2019年秋季沪科版八年级上册数学第三章三角形中的边角关系命题与证明单元测试卷

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2019年沪科新版八年级上册数学《第13章三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷(解析版)

2019年沪科新版八年级上册数学《第13章三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．如图中，三角形的个数为（）A．3个B．4个C．5个D．6个2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定3．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积＝9，则S1﹣S2＝（）为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABCA．B．1C．D．24．下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（）A．5cm，3cm，9cm B．5cm，3cm，8cmC．5cm，3cm，7cm D．6cm，4cm，2cm5．如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°．其中正确的结论是（）A．①③B．②④C．①③④D．①②③④6．下列句子中，不是命题的是（）A．三角形的内角和等于180度B．对顶角相等C．过一点作已知直线的垂线D．两点确定一条直线7．下列语句：①每一个外角都等于60°的多边形是六边形；②“反证法”就是举反例说明一个命题是假命题；③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是真命题；④分式有意义的条件是分子为零且分母不为零．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．48．A，B，C，D四个队赛球，比赛之前，甲和乙两人猜测比赛的成绩次序：甲：从第一名开始，名次顺序是A，D，C，B；乙：从第一名开始，名次顺序是A，C，B，D，比赛结果，两人都猜对了一个队的名次，已知第一名是B队，请写出四个队的名次顺序是（）A．B，A，C，D B．B，C，A，D C．D，B，A，C D．B，A，D，C 9．成都七中学生网站是由成都七中四大学生组织共同管理的网站，该网站是成都七中历史上首次由四大学生组织共同合作建成的一个学生网站，其内容囊括了成都七中学生学习及生活的各个方面．某学生在输入网址“http：∥www．cdqzstu．com”中的“cdqzstu．com”时，不小心调换了两个字母的位置，则可能出现的错误种数是（）A．90B．45C．88D．4410．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，应先假设这个直角三角形中（）A．有一个锐角小于45°B．每一个锐角都小于45°C．有一个锐角大于45°D．每一个锐角都大于45°二．填空题（共8小题）11．原三角形如图所示，如图1，原三角形内部有1个点时，原三角形可被分成3个三角形；如图2，原三角形内部有2个不同点时，原三角形可被分成5个三角形；如图3，原三角形内部有3个不同点时，原三角形可被分成7个三角形；…以此类推，原三角形内部有n个不同点时，原三角形可被分成个三角形．12．锐角三角形的三条高都在，钝角三角形有条高在三角形外，直角三角形有两条高恰是它的．13．如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，已知△ABC的面积为10，则△ADE 的面积为．14．三角形三边长为7cm、12cm、acm，则a的取值范围是．15．把“同角的余角相等”写成“如果…，那么…”的形式为．16．命题“互为相反数的两个数的和为0”的逆命题为．17．小聪，小玲，小红三人参加“普法知识竞赛”，其中前5题是选择题，每题10分，每题有A、B两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案和得分如下表，试问：这五道题的正确答案（按1～5题的顺序排列）是．18．电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的0都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中仅有3个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有4个方块已确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有．（请填入方块上的字母）三．解答题（共8小题）19．一个三角形的周长为36cm，三边之比a：b：c＝2：3：4，求a，b，c的值．20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB 与AC的和为11cm，求AC的长．21．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．（1）∠ABE＝15°，∠BAD＝40°，求∠BED的度数；（2）若△ABC的面积为40，BD＝5，则E到BC边的距离为多少．22．已知a、b、c是三角形三边长，试化简：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|．23．如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．下面有三个等式：①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，相构成以下三个命题：命题Ⅰ“如果①②成立，那么③成立”；命题Ⅱ“如果①③成立，那么②成立”；命题Ⅲ“如果②③成立，那么①成立”．（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答）；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）．24．如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题．并证明这个命题（只写出一种情况）①AB＝AC②DE＝DF③BE＝CF已知：EG∥AF，，．求证：．证明：．25．大冠买了一包宣纸练习书法，每星期一写1张，每星期二写2张，每星期三写3张，每星期四写4张，每星期五写5张，每星期六写6张，每星期日写7张．若大冠从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数已超过120张，则5月30日可能为星期几？请求出所有可能的答案并完整说明理由．26．A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．[注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场]．2019年沪科新版八年级上册数学《第13章三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图中，三角形的个数为（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】不在同一直线上三点可以确定一个三角形，据此即可判断．【解答】解：根据图示知，图中的三角形有：△ABE，△ABC，△DEC，△DBC，△EBC，共有5个．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的认识，按正确的顺序计算三角形的个数是解决本题的关键．2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【分析】根据直角三角形的性质即可直接得出结论．【解答】解：∵直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，∴若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；故选：B．【点评】本题考查的是三角形高的性质，熟知直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点是解答此题的关键．3．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S＝9，则S1﹣S2＝（）△ABCA ．B ．1C ．D ．2【分析】S △ADF ﹣S △CEF ＝S △ABE ﹣S △BCD ，所以求出三角形ABE 的面积和三角形BCD 的面积即可，因为AD ＝2BD ，BE ＝CE ，且S △ABC ＝9，就可以求出三角形ABE 的面积和三角形BCD 的面积．【解答】解：∵BE ＝CE ，∴BE ＝BC ， ∵S △ABC ＝9，∴S △ABE ＝S △ABC ＝×9＝4.5． ∵AD ＝2BD ，S △ABC ＝9，∴S △BCD ＝S △ABC ＝×9＝3，∵S △ABE ﹣S △BCD ＝（S △ADF +S 四边形BEFD ）﹣（S △CEF +SS 四边形BEFD ）＝S △ADF ﹣S △CEF ，即S △ADF ﹣S △CEF ＝S △ABE ﹣S △BCD ＝4.5﹣3＝1.5．故选：C ．【点评】本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，根据此可求出三角形的面积，然后求出差．4．下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（） A ．5cm ，3cm ，9cm B ．5cm ，3cm ，8cm C ．5cm ，3cm ，7cmD ．6cm ，4cm ，2cm【分析】根据三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只要把三边代入，看是否满足即可．【解答】解：A 中，5+3＜9，不能构成三角形； B 中，5+3＝8，不能构成三角形； C 中，5+3＞7，5﹣3＜7，能构成三角形； D 中，2+4＝6，不能构成三角形．故选：C．【点评】考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．5．如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°．其中正确的结论是（）A．①③B．②④C．①③④D．①②③④【分析】由已知条件可知∠ABC+∠ACB＝90°，又因为CD、BE分别是△ABC的角平分线，所以得到∠FBC+∠FCB＝45°，所以求出∠CFB＝135°；由平行线的性质可得到：∠ABG＝∠ACB，∠BAG＝2∠ABF．所以选项①③④正确．【解答】解：∵AB⊥AC．∴∠BAC＝90°，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝90°∵CD、BE分别是△ABC的角平分线，∴2∠FBC+2∠FCB＝90°∴∠FBC+∠FCB＝45°∴∠BFC＝135°故④正确．∵AG∥BC，∴∠BAG＝∠ABC∵∠ABC＝2∠ABF∴∠BAG＝2∠ABF故①正确．∵AB⊥AC，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∵AG⊥BG，∴∠ABG+∠GAB＝90°∵∠BAG＝∠ABC，∴∠ABG＝∠ACB故③正确．故选：C．【点评】本题考查了三角形的内角和定理以及平行线的性质，角平分线的性质，具有一定的综合性．6．下列句子中，不是命题的是（）A．三角形的内角和等于180度B．对顶角相等C．过一点作已知直线的垂线D．两点确定一条直线【分析】根据命题的定义即表示对一件事情进行判断的语句叫命题，分别对每一项是否是命题进行判断即可．【解答】解：A、三角形的内角和等于180度是命题；B、对顶角相等是命题；C、过一点作已知直线的垂线，没有对一件事情进行判断，不是命题；D、两点确定一条直线是命题；故选：C．【点评】此题考查了命题与定理，用到的知识点是命题的定义，表示对一件事情进行判断的语句叫命题，关键是能根据命题的定义对每一项进行判断．7．下列语句：①每一个外角都等于60°的多边形是六边形；②“反证法”就是举反例说明一个命题是假命题；③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是真命题；④分式有意义的条件是分子为零且分母不为零．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据多边形的外角，反证法的定义，等腰三角形的性质与判定，分式有意义的条件，进行逐一判定分析，即可解答．【解答】解：①每一个外角都等于60°的多边形是六边形，正确；②“反证法”就是从反面的角度思考问题的证明方法，故错误；③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形为等腰三角形，是真命题，正确；④分式有意义的条件是分母不为零，故错误；正确的有2个．故选：B．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了反证法．8．A，B，C，D四个队赛球，比赛之前，甲和乙两人猜测比赛的成绩次序：甲：从第一名开始，名次顺序是A，D，C，B；乙：从第一名开始，名次顺序是A，C，B，D，比赛结果，两人都猜对了一个队的名次，已知第一名是B队，请写出四个队的名次顺序是（）A．B，A，C，D B．B，C，A，D C．D，B，A，C D．B，A，D，C 【分析】两人都猜对了一个队的名次，已知两队猜的第一名是错误的，因此甲猜的第四名和乙猜的三名也是错误的．因此甲猜的第三项和乙猜的第四项是正确的，即这四个队的名次顺序为B、A、C、D．【解答】解：由于甲、乙两队都猜对了一个队的名次，且第一名是B队．那么甲、乙的猜测情况可表示为：甲：错、错、对、错；乙：错、错、错、对．因此结合两个人的猜测情况，可得出正确的名次顺序为B、A、C、D．故选：A．【点评】解决本题的关键，是要综合考虑两个人的猜测情况，以免造成多解和错解．9．成都七中学生网站是由成都七中四大学生组织共同管理的网站，该网站是成都七中历史上首次由四大学生组织共同合作建成的一个学生网站，其内容囊括了成都七中学生学习及生活的各个方面．某学生在输入网址“http：∥www．cdqzstu．com”中的“cdqzstu．com”时，不小心调换了两个字母的位置，则可能出现的错误种数是（）A．90B．45C．88D．44【分析】“cdqzstu．com”中字母有10个．相同字母有2个．若第一个错误的字母是第一个字母c，那么c和它后面除c外任何一个字母调换后都可能出现错误，则错误的种类可能有8种．若第1个错误的字母是第二个字母d，排除和第一个字母已经计算过的错误后，可能出现的错误应该有8种，按照此种方法，错误的种类依次为：7，6，5，4，3，2，1；共有：16+7+6+5+4+3+2+1＝44种．【解答】解：“cdqzstu．com”中共有10个字母；若c与后面的字母分别调换，则有：10﹣1＝9种调换方法；依此类推，调换方法共有：9+8+7+…+1＝45种；由于10个字母中，有两个字母相同，因此当相同字母调换时，不会出现错误．因此出现错误的种数应该是：45﹣1＝44种．故选D．【点评】解答本题时需注意：相同字母调换后结果不会出现错误．10．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，应先假设这个直角三角形中（）A．有一个锐角小于45°B．每一个锐角都小于45°C．有一个锐角大于45°D．每一个锐角都大于45°【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°．故选：D．【点评】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．二．填空题（共8小题）11．原三角形如图所示，如图1，原三角形内部有1个点时，原三角形可被分成3个三角形；如图2，原三角形内部有2个不同点时，原三角形可被分成5个三角形；如图3，原三角形内部有3个不同点时，原三角形可被分成7个三角形；…以此类推，原三角形内部有n个不同点时，原三角形可被分成2n+1个三角形．【分析】认真审题可以发现：在三角形内部每增加一个点，得到三角形的个数正好是比点的个数的2倍还多1个，以此类推，即可发现规律．所以原三角形内部有n个不同点时，答案即现．【解答】解：三角形内部每增加一个点，得到三角形的个数正好是比点的个数的2倍还多1个．故答案为：2n +1．【点评】这是一道找规律的题目，解决此类题目关键是要找出数据之间的关系． 12．锐角三角形的三条高都在三角形内部，钝角三角形有二条高在三角形外，直角三角形有两条高恰是它的直角边．【分析】根据三角形的高的概念，通过具体作高，发现：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条在内部．【解答】解：锐角三角形有三条高，高都在三角形内部，且锐角三角形三条高的交点一定在三角形内部；钝角三角形有三条高，一条高在三角形内部，另外两条高在三角形外部，直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部，三条高的交点在顶点上；故答案分别是：三角形内部；二；直角边．【点评】此题主要考查学生对三角形的高的概念的理解和掌握，解答此题的关键是三角形的高的概念，特别向学生强调的是直角三角形高的情况．13．如图，AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的中线，已知△ABC 的面积为10，则△ADE 的面积为 2.5 ．【分析】先根据AD 是△ABC 的中线可知S △ADC ＝S △ABC ，再由DE 是△ADC 的中线可知S △ADE ＝S △ADC ，故可得出结论．【解答】解：∵AD 是△ABC 的中线，△ABC 的面积为10，∴S △ADC ＝S △ABC ＝×10＝5， ∵DE 是△ADC 的中线，∴S △ADE ＝S △ADC ＝×5＝2.5．故答案为：2.5．【点评】本题考查的是三角形的面积，熟知三角形的中线将三角形的面积分为相等的两部分是解答此题的关键．14．三角形三边长为7cm 、12cm 、acm ，则a 的取值范围是 5＜a ＜19 ．【分析】根据三角形中：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边，即可求解．【解答】解：a的范围是：12﹣7＜a＜12+7，即5＜a＜19．故答案是：5＜a＜19．【点评】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．15．把“同角的余角相等”写成“如果…，那么…”的形式为如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．【分析】命题有题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．【解答】解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”．【点评】本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题有题设和结论两部分组成．16．命题“互为相反数的两个数的和为0”的逆命题为和为0的两数互为相反数，．【分析】根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可的出原命题的逆命题．【解答】解：命题“互为相反数的两个数的和为0”的题设是“两数互为相反数”，结论是“和为0”，故其逆命题是和为0的两数互为相反数，故答案为：和为0的两数互为相反数．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．17．小聪，小玲，小红三人参加“普法知识竞赛”，其中前5题是选择题，每题10分，每题有A、B两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案和得分如下表，试问：这五道题的正确答案（按1～5题的顺序排列）是BABBA．【分析】根据得分可得小聪和小玲都是只有一个错，小红有2个错误，首先从三人答案相同的入手分析，然后从小聪和小玲不同的题目入手即可分析．【解答】解：根据得分可得小聪和小玲都是只有一个错，小红有2个错误．第5题，三人选项相同，若不是选A，则小聪和小玲的其它题目的答案一定相同，与已知矛盾，则第5题的答案是A；第3个第4题小聪和小玲都不同，则一定在这两题上其中一人有错误，则第1，2正确，则1的答案是：B，2的答案是：A；则小红的错题是1和2，则3和4正确，则3的答案是：B，4的答案是：B．总之，正确答案（按1～5题的顺序排列）是BABBA．故答案是：BABBA．【点评】本题考查了命题的推理与论证，正确确定问题的入手点，理解题目中每个题目只有A和B两个答案是关键．18．电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的0都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中仅有3个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有4个方块已确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有B、D、F、G．（请填入方块上的字母）【分析】根据题意，初步推断出C对应的方格必定不是雷，A、B对应的方格中有一个雷，中间D、E对应方格中有一个雷且最右边的“4”周围4个方格中有3个雷．由此再观察C下方“2”、B下方的“2”、D下方的“2”和F下方的“4”，即可推断出A、C、E 对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷．由此得到本题答案．【解答】解：图乙中最左边的“1”和最右边的“1”，可得如下推断由第三行最左边的“1”，可得它的上方必定是雷．结合B下方的“2”，可得最左边的A、B对应的方格中有一个雷；同理可得最右边的“4”周围4个方格中有3个雷，中间D、E对应方格中有一个雷；由于B下方的“2”和第二行最右边的“2”，它们周围的雷已经够数，所以C对应的方格肯定不是雷，如下图所示：进行下一步推理：因为C对应的方格不是雷，所以C下方“2”的左上、右上的方格，即B、D都是雷；而B下方的“2”的周围的雷也已经够数，所以A对应的方格也不是雷．因为D下方的“2”，它的周围的雷已经够数，可得E对应的方格不是雷，根据F下方的“4”周围应该有4个雷，结合E不是雷，可得F、G对应的方格都是雷．综上所述，A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷．故答案为：B、D、F、G．【点评】此题主要考查了推理论证，本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理A、B、C、D、E、F对应方格是否为雷．着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识，属于中档题．三．解答题（共8小题）19．一个三角形的周长为36cm，三边之比a：b：c＝2：3：4，求a，b，c的值．【分析】设三边长分别为2x，3x，4x，根据周长为36cm，列出方程，解出方程的解即可得出答案．【解答】解：设三边长分别为2x，3x，4x，由题意得，2x+3x+4x＝36，解得：x＝4．则a＝2×4＝8（cm），b＝3×4＝12（cm），c＝4×4＝16（cm）．【点评】本题考查了三角形，用到的知识点是三角形的周长、一元一次方程的应用，解答本题的关键是设出三边的长，利用方程思想求解．20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB 与AC的和为11cm，求AC的长．【分析】根据中线的定义知CD＝BD．结合三角形周长公式知AC﹣AB＝5cm；又AC+AB ＝11cm．易求AC的长度．【解答】解：∵AD是BC边上的中线，∴D为BC的中点，CD＝BD．∵△ADC的周长﹣△ABD的周长＝5cm．∴AC﹣AB＝5cm．又∵AB+AC＝11cm，∴AC＝8cm．即AC的长度是8cm．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．21．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．（1）∠ABE＝15°，∠BAD＝40°，求∠BED的度数；（2）若△ABC的面积为40，BD＝5，则E到BC边的距离为多少．【分析】（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；（2）过E作BC边的垂线即可得：E到BC边的距离为EF的长，然后过A作BC边的垂线AG，再根据三角形中位线定理求解即可．【解答】解：（1）∵∠BED是△ABE的外角，∴∠BED＝∠ABE+∠BAD＝15°+40°＝55°；（2）过E作BC边的垂线，F为垂足，则EF为所求的E到BC边的距离，过A作BC边的垂线AG，∴AD为△ABC的中线，BD＝5，∴BC＝2BD＝2×5＝10，∵△ABC的面积为40，∴BC•AG＝40，即×10•AG＝40，解得AG＝8，∵EF⊥BC于F，∴EF∥AG，∵E为AD的中点，∴EF是△AGD的中位线，∴EF＝AG＝×8＝4．∴E到BC边的距离为4．【点评】本题考查了三角形外角的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式，涉及面较广，但难度适中．添加适当的辅助线是解题的关键．22．已知a、b、c是三角形三边长，试化简：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|．【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断出正负情况，再根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数去掉绝对值号，然后再进行整式的加减．【解答】解：∵a、b、c是三角形三边长，∴b+c﹣a＞0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，a﹣b+c＞0，∴|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|，＝b+c﹣a﹣b+c+a﹣c+a+b﹣a+b﹣c＝2b．【点评】本题主要利用三角形的三边关系和绝对值的性质求解，利用三边关系判断出正负情况是去掉绝对值号的关键．23．如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．下面有三个等式：①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，相构成以下三个命题：命题Ⅰ“如果①②成立，那么③成立”；命题Ⅱ“如果①③成立，那么②成立”；命题Ⅲ“如果②③成立，那么①成立”．（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答）Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）．【分析】（1）根据真命题的定义即可得出结论，（2）根据全等三角形的判定方法及全等三角形的性质即可证明．【解答】解：（1）Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，故答案为：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ．（2）选择命题Ⅱ“如果①③成立，那么②成立”；证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD和△ACE中，∵∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE．【点评】本题主要考查了真命题的定义及全等三角形的判定方法，难度适中．24．如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题．并证明这个命题（只写出一种情况）①AB＝AC②DE＝DF③BE＝CF已知：EG∥AF，AB＝AC，DE＝DF．求证：BE＝CF．证明：作EG∥AF交BC于G，∴∠EGB＝∠ACB，∠GED＝∠CFD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠EGB，∴EB＝EG，在△EGD和△FCD中，，∴EG＝CF，∴BE＝CF．【分析】作EG∥AF交BC于G，根据平行线的性质得到∠EGB＝∠ACB，∠GED＝∠CFD，证明△EGD≌△FCD，根据全等三角形的性质解答即可．【解答】已知：EG∥AF，AB＝AC，DE＝DF．求证：BE＝CF．证明：作EG∥AF交BC于G，∴∠EGB＝∠ACB，∠GED＝∠CFD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠EGB，∴EB＝EG，在△EGD和△FCD中，，∴△EGD≌△FCD，∴EG＝CF，∴BE＝CF．故答案为：AB＝AC；DE＝DF；BE＝CF；作EG∥AF交BC于G，∴∠EGB＝∠ACB，∠GED＝∠CFD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠EGB，∴EB＝EG，在△EGD和△FCD中，，∴EG＝CF，∴BE＝CF【点评】本题考查的是命题和定理的证明，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．大冠买了一包宣纸练习书法，每星期一写1张，每星期二写2张，每星期三写3张，每星期四写4张，每星期五写5张，每星期六写6张，每星期日写7张．若大冠从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数已超过120张，则5月30日可能为星期几？请求出所有可能的答案并完整说明理由．【分析】首先得出5月1日～5月30日，包括四个完整的星期，分别分析5月30日当分别为星期一到星期天时所有的可能，进而得出答案．【解答】解：∵5月1日～5月30日共30天，包括四个完整的星期，∴5月1日～5月28日写的张数为：4×＝112，若5月30日为星期一，所写张数为112+7+1＝120，若5月30日为星期二，所写张数为112+1+2＜120，若5月30日为星期三，所写张数为112+2+3＜120，若5月30日为星期四，所写张数为112+3+4＜120，若5月30日为星期五，所写张数为112+4+5＞120，若5月30日为星期六，所写张数为112+5+6＞120，若5月30日为星期日，所写张数为112+6+7＞120，。

