0 , 这与 一2) — ln(m 〃) > 0 矛盾,............................ 10 分
② u(x) = xf (x) -g(x) =(7(x 2 -1) - In x,
i lax 1
— 1
当 A 〉0 时，u'(x) = 2ax ——= ---- ,令 z/(x) = 0得 x = ±,
X X 又 W(l) = 0 .
1°当 日时, “(X )有一个零点.
12分
2°当
v], BP a
如,
由?/(1) = 0可知
< 以(1) =
0 ,
又以(/)>0,且/
所以，以(x)在(0,1)有一个零点，故此时以(x)有两个零点; >1,即0 <。

<丄时，由以1) = 0可知
2
3°当
<1,
14分
< Z7 (1) =
0 ?
.................. 16分
10分
「负值舍去)
时，u f
(x) < 0 , "(x)为减函数,
必(x)>0, u(x)为增函数
所以当xe| 0.
时, +GO
当XE
1 1 一 x
令(p(x) = Inx — (x — 1)'贝U=——1 =——-,
x x
所以当 XG (0,1)时，o'(x)>0, 0(x)单调递增；当 X£(l,+oo)时，(p'(x) < 0 , 0(x)单调 递减.所以饥x)max =饥1) = °，故lnx<x-l,贝lj-lnx>-(x-l).
所以 u(x) > a(x 2
-1) - (x -1),所以 w(—-1) > 0 ,且—-1 >1,
a a 所以，以X )在(1,+00)有一个零点，故此时以X )有两个零点.
综上，当a=-时，“（X ）有1个零点；当a>0且aw 丄时，“（x ）有2个零点....16分 2 2 20. 解：（1）因为 a” =泞,所以 A<7… =a K+1-a K =（w + l ）2 -w 2 =2w + l,
则= 2 ,又Aa ； = 3 ,所以｛Aa“｝是首项为3,公差为2的等差数列.
因为*«=皿\-皿=2,则｛蕾％｝是首项为2,公差为0的等差数列 .................. 2分 （2）因为数列｛勿｝是公比为g 的正项等比数列，所以b n =b x q n
-\
又AX = A*B +1 -Ab n =b n+2 -b n+l -（b n+x -b n ） = b n+2-2b n+1+b n ,且对任意的mN*,都存 在m e N*,使得△%»=々,,,
所以对任意的« eN*.都存在meN*.使得切巾-2九矿+九矿）=切妇， 即（0-1）2=/'「”，因为g22,所以 m-n>0.
1°若m-n = 0,则/- 2g+ 1 = 1,解得<7 = 0 （舍）或g = 2 ,即当g = 2时，对任意的M e N*, 都有R =b n .
2° 若 m — n = 1，贝 R2 — 3g + l = 0,解得 q = -―（舍）或 g = ‘ + ',即当 g = ‘ + " 时，
2 2 2 对任意的«eN*,都有^b n =b n+1.
3 °
m-n>2 ,则矿>q 2 >（^-1）2 ,故对任意的M e N* ,不存在e N* ,使得
(3)因为 A 2C K = 0 ,所以 A 2c n =
Ac n+1 - A C K = c n+2 -c n+x - (C K +1 -c n ) = c n+2 -2c n+} + c n = 0 ,
贝u 勺+2 -勺+1 =勺+1 - G ，所以｛c ｝是等差数列•设｛c ｝的公差为d ,则C n =c x +（n- V ）d .
若刁<0,贝U 当7?>1 —时，c <0 , d 与数列｛勺｝的各项均为正数矛盾，故d>0.
.................... 10分
由等差数列前n 项和公式可得S n =|«2
+（C1-|>,
所以
= fl+e _?）"+?
矛+& _?）所=\（护+所 2）+e _?）（所+冗）,
- d , d..m + n x
&毎(丁)-+(4-项(丁)
综上所述，g 所有可能的取值构成的集合为｛2, 3 + 75 ~2~
................... 8分
n+\
▽
77?2 + n 1
(m + nf
Tn k /?， > ，
2 4
所以 & +，= f (疽 + 冰)+ (。

