高斯小学奥数六年级上册含答案第03讲递推计数

第三讲递推计数
换个月
fl.方忸就
有许多计数问题很复杂，直接处理比较困难，此时硬碰硬是不行的.一个比较有效的策
略是退而求其次：先考虑该问题的简单情形，看看简单情形如何处理；在解决了简单情形后，
再考虑如何利用简单情形的结论来解决更复杂的问题……这个由简单到复杂的推导过程就
叫“递推”.
那如何利用“递推法”来解决计数问题呢？下面我们就来看几个例子.
例1.老师给小高布置了12篇作文，规定他每天至少写1篇.如果小高每天最多能写3篇，那么共有多少种不同的完成方法？（小高每天只能写整数篇）
「分析」从简单情况入手，看看能否找到合适的突破口 .如果老师只布置1篇作文，小高有多少种不同的完成方法？如果老师布置2篇作文，小高有多少种不同的完成方法？
如果老师布置3篇、4篇、……小高又分别有多少种不同的完成方法？篇数由少到多，
完成方法数也会逐渐变多，这其中有什么规律呢？
练习1、一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈二级台阶或三级台阶.走完这12级
台阶，共有多少种不同的走法？
10 3的方格表，共有多少种覆盖方法？
例2.用10个1 3的长方形纸片覆盖一个
「分析」与例1的类似，我们还是从简单情形入手找递推关系. 可具体从什么样的情形入手呢？
练习2、用7个1 2的长方形纸片覆盖一个7 2的方格表，共有多少种覆盖方法？
例3.在一个平面上画出100条直线，最多可以把平面分成几个部分？
「分析」当直线数量不多时，画图数一数即可.但现在有100条，画图数并不现实.我们不妨在纸上将直线逐一画出，并在画的过程中仔细观察：每增加一条直线，平面被分
成的部分会增加多少？这个增量有什么变化规律？
练习3、如果在一个圆内画出 50条直线，最多可以把圆分成多少部分?
卜面我们来学习一类很经典的递推计数问题一一传球问题.
例4.四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外
三个人中的任意一个. 先由红衣人发球， 并作为第1次传球，经过8次传球后球仍然回 到红衣人手中.请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？
「分析」看到这个问题，很多同学可能想通过树形图来求解，我们不妨来试一试.设穿 着红、黄、绿、蓝四种颜色球衣的人分别是
A 、
B 、
C 、D.如下图，最开始时，球在 A
手上，第一次传球由 A 传给B 、C 、D,也就是第一层有三个字母就够了.然后
B 、
C 、
D 都会继续往下传球，各有 3种传法，传到第二层需要 9个字母.再传到第三层，需要 27个字母……
每一层需要的字母增加迅猛！ 如果传8次球，到最后一层会用到 38 6 561
个字母，这要多大的一个树形图啊！
可见画树形图的方案不可行. 但树形图对这道题就没有用了吗？并非如此. 它可以帮助
我们找出传球过程中所隐藏的递推关系. 事实上，我们并不关心树形图长啥样，
我们关
心的是数量一一树形图每一层分支的数量.
因此，只要知道每一层各字母出现的次数就
可以了，我们不妨制作一个表格来统计这个次数.如下表，我们用第一列来表示层数， 第一行来表示每个人， 其余空格用于填写字母在该层中出现的次数.
请你从上方的树形
图中数一数，填出表格中的前几行. 然后思考一下：这其中隐藏着什么样的递推关系？
A
B
C
D
1
2
3
4
5
BCD ABDABC BCD ACDABC BCD
练习4、三个人分别穿着红、黄、蓝三种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另
外两个人中的任意一个. 先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过7次传球后传到蓝
衣人手中.请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？
解传球问题的方法称为“传球法” .“传球法”是递推法的一种特殊形式，是一种极其实用的数表累加计数法.
例5. 一个七位数，每一位都是1、2或者3,而且没有连续的两个1,这样的七位数一共有多少个？
「分析」这道题与前面两道题有何异同？应该如何求解呢？
前面的计数问题，递推关系都表现为数列、数表的简单累加，但这不是递推的全部.简单累加只是递推的一种表现形式，递推还有很多其它形式. 下面我们就来看一道无法通过简单累加求解的计数问题.