八年级上册数学三角形三边关系-命题与证明

⼋年级上册数学三⾓形三边关系-命题与证明三⾓形中的边⾓关系、命题与证明【学习⽬的】①理解与三⾓形有关的基本概念②命题与证明考点⼀：三⾓形中的边⾓关系知识点拨：1.三⾓形中的有关概念（1）三⾓形的概念：由不在同⼀直线上的三条线段⾸尾依次相接所组成的封闭图形叫做三⾓形.⽤符号“△”表⽰.（2）三⾓形的顶点、边和⾓：①边的表⽰；②⾓的表⽰；③对边、对⾓的概念.2.三⾓形按边的关系分类（1）不等边三⾓形：三条边互不相等；②等腰三⾓形：有两条边相等的三⾓形；（2）等边三⾓形：三条边都相等的三⾓形（等腰三⾓形的特例）3.三⾓形的三边关系：三⾓形中任何两条边的和⼤于第三边，两边的差（绝对值）⼩于第三边.4.三⾓形中⾓的关系（1）按⾓分类：①直⾓三⾓形；②斜三⾓形：锐⾓三⾓形和钝⾓三⾓形.（2）三⾓形的内⾓和等于180 .注意：①⽤Rt△ABC表⽰直⾓三⾓形；②任意⼀个三⾓形最多有三个锐⾓；最少有两个锐⾓；最多有⼀个钝⾓；最多有⼀个直⾓；③任何三⾓的最⼤内⾓不能⼩于60 ，最⼩内⾓不能⼤于60 .5.三⾓形中的⼏条重要线段（1）⾓平分线：⾓平分线把⾓分成两个相等的⾓.（三条⾓平分线的交点就是三⾓形的外⼼）（2）中线：三⾓形⼀顶点与它对边中点的线段叫中线.（三条中线的交点就是三⾓形的重⼼）（3）⾼线：三⾓形⼀顶点与它对边所在直线的垂线段叫三⾓形的⾼线.注意：三⾓形的中线所分得的两个三⾓形的⾯积相等.6.定义：能明确界定某个对象含义的语句叫做定义.例1：如图所⽰，以点A为顶点的三⾓形共有（）A.6个B.7个C.8个D.9个A.20或16B.20C.60D.以上都不对例3：若四条线段的长分别为2cm、3cm、4cm、5cm，以其中的三条线段为边长，则可以构成三⾓形的个数有（）A.1 B.2 C.3 D.4A.锐⾓三⾓形B.钝⾓三⾓形C.直⾓三⾓形D.⽆法确定例5：如图，CD、CE、CF分别是△ABC的⾼、⾓平分线、中线，则下列各式中错误的是（）A.BA=2BFB.2∠ACE=∠ACBC.AE=BED.CD⊥BE例6：下列属于定义的是（）A.两点确定⼀条直线B.两直线平⾏，同位⾓相等C.三⾓形的⾼、⾓平分线和中线都是线段D.有⼀个⾓是直⾓的三⾓形叫做直⾓三⾓形基础训练1、如图所⽰，AB＝AC，BE＝CD，AD＝BD＝DE＝AE＝CE，则图中共有个等腰三⾓形，有个等边三⾓形.第1题图第3题图第4题图2、⼀个等腰三⾓形中，⼀边长为9cm，另⼀边长为5cm，则等腰三⾓形的周长是.3、如图，AD、BE、CF分别是△ABC的⾼、中线、⾓平分线.则△ADC的⾼、中线、⾓平分线分别是.4、如图，图中以AB为边的三⾓形的个数是（）A.3B.4C.5D.6A.等腰三⾓形B.等边三⾓形C.直⾓三⾓形D.不能确定6、三⾓形的两边长分别为3，8，则第三边长为（）A.5B.6C.3D.117、以下各组长度的线段为边，组成的三⾓形是（）A.2、3、5B.3、3、6C.5、8、2D.4、5、68、设三⾓形的三边长分别为2，9，1-2a，则a的取值范围是（）A.3B.-5C.-5D.不能确定9、三⾓形的内⾓和等于（）A.90B.180C.300D.36010、在△ABC中，若∠A=54 ，∠B=36 ，则△ABC是（）A.锐⾓三⾓形B.钝⾓三⾓形C.直⾓三⾓形D.等腰三⾓形11、当三⾓形中⼀个内⾓α是另⼀个内⾓β的2倍时，我们称此三⾓形为“特征三⾓形”，其中α称为“特征⾓”．如果⼀个“特征三⾓形”的“特征⾓”为100°，那么这个“特征三⾓形”的最⼩内⾓的度数为（）A.30°B.50°C.80°D.100°12、三⾓形的⾓平分线、中线和⾼（）A.都是射线B.都是直线C.都是线段D.都在三⾓形内13、如图所⽰，已知∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确的个数为（）①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AE平分∠BAC.A.②和③B.③和④C.①和④D.仅有③14、下⾯四个命题中属于定义的是（）A.两点之间线段最短B.对顶⾓相等C.有两条边相等的三⾓形叫等腰三⾓形D.内错⾓相等强化训练1.在△ABC中，如果∠A:∠B:∠C=1：2：3，则△ABC⼀定是（）A.锐⾓三⾓形B.直⾓三⾓形C.钝⾓三⾓形D.等腰三⾓形2.如图，AE是△ABC的中线,D是BE上⼀点,若BE=5，DE=2，则CD的长为（）A.7B.6C.5D.43.如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的⾼，以下作法正确的是（）4.下列每组数分别是三根⼩⽊棒的长度，⽤它们能摆成三⾓形的是（）A.3cm，4cm，8cmB.8cm ，7cm，15cmC.5cm ，5cm，11cmD.13cm ，12cm，20cm5.如图，在△ABC中，点D是边AB上的⼀点，点E是边AC上⼀点，且DE∥BC，∠B=40 ，∠AED=60 ，则∠A的度数是（）A.100 B.90 C.80 D.70第5题图第7题图第8题图6.⼀个三⾓形的两边长为8和10，则它的最短边a的取值范围是．7.如图，AD是△ABC的BC边上的⾼，AE是∠BAC的平分线.（1）若∠B=47°，∠C=53°，则∠DAE=度；（2）若∠B=α，∠C=β(α<β)，则∠DAE=度.（⽤α、β含的代数式表⽰）8.如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的⼤⼩是．9.已知⼀个等腰三⾓形的两边长分别为2和4，则该等腰三⾓形的周长是_____.10.如图，在△ABC中，∠A=40 ，D点是∠ABC和∠ACB⾓平分线的交点，则∠BDC=_____.11.如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线.(1)若∠ABE=15 ，∠BAD=40 ，求∠BED的度数；(2)在△BED 中，作BD 边上的⾼；(3)若△ABC 的⾯积为40，BD=5，求△BDE 中BD 边上的⾼为多少?12.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的⾼，AE 、BF 是⾓平分线，它们相交于点O ，∠BAC ＝50°，∠C ＝70°，求∠DAC ，∠BOA.能⼒提升1.各边长度都是正整数且最⼤边长为8的三⾓形共有个.2.三⾓形的三边长分别为a 、b 、c ，且(a -b-c)?(b-c)＝0，则此三⾓形为________三⾓形．3.如图所⽰，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若12=?ABC S ，则图中阴影部分⾯积是_____.4.如图所⽰，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别为边BC 、AD 、CE 的中点，且24cm S ABC =?，则阴影S 等于（）5.如图，⽤钢筋做⽀架，要求BA 、DC 相交所成的锐⾓为32 ，现测得∠BAC=∠DCA=115 ，则这个⽀架符合设计要求吗?为什么?6.设三⾓形的三条边为整数a 、b 、c 且c b a ≤≤，当b=4时，符合条件的a 、b 、c 的取值若下表：（1）将表格补充完整；（2）满⾜条件的三⾓形共有多少个?其中等腰三⾓形有多少个?等边三⾓形⼜有多少个? 考点⼆：命题与证明例1：下列语句不是命题的是（）A.直⾓都等于90 B.对顶⾓相等 C.互补的两个⾓不相等 D.作线段AB例2：把下例命题改写成“如果......那么.....”的形式，并分别指出它们的题设和结论.(1)整数⼀定是有理数；(2)同⾓的补⾓相等；(3)两个锐⾓互余.例3：写出下列命题的逆命题，并判断真假（1）两直线平⾏，同位⾓相等；（2）若a=0，则a b=0；（3）对顶⾓相等.例4：请举反例说明命题“对于任意实数x ，552++x x 的值总是正数”是假命题，你举的反例是_____（写出⼀个的值即可）.例5：在下列证明中，填上推理依据：如图，CD ∥EF ，∠1=∠2，求证：∠3=∠ACB.例6：如图，在△ABC 中，∠ABC=66 ，∠ACB=54 ，BE 、CF 是两边AC 、AB 上的⾼，它们交于点H.求∠ABE 和∠BHC 的度数.基础训练1、下列语句中，不是命题的是（） A.两点之间线段最短B.对顶⾓相等C.不是对顶⾓的两个⾓不相等D.过直线AB 外⼀点P 作直线AB 的垂线2、下列命题中，是真命题的是（） A.三⾓形的⼀个外⾓⼤于任何⼀个内⾓ B.三⾓形的⼀个外⾓等于两个内⾓之和 C.三⾓形的两边之和⼀定不⼩于第三边D.三⾓形的三条中线交于⼀点，这个交点就是三⾓形的重⼼3、“两条直线相交只有⼀个交点”的题设是（）A.两条直线B.相交C.只有⼀个交点D.两条直线相交4、已知命题A：“任何偶数都是8的整数倍”.在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（）A.2kB.15C.24D.425、如图，下列说法中错误的是（）A.∠1不是△ABC的外⾓B.∠B＜∠1+∠2C.∠ACD是△ABC的外⾓D.∠ACD＞∠A+∠B第5题图第6题图第7题图6、⼀副三⾓板有两个直⾓三⾓形，如图叠放在⼀起，则∠α的度数是（）A.165B.120C.150D.1357、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD∥AB，∠ACD=40°，则∠B的度数为（）A.40°B.50°C.60°D.70°8、命题“有两边相等的三⾓形是等腰三⾓形”的题设是，结论是，它的逆命题是.9、完成以下证明，并在括号内填写理由：已知：如图所⽰∠1=∠2，∠A=∠3.求证：AC∥DE.证明：因为∠1=∠2，所以AB∥．（）所以∠A=∠4．（）⼜因为∠A=∠3，所以∠3=.（）所以AC∥DE. （）10、将下列命题改写成“如果......那么......”的形式，并分别指出命题的题设与结论：（1）直⾓都相等；（2）末位数字是5的整数能被5整除；（3）同⾓的余⾓相等.11、分析下列所举反例的正确性，若不正确，请写出正确的反例.（1）若|x|=|y|，则x=y；反例：取x=3，y=-3，则|x|=|y|，所以此命题是假命题；（2）两个锐⾓的和⼀定是钝⾓；反例：取∠1=30°，∠2=100°，则∠1+∠2=130°，不符合命题的结论，所以此命题是假命题；（3）若|a|=a，则a>0.12、如图，已知AC∥DE，∠1=∠2.求证：AB∥CD.13、如图，在△ABC中，∠A=62°，∠ABD=∠DCE=36°，求∠BEC的度数.14、如图，点E是△ABC中AC边上的⼀点，过E作ED⊥AB，垂⾜为D，若∠1=∠2，，则△ABC 是直⾓三⾓形吗？为什么？强化训练1.如图，在锐⾓三⾓形ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的⾼，且CD、BE相交于点P.若∠A ＝50°，则∠BPC的度数是（）A.150B.130C.120D.1002.如图，从①∠1=∠2；②∠C=∠D；③∠A=∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另⼀个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3第2题图第6题图3.⼀个三⾓形的三个外⾓之⽐为3：4：5，则这个三⾓形三个内⾓之⽐是（）A.5:4:3B.4:3:2C.3:2:1D.5:3:14.能说明命题“对于任何实数a ，a a ->”是假命题的⼀个反例可以是（） A.a =-2 B.31=a C. a =1 D.2=a 5.下列命题：①对顶⾓相等；②同位⾓相等，两直线平⾏；③若b a =，则b a =；④若0=x ，则022=-x x .它们的逆命题⼀定成⽴的有（） A.①②③④ B.①④ C.②④ D.②6.如图，CE 是△ABC 的外⾓∠ACD 的平分线，若∠B=35 ，∠ACE=60 ，则∠A= （） A.35 B.95 C.85 D.757.如图，在△ABC 中，∠B=40 ，三⾓形的外⾓∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=.8.直⾓三⾓形中两个锐⾓的平分线相交所成的锐⾓的度数是. 9.写出命题“如果b a =，那么b a 33=”的逆命题：.10.如图，AD 是△ABC 的⾼，BE 平分∠ABC 交AD 于E.若∠C ＝60°，∠BED ＝54°，求∠BAC 的度数.11.如图，AD 是△ABC 的外⾓平分线，交BC 的延长线于D 点，若∠B=30°，∠ACD=100°，求∠DAE 的度数．12.如图，D是△ABC内的任意⼀点.求证：∠BDC=∠1+∠A+∠2.13.⽤两种⽅法证明“三⾓形的外⾓和等于360 ”.如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外⾓.求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360 .证法1：，∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180? 3=540 .∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540 -（∠1+∠2+∠3）.，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540 -180 =360 .请把证法1补充完整，并⽤不同的⽅法完成证法2.能⼒提升1.如图，∠A+∠B+∠C+∠D=.2.观察下列各式：想⼀想：什么样的两个数之积等于这两个数的和？设n 表⽰正整数，⽤关于n 的代数式表⽰这个规律：_______×_______=_______+________.3.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，且AD=12BC ．2224,24;1139393,3;22224164164,4;33335255255,5.4444?=+=?=+=?=+=?=+=（1）求证：∠BAC=90°；（2）直接运⽤这个结论解答题⽬：⼀个三⾓形⼀边长为2，这边上的中线长为1，另两边之和为4.如图在△ABC中AB=AC,∠BAC=900,直⾓∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于E、F.（1）求证：AE=CF（2）是否还有其他结论，不要求证明（⾄少2个）。

八年级数学上册试题第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》章节测试卷-沪科版(含解析)

第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》章节测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列实际情景运用了三角形稳定性的是（）A．人能直立在地面上B．校门口的自动伸缩栅栏门C．古建筑中的三角形屋架D．三轮车能在地面上运动而不会倒2．如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则AC长的可能值有（）个．A．3B．4C．5D．63．下列命题是假命题的是（）A．如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3B．对顶角相等C．如果一个数能被6整除，那么它肯定也能被3整除D．内错角相等4．如图所示，∠F＝90°，CE⊥AB，C是BF的中点，D是BE上的一点，下列说法正确的是（）A．CD是△ABC的中线B．AF是△ABC的高C．CE是△ABF的中位线D．AC是△ABF的角平分线5．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B=40°，∠C=60°，则∠ADE的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC 的值为（）=48，则SΔDEFA．2B．4C．6D．87．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值是（）A．7B．8C．9D．108．如图，△ABC中，∠ABC=3∠C，E分别在边BC，AC上，∠EDC=24°，∠ADE=3∠AED，∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点F，则∠F的度数是（）A．54°B．60°C．66°D．72°9．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE 相交于点G，若∠ABC=3∠C，且∠G=20°，则∠DFB的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°10.如图，∠ABC=∠ACB，BD、CD、BE分别平分∠ABC，外角∠ACP，外角∠MBC，以下结论：①AD∥BC，②BD⊥BE，③∠BDC+∠ABC=90°，④∠BAC+2∠BEC=180°，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝32°，∠A＝100°，点D是AB边上的固定点(BD<1AB)，2在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，当EF与AC边平行时，∠BDE的度数为．12．如图，AD为△ABC的中线，DE，DF分别为△ABD，△ACD的一条高，若AB=6，DE=4，则AC=．，DF=8313．已知△ABC的边长a，b，c满足(a−2)2+|b−4|=0，则a、b的值分别是，若c为偶数，则△ABC的周长为．14．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，CD:AD=1:2，连接BD，点E是线段BD上一点，BE:ED=1:3，连接AE，点F是线段AE的中点，连接CF交线段BD于点G，若△ABC的面积是12，则△EFG的面积是．15．如图△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=70°，点D在边OA上，将△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中当CD∥AB时，旋转时间秒．16．如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2α−β=60°，那么我们称这样的三角形为“斜等边三角形”．在锐角三角形ABC中，BD⊥AC于点D，若△ABC、△ABD、△BCD都是“斜等边三角形”，则∠ABC=．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（1）一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形是几边形？（2）小明求得一个多边形的内角和为1280°，小强很快发现小明所得的度数有误，后来小明复查时发现他重复加了一个内角，求出这个多边形的边数以及他重复加的那个角的度数．18．（6分）如图所示，D是△ABC的边AC上任意一点（不含端点），连结BD，请判断AB+BC+AC 与2BD的大小关系，并说明理由．19．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．将△ABC平移，使点C平移至点D，点A、B的对应点分别是点E、F．(1)在图中请画出△ABC平移后得到的△DEF；(2)在图中画出△ABC的AB边上的高CH；(3)若连接CD、AE，则这两条线段之间的关系是；(4)△DEF的面积为．20．（8分）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10 cm，∠CAB=90°．(1)求AD的长；(2)求△ACE和△ABE周长的差．21．（8分）在△ABC中，∠B，∠C均为锐角且不相等，线段AD是△ABC中BC边上的高，AE是△ABC的角平分线．(1)如图1，∠B=70°，∠C=30°，求∠DAE的度数；(2)若∠B=x°，∠DAE=10°，则∠C=______；(3)F是射线AE上一动点，C、H分别为线段A B，BC上的点（不与端点重合），将△BGH沿着GH 折叠，使点B落到点F处，如图2所示，请直接写出∠1，∠2与∠B的数量关系．22．（8分）已知，在△ABC中，∠BAC=∠ABC，点D在AB上，过点D的一条直线与直线AC、BC分别交于点E、F．(1)如图1，∠BAC=70°，则∠CFE+∠FEC=______°．(2)如图2，猜想∠BAC、∠FEC、∠CFE之间的数量关系，并加以证明；(3)如图3，直接写出∠BAC、∠FEC、∠CFE之间的数量关系______．23．（8分）将含30°角的三角板ABC（∠B=30°）和含45°角的三角板FDE及一把直尺按图方式摆放在起．使两块三角板的直角顶点A，F重合．点A，F，C，E始终落在直尺的PQ边所在直线上．将含45°角的三角板FDE沿直线PQ向右平移．(1)当点F与点C重合，请在备用图中补全图形，并求平移后DC与CB形成的夹角∠DCB的度数；(2)如图，点F在线段AC上移动，M是边AB上的动点，满足∠DFM被FB平分，∠EFM的平分线FN与边BC交于点N，请证明在移动过程中，∠NFB的大小保持不变；(3)仿照（2）的探究，点F在射线CQ上移动，M是边AB上的动点，满足∠DFM被FB平分，∠EFM的平分线F N'所在直线与直线BC交于点N，请写出一个与平移过程有关的合理猜想．（不用证明）答案一．选择题1．C【分析】根据三角形的稳定性进行判断即可求解．【详解】解：古建筑中的三角形屋架是利用了三角形的稳定性，故选C2．B【分析】依据ΔABC的周长为22，ΔABM的周长比ΔACM的周长大2，可得2<BC<11，再根据ΔABC的三边长均为整数，即可得到BC=4，6，8，10．【详解】解：∵ΔABC的周长为22，ΔABM的周长比ΔACM的周长大2，∴2<BC<22−BC，解得2<BC<11，又∵ΔABC的三边长均为整数，ΔABM的周长比ΔACM的周长大2，∴AC=22−BC−22=10−12BC为整数，∴BC边长为偶数，∴BC=4，6，8，10，即AC的长可能值有4个，故选：B．3．D【分析】利用对顶角的性质、实数的性质、平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3，正确，是真命题，故本选项不符合题意；B、对顶角相等，正确，是真命题，故本选项不符合题意；C、如果一个数能被6整除，那么它肯定也能被3整除，正确，是真命题，故本选项不符合题意；D、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，故本选项符合题意．故选：D．4．B【分析】根据三角形中位线的定义，三角形角平分线、中线和高的定义作答．【详解】解：A、AC是△ABC的中线，故本选项不符合题意．B 、由∠F ＝90°知，AF 是△ABC 的高，故本选项符合题意．C 、CE 是△ABC 的高，故本选项不符合题意．D 、AC 是△ABF 的中线，故本选项不符合题意．故选：B ．5．C【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC ，再根据角平分线的定义可得∠BAD=∠DAC =40°，最后利用垂线的定义可得∠AED=90°，进而解答即可．【详解】解：∵∠B =40°，∠C =60°，∴∠BAC=180°−40°−60°=80°．∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠DAC =40°．∵DE ⊥AC ，∴∠AED =90°，∴∠ADE =90°−∠DAE =50°．故选C ．6．C【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．【详解】解：连接CD ，如图所示：∵点D 是AG 的中点，∴S △ABD =12S △ABG ，S △ACD =12S △AGC ，∴S △ABD +S △ACD =12S △ABC =24，∴S △BCD =12S △ABC =24，∵点E 是BD 的中点，∴S△CDE =12S△BCD=12，∵点F是CE的中点，∴S△DEF =12S△CDE=6．故选：C．7．C【分析】若两螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，根据三角形任意两边之和大于第三边，进行求解即可．【详解】解：①当3、4在一条直线上时，三边长为：5、7、7，此时最大距离为7；②∵4+5<3+7，∴3、7不可能在一条直线上；③当4、5在一条直线上时，三边长为：3、7、9，此时最大距离为9；④∵4+3<5+7，∴5、7不可能在一条直线上；综上所述：最大距离为9．故选：C．8．B【分析】根据题意可知∠FBC=32∠C，设∠C=x，表示出∠ADE，根据角平分线的定义，可得∠EDF的度数，根据∠FDC=∠F+∠FBC列方程，即可求出∠F的度数．【详解】解：∵BF平分∠ABC，∴∠FBC=12∠ABC，∵∠ABC=3∠C，∴∠FBC=32∠C，设∠C=x，则∠FBC=32x，∵∠EDC=24°，∴∠AED=x+24°，∵∠ADE=3∠AED，∴∠ADE=3x+72°，∵DF平分∠ADE，∴∠EDF=32x+36°，∵∠FDC=∠F+∠FBC，∴32x+36°+24°=∠F+32x，∴∠F=60°．故选：B．9．C【分析】由角平分线的定义可以得到∠CAE=∠BAE，∠ABF=∠DBF，设∠CAE=∠BAE=x，假设∠C=y，∠ABC=3y，通过角的等量代换可得到∠DFB=3∠G，代入∠G的值即可．【详解】∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD∴∠CAE=∠BAE，∠ABF=∠DBF设∠CAE=∠BAE=x∵∠ABC=3∠C∴可以假设∠C=y，∠ABC=3y∴∠ABF=∠DBF=∠CBG=12(180°−3y)=90°−32y∵AD⊥CD∴∠D=90°∴∠DFB=90°−∠DBF=32y设∠ABF=∠DBF=∠CBG=z，则{z=x+∠Gz+∠G=x+y∴∠G=12y∴∠DFB=3∠G∵∠G=20°∴∠DFB=60°故答案选：C10．D【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定一一判定即可．【详解】解：①设点A、B在直线MF上，∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACP，∴AD平分△ABC的外角∠FAC，∴∠FAD=∠DAC，∵∠FAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∴∠FAD=∠ABC，∴AD∥BC，故①正确．②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，∴∠DBE=∠DBC+∠EBC=12∠ABC+12∠MBC=12×180°=90°，∴EB⊥BD，故②正确．③∵∠DCP=∠BDC+∠CBD，2∠DCP=∠BAC+2∠DBC，∴2(∠BDC+∠CBD)=∠BAC+2∠DBC，∴∠BDC=12∠BAC，∵∠BAC+2∠ACB=180°，∴12∠BAC+∠ACB=90°，∴∠BDC+∠ACB=90°，故③正确．④∵∠BEC=180°−12(∠MBC+∠NCB)=180°−12(∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC)=180°−12(180°+∠BAC)∴∠BEC=90°−12∠BAC，∴∠BAC+2∠BEC=180°，故④正确．故选：D．二．填空题11．124°【分析】根据已知、折叠和平行线，得∠BEF=∠C，再计算∠BED的度数，最后根据三角形内角和为180°计算∠BDE的度数即可．【详解】∵EF∥AC，∠B=32°，∠A=100°，∴∠BEF=∠C=180°−∠A−∠B=180°−100°−32°=48°（两直线平行，同位角相等），∵纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，∴∠BED=12∠BEF=12×48°=24°，∴∠BDE=180°−∠B−∠BED=180°−32°−24°=124°（三角形内角和为180°），故答案为：124°．12．9【分析】由AD为△ABC的中线得S△ABD =S△ACD，从而得到12⋅AB⋅DE=12⋅AC⋅DF，代入进行计算即可得到答案．【详解】解：∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∴S△ABD =S△ACD，∵DE，DF分别为△ABD，△ACD的一条高，∴12⋅AB⋅DE=12⋅AC⋅DF，∵AB=6，DE=4，DF=83，∴AC=9，故答案为：9．13． 2、4 10【分析】由(a −2)2+|b −4|=0，可得a −2=0，b −4=0，解得a =2，b =4，由三角形三边关系可得，b −a <c <a +b ，即2<c <6，由c 为偶数，可得c =4，然后求周长即可．【详解】解：∵(a −2)2+|b −4|=0，∴a −2=0，b −4=0，解得a =2，b =4，由三角形三边关系可得，b −a <c <a +b ，即2<c <6，∵c 为偶数，∴c =4，∴△ABC 的周长为2+4+4=10，故答案为：2、4，10．14．94【分析】连接DF ，CE ．由题意中的线段的比和S △ABC =12，可推出S △ABD =23S △ABC =8，S △CBD=13S △ABC =4，从而可求出S △ABE =14S △ABD =2，S △ADE =34S △ABD =6．结合中点的性质即得出S △ADF =S △EDF =12S △ADE =3，从而可求出S △CDF =12S △ADF =32，进而得出S △ECF =S △ACF=S △ADF +S △CDF =92，最后即得出DGEG =S △CDF S △ECF=13，最后即可求出S △EFG =34S △EDF =94．【详解】解：如图，连接DF ，CE ．∵CD:AD=1:2，S △ABC =12，∴S △ABD =23S △ABC =8，S △CBD =13S △ABC =4．又∵BE:ED =1:3，∴S△ABE =14S△ABD=2，S△ADE=34S△ABD=6．∵点F是线段AE的中点，∴S△ADF =S△EDF=12S△ADE=3．∵CD:AD=1:2，∴S△CDF =12S△ADF=32，∴S△ACF =S△ADF+S△CDF=92，∴S△ECF =S△ACF=92，∴S△CDFS△ECF =3292=13，即S△DEF+S△DGCS△EFG+S△EGC=13,∴DGEG =13，∴S△EFG =34S△EDF=94．故答案为：94．15．11或29【分析】根据题意，画出图形，进行分类讨论，①当点C在△AOB内时，根据三角形的内角和定理可得∠D=20°，根据平行线的性质得出∠1=∠B=40°，再根据三角形的外角定理求出∠2，进而得出∠AOD=∠AOB+∠2，即可求解；②当点C在△AOB外时，延长BO交CD 于一点，根据平行线的性质得出∠3=∠B=40°，再根据三角形的外角定理求出∠4=20°，即可得出∠AOD，即可求解．【详解】解：①当点C在△AOB内时，如图，在Rt△OCD中，∠C=70°，∴∠D=180°−90°−70°=20°，∵CD∥AB，∠B=40°，∴∠1=∠B=40°，∵∠D+∠2=∠1，∴∠2=40°−20°=20°，∴∠AOD=∠AOB+∠2=90°+20°=110°，∴旋转时间=110÷10=11（秒），②当点C在△AOB外时，延长BO交CD于一点，如图，∵CD∥AB，∠B=40°，∴∠3=∠B=40°，由①可得，∠D=20°，∴∠4=∠3−∠D=40°−20°=20°，∴∠AOD=90°−∠4=70°，∴△COD绕点O沿顺时针方向旋转了360°−70°=290°，∴旋转时间=290÷10=29（秒），故答案为：11或29．16．55°【分析】根据新定义的“斜等边三角形”的特点分情况分析，然后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：△ABD是“斜等边三角形”，BD⊥AC，∴∠ADB=90°（1）2∠A−∠ABD=60°，∵∠A+∠ABD=90°，∴解得：∠A=50°，∠ABD=40°；（2）2∠A−∠ADB=60°，∴解得：∠A=75°，∠ABD=15°；（3）2∠ABD−∠A=60°，∵∠A+∠ABD=90°，∴解得：∠A=40°，∠ABD=50°；（4）2∠ABD−∠ADB=60°，∴解得：∠ABD=75°，∠A=15°；△BCD是“斜等边三角形”，①2∠C−∠CBD=60°，∵∠C+∠CBD=90°，∴解得：∠C=50°，∠CBD=40°；②2∠C−∠CDB=60°，∴解得：∠C=75°，∠CBD=15°；③2∠CBD−∠C=60°，∵∠C+∠CBD=90°，∴解得：∠C=40°，∠CBD=50°；④2∠CBD−∠CDB=60°，∴解得：∠CBD=75°，∠C=15°；当（1）①成立时，∠A=50°，∠ABD=40°，∠C=50°，∠CBD=40°，∴∠CBA=40°+40°=80°，∴三个角中不满足“斜等边三角形”的定义，不符合题意；当（1）②成立时，∠A=50°，∠ABD=40°，∠C=75°，∠CBD=15°，∴∠CBA=40°+15°=55°，∵2∠CBA−∠A=60°，∴△ABC是“斜等边三角形”，符合题意；同理得：符合题意的只有∠ABC=55°，故答案为：55°三．解答题17．解：（1）设这个多边形的边数是n，由题意得：(n−2)×180=360×3，∴n=8，∴这个多边形是八边形；（2）设这个多边形的边数是m，由题意得：(m−2)×180<1280<(m−2)×180+180，解得：819<m<919，∵m为整数∴m=9，∴重复加的那个角的度数是：1280°−(9−2)×180°=20°答：这个多边形的边数是9，重复加的那个角的度数是20°．18．解：AB+BC+AC＞2BD．理由如下：在△ABD中，AB+AD＞BD，在△BCD中，BC+CD＞BD，∴AB+AD+BC+CD＞2BD，即AB+BC+AC＞2BD．19．（1）如图所示，△DEF即为所求；（2）如图所示，CH即为所求；（3）如图所示，∵△ABC平移后得到的△DEF∴若连接CD、AE，CD∥AE，CD=AE∴这两条线段之间的关系是平行且相等；（4）如图所示，△DEF的面积=4×6−12×4×3−12×1×3−12×3×6=152．20．（1）解：∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，∴12AB⋅AC=12BC⋅AD，∴AD=AB⋅ACBC =6×810= 4.8(cm)，即AD的长度为4.8cm；（2）∵AE为BC边上的中线，∴BE=CE，∴△ACE的周长−△ABE的周长=(AC+AE+CE)−(AB+BE+AE)=AC−AB=8−6=2(cm)，即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．21．（1）解：在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−70°−30°=80°，∵AE是△ABC的角平分线．∴∠BAE=12∠BAC=12×80°=40°，∵线段AD是△ABC中BC边上的高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=180°−∠B−∠ADB=180°−70°−90°=20°，∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=40°−20°=20°，（2）解：∵∠B=x°，线段AD是△ABC中BC边上的高，∴∠BAD=90°−∠B=90°−x°，∵∠DAE=10°，∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°−x°+10°=100°−x°，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAC=2∠BAE=200°−2x°，∴∠C=180°−∠B−∠BAC=180°−x°−(200°−2x°)=(x−20°)，故答案为：(x−20)°；（3）解：连接BF，∵∠1=∠GBF+∠GFB，∠2=∠HBF+∠HFB，∴∠1+∠2=∠GBF+∠GFB+∠HBF+∠HFB=∠B+∠GFH，∵△GFH由△GBH折叠所得，∴∠B=∠GFH，∴∠1+∠2=2∠B．22．（1）解：∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，∠BAC=∠ABC，∴∠ACB=180°−2∠BAC，∵∠CFE+∠FEC=180°−∠ACB，∴∠CFE+∠FEC=180°−(180°−2∠BAC)=2∠BAC，∵∠BAC=70°，∴∠CFE+∠FEC=140°；（2）∠FEC+∠CFE=2∠BAC，证明：在△CEF中∵∠C+∠CEF+∠CFE=180°，∴∠CEF+∠CFE=180°−∠C，在△ABC中，∵∠C+∠BAC+∠ABC=180°，∴∠BAC+∠ABC=180°−∠C，∴∠CEF+∠CFE=∠BAC+∠ABC，∵∠BAC=∠ABC，∴∠CEF+∠CFE=2∠BAC；（3）解：∵∠ACB=∠FEC+∠CFE，∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，∠BAC=∠ABC，∴180°−2∠BAC=∠FEC+∠CFE，∴∠FEC+∠CFE=180°−2∠BAC．23．（1）解：如图所示，∵DC∥AB∴∠DCB=∠B=30°，（2）证明：∵AB∥FD∴∠DFB=∠MBF，设∠DFB=∠MBF=α∵∠DFM被FB平分∴∠DFB=∠MFB，则∠DFB=∠MFB=α，∴∠AMF=∠MBF+∠MFB=2α，∵∠BAC=90°∴∠MFA=90°−2α，∵FN平分∠EFM∴∠EFN=∠MFN=12(180°−∠MFA)=12(180°−90°+2α)=45°+α∴∠NFB=∠NFM−∠BFM=45°+α−α=45°，即∠NFB的大小保持不变；（3）解：在移动过程中，∠NFB的大小保持不变；如图所示，证明：∵AB∥FD∴∠DFB=∠MBF，设∠DFB=∠MBF=α∵∠DFM被FB平分∴∠DFB=∠MFB，则∠DFB=∠MFB=α，∴∠AMF=∠MBF+∠MFB=2α，∵∠BAC=90°∴∠MFA=90°−2α，∵F N'平分∠EFM∴∠EF N'=∠MF N'=12(180°−∠MFA)=12(180°−90°+2α)=45°+α∴∠N'FB=∠N'FM−∠BFM=45°+α−α=45°，∴∠NFB=135°，即∠NFB的大小保持不变；。