1 一 y)(m + M ) > f ；")+ (q - f)。

77
+ ") = 2S k ,
则当12时，不等式都成立.
......... 另一方面，当，>2 时，令 m = k + \, n = k-l(k e?i\k>2), 则，祖 + & =寻〔("+1》+ (* -1)?) + (q -0)x 2上=0(2上2 + 2) + 2k(c }-—)， S 氏=%F + (q _?)上， 则也—(％ +&) = ?，— +(q —?)食一?(2上2 +2) — 2上(q -?)
=Jt — d)(k 2 -k) + (t-2)c x k-d,
(2)设直线/上任一点(丛y)在矩阵"对应的变换作用下变为(x>9
nri -3 2]「x]「-3x + 2v] 「x'].
.
,,
即 =
"= 在x + 3v = 0上，
........ 8分
_ 2 -1J |_yj L 2x
~y J 3'_
则-3x + 2y + 6x-3y = 0 ,即3x-y = Q ,所以直线/的方程为3x-y = 0 ........................... 10分
圆/? = 2-J1 sin （。

-于）化为普通方程为疽+ 2x + y 之- 2y = 0 ,
即 3 + 1)2+ 3 - 1)2 =2.
......................6分 圆心c 到直线/的距离宀士*
..................... 8分
所以直线1被圆c 截得的弦长为2*
(M - *•
..................... 10分
23.解：（1）因为"=頌=60, m = = 36,所以月=普=［；
答：摸到三位数是奇数的概率2
.................. 4分
5
（2）获奖金额X 的可能取值为50、100、200、300、400、500,
P （X = 50）=1,户次=100）=比冬=丄，F （X = 200）=Q^ =丄，
5 60 10 60
20
12分
因为9项＞0优_阵0,所以当S 综上，I 的最大值为2.
g 时3—"。

，即
16分
21.解：（1）用待定系数或公式可求得M =
-3 2
2 -1
22.解: 把直线方程/:
(x = 3t
" = 1T 化为普通方程为x + y = l.
........................... 3分
C,、,、、 1x3x2 1 z” “、,、、1x3x1 1 dr re 、1x3x2 1 戸八
P(X =300> ------------ = —， P(X = 400> ---------- =——，P(X = 500)= ----------- = 一， ...7 分
60 10 60 20 60 10 获奖金额X n
门
(3)设«…=Z (-1/C,：—,
k + 2
n-1
则 a,,=l + £(T )*(C,L+C,U )
^=l
2020
所以 £(一 l)"Uo2O
^=0
2 _
_ 1
Jr _l_
"2020 z~t 2020
"十」
°
2022
20 +1)
传+ 2)传+1)
20 +1)
0 + 2)!(2020一幻！ 2022x2021 2020
2022x2021
k=Q
n
2020
____ ______ y (-i}k
.(k+2 - D . C k+2
cmc cmi ____ 乙〔' 丄丿。

2022
=a n-l
n
0 O n
=a
n-\
n
n
门 £(T )C-£(T )*« 厂" 人=o
^=o
用 + Z
=a
n-\
n
n n -1
—%-1 *n=
—7— a
n-2
n\2\ 1
所以％"2
又［=?,所以％ =（, + 2）! c ：2
〃 (〃 一1) , •・3 • 2
--------------- a, S + 2)(〃 + l) 1
1011x2021 2043231
（结果没化筒，不扣分）
10分 X
50 100 200 300 400 500 P
3
5
J_ 10
J_ 20
J_ 10
J_ 20 J_ 10
3 均值 E(X>50X T + 100: 答：期望是150元. 24.解：(1)亠专=亠
k + \ n k + \
10分
n\ (n +1)!
们(n —k)! n + \ (k +1) !(n- k)!
(2)(-1)° C ；020 + (-1)1
：《；020 + (-1)2
:C ；020 +••• + (-1)2020
7^7^2020
2020
1
二 £(一1)”厂一强。

2。

ti 上+ i -1 严。

202]
1 2020 1
一£(-"滸= 2021 2021
2020
方法二：£(-1)* 驾2。

^=0
2 _萝(2020!
k + 2~ 1(2020-jt)!
2020 ofpo I = £(_1).. 2022!
^=0
2 20 20
x"0x5>4+400x3500>4 = 150 元
1 10 1 10
+1
+1
2022 x 2021 k=Q
2020 --2022£(-l)i+1- C^-((l-l)2022 - 1 -C"(T )')
^=0
_
[—2022 . ((1 — l)2°2i 1) +1 2022
2022x202 — 042021 204^时结果没化简，不扣分）】。

分
2 2022x2021
2020 _^=o
2020 ^=0
2
2022x2021 2020 . £(一1产2022(誓一£(一1尸2.志
_^=0 2020
^=0
2022x2021
2022x2021。