例6.圆周上有10个点A i、A2、L、A10,以这些点为端点连接5条线段，要求线段之间没有公共点，共有多少种连接方式？
「分析」圆周上10个点，连5条线段，连法很多，很难直接画出来枚举. 像这类问题，我们同样还是从简单的情况入手.那么是应该按1个点、2个点、3个点、……这样依次计数，来找递推关系吗？
课堂内外
神奇的汉诺塔
一位法国数学家曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯(在印度北部)的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针. 印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根
针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔.不论白天黑夜，总有
一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在
大片上面.僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽.
不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针
上，并且始终保持上小下大的顺序.这需要多少次移动呢？这里需要递归的方法.假设有n 片，移动次数是f(n).显然f(1) 1, f(2) 3, f(3) 7,且f(k 1) 2f(k) 1 .此后不难证明f(n) 2n 1. n 64 时，f (64) 264 1 18446744073709551615.
假如每秒钟一次，共需多长时间呢？一个平年365天有31536000秒，闰年366天有31622400 秒，平均每年31556952 秒，计算一下，
18446744073709551615/31556952=584554049253.855 年.
这表明移完这些金片需要5845亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期
寿命据说也就是数百亿年.真的过了5845亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切
生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭.
作业
1.有10个蛋黄派，萱萱每天吃1个或2个，那么共有多少种不同的吃法？
2.甲、乙两人玩抓石子游戏，共有12个石子，甲先乙后轮流抓取.每次可以抓取其中的
2个、3个或4个，直到最后抓取完毕为止.那么共有多少种抓取石子的方案？
3.用直线把一个平面分成100部分，至少要在平面上画几条直线？
4. 一个七位数，它由数字0、1、2、3、4组成，相邻位置上的数字不相同，并且个位数字
是2.这样的七位数有多少个？
5.用8个1 2的长方形纸片覆盖下面的方格表，共有多少种覆盖方法?
第五讲进位制问题
例题:
例7.答案：(1) 31023、3735、11B9、7DD; (2) 257; (3) 1742
详解：
(1)
5 3 (3)
16 2013 ......13 16 125 ......13 16 7 (7)
(2) 2 53 0 52 1 5 2 50
257; (3) 2 123 0 122 1 12 2 120 1742 .
例8.答案：(1) 5; (2) 13121、731
详解：三进制转九进制从右往左两位两位转换； 二进制转四进制从右往左两位两位转换;
二进制转八进制从右往左三位三位转换.
例9.答案：15031
详解：列竖式计算.
例10.
答案：212. a=5、b=5、c=2
例11.
答案：10个
详解：若要称量1克的重量必须有1克的祛码，若要称量2克的重量必须有2克的祛码， 依次类推可得：1+2+4+8+16+32+64+128+256+512 ,此时可以称量 1克到1023克的所 有重量，此时需要10个祛码.
例12. 答案：12
5 2013 ……3八 5 402 ……2 5
80 ……1 5|16…… 0 8 2013 8 251 8
31 8 3
2 +
3 7 3
12 2013 12
167
12 13 12 1
9 八 12 1 1
详解：所看页数列为1、1、2、4、8、256、512、989．
练习：
6.答案：554；2781；195；722
7.答案：16157
8.答案：21234
9.答案：248．a=5、b=0、c=3
作业：
1.答案：（1）354；（2）458；（3）C30；（4）14443；（5）
433；（6）85
2.答案：（1）1131 ；（2）12312
3.答案：100
简答：a 很容易知道只能为 1 ，再根据进位制展开解方程得出b、c 均为0，所以原数十进制是100．
4.答案：22
简答：由题意有abc 3 cba 4 ，其中a、b、c 均小于3，则有 9a 3b c 16c 4b a ，
化简得8a b 15c,符合条件的a、b、c为2、1、1,化成十进制是22.
5.答案：24
简答：由题意有47 a 74 b ，其中a、b 均要大于7，则有4a 7 7b 4 ，符合条件
的最小的a、b 为15、9，和是24．。