《三角形中的边角关系、命题与证明》填空题精选 2020年沪科版八年级上册期末复习(含答案)

2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》填空题精选一．填空题（共30小题）1．（2020春•铜陵期末）在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（0，4），C（0，﹣2），则三角形ABC的面积为．2．（2020春•蜀山区期末）将一副直角三角板如图放置，点E在AC边上，且ED∥BC，∠C＝30°，∠F ＝∠DEF＝45°，则∠AEF＝度．3．（2020春•芜湖期末）已知点A（﹣4，0），B（2，0），点C在y轴上，且△ABC的面积等于12，则点C 的坐标为．4．（2019秋•东至县期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC平分线．若∠B＝38°，∠C＝70°，则∠DAE＝．5．（2019秋•当涂县期末）设三角形三边之长分别为2，9，5+a，则a的取值范围为．6．（2019秋•蜀山区期末）写出命题“如果mn＝1，那么m、n互为倒数”的逆命题：．7．（2019秋•蜀山区期末）如图，一个直角三角形纸片ABC，∠BAC＝90°，D是边BC上一点，沿线段AD 折叠，使点B落在点E处（E、B在直线AC的两侧），当∠EAC＝50°时，则∠CAD＝°．8．（2019秋•肥东县期末）如图，在△ABC中，BD，BE将∠ABC分成三个相等的角，CD，CE将∠ACB 分成三个相等的角．若∠A＝105°，则∠D等于度．9．（2019秋•潜山市期末）△ABC的两边长分别是2和5，且第三边为奇数，则第三边长为．10．（2019秋•当涂县期末）如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则S1与S2的数量关系为．11．（2019秋•裕安区期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，3）和点B（2，0）是坐标轴上两点，点C（m，n）（m≠n）为坐标轴上一点，若三角形ABC的面积为3，则C点坐标为．12．（2019秋•裕安区期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F，若∠C＝35°，∠DEF＝15°，则∠B的度数为．13．（2019秋•包河区期末）命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）14．（2019秋•裕安区期末）若△ABC的三边的长AB＝5，BC＝2a+1，AC＝3a﹣1，则a的取值范围为．15．（2018秋•濉溪县期末）命题“如果∠A＝∠B，那么∠A的余角与∠B的余角相等”的条件是，结论是．16．（2018秋•义安区期末）△ABC的两条角平分线BP、CP相交于点P，若∠A＝80°，则∠BPC＝．17．（2018秋•砀山县期末）下列命题中，真命题为．①如果一个三角形的三边长分别为√5，3，√14，那么这个三角形是直角三角形②如果两个一次函数的图象平行，那么它们表达式中的k相同③三角形的一个外角等于两个内角的和18．（2018秋•长丰县期末）命题“如果|a|＝|b|，那么a2＝b2”的逆命题是，此命题是（选填“真“或“假”）命题．19．（2018秋•安庆期末）设三角形三边之长分别为3，7，1+a，则a的取值范围为．20．（2018秋•瑶海区期末）已知点A（4，0）、B（0，5），点C在x轴上，且△BOC的面积是△ABC的面积的3倍，那么点C的坐标为．21．（2017秋•蚌埠期末）如图，D是线段AC上一点，连BD，用不等号“＜”表示∠A，∠1的大小关系为．22．（2017秋•蜀山区期末）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，若∠A＝70°，则∠BOC ＝．23．（2017秋•埇桥区期末）一个三角形的最大角不会小于度．24．（2017秋•颍上县期末）“对顶角相等”这个命题的逆命题是，它是一个命题（填“真”或“假”）．25．（2017秋•怀远县期末）请给假命题“两个锐角的和是钝角”举一个反例．26．（2017秋•瑶海区期末）命题“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的逆命题，是命题．（填“真”或“假”）27．（2017秋•望江县期末）三角形三边长分别为3，1﹣2a，8，则a的取值范围是．28．（2017秋•埇桥区期末）把命题“任意两个直角都相等”改写成“如果…，那么…”的形式是．29．（2017秋•固镇县期末）命题“有两边相等的三角形是等腰三角形”它的题设是，结论是，它的逆命题是．30．（2017秋•临泉县期末）如图所示，△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC和外角∠ACE，若∠D＝24°，则∠A＝度．2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习：第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》填空题精选参考答案与试题解析一．填空题（共30小题）1．【解答】解：如图，BC＝4+2＝6．所以S△ABC=12BC•x A=12×6×2=6．故答案是：2．2．【解答】解：∵ED∥BC，∠C＝30°∴∠DEC＝∠C＝30°，∵∠DEF＝45°，∴∠CEF＝∠DEF﹣∠DEC＝45°﹣30°＝15°．∴∠AEF＝180°﹣∠CEF＝165°，故答案为：165．3．【解答】解：如右图所示，设C点的坐标是（0，x），∵S△ABC＝12，∴12×AB×OC=12×6•|x|＝12，∴|x|＝4，故点C的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．故答案为（0，4）或（0，﹣4）．4．【解答】解：∵∠B＝38°，∠C＝70°，∴∠BAC＝72°，∵AE是∠BAC平分线，∴∠BAE＝36°，∵AD是BC边上的高，∠B＝38°，∴∠BAD＝52°，∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝16°，故答案为16°．5．【解答】解：由题意得9﹣2＜5+a＜9+2，解得2＜a＜6．故答案为：2＜a ＜6．6．【解答】解：命题“如果mn ＝1，那么m 、n 互为倒数”的逆命题是如果m 、n 互为倒数，那么mn ＝1，故答案为：如果m 、n 互为倒数，那么mn ＝1．7．【解答】解：设∠CAD ＝x ．∵∠DAE ＝∠DAB ，∴50°+x ＝90°﹣x ，解得x ＝20°，∴∠CAD ＝20°，故答案为20．8．【解答】解：∵∠A ＝105°，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣105°＝75°，∵BD ，BE 将∠ABC 分成三个相等的角，CD ，CE 将∠ACB 分成三个相等的角，∴∠DBC +∠DCB =23×75°＝50°， ∴∠D ＝180°﹣（∠DBC +∠DCB ）＝130°，故答案为130．9．【解答】解：∵5﹣2＝3，5+2＝7，∴3＜第三边＜7，∵第三边为奇数，∴第三边长为5．故选：5．10．【解答】解：过A 点作AG ⊥BC 于G ，过D 点作DH ⊥EF 于H ．在Rt △ABG 中，AG ＝AB •sin40°＝5sin40°，∠DEH ＝180°﹣140°＝40°，在Rt △DHE 中，DH ＝DE •sin40°＝8sin40°，S 1＝8×5sin40°÷2＝20sin40°，S 2＝5×8sin40°÷2＝20sin40°．则S 1＝S 2．故答案为：S 1＝S 2．11．【解答】解：∵点C （m ，n ）（m ≠n ）为坐标轴上一点，∴S △ABC =12×3×|m ﹣2|＝3或S △ABC =12×2×|n ﹣3|＝3，解得：m ＝4或0，n ＝6或0，∴C 点坐标为（4，0）或（0，6），故答案为：（4，0）或（0，6）．12．【解答】解：∵EF ⊥BC ，∠DEF ＝15°，∴∠ADB ＝90°﹣15°＝75°．∵∠C ＝35°，∴∠CAD ＝75°﹣35°＝40°．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAC ＝2∠CAD ＝80°，∴∠B ＝180°﹣∠BAC ﹣∠C ＝180°﹣80°﹣35°＝65°．故答案为：65°．13．【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，故答案为：真．14．【解答】解：∵△ABC 的三边的长AB ＝5，BC ＝2a +1，AC ＝3a ﹣1，∴①{(3a −1)+(2a +1)＞5(3a −1)−(2a +1)＜5，解得1＜a ＜7；②{(3a −1)+(2a +1)＞5(2a +1)−(3a −1)＜5，解得a ＞1，则2a +1＜3a ﹣1．∴1＜a ＜7．故答案为：1＜a ＜7．15．【解答】解：命题“如果∠A ＝∠B ，那么∠A 的余角与∠B 的余角相等”的条件是∠A ＝∠B ，结论是∠A 的余角与∠B 的余角相等，故答案为：∠A ＝∠B ；∠A 的余角与∠B 的余角相等．16．【解答】解：如图，∵BP 、CP 分别是△ABC 的角平分线∴∠ABP ＝∠CBP ，∠ACP ＝∠PCB ；∵∠A +∠ABC +∠ACB ＝180°，∴∠A +2∠CBP +2∠PCB ＝180°；∵∠A ＝80°，∴∠CBP +∠PCB ＝50°；在△BPC 中，又∵∠BPC +∠CBP +∠PCB ＝180°，∴∠BPC ＝130°．17．【解答】解：①如果一个三角形的三边长分别为√5，3，√14，∵（√5）2+32＝（√14）2，∴这个三角形是直角三角形，是真命题，符合题意；②如果两个一次函数的图象平行，那么它们表达式中的k 相同，是真命题；③三角形的一个外角等于两个不相邻内角的和，故原说法错误．故答案为：①②．18．【解答】解：根据题意得：命题“如果|a |＝|b |，那么a 2＝b 2”的条件是如果|a |＝|b |，结论是a 2＝b 2”，故逆命题是如果a 2＝b 2，那么|a |＝|b |，该命题是真命题．故答案为：如果a 2＝b 2，那么|a |＝|b |；真．19．【解答】解：由题意，得{a +1＞7−3a +1＜7+3，解得：3＜a ＜9，故答案为：3＜a ＜9．20．【解答】解：∵点A（4，0）、B（0，5），∴OA＝4，OB＝5，设OC＝a（a≥0），有三种情况：①当C在x轴的负半轴上时，∵△BOC的面积是△ABC的面积的3倍，∴12×a×5=3×12×（4+a）×5，解得：a＝﹣6，不符合a≥0，舍去；②当C在x轴的正半轴上，且在点A的右边时，∵△BOC的面积是△ABC的面积的3倍，∴12×a×5=3×12×（a﹣4）×5，解得：a＝6，此时点C的坐标是（6，0），③当C点在O、A之间时，∵△BOC的面积是△ABC的面积的3倍，∴12×a×5=3×12×（4﹣a）×5，解得：a＝3，此时点C的坐标是（3，0），所以点C的坐标为（3，0）或（6，0），故答案为：（3，0）或（6，0）．21．【解答】解：∵∠1是△ABD的一个外角，∴∠A＜∠1，故答案为：∠A＜∠1．22．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝∠ACO，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣∠A）=12（180°﹣70°）＝55°，∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣55°＝125°．故答案为：125°．23．【解答】解：由分析可知：如果三角形的最大角小于60°，那么此三角形的内角和小于180度，与三角形的内角和是180度矛盾．所以三角形的最大角不小于60度；故答案为：60．24．【解答】解：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，∴逆命题是：相等的角是对顶角，它是假命题，故答案为：相等的角是对顶角，假25．【解答】解：例如α＝30°，β＝40°，α+β＜90°，故答案为：α＝30°，β＝40°，α+β＝70°＜90°，26．【解答】解：命题“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的逆命题是平行四边形的两组对边分别平行；该命题是真命题．故答案为：平行四边形的两组对边分别平行，真．27．【解答】解：∵三角形三边长分别为3，1﹣2a，8，∴8﹣3＜1﹣2a＜8+3，解得﹣5＜a＜﹣2．故答案为：﹣5＜a＜﹣2．28．【解答】解：把命题“任意两个直角都相等”改写成“如果…，那么…”的形式是：如果两个角都是直角，那么这两个角相等，故答案为：如果两个角都是直角，那么这两个角相等．29．【解答】解：命题“有两边相等的三角形是等腰三角形”它的条件是“有两边相等的三角形”，结论是“这个三角形是等腰三角形”，故题设是有两边相等的三角形，结论是“这个三角形是等腰三角形”，它的逆命题是“等腰三角形的两腰相等”．30．【解答】解：∵∠A＝∠ACE﹣∠ABC＝2∠DCE﹣2∠DBC＝2（∠DCE﹣∠DBC），∠D＝∠DCE﹣∠DBC，∴∠A＝2∠D＝48°．。

沪科版八年级数学上册试题第13章三角形中的边角关系、命题与证明单元测试卷 (含解析)

第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知一个三角形的两边长分别为6和3，则这个三角形的第三边长可能是（）A ．3B ．6C ．9D ．102．下列图形中具有稳定性的是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，CE 是的外角的平分线，若，，则的度数为（）．A ．95°B ．90°C ．85°D ．80°4．下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（）A ．，，B ．，，C ．，，D ．，，5．以下命题的逆命题中，属于真命题的是（）．A ．如果a>0，b>0，则a+b>0B ．直角都相等C ．两直线平行，同位角相等D ．若a=b ，则|a|=|b|6．具备下列条件的，不是直角三角形的是（）A ．B ．C ．D ．：：：：7．如图，直线CE ∥DF ，∠CAB ＝125°，∠ABD ＝85°，则∠1+∠2＝（）ABC ACD ∠40B ∠=︒65ACE ∠=︒A ∠1cm 2cm 3cm 3cm 4cm 5cm4cm 5cm 10cm 6cm 9cm 2cmABC A B C ∠+∠=∠1123A B C∠=∠=∠23A B C ∠=∠=∠A ∠B ∠1C ∠=34A ．30°B ．35°C ．36°D ．40°8．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴，这与三角形内角和为矛盾②因此假设不成立．∴③假设在中，④由，得，即．这四个步骤正确的顺序应是（）A ．④③①②B ．③④②①C ．①②③④D ．③④①②9．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，第一步应先假设（）A ．三角形中有一个内角小于B ．三角形中有一个内角大于C ．三角形的三个内角都小于D ．三角形的三个内角都大于10．如图，中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点；下列结论中正确的结论有（）①；②；③；④．A ．①②③B ．①③④C ．①②④D．①②③④ABC ∆AB AC =90B ∠<︒180A B C ∠+∠+∠>︒180︒90B ∠<︒ABC ∆90B ∠≥︒AB AC =90B C ∠=∠≥︒180B C ∠+∠≥︒60︒60︒60︒60︒ABC BD BE F CA FH BE ⊥BD G BC H DBE F ∠=∠()12F BAC C ∠=∠-∠2BEF BAF C ∠=∠+∠BGH ABE C ∠=∠+∠二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分）11．命题“平行四边形的对角线互相平分”，它的逆命题是__________，逆命题是__________命题（填“真”或“假”）12．现将一把直尺和的直角三角板按如图摆放，经测量得，则___________．13．BM 是ABC 中AC 边上的中线，AB=7cm ，BC=4cm ，那么ABM 与BCM 的周长之差为_________________cm ．14．用一组整数a ，b ，c 的值说明命题“若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c”是错误的，这组值可以是a ＝__，b ＝__，c ＝__．15．如图所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别是BC ，AD ，CE 的中点，且△ABC 的面积为4．则△BEF 的面积为_________．16．如图，射线AB 与射线CD 平行，点F 为射线AB 上的一定点，连接CF ，点P 是射线CD 上的一个动点（不包括端点C ），将沿PF 折叠，使点C 落在点E 处．若，当点E 到点A 的距离最大时，_____．三、解答题（本大题共8小题，共72分；第17-18每小题6分，第19-21每小题8分，第22小题10分，第23小题12分，第24小题14分）17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线BE 交AC 的延长线于点E ，点F 为AC 延长线上的一点，连接DF．60︒1142∠=︒2∠= PFC △=62DCF ∠︒=CFP ∠(1)求∠CBE 的度数；(2)若∠F ＝25°，求证：．18．如图，有下列三个条件：①DE//BC ；②；③．(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来；(2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：）BE DF ∥12∠=∠B C ∠=∠180B C BAC ∠+∠+∠=︒19．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若，求和的值．解：问题：（1）若，求的值．（2）已知是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围．20．如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的外角的平分线相交于点E ，且∠A=60°．(1)①若∠ABC=40°，则∠E=________；②若∠ABC=100°，则∠E=________．(2)嘉嘉说∠E 的大小与∠B 的度数无关，你认为他说得对吗？请说明理由．2222690m mn n n ++-+=m n 2222222226902690()(3)0m mn n n m mn n n n m n n ++-+=∴+++-+=∴++-=Q 0,303,3m n n m n ∴+=-=∴=-=2222440x y xy y +-++=y x ,,a b c ABC 2210841a b a b +=+-c ABCc21．用反证法证明：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．求证：l1 l2证明：假设l1 l2，即l1与l2交与相交于一点P．则∠1+∠2+∠P 180° 所以∠1+∠2 180°，这与矛盾，故不成立．所以．22．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，点E为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD 于H．∠DCE的平分线交AE于G．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠BAC＝∠DAE，∠AGC＝2∠CAE．求∠CAE的度数；（3）（2）中条件∠BAC＝∠DAE仍然成立，若∠AGC＝3∠CAE，直接写出∠CAE的度数．23．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D；(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有_______个，以点O为交点的“8字型”有________个：②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．24.在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝；（用α的代数式表示，请直接写出结论）（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．答案一、选择题1．B【分析】组成三角形的三边的大小关系是：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此即可求出答案．【详解】解：设第三边长为x ，根据三角形的三边关系得，∴，即．故选：．2．C【分析】根据三角形具有稳定性，即可对图形进行判断．【详解】解：A 、中间竖线的两侧是四边形，不具有稳定性，故本选项错误；B 、对角线下方是四边形，不具有稳定性，故本选项错误；C 、对角线两侧是三角形，具有稳定性，故本选项正确；D 、对角线两侧是四边形，不具有稳定性，故本选项错误．故选C ．3．B【分析】根据角平分线的定义，可求出∠ACD=2∠ACE ，再根据三角形的外角定理即可求出．【详解】∵CE 是的外角的平分线，，∴∠ACD=2∠ACE=130°，∵，∴∠A=130°-40°=90°，故选：B ．4．B【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：根据三角形的三边关系，知A 、1+2＝3，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；B 、3+4＞5，能够组成三角形，故选项正确，符合题意；6363x -<<+39x <<B A ∠ABC ACD ∠65ACE ∠=︒40B ∠=︒C 、5+4＜10，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；D 、2+6＜9，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；故选：B ．5．C【分析】首先明确各个命题的逆命题，再分别分析各逆命题的题设是否能推出结论，可以利用排除法得出答案．【详解】解：A.如果，则不一定是，，选项错误，不符合题意；B.如果角相等，但不一定是直角，选项错误，不符合题意；C.同位角相等，两直线平行，选项正确，符合题意；D.如果，可得或，选项错误，不符合题意．故选：C ．6．C【分析】分别求出各个选项中，三角形的最大的内角，即可判断．【详解】解：根据三角形的内角和为180°，可知，据此逐项判断：A 、由，可以推出，本选项不符合题意；B 、由，可以推出，本选项不符合题意；C 、由，推出，是钝角三角形，本选项符合题意；D 、由，可以推出，本选项不符合题意；故选：C ．7．A【分析】根据三角形的外角的性质可得，根据平行线的性质可得，进而即可求得．【详解】解：∵CE ∥DF ，∴∠CAB ＝125°，∠ABD ＝85°，0a b +>0a >0b >a b =a b =a b =-180A B C ∠+∠+∠=o A B C ∠+∠=∠90C ∠=︒1123A B C ∠=∠=∠90C ∠=︒23A B C ∠=∠=∠108011A ⎛⎫∠=︒ ⎪⎝⎭ABC ∆::1:3:4A B C ∠∠∠=90C ∠=︒1,2CAB CEA DBA DFB ∠=∠+∠∠=∠+∠180CEA DFB ∠+∠=︒12∠+∠180CEA DFB ∠+∠=︒1,2CAB CEA DBA DFB∠=∠+∠∠=∠+∠()12CAB ABD CEA DFB ∴∠+∠=∠+∠-∠+∠，故选A ．8．D【分析】根据反证法的一般步骤判断即可．【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤1、假设在中，2、由，得，即3、，这与三角形内角和为矛盾4、因此假设不成立．综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④①②故选：D9．C【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．【详解】解：用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，第一步应假设这个三角形中三个内角内角都小于60°，故选：C ．10．D【分析】根据角平分线的性质、三角形的高线性质和三角形内角和定理判断即可；【详解】∵，∴，∵，∴，∵，∴，故①正确；，，∵，∴，12585180=︒+︒-︒=30︒ABC ∆90B ∠≥︒AB AC =90B C ∠=∠≥︒180B C ∠+∠≥︒180A B C ∴∠+∠+∠>︒180︒90B ∴∠<︒BD FD ⊥90FGD F ∠+∠=︒FH BE ⊥90BGO DBE ∠+∠=︒FGD BGH ∠=∠DBE F ∠=∠90ABD BAC ∠=︒-∠9090DBE ABE ABD ABE BAC CBD DBE BAC ∠=∠-∠=∠-︒+∠=∠-∠-︒+∠90CBD C ∠=︒-∠DBE BAC C DBE ∠=∠-∠-∠由①得，，∴，故②正确；∵BE 平分，∴，，∴，，∴，故③正确；∵，，∴，∵，，∴，∴，故④正确；∴正确的有①②③④；故选：D ．二、填空题11．对角线互相平分的四边形是平行四边形真【分析】根据逆命题的要求写出逆命题，再判断即可．【详解】解：命题“平行四边形的对角线互相平分”，它的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，此命题是真命题．故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；真．12．【分析】由直尺可得，由直角三角板可知，再利用三角形外角定理和平行线性质推角，即可得到答案．【详解】解：如图，由题可知∴∵，∴又∵∴故答案为：．DBE F ∠=∠()12F BAC C ∠=∠-∠ABC ∠ABE CBE ∠=∠BEF CBE C ∠=∠+∠22BEF ABC C ∠=∠+∠BAF ABC C ∠=∠+∠2BEF BAF C ∠=∠+∠AEB EBC C ∠=∠+∠ABE CBE ∠=∠AEB ABE C ∠=∠+∠BD FC ⊥FH BE ⊥FGD FEB ∠=∠BGH ABE C ∠=∠+∠52︒AB CD 490∠=︒AB CD 56∠=∠1142∠=︒490∠=︒5141429052∠=∠-∠=︒-︒=︒26∠=∠252∠=︒52︒13．3【分析】根据中线的定义可得，ABM 与BCM 的周长之差=AB BC ，据此即可求解．【详解】解：∵BM 是ABC 的中线，∴MA=MC ，∴=AB+BM+MA BC CM BM=AB BC=74=3(cm)．答：ABM 与BCM 的周长是差是3 cm ．故答案是：3．14． -2 -3 -4【分析】根据题意选择a 、b 、c 的值，即可得出答案，答案不唯一．【详解】解：当a ＝﹣2，b ＝﹣3，c ＝﹣4时，﹣2＞﹣3＞﹣4，则（﹣2）+（﹣3）＜（﹣4），∴命题若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c ”是错误的；故答案为：﹣2，﹣3，﹣4．15．1【分析】根据点D ，E ，F 分别是BC ，AD ，CE 的中点，可以推出，进而推出，即可得到答案．【详解】解：∵点D 是BC的中点- ΔΔABM BCM C C ------ 12S S =△BEC △ABC 14B E F A B C S S =∴∵点E 是AD 的中点∴∴又∵点F 是CE 的中点∴又∵∴故答案为：1．16．【分析】利用三角形三边关系可知：当E 落在AB 上时，AE 距离最大，利用且，得到，再根据折叠性质可知：，利用补角可知，进一步可求出．【详解】解：利用两边之和大于第三边可知：当E 落在AB 上时，AE 距离最大，如图：∵且，∴，∵折叠得到，∴，∵，∴．故答案为：三、解答题17.（1）解：∵∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，∴∠CBD=∠A+∠ACB=130°，∵BE 平分∠CBD，ABD ADCS S = DEC S S S S ===△ABE △DBE △AEC △12S S =△BEC △ABC1124BEF BEC ABCS S S == 4ABC S = 1BEF S =△59︒AB CD =62DCF ∠︒=62CFA ∠︒EFP CFP ∠=∠118EFP CFP ∠+∠=︒59EFP CFP ∠=∠=︒AB CD =62DCF ∠︒=62CFA ∠︒PCF PEF EFP CFP ∠=∠118EFP CFP ∠+∠=︒59EFP CFP ∠=∠=︒59︒∴；（2）证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠BCE=90°，∵∠CBE=65°，∴∠BEC=90°－65°=25°，∵∠F ＝25°，∴∠F=∠BEC ，∴．18.（1）解：一共能组成三个命题：①如果DE//BC ，，那么；②如果DE//BC ，，那么；③如果，，那么DE//BC ；（2）解：都是真命题，如果DE//BC ，，那么，理由如下：∵DE//BC ，∴，∵，∴．如果DE//BC ，，那么；理由如下：∵DE//BC ，∴，，∵，∴；如果，，那么DE//BC ；理由如下：∵，∴∠B+∠C=180°-∠BAC ，∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠1+∠2=180°-∠BAC ，1652CBE CBD ∠=∠=︒BE DF ∥12∠=∠B C ∠=∠B C ∠=∠12∠=∠12∠=∠B C ∠=∠12∠=∠B C ∠=∠1B ∠=∠2C∠=∠12∠=∠B C ∠=∠B C ∠=∠12∠=∠1B ∠=∠2C ∠=∠B C ∠=∠12∠=∠12∠=∠B C ∠=∠180B C BAC ∠+∠+∠=︒∴∠B+∠C=∠1+∠2，∵，，∴∠B=∠1，∴DE//BC ．19.解：（1）∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∴，∴，∵是中最长的边，∴，即．20.（1）解：①∵BE ，CE 分别是△ABC 的内角和外角的平分线∴∠DBE=∠ABC=20°，∠DCE=∠ACD∵∠ACD=∠ABC+∠A=60°+40°=100°，∠DCE=∠DBE+∠E∴∠DCE=∠ACD=50°，∴∠E=∠DCE-∠DBE=50°-20°=30°；②∵BE ，CE 分别是△ABC 的内角和外角的平分线∴∠DBE=∠ABC=50°，∠DCE=∠ACD∵∠ACD=∠ABC+∠A=100°+60°=160°，∠DCE=∠DBE+∠E∴∠DCE=∠ACD=80°，12∠=∠B C ∠=∠2222440x y xy y +-++=2222440x xy y y y -++++=()()2220x y y -++=0,20x y y -=+=2,2x y =-=-()2124y x -=-=2210841a b a b +=+-2210258160a a b b -+++=-()()22450a b -+=-50,40a b -=-=5,4a b ==c ABC 545c ≤<+59c ≤<121212121212∴∠E=∠DCE-∠DBE=80°-50°=30°；故答案为：①30°；②30°；（2）解：嘉嘉说得对．理由如下：∵BE ，CE 分别是△ABC 的内角和外角的平分线∴∠DBE=∠ABC ，∠DCE=∠ACD∵∠DCE=∠DBE+∠E∴∠E=∠DCE －∠DBE=∠ACD －∠ABC=(∠ACD －∠ABC)又∵∠ACD=∠ABC+∠A∴∠E=(∠ABC+∠A-∠ABC ）=∠A∴∠E 的大小与∠B 的度数无关．21.已知：如图，直线l 1，l 2被l 3所截，∠1+∠2=180°．求证：证明：假设l 1不平行l 2，即l 1与l 2交与相交于一点P ．则∠1+∠2+∠P=180°（三角形内角和定理），所以∠1+∠2＜180°，这与∠1+∠2=180°矛盾，故假设不成立．所以结论成立，l 1∥l 2．22.（1）证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠DCE ，∵∠B ＝∠D ，∴∠D ＝∠DCE ，∴AD ∥BC ；1212121212121212l l //（2）解：设∠CAG ＝x ，∠DCG ＝z ，∠BAC ＝y ，则∠EAD ＝y ，∠D ＝∠DCE ＝2z ，∠AGC ＝2∠CAE ＝2x ，∵AB ∥CD ，∴∠AHD ＝∠BAH ＝x ＋y ，∠ACD ＝∠BAC ＝y ，△AHD 中，x ＋2y ＋2z ＝180°①，△ACG 中，x ＋2x ＋y ＋z ＝180°，即3x ＋y ＋z ＝180°，∴6x ＋2y ＋2z ＝360°②，②﹣①得：5x ＝180°，解得：x ＝36°，∴∠CAE ＝36°；（3）解：设∠CAE ＝x ，∠DCG ＝z ，∠BAC ＝y ，则∠EAD ＝y ，∠D ＝∠DCE ＝2z ，∠AGC ＝3∠CAE ＝3x ，∵AB ∥CD ，∴∠AHD ＝∠BAH ＝x ＋y ，∠ACD ＝∠BAC ＝y ，△AHD 中，x ＋2y ＋2z ＝180°①，△ACG 中，x ＋3x ＋y ＋z ＝180°，∴4x ＋y ＋z ＝180°，∴8x ＋2y ＋2z ＝360°②，②﹣①得：7x ＝180°，解得：x ＝，∴∠CAE ＝；故答案为：．23.（1）解：△AOC 中，∠A+∠C=180°-∠AOC ，△BOD 中，∠B+∠D=180°-∠BOD ，∵∠AOC=∠BOD ，∴∠A+∠C=∠B+∠D ；1807︒1807︒1807︒（2）解：①以线段AC 为边的“8字型”有：△ACM 和△PDM ，△ACO 和△BOD ，△ACO 和△DNO ，共3个；以点O 为交点的“8字型”有：△ACO 和△BDO ，△ACO 和△DNO ，△AMO 和△BDO ，△AMO 和△DNO ，共4个；②△AMC 和△DMP 中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM ，△BDN 和△PAN 中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN ，∴∠C+∠CAM+∠B+∠BDN =∠P+∠PDM+∠P+∠PAN ，∵PA 平分∠BAC ，PD 平分∠BDC ，∴∠CAM=∠PAN ，∠BDN=∠PDM ，∴∠C+∠B=2∠P ，∴120°+100°=2∠P ，∴∠P=110°；③∵∠CAB=3∠CAP ，∠CDB=3∠CDP ，∴∠CAM=∠CAB ，∠PAN=∠CAB ，∠BDN=∠BDC ，∠PDM=∠BDC ，△AMC 和△DMP 中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM ，∠C-∠P=∠PDM-∠CAM=∠BDC-∠CAB ，3（∠C-∠P ）=∠BDC-∠CAB ，△BDN 和△PAN 中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN ，∠P-∠B=∠BDN-∠PAN=∠BDC-∠CAB ，（∠P-∠B ）=∠BDC-∠CAB ，∴3（∠C-∠P ）=（∠P-∠B ），2∠C-2∠P=∠P-∠B ，3∠P=∠B+2∠C ；24.（1）如图①中，13232313131323233232∵∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点P ，∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB ）=180°（∠ABC+∠ACB ）=180°（180°﹣∠A ），=90°∠A ，∵∠BPC=α，∴∠A=2α﹣180°．故答案为2α﹣180°．（2）结论：∠BPC+∠BQC=180°．理由：如图②中，∵外角∠MBC ，∠NCB 的角平分线交于点Q ，∴∠QBC+∠QCB （∠MBC+∠NCB ）（360°﹣∠ABC ﹣∠ACB ）（180°+∠A ）12-12-12+12=12=12==90°∠A ，∴∠Q=180°﹣（90°∠A ）=90°∠A ，∵∠BPC=90°∠A ，∴∠BPC+∠BQC=180°．（3）延长CB 至F ，∵BQ 为△ABC 的外角∠MBC 的角平分线，∴BE 是△ABC 的外角∠ABF 的角平分线，∴∠ABF=2∠EBF ，∵CE 平分∠ACB ，∴∠ACB=2∠ECB ，∵∠EBF=∠ECB+∠E ，∴2∠EBF=2∠ECB+2∠E ，即∠ABF=∠ACB+2∠E ，又∵∠ABF=∠ACB+∠A ，∴∠A=2∠E ，∵∠ECQ=∠ECB+∠BCQ∠ACB ∠NCB =90°，如果△CQE 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠ECQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；②∠ECQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；12+12+12-12+12=12+③∠Q=2∠E，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=30°，则∠A=2∠E=60°；④∠E=2∠Q，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=60°，则∠A=2∠E=120°．综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．。

沪科版八年级数学角形的边角关系、命题与证明单元测试卷(B卷提升篇)

第13章三角形的边角关系、命题与证明单元测试（B卷提升篇）【沪科版】考试时间：100分钟；满分：100分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2019春•诸城市期末）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（）A．都是直角三角形B．都是钝角三角形C．都是锐角三角形D．是一个直角三角形和一个钝角三角形2．（3分）（2019春•常州期末）三角形的3边长分别是xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过33cm．则x的取值范围是（）A．x≤10B．x≤11C．1＜x≤10D．2＜x≤113．（3分）（2019春•金牛区校级期中）如图，△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，且CF⊥AD于H，下列判断，其中正确的个数是（）①BG是△ABD中边AD上的中线；②AD既是△ABC中∠BAC的角平分线，也是△ABE中∠BAE的角平分线；③CH既是△ACD中AD边上的高线，也是△ACH中AH边上的高线．A．0B．1C．2D．34．（3分）（2019春•侯马市期末）一次数学活动课上，小聪将一副含30°角的三角板的一条直角边和45°角的三角板的一条直角边重叠，则∠1的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．85°5．（3分）（2019秋•雨花区校级月考）在下列条件中，不能确定△ABC是直角三角形的条件是（）A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A＝2∠B﹣3∠CC．∠A＝∠B＝∠C D．∠A＝2∠B＝2∠C6．（3分）（2019春•锦江区期末）如图，在△ABC中，D是边BC上任意一点，连接AD并取AD的中点E，连接B，取BE的中点F，连接CF并取中点G，连接EG，若S△EFG＝2，则S△ABC的值为（）A．12B．14C．16D．187．（3分）（2019秋•盐都区期中）如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB′＝72°，则∠ACD的度数为（）A．9°B．10°C．12°D．18°8．（3分）（2019春•西湖区校级月考）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设（）A．三角形中每个内角都大于60°B．三角形中至少有一个内角大于60°C．三角形中每个内角都大于或等于60°D．三角形中每一个内角都小于成等于60°9．（3分）（2019秋•福田区校级月考）如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°10．（3分）（2019春•南岗区校级期中）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＞∠C，BD、BE分别是△ABC的高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABD+∠EBH．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．（3分）（2018秋•建邺区校级期末）如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画个三角形．12．（3分）（2019秋•江宁区校级月考）改写命题“平行于同一直线的两直线平行”：如果，那么．13．（3分）（2018•长沙模拟）如图，BD是△ABC的中线，AB＝8，BC＝6，△ABD和△BCD的周长的差是．14．（3分）（2019秋•九龙坡区校级月考）如图，AD，BE分别是△ABC中BC，AC边上的高，BC＝6cm，AC＝5cm，若AD＝4cm，则BE的长为cm．15．（3分）（2019春•崇川区校级月考）若△ABC的周长为18，其中一条边长为4，则△ABC中的最长边x 的取值范围为．16．（3分）（2019秋•南岗区校级月考）如图在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACM，连接AP，若∠BPC＝40°，则∠NAP的角度为度．17．（3分）（2019春•金牛区校级期中）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么α，β，γ三个角的关系是．18．（3分）（2019春•新华区校级期中）已知将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B、C．过点A作直线MN∥DE，若∠ACD＝20°，则∠CAM＝．评卷人得分三．解答题（共5小题，满分46分）19．（8分）（2018秋•北碚区校级月考）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．20．（8分）（2019秋•江汉区期中）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD交BD的延长线于点E，∠ABC ＝72°，∠C：∠ADB＝2：3，求∠BAC和∠DAE的度数．21．（8分）（2019春•侯马市期末）“五一”黄金周，小梦一家计划从家B出发，到景点C旅游，由于BC 之间是条湖，无法通过，如图所示只有B﹣A﹣C和B﹣P﹣C两条路线，哪一条比较近？为什么？（提示：延长BP交AC于点D）22．（10分）（2019春•邳州市期中）如图1，将△ABC中纸片沿DE折叠，使点A落在四边形DBCE内点A′的位置，探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由（1）如图2，将△ABC中纸片沿DE折叠，使点A落在四边形DBCE的外部点A′的位置，探索∠A与∠1、∠2之间的数量关系，并说明理由；（2）如图3，将四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE内部点A′D′的位置，请直接写出∠A、∠D、∠1与∠2之间的数量关系．23．（12分）（2019秋•开福区校级月考）概念学习．已知△ABC，点P为其内部一点，连接P A、PB、PC，在△P AB、△PBC、△P AC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点．理解应用（1）判断以下两个命题是否为真今题，若为真令题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点；；②任意的三角形都存在等角点；；（2）如图①，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC＝∠PBC，探究图①中，∠BPC、∠ABC、∠ACP 之间的数量关系，并说明理由．解决问题如图②，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，若△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，求△ABC三角形三个内角的度数．第13章三角形的边角关系、命题与证明单元测试（B卷提升篇）【沪科版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2019春•诸城市期末）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（）A．都是直角三角形B．都是钝角三角形C．都是锐角三角形D．是一个直角三角形和一个钝角三角形【分析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形．【答案】解：如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．如图，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形．因为剪开的边上的两个角互补，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的分类，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．2．（3分）（2019春•常州期末）三角形的3边长分别是xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过33cm．则x的取值范围是（）A．x≤10B．x≤11C．1＜x≤10D．2＜x≤11【分析】根据三角形的三边关系以及周长列出不等式组，求出x的取值范围即可．【答案】解：∵一个三角形的3边长分别是xcm，（x+1）cm，（x+2）cm，它的周长不超过33cm，∴，解得1＜x≤10．故选：C．【点睛】本题考查的是三角形三边关系、解一元一次不等式组，在解答此题时要注意三角形的三边关系．3．（3分）（2019春•金牛区校级期中）如图，△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，且CF⊥AD于H，下列判断，其中正确的个数是（）①BG是△ABD中边AD上的中线；②AD既是△ABC中∠BAC的角平分线，也是△ABE中∠BAE的角平分线；③CH既是△ACD中AD边上的高线，也是△ACH中AH边上的高线．A．0B．1C．2D．3【分析】根据三角形的高，中线，角平分线的定义可知．【答案】解：①G为AD中点，所以BG是△ABD边AD上的中线，故正确；②因为∠1＝∠2，所以AD是△ABC中∠BAC的角平分线，AG是△ABE中∠BAE的角平分线，故错误；③因为CF⊥AD于H，所以CH既是△ACD中AD边上的高线，也是△ACH中AH边上的高线，故正确．故选：C．【点睛】熟记三角形的高，中线，角平分线是解决此类问题的关键．4．（3分）（2019春•侯马市期末）一次数学活动课上，小聪将一副含30°角的三角板的一条直角边和45°角的三角板的一条直角边重叠，则∠1的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．85°【分析】根据平行线的判定求出AB∥EF，根据平行线的性质求出∠AOF，根据三角形的外角性质求出∠1即可．【答案】解：如图所示，∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∴∠ABC+∠DEF＝180°，∴AB∥EF，∴∠AOF＝∠F＝45°，∵∠A＝30°，∴∠1＝∠A+∠AOF＝30°+45°＝75°，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，能根据定理求出∠AOF的度数是解此题的关键．5．（3分）（2019秋•雨花区校级月考）在下列条件中，不能确定△ABC是直角三角形的条件是（）A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A＝2∠B﹣3∠CC．∠A＝∠B＝∠C D．∠A＝2∠B＝2∠C【分析】根据三角形内角和定理，求出三角形的内角即可判断．【答案】解：A、由∠A＝∠B＝∠C，可以推出∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，所以本选项不符合题意．C、由∠A＝∠B＝∠C，可以推出∠C＝90°，∠A＝∠B＝45°，所以本选项不符合题意．D、由∠A＝2∠B＝2∠C，可以推出∠A＝90°，∠B＝∠C＝45°，∠A＝2∠B＝2∠C，所以本选项不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．（3分）（2019春•锦江区期末）如图，在△ABC中，D是边BC上任意一点，连接AD并取AD的中点E，连接B，取BE的中点F，连接CF并取中点G，连接EG，若S△EFG＝2，则S△ABC的值为（）A．12B．14C．16D．18【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等两个三角形求得即可．【答案】解：∵EG是△EFC的中线，∴S△EFC＝2S△EFG＝2×2＝4，∵FC是△BCE的中线，∴S△BCE＝2S△EFC＝8，∵BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，∴S△ABD+S△ACD＝2S△BED+2S△CDE＝2S△BCE＝16，∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝16，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的中线把三角形分成面积相等两个三角形是解题的关键．7．（3分）（2019秋•盐都区期中）如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB′＝72°，则∠ACD的度数为（）A．9°B．10°C．12°D．18°【分析】根据∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，求出∠DCB即可解决问题．【答案】解：∵∠ACB′＝72°，∠ACB＝90°，∴∠BCB′＝162°，由翻折的性质可知：∠DCB＝∠BCB′＝81°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝90°﹣81°＝9°，故选：A．【点睛】本题考查翻折变换，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（3分）（2019春•西湖区校级月考）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设（）A．三角形中每个内角都大于60°B．三角形中至少有一个内角大于60°C．三角形中每个内角都大于或等于60°D．三角形中每一个内角都小于成等于60°【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．【答案】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即每一个内角都大于60°．故选：A．【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．9．（3分）（2019秋•福田区校级月考）如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°【分析】延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P+∠ACD＝∠A+∠ABD，代入计算即可．【答案】解：延长DC，与AB交于点E．∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝50°，∴∠ACD＝∠A+∠AEC＝50°+∠AEC．∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC＝∠ABD+∠D＝∠ABD+10°，∴∠ACD＝50°+∠AEC＝50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD﹣∠ABD＝60°．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，∴∠P+∠ACD＝∠A+∠ABD，即∠P＝50°﹣（∠ACD﹣∠ABD）＝20°．故选：C．【点睛】本题考查平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和等知识，解题的关键学会添加常用辅助线，利用“8字型”基本图形解决问题．10．（3分）（2019春•南岗区校级期中）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＞∠C，BD、BE分别是△ABC的高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABD+∠EBH．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD＝∠BGH，证明结论正确；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；③证明∠DBE＝∠BAC﹣∠C，根据①的结论，证明结论正确；④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论错误．【答案】解：∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F＝90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE＝90°，∵∠FGD＝∠BGH，∴∠DBE＝∠F，故①正确；∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BEF＝∠CBE+∠C，∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，∠BAF＝∠ABC+∠C，∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，故②正确；③∠ABD＝90°﹣∠BAC∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD＝90°﹣∠C，∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE＝∠F，∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，∴2∠F＝∠BAC﹣∠C，∴∠F＝（∠BAC﹣∠C），故③正确；∵∠BGH＝∠ABD+∠BTG，∵∠CBE＝∠ABE，BE⊥TH，∴∠BTG+∠ABE＝∠BHG+∠CBE＝90°，∴∠BTG＝∠BHT，显然∠CBE与∠BHT，＝不一定相等，故④错误，故选：A．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．（3分）（2018秋•建邺区校级期末）如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形．【分析】根据题意画出图形即可得到结论．【答案】解：如图所示，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形，故答案为：10．【点睛】本题考查了三角形，正确的画出图形是解题的关键．12．（3分）（2019秋•江宁区校级月考）改写命题“平行于同一直线的两直线平行”：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．【答案】解：命题平行于同一直线的两直线平行可以改写为：“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”．故答案为：两条直线都与第三条直线平行，这两条直线互相平行．【点睛】本题考查了命题的改写．任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意．13．（3分）（2018•长沙模拟）如图，BD是△ABC的中线，AB＝8，BC＝6，△ABD和△BCD的周长的差是2．【分析】根据三角形中线的定义可得AD＝CD，然后求出△ABD和△BCD的周长差＝AB﹣BC，代入数据进行计算即可得解．【答案】解：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∴△ABD和△BCD的周长差＝（AB+AD+BD）﹣（BC+CD+BD），＝AB+AD+BD﹣BC﹣CD﹣BD，＝AB﹣BC，∵AB＝8，BC＝6，∴△ABD和△BCD的周长差＝8﹣6＝2．答：△ABD和△BCD的周长差为2．故答案为：2【点睛】本题考查了三角形的中线的定义，是基础题，数据概念并求出△ABD和△BCD的周长差＝AB ﹣BC是解题的关键．14．（3分）（2019秋•九龙坡区校级月考）如图，AD，BE分别是△ABC中BC，AC边上的高，BC＝6cm，AC＝5cm，若AD＝4cm，则BE的长为 4.8cm．【分析】利用三角形面积的不变性列出等式解答即可．【答案】解：∵BC＝6cm，AC＝5cm，若AD＝4cm，∴BC•AD＝AC•BE，即×6×4＝×5•BE，解得BE＝4.8cm．故答案为：4.8【点睛】此题考查了利用面积法求三角形的高，是解．答此类题目常用的方法，关键是找对三角形的高所在的位置15．（3分）（2019春•崇川区校级月考）若△ABC的周长为18，其中一条边长为4，则△ABC中的最长边x 的取值范围为7≤x＜9．【分析】根据已知条件可以得到三角形的第三边的长，再根据三角形的三边关系以及x为△ABC中的最长边可以得到关于x的不等式组，解出不等式组即可．【答案】解：∵△ABC的周长为18，其中一条边长为4，这个三角形的最大边长为x，∴第三边的长为：18﹣4﹣x＝14﹣x，∴x＞4且x≥14﹣x，∴x≥7，根据三角形的三边关系，得：x＜14﹣x+4，解得：x＜9；∴7≤x＜9，故答案为：7≤x＜9．【点睛】此题考查了三角形的三边关系，要能够根据三角形的三边关系分析得到关于x的不等式．16．（3分）（2019秋•南岗区校级月考）如图在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACM，连接AP，若∠BPC＝40°，则∠NAP的角度为50度．【分析】根据三角形外角性质和角平分线的定义解答即可．【答案】解：∵BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACM，∴∠PCM＝，，∵∠ACM＝∠ABC+∠BAC，∠PCM＝∠PBC+∠BPC，∴∠PCM＝，∴∠BPC＝＝40°，∴∠BAC＝80°，∴∠NAC＝100°，∴∠NAP＝50°，故答案为：50【点睛】此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形外角性质和角平分线的定义解答．17．（3分）（2019春•金牛区校级期中）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么α，β，γ三个角的关系是γ＝2α+β．【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．【答案】解：由折叠得：∠A＝∠A'，∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，故答案为：γ＝2α+β．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．18．（3分）（2019春•新华区校级期中）已知将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B、C．过点A作直线MN∥DE，若∠ACD＝20°，则∠CAM＝110°．【分析】在Rt△ABC中，根据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，即，∴∠ABD+∠BAC ＝90°﹣∠ACD＝70°，整体代入即可得出结论．【答案】解：在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，而∠D＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝90°，∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠BAC＝180°，而∠DBC+∠DCB＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠BAC，∴∠ABD+∠BAC＝90°﹣∠ACD＝70°．又∵MN∥DE，∴∠ABD＝∠BAN．而∠BAN+∠BAC+∠CAM＝180°，∴∠ABD+∠BAC+∠CAM＝180°，∴∠CAM＝180°﹣（∠ABD+∠BAC）＝110°．故答案为110°．【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解本题的关键是求出∠ABD+∠BAC＝70°．三．解答题（共5小题，满分46分）19．（8分）（2018秋•北碚区校级月考）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．【分析】先根据AD是BC边上的中线得出BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，再分△ACD 的周长是60与△ABD的周长是60两种情况进行讨论即可．【答案】解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC，∴BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，分为两种情况：①AC+CD＝60，AB+BD＝40，则4x+x＝60，x+y＝40，解得：x＝12，y＝28，即AC＝4x＝48，AB＝28；②AC+CD＝40，AB+BD＝60，则4x+x＝40，x+y＝60，解得：x＝8，y＝52，即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16，此时不符合三角形三边关系定理；综合上述：AC＝48，AB＝28．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理的应用，注意：要分情况进行讨论．20．（8分）（2019秋•江汉区期中）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD交BD的延长线于点E，∠ABC ＝72°，∠C：∠ADB＝2：3，求∠BAC和∠DAE的度数．【分析】设∠C＝2x，则∠ADB＝3x，利用三角形内角和定理以及三角形的外角的性质解决问题即可．【答案】解：设∠C＝2x，则∠ADB＝3x，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝72°，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∵∠ADB＝∠DBC+∠C，∴3x＝36°+2x，∴x＝36°，∴∠C＝72°，∠ADB＝108°，∴∠BAC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∵AE⊥BE，∴∠E＝90°，∵∠ADB＝∠E+∠DAE，∴∠DAE＝108°﹣90°＝18°．【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．21．（8分）（2019春•侯马市期末）“五一”黄金周，小梦一家计划从家B出发，到景点C旅游，由于BC 之间是条湖，无法通过，如图所示只有B﹣A﹣C和B﹣P﹣C两条路线，哪一条比较近？为什么？（提示：延长BP交AC于点D）【分析】延长BP交AC于点D．依据三角形两边之和大于第三边，即可得出结论．【答案】解：如图，延长BP交AC于点D．∵△ABD中，AB+AD＞BD＝BP+PD，△CDP中，PD+CD＞CP，∴AB+AD+PD+CD＞BP+PD+CP，即AB+AD+CD＞BP+CP，∴AB+AC＞BP+CP，∴B﹣P﹣C路线较近．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，解决问题的关键是延长BP交AC于点D，利用三角形三边关系进行判断．22．（10分）（2019春•邳州市期中）如图1，将△ABC中纸片沿DE折叠，使点A落在四边形DBCE内点A′的位置，探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由（1）如图2，将△ABC中纸片沿DE折叠，使点A落在四边形DBCE的外部点A′的位置，探索∠A与∠1、∠2之间的数量关系，并说明理由；（2）如图3，将四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE内部点A′D′的位置，请直接写出∠A、∠D、∠1与∠2之间的数量关系．【分析】根据折叠性质得出∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，根据三角形内角和定理得出∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，代入∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE）求出即可；（1）运用三角形的外角性质即可解决问题；（2）先根据翻折的性质表示出∠3、∠4，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．【答案】解：图1中，2∠A＝∠1+∠2，理由是：∵沿DE折叠A和A′重合，∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE），∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A；（1）如图2，2∠A＝∠1﹣∠2．∵∠1＝∠DF A+∠A，∠DF A＝∠A′+∠2，∴∠1＝∠A+∠A′+∠2＝2∠A+∠2，∴2∠A＝∠1﹣∠2；（2）如图3，根据翻折的性质，∠3＝（180﹣∠1），∠4＝（180﹣∠2），∵∠A+∠D+∠3+∠4＝360°，∴∠A+∠D+（180﹣∠1）+（180﹣∠2）＝360°，整理得，2（∠A+∠D）＝∠1+∠2+360°．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．23．（12分）（2019秋•开福区校级月考）概念学习．已知△ABC，点P为其内部一点，连接P A、PB、PC，在△P AB、△PBC、△P AC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点．理解应用（1）判断以下两个命题是否为真今题，若为真令题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点；真命题；②任意的三角形都存在等角点；假命题；（2）如图①，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC＝∠PBC，探究图①中，∠BPC、∠ABC、∠ACP 之间的数量关系，并说明理由．解决问题如图②，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，若△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，求△ABC三角形三个内角的度数．【分析】理解应用（1）根据等角点的定义，可知内角分别为30、60、90的三角形存在等角点，而等边三角形不存在等角点，据此判断即可；（2）根据△ABC中，∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACP以及∠BAC＝∠PBC进行推导，即可得出∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系；解决问题先连接PB，PC，再根据△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，以及三角形内角和为180°，得出关于∠A的方程，求得∠A的度数即得出可三角形三个内角的度数．【答案】解：理解应用（1）①内角分别为30、60、90的三角形存在等角点是真命题；②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点；故答案为：真命题，假命题；（2）如图①，∵在△ABC中，∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACP，∠BAC＝∠PBC，∴∠BPC＝∠ABP+∠PBC+∠ACP＝∠ABC+∠ACP；解决问题如图②，连接PB，PC∵P为△ABC的角平分线的交点，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∵P为△ABC的等角点，∴∠PBC＝∠BAC，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠BAC，∠ACB＝∠BPC＝4∠A，又∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A+2∠A+4∠A＝180°，∴∠A＝，∴该三角形三个内角的度数分别为，，．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是理清等角点的定义，根据等角点的定义以及三角形的内角和为180°。

八年级上册数学三角形三边关系-命题与证明

三角形中的边角关系、命题与证明【学习目的】①理解与三角形有关的基本概念②命题与证明考点一：三角形中的边角关系►知识点拨：1.三角形中的有关概念（1）三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形.用符号“△”表示.（2）三角形的顶点、边和角：①边的表示；②角的表示；③对边、对角的概念.2.三角形按边的关系分类（1）不等边三角形：三条边互不相等；②等腰三角形：有两条边相等的三角形；（2）等边三角形：三条边都相等的三角形（等腰三角形的特例）3.三角形的三边关系：三角形中任何两条边的和大于第三边，两边的差（绝对值）小于第三边.4.三角形中角的关系（1）按角分类：①直角三角形；②斜三角形：锐角三角形和钝角三角形.（2）三角形的内角和等于180 .注意：①用Rt△ABC表示直角三角形；②任意一个三角形最多有三个锐角；最少有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角；③任何三角的最大内角不能小于60 ，最小内角不能大于60 .5.三角形中的几条重要线段（1）角平分线：角平分线把角分成两个相等的角.（三条角平分线的交点就是三角形的外心）（2）中线：三角形一顶点与它对边中点的线段叫中线.（三条中线的交点就是三角形的重心）（3）高线：三角形一顶点与它对边所在直线的垂线段叫三角形的高线.注意：三角形的中线所分得的两个三角形的面积相等.6.定义：能明确界定某个对象含义的语句叫做定义.例1：如图所示，以点A为顶点的三角形共有（）A.6个B.7个C.8个D.9个A.20或16B.20C.60D.以上都不对例3：若四条线段的长分别为2cm、3cm、4cm、5cm，以其中的三条线段为边长，则可以构成三角形的个数有（）A.1 B.2 C.3 D.4A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定例5：如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）A.BA=2BFB.2∠ACE=∠ACBC.AE=BED.CD⊥BE例6：下列属于定义的是（）A.两点确定一条直线B.两直线平行，同位角相等C.三角形的高、角平分线和中线都是线段D.有一个角是直角的三角形叫做直角三角形基础训练1、如图所示，AB＝AC，BE＝CD，AD＝BD＝DE＝AE＝CE，则图中共有个等腰三角形，有个等边三角形.第1题图第3题图第4题图2、一个等腰三角形中，一边长为9cm，另一边长为5cm，则等腰三角形的周长是.3、如图，AD、BE、CF分别是△ABC的高、中线、角平分线.则△ADC的高、中线、角平分线分别是.4、如图，图中以AB为边的三角形的个数是（）A.3B.4C.5D.6A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.不能确定6、三角形的两边长分别为3，8，则第三边长为（）A.5B.6C.3D.117、以下各组长度的线段为边，组成的三角形是（）A.2、3、5B.3、3、6C.5、8、2D.4、5、68、设三角形的三边长分别为2，9，1-2a，则a的取值范围是（）A.3<a<5B.-5<a<3C.-5<a<-3D.不能确定9、三角形的内角和等于（）A.90B.180C.300D.36010、在△ABC中，若∠A=54 ，∠B=36 ，则△ABC是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形11、当三角形中一个内角α是另一个内角β的2倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为（）A.30°B.50°C.80°D.100°12、三角形的角平分线、中线和高（）A.都是射线B.都是直线C.都是线段D.都在三角形内13、如图所示，已知∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确的个数为（）①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AE平分∠BAC.A.②和③B.③和④C.①和④D.仅有③14、下面四个命题中属于定义的是（）A.两点之间线段最短B.对顶角相等C.有两条边相等的三角形叫等腰三角形D.内错角相等强化训练1.在△ABC中，如果∠A:∠B:∠C=1：2：3，则△ABC一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2.如图，AE是△ABC的中线,D是BE上一点,若BE=5，DE=2，则CD的长为（）A.7B.6C.5D.43.如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）4.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）A.3cm，4cm，8cmB.8cm ，7cm，15cmC.5cm ，5cm，11cmD.13cm ，12cm，20cm5.如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，点E是边AC上一点，且DE∥BC，∠B=40 ，∠AED=60 ，则∠A的度数是（）A.100 B.90 C.80 D.70第5题图第7题图第8题图6.一个三角形的两边长为8和10，则它的最短边a的取值范围是．7.如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的平分线.（1）若∠B=47°，∠C=53°，则∠DAE=度；（2）若∠B=α，∠C=β(α<β)，则∠DAE=度.（用α、β含的代数式表示）8.如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是．9.已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是_____.10.如图，在△ABC中，∠A=40 ，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC=_____.11.如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线.(1)若∠ABE=15 ，∠BAD=40 ，求∠BED的度数；(2)在△BED 中，作BD 边上的高；(3)若△ABC 的面积为40，BD=5，求△BDE 中BD 边上的高为多少?12.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠BAC ＝50°，∠C ＝70°，求∠DAC ，∠BOA.能力提升1.各边长度都是正整数且最大边长为8的三角形共有个.2.三角形的三边长分别为a 、b 、c ，且(a -b-c)∙(b-c)＝0，则此三角形为________三角形．3.如图所示，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若12=∆ABC S ，则图中阴影部分面积是_____.4.如图所示，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别为边BC 、AD 、CE 的中点，且24cm S ABC =∆，则阴影S 等于（）5.如图，用钢筋做支架，要求BA 、DC 相交所成的锐角为32 ，现测得∠BAC=∠DCA=115 ，则这个支架符合设计要求吗?为什么?6.设三角形的三条边为整数a 、b 、c 且c b a ≤≤，当b=4时，符合条件的a 、b 、c 的取值若下表：（1）将表格补充完整；（2）满足条件的三角形共有多少个?其中等腰三角形有多少个?等边三角形又有多少个? 考点二：命题与证明例1：下列语句不是命题的是（）A.直角都等于90 B.对顶角相等 C.互补的两个角不相等 D.作线段AB例2：把下例命题改写成“如果......那么.....”的形式，并分别指出它们的题设和结论.(1)整数一定是有理数；(2)同角的补角相等；(3)两个锐角互余.例3：写出下列命题的逆命题，并判断真假（1）两直线平行，同位角相等；（2）若a=0，则a b=0；（3）对顶角相等.例4：请举反例说明命题“对于任意实数x ，552++x x 的值总是正数”是假命题，你举的反例是_____（写出一个的值即可）.例5：在下列证明中，填上推理依据：如图，CD ∥EF ，∠1=∠2，求证：∠3=∠ACB.例6：如图，在△ABC 中，∠ABC=66 ，∠ACB=54 ，BE 、CF 是两边AC 、AB 上的高，它们交于点H.求∠ABE 和∠BHC 的度数.基础训练1、下列语句中，不是命题的是（） A.两点之间线段最短B.对顶角相等C.不是对顶角的两个角不相等D.过直线AB 外一点P 作直线AB 的垂线2、下列命题中，是真命题的是（） A.三角形的一个外角大于任何一个内角 B.三角形的一个外角等于两个内角之和 C.三角形的两边之和一定不小于第三边D.三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心3、“两条直线相交只有一个交点”的题设是（）A.两条直线B.相交C.只有一个交点D.两条直线相交4、已知命题A：“任何偶数都是8的整数倍”.在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（）A.2kB.15C.24D.425、如图，下列说法中错误的是（）A.∠1不是△ABC的外角B.∠B＜∠1+∠2C.∠ACD是△ABC的外角D.∠ACD＞∠A+∠B第5题图第6题图第7题图6、一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A.165B.120C.150D.1357、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD∥AB，∠ACD=40°，则∠B的度数为（）A.40°B.50°C.60°D.70°8、命题“有两边相等的三角形是等腰三角形”的题设是，结论是，它的逆命题是.9、完成以下证明，并在括号内填写理由：已知：如图所示∠1=∠2，∠A=∠3.求证：AC∥DE.证明：因为∠1=∠2，所以AB∥．（）所以∠A=∠4．（）又因为∠A=∠3，所以∠3=.（）所以AC∥DE. （）10、将下列命题改写成“如果......那么......”的形式，并分别指出命题的题设与结论：（1）直角都相等；（2）末位数字是5的整数能被5整除；（3）同角的余角相等.11、分析下列所举反例的正确性，若不正确，请写出正确的反例.（1）若|x|=|y|，则x=y；反例：取x=3，y=-3，则|x|=|y|，所以此命题是假命题；（2）两个锐角的和一定是钝角；反例：取∠1=30°，∠2=100°，则∠1+∠2=130°，不符合命题的结论，所以此命题是假命题；（3）若|a|=a，则a>0.12、如图，已知AC∥DE，∠1=∠2.求证：AB∥CD.13、如图，在△ABC中，∠A=62°，∠ABD=∠DCE=36°，求∠BEC的度数.14、如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D，若∠1=∠2，，则△ABC 是直角三角形吗？为什么？强化训练1.如图，在锐角三角形ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE相交于点P.若∠A ＝50°，则∠BPC的度数是（）A.150B.130C.120D.1002.如图，从①∠1=∠2；②∠C=∠D；③∠A=∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3第2题图第6题图3.一个三角形的三个外角之比为3：4：5，则这个三角形三个内角之比是（）A.5:4:3B.4:3:2C.3:2:1D.5:3:14.能说明命题“对于任何实数a ，a a ->”是假命题的一个反例可以是（）A.a =-2B.31=a C. a =1 D.2=a 5.下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若b a =，则b a =；④若0=x ，则022=-x x .它们的逆命题一定成立的有（）A.①②③④B.①④C.②④D.②6.如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B=35 ，∠ACE=60 ，则∠A= （）A.35B.95C.85D.757.如图，在△ABC 中，∠B=40 ，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=.8.直角三角形中两个锐角的平分线相交所成的锐角的度数是.9.写出命题“如果b a =，那么b a 33=”的逆命题：.10.如图，AD 是△ABC 的高，BE 平分∠ABC 交AD 于E.若∠C ＝60°，∠BED ＝54°，求∠BAC 的度数.11.如图，AD 是△ABC 的外角平分线，交BC 的延长线于D 点，若∠B=30°，∠ACD=100°，求∠DAE 的度数．12.如图，D是△ABC内的任意一点.求证：∠BDC=∠1+∠A+∠2.13.用两种方法证明“三角形的外角和等于360 ”.如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角.求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360 .证法1：，∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180⨯ 3=540 .∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540 -（∠1+∠2+∠3）.，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540 -180 =360 .请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.能力提升1.如图，∠A+∠B+∠C+∠D=.2.观察下列各式：想一想：什么样的两个数之积等于这两个数的和？设n 表示正整数，用关于n 的代数式表示这个规律：_______×_______=_______+________.3.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，且AD=12BC ．2224,24;1139393,3;22224164164,4;33335255255,5.4444⨯=+=⨯=+=⨯=+=⨯=+=（1）求证：∠BAC=90°；（2）直接运用这个结论解答题目：一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另两边之和为4.如图在△ABC中AB=AC,∠BAC=900,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于E、F.（1）求证：AE=CF（2）是否还有其他结论，不要求证明（至少2个）。

2019年沪科版八年级上册数学《第13章三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷(解析版)

2019年沪科版八年级上册数学《第13章三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法：①点A与点B的距离是线段AB的长；②点A到直线CD的距离是线段AD的长；③线段CD是△ABC边AB上的高；④线段CD是△BCD边BD上的高．上述说法中，正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，H，G是边BC上的点，且HG＝BC，S＝24，则图中阴影部分的面积为（）△ABCA．4B．6C．8D．123．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（）A．3，4，8B．13，12，20C．8，7，15D．5，5，114．如图，△ABC中，BD⊥AC，AE⊥BC，AE、BD交于点O，连接CO，∠ABC＝54°，∠ACB＝48°，则∠COD＝（）A．51°B．66°C．78°D．88°5．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E＝（）A．40°B．36°C．20°D．18°6．如图所示，在▱ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，BD分别交AN，CM于点P，Q．下列命题中不正确的是（）A．BD⊥AN B．∠DAN＝∠BCMC．BP＝DQ D．S▱AMCN：S▱ABCD＝1：27．下列命题中，是真命题的有（）①两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；②若a2＝b2，则a＝b；③多边形的外角和与边数有关；④若线段a、b、c，满足b+c＞a，则以a、b、c为边一定能组成三角形；⑤如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等．A．0个B．1个C．2个D．3个8．用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．39．如图是琳琳6个装好糖果的礼包盒，每盒上面的数字代表这盒礼包实际装有的糖果数量．她把其中的5盒送给好朋友小芬和小红，自己留下1盒．已知送的都是整盒，包装没拆过，送给小芬的糖果数量是小红的2倍，则琳琳自己留下的这盒有糖果（）A．15粒B．18粒C．20粒D．31粒10．A，B，C，D四个队赛球，比赛之前，甲和乙两人猜测比赛的成绩次序：甲：从第一名开始，名次顺序是A，D，C，B；乙：从第一名开始，名次顺序是A，C，B，D，比赛结果，两人都猜对了一个队的名次，已知第一名是B队，请写出四个队的名次顺序是（）A．B，A，C，D B．B，C，A，D C．D，B，A，C D．B，A，D，C 二．填空题（共8小题）11．图中有个三角形．12．如图，点AD是△ABC的边BC上的中线，若AB＝10cm，AC＝8cm，则△ABD与△ACD 的周长之差为．13．如图，在△ABC中，已知D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，若△ABC的面积为16cm2，则△BEF（阴影部分）的面积等于cm2．14．三角形的三边长分别为5，8，2x+1，则x的取值范围是．15．下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题的序号为．16．如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，那么∠1与∠3也互余，此命题是命题（填“真”或“假”）17．如图，用5种不同的颜色着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，则所有不同的着色方法有种．18．一幢楼房内住有六家住户，分别姓赵，钱，孙，李，周，吴，这幢楼住户共订有A，B，C，D，E，F六种报纸，每户至少订了一种报纸，已知赵，钱，孙，李，周分别订了其中2，2，4，3，5种报纸，而A，B，C，D，E五种报纸在这幢楼里分别有1，4，2，2，2家订户，则报纸F在这幢楼里有家订户．三．解答题（共8小题）19．如图，D是△ABC中BC上的一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且∠ADE＝∠ADF，AD是△ABC的角平分线吗？说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）．在第三象限内有一点M（﹣2，m）．（I）请用含m的式子表示△ABM的面积；（II）当m＝时，在y轴上有一点P，使△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．21．若a，b，c分别为三角形的三边，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a+b|．22．在△ABC中，射线AG平分∠BAC交BC于点G，点D在BC边上运动（不与点G重合），过点D作DE∥AC交AB于点E．（1）如图1，点D在线段CG上运动时，DF平分∠EDB①若∠BAC＝100°，∠C＝30°，则∠AFD＝；若∠B＝40°，则∠AFD＝；②试探究∠AFD与∠B之间的数量关系？请说明理由；（2）点D在线段BG上运动时，∠BDE的角平分线所在直线与射线AG交于点F试探究∠AFD与∠B之间的数量关系，并说明理由．23．如图在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，BC，BC，CD上的点，连接EF，GH．①若EF⊥GH，则必有EF＝GH．②若EF＝GH，则必有EF⊥GH．判断上述两个命题是否成立，若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例．24．如图，△ABD和△ACE，有下列三个关系式①BD•AC＝AB•CE；②∠1＝∠2；③∠C ＝∠B．选择其中两个式子作为题设，余下的一个作为结论组成一个真命题，写出已知，求证并证明．25．国际象棋比赛中，胜一局得1分，平一局得0.5分，负一局得0分，今有8名选手进行单循环比赛（每两人均赛一局），赛完后，发现各选手的得分均不相同，当按得分由大到小排列好名次手，第四名选手得4.5分，第二名的得分等于最后四名得分总和，问前三名选手各得多少分？说明理由．26．三个整数p、q、r满足条件0＜p＜q＜r，它们分别写在三张卡片上，A、B、C三人进行某种游戏，每次各摸取一张卡片，然后按卡片上写的数走多少步．在进行N次（N≥2）后，A已走了20步，B走了10步，C走了9步，已知最后一次B走了r步，问第一次谁走了q步？2019年沪科版八年级上册数学《第13章三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法：①点A与点B的距离是线段AB的长；②点A到直线CD的距离是线段AD的长；③线段CD是△ABC边AB上的高；④线段CD是△BCD边BD上的高．上述说法中，正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据三角形的高的定义即可判断②③④，根据两点间的距离定义即可判断①．【解答】解：①、根据两点间的距离的定义得出：点A与点B的距离是线段AB的长，∴①正确；②、点A到直线CD的距离是线段AD的长，∴②正确；③、根据三角形的高的定义，△ABC边AB上的高是线段CD，∴③正确；④、根据三角形的高的定义，△DBC边BD上的高是线段CD，∴④正确．综上所述，正确的是①②③④共4个．故选：D．【点评】本题主要考查对三角形的角平分线、中线、高，两点间的距离等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．2．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，H，G是边BC上的点，且HG＝BC，S＝24，则图中阴影部分的面积为（）△ABCA．4B．6C．8D．12【分析】连接DE，作AF⊥BC于F，根据三角形中位线定理得出DE＝BC，DE∥BC，根据相似三角形的判定定理和性质定理，结合三角形面积计算即可．【解答】解：连接DE，作AF⊥BC于F，如图所示：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE＝BC，DE∥BC，AH＝FH，∴△ADE∽△ABC，AH⊥DE，∴△ADE的面积＝24×＝6，∴四边形DBCE的面积＝24﹣6＝18，∵HG＝BC，∴DE＝HG，∴△DOE的面积+△HOG的面积＝2×DE×AH＝△ADE的面积＝6，∴图中阴影部分的面积＝18﹣6＝12，故选：D．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线定理，证明三角形相似是解题的关键．3．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（）A．3，4，8B．13，12，20C．8，7，15D．5，5，11【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．【解答】解：A、3+4＜8，不能摆成三角形；B、13+12＞20，能摆成三角形；C、8+7＝15，不能摆成三角形；D、5+5＜11，不能摆成三角形．故选：B．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．4．如图，△ABC中，BD⊥AC，AE⊥BC，AE、BD交于点O，连接CO，∠ABC＝54°，∠ACB＝48°，则∠COD＝（）A．51°B．66°C．78°D．88°【分析】根据三角形的内角和得到∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝78°，延长CO交AB于F，推出CF⊥AB，于是得到结论．【解答】解：∵∠ABC＝54°，∠ACB＝48°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝78°，延长CO交AB于F，∵BD⊥AC，AE⊥BC，AE、BD交于点O，∴CF⊥AB，∴∠ACF＝90°﹣∠BAC＝12°，∴∠COD＝90°﹣∠ACF＝78°，故选：C．【点评】本题考查了三角形的内角和，三角形的垂心，熟记三角形的三条高线相交于一点是解题的关键．5．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E＝（）A．40°B．36°C．20°D．18°【分析】先根据∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，得出∠ACD﹣∠ABC＝36°，再利用角平分线的定义得：∠ACD﹣∠ABC＝18°，即∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝18°．【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∵∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，∴∠ACD﹣∠ABC＝36°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ACD，∠EBC＝∠ABC，∵∠ECD是△BCE的一个外角，∴∠ECD＝∠EBC+∠E，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝∠ACD﹣∠ABC＝18°．故选：D．【点评】本题考查了三角形的外角性质，同时要运用整体的思想，关键是从∠ACD这个外角看到∠ECD，根据等量代换解决此题．6．如图所示，在▱ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，BD分别交AN，CM于点P，Q．下列命题中不正确的是（）A．BD⊥AN B．∠DAN＝∠BCMC．BP＝DQ D．S▱AMCN：S▱ABCD＝1：2【分析】证出四边形AMCN是平行四边形，由平行四边形的性质得出选项B正确，由相似三角形的性质得出选项C正确，由平行四边形的面积公式得出选项D正确，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，∵M、N分别是边AB、CD的中点，∴CN＝CD，AM＝AB，∴CN＝AM，∴四边形AMCN是平行四边形，∴AN∥CM，∠MAN＝∠NCM，∴∠DAN＝∠BCM，选项B正确；∴△BMQ∽△BAP，△DPN∽△DQC，∴BQ：BP＝BM：AB＝1：2，DP：DQ＝DN：CD＝1：2，∴DP＝PQ，BQ＝PQ，∴DP＝PQ＝QB，∴BP＝DQ，选项C正确；∵AB＝2AM，∴S▱AMCN：S▱ABCD＝1：2，选项D正确；故选：A．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．7．下列命题中，是真命题的有（）①两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；②若a2＝b2，则a＝b；③多边形的外角和与边数有关；④若线段a、b、c，满足b+c＞a，则以a、b、c为边一定能组成三角形；⑤如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等．A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】由平行线的性质得出①是假命题，⑤是假命题；由偶次方的性质得出②是假命题；由多边形的外角和等于360°得出③是假命题命题；由三角形的三边关系得出④是假命题；即可得出答案．【解答】解：①两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；①是假命题；②若a2＝b2，则a＝b；②是假命题；③∵多边形外角和都为360度，∴多边形的外角和与边数无关；③是假命题；④若线段a、b、c，满足b+c＞a，则以a、b、c为边一定能组成三角形；④是假命题；⑤如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等．⑤是假命题；故选：A．【点评】本题考查了命题与定理、平行线的性质、三角形的三边关系等知识；熟练掌握平行线的性质、三角形的三边关系是解题的关键．8．用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．【解答】解：①若a＞b，ab＞0，则＜；真命题：理由：∵a＞b，ab＞0，∴a＞b＞0，∴＜；②若ab＞0，＜，则a＞b，真命题；理由：∵ab＞0，∴a、b同号，∵＜，∴a＞b；③若a＞b，＜，则ab＞0，真命题；理由：∵a＞b，＜，∴a、b同号，∴ab＞0∴组成真命题的个数为3个；故选：D．【点评】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．9．如图是琳琳6个装好糖果的礼包盒，每盒上面的数字代表这盒礼包实际装有的糖果数量．她把其中的5盒送给好朋友小芬和小红，自己留下1盒．已知送的都是整盒，包装没拆过，送给小芬的糖果数量是小红的2倍，则琳琳自己留下的这盒有糖果（）A．15粒B．18粒C．20粒D．31粒【分析】首先求出6个礼包盒一共有多少粒糖果；然后根据琳琳送给小芬的糖果数量是小红的2倍，可得琳琳送给小芬和小红的糖果的总量是3的倍数；最后分别用6个礼包盒一共有糖果的总量减去每盒糖果的数量，求出琳琳送给小芬和小红的糖果的总量是多少，即可判断出琳琳自己留下的这盒有糖果多少粒，据此解答即可．【解答】解：6个礼包盒一共有糖果：19+16+20+18+15+31＝119（粒），（1）119﹣19＝100（粒），因为100÷3＝33…1，所以琳琳自己留下的这盒糖果不是19粒；（2）119﹣16＝103（粒），因为103÷3＝34…1，所以琳琳自己留下的这盒糖果不是16粒；（3）119﹣20＝99（粒），因为99÷3＝33，所以琳琳送给小芬和小红的糖果的总量是99粒，因为99÷3＝33（粒），99﹣33＝66（粒）所以小芬的糖果数量是66粒，小红的糖果数量是33粒，所以琳琳自己留下的这盒糖果是20粒；（4）119﹣18＝101（粒），因为101÷3＝33…2，所以琳琳自己留下的这盒糖果不是18粒；（5）119﹣15＝104（粒），因为104÷3＝34…2，所以琳琳自己留下的这盒糖果不是15粒；（6）119﹣31＝88（粒），因为88÷3＝29…1，所以琳琳自己留下的这盒糖果不是31粒；综上，可得琳琳自己留下的这盒有糖果20粒．故选：C．【点评】（1）此题主要考查了推理与论证问题的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊．②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．（2）判断出琳琳送给小芬和小红的糖果的总量是3的倍数是解答此题的关键所在．10．A，B，C，D四个队赛球，比赛之前，甲和乙两人猜测比赛的成绩次序：甲：从第一名开始，名次顺序是A，D，C，B；乙：从第一名开始，名次顺序是A，C，B，D，比赛结果，两人都猜对了一个队的名次，已知第一名是B队，请写出四个队的名次顺序是（）A．B，A，C，D B．B，C，A，D C．D，B，A，C D．B，A，D，C 【分析】两人都猜对了一个队的名次，已知两队猜的第一名是错误的，因此甲猜的第四名和乙猜的三名也是错误的．因此甲猜的第三项和乙猜的第四项是正确的，即这四个队的名次顺序为B、A、C、D．【解答】解：由于甲、乙两队都猜对了一个队的名次，且第一名是B队．那么甲、乙的猜测情况可表示为：甲：错、错、对、错；乙：错、错、错、对．因此结合两个人的猜测情况，可得出正确的名次顺序为B、A、C、D．故选：A．【点评】解决本题的关键，是要综合考虑两个人的猜测情况，以免造成多解和错解．二．填空题（共8小题）11．图中有6个三角形．【分析】因为图中所有三角形都有一个共同的顶点，所以只看底边有几条线段就有几个三角形．【解答】解：如图底边上有4个点，组成的线段的数量为：3+2+1＝6（条），所以三角形的个数为6个答：图中有6个三角形．故答案为：6．【点评】主要考查了三角形计数方法的应用，如果图形中的小三角形个数为n，则图中三角形的总个数就是1+2+3+…+n．12．如图，点AD是△ABC的边BC上的中线，若AB＝10cm，AC＝8cm，则△ABD与△ACD 的周长之差为2cm．【分析】根据三角形的中线的定义可得BD＝CD，然后求出△ABD与△ACD的周长之差＝AB﹣AC．【解答】解：∵AD为中线，∴BD＝CD，∴△ABD与△ACD的周长之差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，∵AB＝10，AC＝8，∴△ABD与△ACD的周长之差＝10﹣8＝2（cm）．故答案为：2cm．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．13．如图，在△ABC 中，已知D ，E ，F 分别是BC ，AD ，CE 的中点，若△ABC 的面积为16cm 2，则△BEF （阴影部分）的面积等于 4 cm 2．【分析】由三角形的面积公式，等底同高的两个三角形的面积相等，面积的和差求出△BEF （阴影部分）的面积等于4cm 2．【解答】解：如图所示：∵点D 是BC 的中心，∴BD ＝CD ，∴，又∵S △ABC ＝16，∴，同理可得：S BDE ＝4，S △CDE ＝4，又∵S △BCE ＝S △BDE +S CDE ，∴S △BCE ＝4+4＝8，又∵F 是EC 的中点，∵＝，故答案为4．【点评】本题综合考查了三角形的面积公式，等底同高的两个三角形的面积相等，面积的和差等相关知识，重点掌握三角形面积公式及等底同高的两个三角形的面积求法．14．三角形的三边长分别为5，8，2x+1，则x的取值范围是1＜x＜6．【分析】根据三角形的三边关系定理可得8﹣5＜1+2x＜5+8，再解即可．【解答】解：根据三角形的三边关系可得：8﹣5＜2x+1＜5+8，解得：1＜x＜6．故答案为：1＜x＜6．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．15．下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题的序号为①②．【分析】由全等三角形的判定方法得出①②正确，③不正确．【解答】解：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；正确；理由：已知：如图1，2，在△ABC和△A'B'C'中，AB＝AC，A'B'＝A'C'，BC＝BC，∠A ＝∠A'，求证：△ABC≌△A'B'C'，证明：在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C．∴∠B＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，同理：∠B'＝90°﹣∠A'，∵∠A＝∠A'，∴∠B＝∠B'，∵BC＝B'C'，∴△ABC≌△A'B'C'（AAS）②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；正确；理由：已知：如图3，4在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'是△ABC和△A'B'C'的中线，且AD＝A'D'，AB＝A'B'，BC＝B'C'，求证：△ABC≌△A'B'C'证明：∵AD，A'D'是△ABC和△A'B'C'的中线，∴BD＝BC，B'D'＝B'C'，∵BC＝B'C'，∴BD＝B'D'，∵AB＝A'B'，AD＝A'D'，∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等；不正确；例如：两直角三角形的斜边都是10，斜边的中线都是5，而其中一个直角三角形的两锐角是30°和60°，另一个直角三角形的两锐角是40°和50°故答案为：①②．【点评】本题考查了命题与定理、全等三角形的判定方法；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．16．如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，那么∠1与∠3也互余，此命题是假命题（填“真”或“假”）【分析】由题意得出∠1＝∠3，即可得出命题是假命题．【解答】解：∵∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，∴∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∴如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，那么∠1与∠3也互余，此命题是假命题；故答案为：假．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．17．如图，用5种不同的颜色着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，则所有不同的着色方法有540种．【分析】根据题意，从区域A开始，依次分析区域B、C、D、E的着色方法的数目，可得区域A有5种选法，区B有4种选法，区域C有3种选法，区域D有3种选法，区域E有3种选法，进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于区域A，有5种颜色可选，即有5种着色方法，对于区B，与区域A相邻，有4种颜色可选，即有4种着色方法，对于区C，与区域A、B相邻，有3种颜色可选，即有3种着色方法，对于区域D，与区域B、C相邻，有3种颜色可选，即有3种着色方法，对于区域E，与区域D、C相邻，有3种颜色可选，即有3种着色方法，则不同的着色方案有5×4×3×3×3＝540种；故答案为540．【点评】本题是推理与论证综合题目，主要考查分步计数原理的运用，是涂色问题；注意解题时认真审题，理解“相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用”的含义．18．一幢楼房内住有六家住户，分别姓赵，钱，孙，李，周，吴，这幢楼住户共订有A，B，C，D，E，F六种报纸，每户至少订了一种报纸，已知赵，钱，孙，李，周分别订了其中2，2，4，3，5种报纸，而A，B，C，D，E五种报纸在这幢楼里分别有1，4，2，2，2家订户，则报纸F在这幢楼里有6家订户．【分析】在题目中，缺少吴家订的报纸种数和报纸F的订户，可将它们设为未知数，然后根据报纸的总数相同来列等量关系；可得出关于两个未知数的等量关系式，然后根据每户至少订一种报纸，可求出报纸F的订户数．【解答】解：缺少吴家订的报纸种数，设为x；缺少报纸F的订户，设为y，那么报纸总种数应相同，得：1+4+2+2+2+y＝2+2+4+3+5+x，解得y＝x+5，由题意得吴家至少订一种报纸，那么y至少等于6．因此报纸F共有6家订户．【点评】解决本题的关键是找到等量关系：报纸被订的总份数应该和六户人家订的总数相同．三．解答题（共8小题）19．如图，D是△ABC中BC上的一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且∠ADE＝∠ADF，AD是△ABC的角平分线吗？说明理由．【分析】依据DE∥AC，DF∥AB，即可得到∠ADE＝∠DAF，∠ADF＝∠EAD，再根据∠ADE＝∠ADF，即可得出∠DAF＝∠EAD，进而得到AD是∠BAC的角平分线．【解答】解：AD是△ABC的角平分线．理由：∵DE∥AC，DF∥AB，∴∠ADE＝∠DAF，∠ADF＝∠EAD，又∵∠ADE＝∠ADF，∴∠DAF＝∠EAD，又∵∠DAF+∠EAD＝∠BAC，∴AD是∠BAC的角平分线．【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线的性质，三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．20．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）．在第三象限内有一点M（﹣2，m）．（I）请用含m的式子表示△ABM的面积；（II）当m＝时，在y轴上有一点P，使△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．【分析】（I）过M作ME⊥x轴于E，根据三角形的面积公式即可得到结果；（II）设BM交y轴于点C，设P（0，n），求出当m＝﹣时，S＝3，由△BMP的△ABM面积＝△MPC的面积+△BPC的面积＝3，求出PC＝，用待定系数法求出直线BM的解析式为y＝x﹣，得出OC＝，再分两种情况进行计算，即可得出结果．【解答】解：（I）如图1所示，过M作CE⊥x轴于E，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴OA＝1，OB＝3，∴AB＝4，∵在第三象限内有一点M（﹣2，m），∴ME＝|m|＝﹣m，∴S＝AB×ME＝×4×（﹣m）＝﹣2m；△ABM（II）设BM交y轴于点C，如图2所示：设P（0，n），＝﹣2m＝3，当m＝﹣时，M（﹣2，﹣），S△ABM∵在y轴上有一点P，使得△BMP的面积＝△ABM的面积相等＝6，∵△BMP的面积＝△MPC的面积+△BPC的面积＝PC×2+PC×3＝3，解得：PC＝，设直线BM的解析式为y＝kx+d，把点M（﹣2，﹣），B（3，0）代入得：，解得：，∴直线BM 的解析式为y ＝x ﹣，当x ＝0时，y ＝﹣，∴C （0，﹣），OC ＝，当点P 在点C 的下方时，P （0，﹣﹣），即P （0，﹣）；当点P 在点C 的上方时，P （0，﹣），即P （0，）；综上所述，符合条件的点P 坐标是（0，﹣）或（0，）．【点评】本题是三角形综合题型，考查了绝对值、算术平方根的非负性、三角形的面积、坐标与图形的性质以及待定系数法等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论和数形结合的数学思想．21．若a ，b ，c 分别为三角形的三边，化简：|a ﹣b ﹣c |+|b ﹣c ﹣a |+|c ﹣a +b |．【分析】根据三角形的三边关系得出a +b ＞c ，a +c ＞b ，b +c ＞a ，再去绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：∵a 、b 、c 为三角形三边的长，∴a +b ＞c ，a +c ＞b ，b +c ＞a ，∴原式＝|a ﹣（b +c ）|+|b ﹣（c +a ）|+|（c +b ）﹣a |＝b +c ﹣a +a +c ﹣b +c +b ﹣a＝﹣a +b +3c ．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．22．在△ABC 中，射线AG 平分∠BAC 交BC 于点G ，点D 在BC 边上运动（不与点G 重合），过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E ．（1）如图1，点D在线段CG上运动时，DF平分∠EDB①若∠BAC＝100°，∠C＝30°，则∠AFD＝115°；若∠B＝40°，则∠AFD＝110°；②试探究∠AFD与∠B之间的数量关系？请说明理由；（2）点D在线段BG上运动时，∠BDE的角平分线所在直线与射线AG交于点F试探究∠AFD与∠B之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）①若∠BAC＝100°，∠C＝30°，由三角形内角和定理求出∠B＝50°，由平行线的性质得出∠EDB＝∠C＝30°，由角平分线定义得出∠BAG＝∠BAC＝50°，∠FDG＝∠EDB＝15°，由三角形的外角性质得出∠DGF＝100°，再由三角形的外角性质即可得出结果；若∠B＝40°，则∠BAC+∠C＝180°﹣40°＝140°，由角平分线定义得出∠BAG＝∠BAC，∠FDG＝∠EDB，由三角形的外角性质即可得出结果；②由①得：∠EDB＝∠C，∠BAG＝∠BAC，∠FDG＝∠EDB，由三角形的外角性质得出∠DGF＝∠B+∠BAG，再由三角形的外角性质即可得出结论；（2）由（1）得：∠EDB＝∠C，∠BAG＝∠BAC，∠BDH＝∠EDB＝∠C，由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：（1）①若∠BAC＝100°，∠C＝30°，则∠B＝180°﹣100°﹣30°＝50°，∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠C＝30°，∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，∴∠BAG＝∠BAC＝50°，∠FDG＝∠EDB＝15°，∴∠DGF＝∠B+∠BAG＝50°+50°＝100°，∴∠AFD＝∠DGF+∠FDG＝100°+15°＝115°；若∠B＝40°，则∠BAC+∠C＝180°﹣40°＝140°，∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，∴∠BAG＝∠BAC，∠FDG＝∠EDB，∵∠DGF＝∠B+∠BAG，∴∠AFD＝∠DGF+∠FDG＝∠B+∠BAG+∠FDG＝∠B+（∠BAC+∠C）＝40°+×140°＝40°+70°＝110°；故答案为：115°；110°；②∠AFD＝90°+∠B；理由如下：由①得：∠EDB＝∠C，∠BAG＝∠BAC，∠FDG＝∠EDB，∵∠DGF＝∠B+∠BAG，∴∠AFD＝∠DGF+∠FDG＝∠B+∠BAG+∠FDG＝∠B+（∠BAC+∠C）＝∠B+（180°﹣∠B）＝90°+∠B；（2）如图2所示：∠AFD＝90°﹣∠B；理由如下：由（1）得：∠EDB＝∠C，∠BAG＝∠BAC，∠BDH＝∠EDB＝∠C，∵∠AHF＝∠B+∠BDH，∴∠AFD＝180°﹣∠BAG﹣∠AHF＝180°﹣∠BAC﹣∠B﹣∠BDH＝180°﹣∠BAC﹣∠B﹣∠C＝180°﹣∠B﹣（∠BAC+∠C）＝180°﹣∠B﹣（180°﹣∠B）＝180°﹣∠B﹣90°+∠B＝90°﹣∠B．【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质等知识；熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键．23．如图在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，BC，BC，CD上的点，连接EF，GH．①若EF⊥GH，则必有EF＝GH．②若EF＝GH，则必有EF⊥GH．判断上述两个命题是否成立，若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例．【分析】①作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，证明△EFN≌△HGM（ASA），即可得出EF＝GH；②作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，证明Rt△EFN≌Rt△HGM（HL），得出∠OGQ＝∠PQF，证出∠PQF+∠PFQ＝90°，即可得出结论．【解答】解：上述两个命题成立；理由如下：①作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，如图所示：则∠GMH＝∠FNE＝90°，GM⊥FN，GM＝AD，FN＝AB，∴∠OGQ+∠OQG＝90°，∵EF⊥GH，∴∠PFQ+∠PQF＝90°，∵∠OQG＝∠PQF，∴∠OGQ＝∠PFQ，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∴FN＝GM，在△EFN和△HGM中，，∴△EFN≌△HGM（ASA），∴EF＝GH；②作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，如图所示：则∠GMH＝∠FNE＝90°，GM⊥FN，GM＝AD，FN＝AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∴FN＝GM，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∴FN＝GM，在Rt△EFN和Rt△HGM中，，∴Rt△EFN≌Rt△HGM（HL），∴∠OGQ＝∠PQF，∵∠OGQ+∠OQG＝90°，∠OQG＝∠PQF，∴∠PQF+∠PFQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴EF⊥GH．【点评】本题考查了命题与定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．24．如图，△ABD和△ACE，有下列三个关系式①BD•AC＝AB•CE；②∠1＝∠2；③∠C ＝∠B．选择其中两个式子作为题设，余下的一个作为结论组成一个真命题，写出已知，求证并证明．【分析】证明△BAD∽△CAE，根据相似三角形的性质证明．【解答】解：如果∠1＝∠2；∠C＝∠B，那么BD•AC＝AB•CE，证明：∵∠1＝∠2，∴∠BAD＝∠CAE，又∠C＝∠B，∴△BAD∽△CAE，∴＝，即BD•AC＝AB•CE．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．25．国际象棋比赛中，胜一局得1分，平一局得0.5分，负一局得0分，今有8名选手进行单循环比赛（每两人均赛一局），赛完后，发现各选手的得分均不相同，当按得分由大到小排列好名次手，第四名选手得4.5分，第二名的得分等于最后四名得分总和，问前三名选手各得多少分？说明理由．【分析】由已知，现设一个运动员的得分讨论分析，进一步讨论推理论证8个运动员的得分范围，最后确定前三名的得分．【解答】解：设第i个运动员为A i，得分为a i（i＝1，2，7，8），则a1＞a2＞…＞a7＞a8，由于8名选手每人参加7局比赛，胜的最多者得7分，即a1≤7，共赛局，总积分为28分，所以a1+a2+…+a7+a8＝28①因为每局得分为0，，1三种，所以a1～a8只能在{0，，1，1.5，2，2.5，6，6.5，7}中取值，又知a4＝4.5，a2＝a5+a6+a7+a8②若a3≥5.5，则a2≥6，a1≥6.5⇒a1+a2+a3≥6.5+6+5.5＝18由①，a4+a5+a6+a7+a8≤10，但a4＝4.5，所以a5+a6+a7+a8≤10﹣4.5＝5.5这与a2≥6矛盾，。

沪科版八上数学第13章三角形中的边角关系、命题与证明单元试卷附答案

13章三角形中的边角关系、命题与证明姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项：本试卷满分100分，考试时间80分钟，试题共25题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若a，b，c为△ABC的三边长，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 B．a：b：c＝3：4：5C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：52.下列命题正确的是（）A．直线外一点到该直线的垂线段，是这个点到直线的距离B．纵坐标相同的两点所在的直线平行于x轴C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D．顺次连接菱形四边的中点构成的四边形是矩形3.如图，若∠A＝27°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠DFE等于（）A．110°B．115°C．120°D．125°4.如图，已知∠MON及其边上一点A．以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C．再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B．错误的结论是（）A．S△AOC＝S△ABC B．∠OCB＝90°C．∠MON＝30°D．OC＝2BC5.关于三角形中边与角之间的不等关系，提出如下命题：命题1：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大；命题2：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大；命题3：如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形；命题4：直角三角形中斜边最长；以上真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46.如图，△ABC中，三条中线AD，BE，CF相交于点O，若△ABC的面积是10，则△OCD的面积是（）A．2 B．1.5 C．D．5二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）7.已知三角形的三边长分别为2，a﹣1，4，则化简|a﹣3|﹣|a﹣7|的结果为﹣．8.若（a﹣4）2+|b﹣9|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．9.如图，在平面直角坐标系中，A（4，4），点D在y轴上，若△ABC的面积等于△BCD的面积，则点D的坐标可能是（只写一个即可）．10.已知AD是△ABC的中线，若△ABD与△ACD的周长分别是14和12．△ABC的周长是20，则AD的长为．11.如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝．12.用举反例的方法，说明命题“关于x的方程x2﹣6x+m＝0一定有实数根”是假命题，则m的值可以是．13.如图，△ABC的两条高AD，BE交于点F，∠DBF＝28°，则∠CAD的度数为．14.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．若∠BPC＝108°，则∠A的度数为．15.某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人“项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团均示队获得一等奖”；小赵说：“甲团队获得一等奖”．若这四位同学只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是．16.如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠A＝30°，CD平分∠ACB．CE⊥AB于点E，则∠DCE的度数是．17.如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°，点M，N分别是BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B'落在AC上．若△MB'C为直角三角形，则∠MNB'的度数为．18.已知，矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，将△ABE沿BE翻折，点A的对称点F恰好落在AC上，AC、BE相交于点G，设△ABG的面积为S1，四边形CDEF的面积为S2，则S1：S2＝．三、解答题（本大题共7小题，共44分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，若∠C＝∠CDB＝70°，求∠A的度数．20.已知：等腰△ABC的三边长为整数a，b，c，且满足a2+b2﹣6a﹣4b+13＝0，求等腰△ABC的周长．21.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，CD、BE分别是△ABC的高和角平分线，求∠BCD、∠CEB的度数．22.如图所示：（1）若DE∥BC，∠1＝∠3，∠CDF＝90°，求证：FG⊥AB．（2）若把（1）中的题设“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否是真命题？说明理由．23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，求∠CDE的度数．24.如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE上一点，且FD⊥BC于点D．（1）当∠B＝45°，∠C＝75°时，求∠EFD的度数；（2）若∠B＝a，∠C＝β，请结合（1）的计算猜想∠EFD、∠B、∠C之间的数量关系，直接写出答案，不说明理由；（用含有a、β的式子表示∠EFD）（3）如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么．25.如图，直线x与直线y垂直于点O，点B，C在直线x上，点A在直线x外，连接AC，AB得到△ABC．（1）将△ABC沿直线x折叠，使点A落在点D处，延长DC交AB于点E，EF平分∠AED交直线x于点F，①若∠EFB＝25°，∠DEF＝10°，则∠DCF＝②若∠ACF﹣∠AEF＝18°，求∠EFB的度数；（2）过点C作MN平行于AB交直线y于点N，CP平分∠BCM，HP平分∠AHY，当点C从点O沿直线x向左运动时，∠CPH的度数是否发生变化？若不变求其度数；若变化，求其变化范围．单元B卷三角形中的边角关系、命题与证明姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间80分钟，试题共25题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若a，b，c为△ABC的三边长，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 B．a：b：c＝3：4：5C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【解答】解：A、1.52+22＝2.52，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形；B、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形；C、∠A+∠B＝∠C，此时∠C是直角，能判定△ABC是直角三角形；D、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么∠A＝45°、∠B＝60°、∠C＝75°，不能判定△ABC是直角三角形．故选：D．【知识点】勾股定理的逆定理、三角形内角和定理2.下列命题正确的是（）A．直线外一点到该直线的垂线段，是这个点到直线的距离B．纵坐标相同的两点所在的直线平行于x轴C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D．顺次连接菱形四边的中点构成的四边形是矩形【解答】解：A、直线外一点到该直线的垂线段的长度，是这个点到直线的距离，故原命题错误，不符合题意；B、纵坐标相同的两点所在的直线可能平行于x轴也可能是x轴，故错误，不符合题意；C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故错误，不符合题意；D、顺次连接菱形四边的中点构成的四边形是矩形，正确，符合题意，故选：D．【知识点】命题与定理3.如图，若∠A＝27°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠DFE等于（）A．110°B．115°C．120°D．125°【解答】解：∵∠A＝27°，∠C＝38°，∴∠AEB＝∠A+∠C＝65°，∵∠B＝45°，∴∠DFE＝65°+45°＝110°，故选：A．【知识点】三角形的外角性质、三角形内角和定理4.如图，已知∠MON及其边上一点A．以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C．再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B．错误的结论是（）A．S△AOC＝S△ABC B．∠OCB＝90°C．∠MON＝30°D．OC＝2BC【解答】解：由题意可知OA＝AC＝AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝60°，∴∠MON＝∠OCA＝30°，∴∠OCB＝30°+60°＝90°．∴S△AOC＝S△ABC，∴A，B，C，正确．故选：D．【知识点】三角形的面积5.关于三角形中边与角之间的不等关系，提出如下命题：命题1：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大；命题2：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大；命题3：如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形；命题4：直角三角形中斜边最长；以上真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：命题1：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大，是真命题；命题2：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大，是真命题；命题3：如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形，是真命题；命题4：直角三角形中斜边最长，是真命题；故选：D．【知识点】命题与定理6.如图，△ABC中，三条中线AD，BE，CF相交于点O，若△ABC的面积是10，则△OCD的面积是（）A．2 B．1.5 C．D．5【解答】解：∵△ABC中，三条中线AD，BE，CF相交于点O，∴＝，CD＝BD，∴S△ACD＝S△ABD＝S△ABC＝＝5，∴S△OCD＝S△ACD＝＝，故选：C．【知识点】三角形的重心、三角形的面积二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）7.已知三角形的三边长分别为2，a﹣1，4，则化简|a﹣3|﹣|a﹣7|的结果为﹣．【解答】解：由三角形三边关系定理得4﹣2＜a﹣1＜4+2，即3＜a＜7．∴|a﹣3|﹣|a﹣7|＝a﹣3﹣7+a＝2a﹣10．故答案为：2a﹣10．【知识点】绝对值、三角形三边关系8.若（a﹣4）2+|b﹣9|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．【解答】解：由（a﹣4）2+|b﹣9|＝0，得a﹣4＝0，b﹣9＝0．则以a、b为边长的等腰三角形的腰长为9，底边长为4．∴周长为9+9+4＝22，故答案为：22．【知识点】等腰三角形的性质、三角形三边关系、非负数的性质：偶次方、非负数的性质：绝对值9.如图，在平面直角坐标系中，A（4，4），点D在y轴上，若△ABC的面积等于△BCD的面积，则点D的坐标可能是（只写一个即可）．【解答】解：∵BC∥x轴，过A作AD∥x轴交y轴于D，∵A（4，4），△ABC的面积等于△BCD的面积，∴则点D的坐标可能是（0，4），故答案为：（0，4）．【知识点】三角形的面积、坐标与图形性质10.已知AD是△ABC的中线，若△ABD与△ACD的周长分别是14和12．△ABC的周长是20，则AD的长为．【解答】解：∵△ABD与△ACD的周长分别是14和12，∴AB+BC+AC+2AD＝14+12＝26，∵△ABC的周长是20，∴AB+BC+AC＝20，∴2AD＝26﹣20＝6，∴AD＝3．故答案为3．【知识点】三角形的角平分线、中线和高11.如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝．【解答】解：∵∠B＝40°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣40°＝140°，∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣140°＝220°，∵AE和CE分别平分∠DAC和∠FCA，∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，∴∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝110°，∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣110°＝70°．故答案为：70°．【知识点】三角形的外角性质、三角形内角和定理12.用举反例的方法，说明命题“关于x的方程x2﹣6x+m＝0一定有实数根”是假命题，则m的值可以是．【解答】解：当m＝10时，△＝（﹣6）2﹣4×10＝﹣4＜0，方程没有实数根，∴当m＝10可以说明命题“关于x的方程x2﹣6x+m＝0一定有实数根”是假命题，故答案为：10．【知识点】命题与定理13.如图，△ABC的两条高AD，BE交于点F，∠DBF＝28°，则∠CAD的度数为．【解答】解：∵△ABC的两条高AD，BE交于点F，∴∠AEF＝∠BDF＝90°，∵∠DBF＝28°，∴∠AFE＝∠BFD＝90°﹣28°＝62°，∴∠CAD＝90°﹣∠AFE＝90°﹣62°＝28°，故答案为：28°．【知识点】三角形内角和定理14.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．若∠BPC＝108°，则∠A的度数为．【解答】解：在△PBC中，∵∠BPC＝108°，∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣108°＝72°．∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠PBC+∠PCB）＝2×72°＝144°，在△ABC中，∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣144°＝36°．故答案为：36°．【知识点】三角形内角和定理15.某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人“项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团均示队获得一等奖”；小赵说：“甲团队获得一等奖”．若这四位同学只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是．【解答】解：①若获得一等奖的团队是甲团队，则小张、小王、小赵预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，②若获得一等奖的团队是乙团队，则小王预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，③若获得一等奖的团队是丙团队，则四人预测结果都是错的，与题设矛盾，即假设错误，④若获得一等奖的团队是丁团队，则小李、小赵预测结果是对的，与题设相符，即假设正确，即获得一等奖的团队是：丁．故答案为：丁．【知识点】推理与论证16.如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠A＝30°，CD平分∠ACB．CE⊥AB于点E，则∠DCE的度数是．【解答】解：∵∠B＝40°，CE⊥AB，∴∠BCE＝50°，又∵∠A＝30°，CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠BCA＝×（180°﹣40°﹣30°）＝55°，∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝55°﹣50°＝5°，故答案为5°．【知识点】三角形内角和定理17.如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°，点M，N分别是BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B'落在AC上．若△MB'C为直角三角形，则∠MNB'的度数为．【解答】解：∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，∠A＝70°，∠B＝50°，∴∠C＝180°﹣70°﹣50°＝60°，当∠CB′M＝90°，∴∠CMB′＝90°﹣60°＝30°，由折叠的性质可知：∠NMB′＝∠BMB′＝75°，∴∠MNB′＝180°﹣75°﹣50°＝55°，当∠CMB′＝90°时，∠NMB＝∠NMB′＝45°，∠MNB′＝180°﹣50°﹣45°＝85°，故答案为55°或85°．【知识点】三角形内角和定理18.已知，矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，将△ABE沿BE翻折，点A的对称点F恰好落在AC上，AC、BE相交于点G，设△ABG的面积为S1，四边形CDEF的面积为S2，则S1：S2＝．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠D＝90°，AB∥CD，∴∠DAC＝∠ACB，∵AB：BC＝1：2，∴设CD＝AB＝2a，则AD＝BC＝4a，由折叠的性质得：AF⊥BE，FG＝AG，∴∠ABE＝∠DAC＝∠ACB，∴tan∠ABE＝＝tan∠ACB＝＝，∴AE＝AB＝a，∴BE＝＝a，∴AG＝＝＝a，∴BG＝2AG＝a，AF＝2AG＝a，EG＝BE﹣BG＝a，∴△ABG的面积为S1＝BG×AG＝×a×a＝a2，四边形CDEF的面积为S2＝△ACD的面积﹣△AEF的面积＝×4a×2a﹣×a×a＝a2，∴S1：S2＝＝；故答案为：．【知识点】三角形的面积、矩形的性质、翻折变换（折叠问题）三、解答题（本大题共7小题，共44分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，若∠C＝∠CDB＝70°，求∠A的度数．【解答】解：∵∠C＝∠CDB＝70°，∴∠DBC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵BD平分∠ABC∴∠ABC＝2∠DBC＝80°，∴∠A＝180°﹣80°﹣70°＝30°．【知识点】三角形内角和定理20.已知：等腰△ABC的三边长为整数a，b，c，且满足a2+b2﹣6a﹣4b+13＝0，求等腰△ABC的周长．【解答】解∵a2+b2﹣6a﹣4b+13＝0，∴（a﹣3）2+（b﹣2）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，解得a＝3，b＝2，∵1＜c＜5，且c为整数，∴c＝2、3、4，∵△ABC是等腰三角形∴c＝2或3故△ABC的周长为：7或8．【知识点】配方法的应用、非负数的性质：偶次方、等腰三角形的性质、三角形三边关系21.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，CD、BE分别是△ABC的高和角平分线，求∠BCD、∠CEB的度数．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=50°，∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∴∠BCD=40°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABC=25°，∴∠CEB=90°﹣∠CBE=65°．【知识点】三角形内角和定理22.如图所示：（1）若DE∥BC，∠1＝∠3，∠CDF＝90°，求证：FG⊥AB．（2）若把（1）中的题设“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否是真命题？说明理由．【解答】（1）证明：∵DE∥BC（已知），∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠3（已知），∴DC∥FG（同位角相等，两直线平行），∴∠BFG＝∠FDC＝90°（两直线平行，同位角相等）∴PG⊥AB（垂直定义）；（2）解：是真命题．理由：∵FG⊥AB（已知），∴∠BFG＝90°＝∠FDC，∴DC∥FG（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），∵∠1＝∠3（已知），∴∠1＝∠2（等量代换），∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．【知识点】命题与定理23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，求∠CDE的度数．【解答】解：由折叠可得∠ACD＝∠BCD，∠BDC＝∠CDE，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝45°，∵∠A＝30°，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝30°+45°＝75°，∴∠CDE＝75°．【知识点】三角形内角和定理24.如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE上一点，且FD⊥BC于点D．（1）当∠B＝45°，∠C＝75°时，求∠EFD的度数；（2）若∠B＝a，∠C＝β，请结合（1）的计算猜想∠EFD、∠B、∠C之间的数量关系，直接写出答案，不说明理由；（用含有a、β的式子表示∠EFD）（3）如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么．【解答】解：（1）∵∠C＝75°，∠B＝45°，∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝×60°＝30°，由三角形的外角性质得，∠AEC＝∠B+∠BAE＝45°+30°＝75°，∴∠EFD＝90°﹣75°＝15°；（2）∠EFD＝（a﹣β），理由如下：由三角形的内角和定理得，∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣∠C﹣∠B），由三角形的外角性质得，∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠B+（180°﹣∠C﹣∠B）＝90°+（∠B﹣∠C），∵FD⊥BC，∴∠EFD＝90°﹣∠AEC＝90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C）＝（∠C﹣∠B），即∠EFD＝（∠C﹣∠B）∵∠B＝a，∠C＝β，∴∠EFD＝（a﹣β）；（3）结论∠EFD＝（a﹣β）仍然成立．同（2）可证：∠AEC＝90°+（∠B﹣∠C），∴∠DEF＝∠AEC＝90°+（∠B﹣∠C），∴∠EFD＝90°﹣[90°+（∠B﹣∠C）]＝（∠C﹣∠B）∴∠EFD＝（a﹣β）．【知识点】三角形内角和定理25.如图，直线x与直线y垂直于点O，点B，C在直线x上，点A在直线x外，连接AC，AB得到△ABC．（1）将△ABC沿直线x折叠，使点A落在点D处，延长DC交AB于点E，EF平分∠AED交直线x于点F，①若∠EFB＝25°，∠DEF＝10°，则∠DCF＝②若∠ACF﹣∠AEF＝18°，求∠EFB的度数；（2）过点C作MN平行于AB交直线y于点N，CP平分∠BCM，HP平分∠AHY，当点C从点O沿直线x向左运动时，∠CPH的度数是否发生变化？若不变求其度数；若变化，求其变化范围．【解答】解：（1）①∵∠DCF＝∠EFB+∠DEF＝25°+10°∴∠DCF＝35°故答案为35°②∵将△ABC沿直线x折叠，使点A落在点D处，∴∠A＝∠D，∠ABC＝∠DBC∵∠AED＝∠D+∠EBD∴∠AED＝∠A+2∠ABC∵EF平分∠AED∴∠AEF＝∠FED＝∠AED＝∠A+∠ABC∵∠AEF＝∠EFB+∠ABC∴∠EFB＝∠A∵∠ACF＝∠A+∠ABC，且∠ACF﹣∠AEF＝18°，∴∠A+∠ABC﹣（∠A+∠ABC）＝18°∴∠A＝36°∴∠EFB＝∠A＝18°（2）不变如图，∵AB∥MN∴∠PGA＝∠PCM，∠AHY＝∠CNO∵CP平分∠BCM，HP平分∠AHY∴∠PCM＝∠BCM＝∠PGA，∠PHG＝∠AHY＝∠CNO∵∠BCM＝∠CNO+∠CON∴∠BCM＝∠CNO+45°∴∠PGA＝∠PHG+45°∵∠PGA＝∠GPH+∠PHG∴∠GPH＝45°【知识点】翻折变换（折叠问题）、三角形内角和定理。

年秋八年级数学上册第章三角形中的边角关系命题与证明小结评价练习题无答案新版沪科版

第13章小结 • 评价练习题1.以下每组数分别是三根小木棒、的长度，用它们能摆成三角形的一组是〔〕A ．1cm ，2cm ，3cmB ．3cm ，4cm ，5cmC ．5cm ，7cm ，13cmD ．7cm ，7cm ，15cm2.过△ABC 的顶点C 作边AB 的垂线，如果这条垂线将∠ACB 分为50°和20°的两个角，那么∠A 、∠ B 中较大的角的度数是________．3.如图，O E 是∠AOB 的平分线，CD ∥OB 交OA 于C ，交OE 于D ，∠ACD =50o ，那么 ∠CDE 的度数是〔〕A ．175°B ．130°C ．140°D ．155°4.在ΔABC 中，AC=5，中线AD=4，那么AB 边的取值范围是〔〕A ．1＜AB ＜9 B ．3＜AB ＜13C ．5＜AB ＜13D ．9＜AB ＜135. 命题① 邻补角互补；② 对顶角相等；③ 同旁内角互补；④ 两点之间线段最短；⑤ 直线都相等，其中真命题有〔〕A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 以下表达是命题的是〔〕A. 画α∠=∠AOBB. 定理不是公理C. 对顶角相等吗？D. a 或都是正数或都是负数7. 如图，AB // CD ，MP // AB ， MN 平分AMD ∠，︒=∠35A ，︒=∠40D ，求NMP ∠的度数。

8. ，如图DE // BF ，BE // DF ，AD // BC ，AB // DC ，求证：〔1〕CBF EDA ∠=∠，〔2〕CDF EBA ∠=∠9. 如图，AB // CD ，︒=∠100B ，EF 平分BEC ∠，EF EG ⊥，求BEG ∠和DEG ∠的度数。

10. 你能用“同位角相等，两直线平行〞来证明“同旁内角互补，两直线平行〞吗？11. ：△ABC 的两边AB=3cm ，AC=8cm ．〔1〕求第三边BC 的取值范围；〔2〕假设第三边BC 长为偶数，求BC 的长；〔3〕假设第三边BC 长为整数，求BC 的长12. △ABC ，证明：(1)如图1－1－27，假设P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，那么 ∠P=1902A ︒+∠； (2)如图1－1－28，假设P 点是∠ABC 和外角∠ACE 的角平分线的交点，那么∠P=90A ︒-∠；(3)如图1－1－29，假设P 点是外角∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点，那么∠P=1902A ︒-∠。

第13章三角形中的边角关系、命题与证明数学八年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)

第13章三角形中的边角关系、命题与证明数学八年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接CO，作AD OC，若CO＝，AC＝2，则AD＝（）A.3B.C.D.2、如图，AD是∆ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，，DE=2，AB=4，则AC 的长是（）A.3B.4C.5D.63、如图Δ ABC≌Δ A′B′C，则图中所有角中与∠BCB′相等的角(除∠BCB′外)共有（）.A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个4、如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B ＝45°，则∠BDF度数是（）A.80°B.90°C.40°D.不确定5、如图，，，，，则A.27°B.54°C.30°D.55°6、已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A.2B.4C.8D.2或47、已知三角形的每条边长是整数，且小于等于4，这样的互不全等的三角形有（）A.10个B.12个C.13个D.148、如图，BF 是∠ABD 的平分线，CE 是∠ACD 的平分线，BF 与 CE 交于 G，若∠BDC=130°，∠BGC=100°，则∠A 的度数为（）A.60°B.70°C.80°D.90°9、有长度分别为2cm，3cm，4cm，7cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是（）A. B. C. D.10、如图，在中，，分别是，边的垂直平分线，且分别与交于点M，N连接，.有下列四个结论：①；②；③与是互为补角；④的周长与边长相等其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.411、如图，下列角中是△ACD 的外角的是（）A.∠EADB.∠BACC.∠ACBD.∠CAE12、在△ABC中，AB=5，AC=8，则BC长不可能是（）A.4B.8C.10D.1313、如图，△ABC的面积为1cm2， AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（）A.0.4 cm 2B.0.5 cm 2C. cm 2D.0.6 cm 214、下列各组数不可能是一个三角形的边长的是（）A.5,7,12B.5,12,13C.5,7,7D.101,102,10315、已知等腰三角形的两边长为4cm和8cm，则三角形周长是（）A.12 cmB.16cmC.20cmD.16cm或20cm二、填空题(共10题，共计30分)16、如图AD⊥BD，AE平分∠BAC，∠ACD=70°，∠B=30°.则∠DAE的度数为________°.17、如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，若∠BAC=35°，∠CBD=70°，则∠BCD的度数为________18、三角形的两边长分别为8和6，第三边长是一元一次不等式2x﹣1＜9的正整数解，则三角形的第三边长是________．19、如图，矩形ABCD面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，足分别为E，F．若AC＝10，则PE+PF＝________．20、若等腰三角形的周长为20cm，那么底边x的取值范围是________．21、如图，BD是⊙O的切线，B为切点，连接DO与⊙O交于点C，AB为⊙O的直径，连接CA，若∠D=30°，⊙O的半径为4，则图中阴影部分的面积为________．22、如图，已知等边三角形中，点分别在边上，把沿直线翻折使点落在处，、分别交边于点、，若，则度数为________.23、已知一个三角形的三个内角度数之比为5∶3∶2，那么这个三角形是________三角形.24、如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数的图象经过点，则________．25、三角形三边长分别为3，，7，则的取值范围是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，在△ABC中，BE、CD相交于点E，∠A=76°，∠ACD=37°，∠2=143°．求：∠1和∠DBE的度数．27、如图，△ABC中，AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中各角的度数．28、写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程．命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：“等角对等边”）．已知：如图，________求证：________证明：________29、在∆ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，求.30、如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为(-2，8)、(-11，6)、(-14，0)、(0，0)，求这个四边形的面积参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、A3、C4、B5、B6、A7、C8、B9、D10、D11、C12、C13、B14、A15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、。

沪科版八年级数学上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明单元测试题(20201117204039)

.精选文档 .沪科版八年级数学上册第13 章三角形中的边角关系、命题与证明单元测试题第 13 三角形中的边角关系、命题与证明一、选择题1.有以下三个命题：（1）两点之间线段最短（2）平面内，过一点能且只好作一条直线与已知直线垂直（3）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行此中真命题的个数是（）A. 0个B.1个. 2个D. 3个【答案】D2. 一个三角形起码有（）A. 一个锐角B.两个锐角.一个钝角 D.一个直角【答案】 B3.如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其极点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方厘米，则此方格纸的面积为（）A. 11平方厘米B. 12平方厘米. 13平方厘米 D. 14平方厘米【答案】 B4.若三条线段中 a=3，b=5，为奇数，那么由 a、b、为边构成的三角形共有（）A. 个B.个.无数多个 D.没法确立【答案】 B5.三角形三条高的交点在一边上，则这个三角形是（）A.锐角三角形 B. 直角三角形 . 钝角三角形 D. 以上都有可能【答案】 B6.某轮船来回于 A、B 两地之间，设船在静水中的速度不变，那么，当水的流速增大时，轮船来回一次所用的时间（）A. 不变B.增添.减少D.增添，减少都有可能【答案】 B7.如图，在△ AB中，∠ B=30°，∠ =70°， AD是△ AB的一条角均分线，则∠AD的度数为（）A.40 °B.45 ° .50° D.55°【答案】A8.已知△ AB中，∠ A 与∠的度数比为 5:7 ，且∠ B 比∠ A 大 10°，那么∠ B 为 ( )A.40 °B.50 ° .60° D.70°【答案】9.某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友情赛．甲、乙、丙三位同学展望竞赛的结果以下：甲说：“ 902 班得冠军， 904 班得第三”；乙说：“ 901 班得第四， 903 班得亚军”；丙说：“ 903 班得第三， 904 班得冠军”．赛后得悉，三人都只猜对了一半，则得冠军的是（）A. 901班B. 902班. 903班D. 904班【答案】B10.以下命题：①两点确立一条直线；②两点之间，线段最短；③对顶角相等；④内错角相等；此中真命题的个数是（）A.1个B.2个.3个D.4个【答案】11. 以下说法正确的有（）①不订交的两条直线是平行线；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；④在同一平面内，若直线 a⊥ b， b⊥，则直线 a 与不相交．A.1个B.2个.3个D.4个【答案】 B12.如图，△ AB中，∠ AB=90°，沿 D 折叠△ BD，使点 B 恰巧落在 A 边上的点 E 处．若∠ A=24°，则∠BD等于（）A. 42°B. 66°. 69°D. 77°【答案】二、填空题13.命题：“三边分别相等的两个三角形全等”的抗命题________【答案】假如两个三角形全等，那么对应的三边相等14.等腰三角形的一个角是 100°，其底角是 ________ °【答案】 40 °、 40°15.“等角的补角相等”的条件是________ ，结论是________ ．【答案】假如两个角都是某一个角的补角；那么这两个角相等16.如图 , 小林已经画出了一个三角形的两条角均分线,他说 : “我不用再将第三个角均分, 就能画出第三条角均分线 . ”他说的有道理吗 ?他会如何做 ?答 :________. 他这样做的原因是什么 ?答 :________.【答案】有道理；连结 , 并延伸交 AB于点 F, 则 F 即为∠AB的均分线 ; 三角形的三条角均分线交于一点17.假如甲的身高数或体重数起码有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在200 个小伙子中，假如某人不亚于其余199人，就称他为棒小伙子，那么，200 个小伙子中的棒小伙子最多可能有________【答案】 200 个18.请写出“等腰三角形的两底角相等”的抗命题：________【答案】两个角相等三角形是等腰三角形19.如图， AD 为△ AB 中线，点 G 为重心，若 AD=6，则AG=________ ．【答案】 420.命题“假如两个实数相等，那么它们的平方相等”的抗命题是 ________ ，建立吗 ________ ．【答案】假如两个实数平方相等，那么这两个实数相等；不建立21. 已知三角形的两边长是方程x 2－5x ＋ 6=0的两个根，则该三角形的周长的取值范围是________．【答案】6＜＜1022.A 、 B、、 D、 E、 F 六足球队进行单循环竞赛，当竞赛到某一时节，统计出 A、B、、D、E、五队已分别竞赛了5、4、3、 2、 1 场球，则还没与 B 队竞赛的球队是________【答案】 E三、解答题23.请写出命题“等角的余角相等”的条件和结论；这个命题是真命题吗？假如是，请你证明；假如不是，请给出反例．【答案】解：条件：两个角分别是两个相等角的余角；结论：这两个角相等这个命题是真命题，已知：∠ 1=∠2，∠ 3 是∠ 1 的余角．∠ 4 是∠ 2 的余角求证：∠ 3=∠4，证明：∵∠ 3 是∠ 1 的余角．∠ 4 是的余角∴∠ 3=90°﹣∠ 1，∠ 4=90°﹣∠ 2，又∠1=∠ 2∴∠ 3=∠ 4．24.已知：△ AB中， AB＝A，BD是 A 边上的中线，假如 D 点把三角形AB 的周长分为12 和 15 两部分，求此三角形各边的长．【答案】解答：∵AB＝ A， BD是 A 边上的中线，∴A B=2AD=2D，∴ AB+AD=3AD.①当 AB与 AD的和是 12 厘米时，AD=12÷ 3=4（厘米），因此 AB=A=2× 4=8（厘米），B=12+15-8 ×2=12+15-16=11 （厘米）；②当 AB与 AD的和是 15 厘米时，AD=15÷ 3=5（厘米），因此 AB=A=2× 5=10（厘米），B=12+15-10 ×2=12+15-20=7 （厘米） .25.证明三角形的内角和定理：已知△AB（如图），求证：∠A+∠B+∠=180°【答案】证明：过点 A 作 EF∥ B，∵E F∥ B，∴∠ 1=∠ B，∠ 2=∠，∵∠ 1+∠ 2+∠BA=180°，∴∠ BA+∠ B+∠ =180°．即三角形内角和等于180°．26.如图，已知点是△ AB的两条角均分线的交点，（1）若∠ A=30°，则∠ B 的大小是 ________；（2）若∠ A=60°，则∠ B 的大小是 ________；（3）若∠ A=n°，则∠ B 的大小是多少？试用学过的知识说明原因．【答案】（ 1）105°（2） 120°（3）解：∵如图，在△ AB中，∠ A+∠ AB+∠ AB=180°，在△ B 中，∠ B+∠B+∠ B=180°，∵B，分别是∠ AB和∠ AB的均分线，∴∠ AB=2∠ B，∠ AB=2∠ B，∴∠ B+ ∠ AB+ ∠ AB=180°，又∵在△ AB中，∠ A+∠ AB+∠ AB=180°，∴∠ B= ∠ A+90° =105°；∴若∠ A=n°，∠ B= n ° +90°；27.已知△ AB中，∠AB=∠ AB，D 为线段 B 上一点（不与，B 重合），点 E 为射线 A 上一点，∠ ADE=∠AED，设∠ BAD=α，∠D E=β．（1）如图（ 1），①若∠ BA=42°，∠ DAE=30°，则α =________ ，β=________．②若∠ BA=54°，∠ DAE=36°，则α =________ ，β=________．③写出α 与β的数目关系，并说明原因；（2）如图（ 2），当 E 点在 A 的延伸线上时，其余条件不变，请直接写出α 与β的数目关系．【答案】（ 1）12°； 6°； 18°； 9°（2）解：α =2β ﹣ 180°，原因是：如图（ 2），设∠ E=x°，则∠ DA=2x°，∴∠ BA=∠ BAD+∠ DA=α+2x°，∴∠ B=∠ AB= ，∵∠ AD=∠ B+∠ BAD，∴β ﹣ x° = + α，∴α =2β ﹣180°．。

沪科版八年级数学(上)第13章三角形中边角关系命题与证明单元测试卷

沪科版八年级数学〔上〕第13章单元测试卷一、精挑细选，一锤定音(每题3分，共30分) 以下语句表示命题的是()A．作∠A的均分线B．内错角不相等C．画一条直线D．直角都相等吗？2 .如图，在△ABC中，AD均分∠BAC，∠B＝70°，∠BAD＝30°，那么∠C的度数为()A．35°B．40°C．45°D．50°3 .命题A：任何偶数都是8的整数倍，在以下选项中；能够作为“命题A是假命题〞的反例的是()AA ．2k A AC．242D．42 B．154 .以下列图，假定∠D°，那么∠DFE等于6()B A＝32°，∠B＝45°，∠C＝38A．120°B．115°C．110°D．105°5 .F3两根木棒分别为5cm和7cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，假如第三根木棒长C为偶数，那么第三根木棒的取值状况有E()4C DB DC BA．3种第2题图B．4种第4题图C．5种第8题图给出以下命题：①三角形的一个外角必定大于它的一个内角；②假定一个三角之比为1:3:4，它必定是直角三角形；③三角形的最小内角不可以大于60°；个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

此中真命题的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个7. 三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的二倍，那么该三角形各角的度数是( )A．45°，45°，90° B．30°，60°，90°C．36°，72°，72° D．25°，25°，130°如图，用四个螺丝将四条不行曲折的木条围成一个木框，不计螺丝大小，此的距离挨次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整，假定调整木条的夹角框，那么任两螺丝的距离最大值为()A．5B．6C．7．10如图，一个随意的五角星，它的五个角(∠A、∠B、∠C、∠D、∠E)的和为(A．50°B．100°C．180°200 10.7条长度均为整数的线段a，a，a，a，a，a，a知足a＜a＜a＜a条123567123线段中的随意3条都不可以组成三角形，假定a1＝1厘米，a7＝21厘米，那么a6A．18厘米B．13厘米C．8厘米5厘1二、慎思妙解．点睛之笔(’每题4分，共20分)一1 1.证明命题“假定x(1－x)＝0，那么x＝0〞是假命题的反例是_________________。

2021八年级数学上册专题1.3 三角形中的边角关系、命题与证明章末重难点题型(举一反三)(原卷版)

专题1.3 三角形中的边角关系、命题与证明章章末重难点题型【沪科版】【考点1 三角形的概念】【方法点拨】三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．【例1】（2020秋•东光县期中）下列说法正确的有（）①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．A．①②B．①③④C．③④D．①②④【变式1-1】（2020春•宿州期末）下列说法正确的是（）A．一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形B．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形C．一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形D．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形【变式1-2】（2020秋•莱城区校级月考）如图所示，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则（）A．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形B．△ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形C．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形D．△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形【变式1-3】已知a、b、c为三个正整数，如果a+b+c＝12，那么以a、b、c为边能组成的三角形是：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形；④钝角三角形．以上符合条件的正确结论个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点2 三角形中“三线”概念辨析】【方法点拨】解决此类问题的关键是掌握三角形的角平分线，中线，线段的定义；根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上进行判断．【例2】（2020春•迁西县期末）下列说法错误的是（）A．三角形的高、中线、角平分线都是线段B．三角形的三条中线都在三角形内部C．锐角三角形的三条高一定交于同一点D．三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点【变式2-1】（2019春•平昌县期末）下列说法中错误的是（）A．三角形三条高至少有一条在三角形的内部B．三角形三条中线都在三角形的内部C．三角形三条角平分线都在三角形的内部D．三角形三条高都在三角形的内部【变式2-2】（2020春•商水县期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（）A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90°C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF【变式2-3】（2019秋•澧县期中）如图，△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，且CF⊥AD于H，下列判断，其中正确的个数是（）①BG是△ABD中边AD上的中线；②AD既是△ABC中∠BAC的角平分线，也是△ABE中∠BAE的角平分线；③CH既是△ACD中AD边上的高线，也是△ACH中AH边上的高线．A．0B．1C．2D．3【考点3 三角形中线的应用（面积问题）】【方法点拨】解决此类问题的关键是三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比．【例3】（2020春•朝阳区校级期末）如图，△ABC中，点D是AB边上的中点，点E是BC边上的中点，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是（）A．6B．4C．3D．2【变式3-1】（2020春•徐州期中）如图，在△ABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，EF＝2FC，若△ABC的面积为12cm2，则△BEF的面积为（）A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．5cm2【变式3-2】（2020春•遂宁期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD＝2DC，S△BGD＝16，S△AGE＝6，则△ABC的面积是（）A．42B．48C．54D．60【变式3-3】（2019秋•宁阳县期末）如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD ＝2：1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是（）A．3B．4C．5D．6【考点4 三角形中线的应用（周长问题）】【方法点拨】解决此类问题的关键是掌握三角形的中线将所在边分成两条相等的线段，利用线段之间的等量代换或方程思想即可解决周长问题．【例4】（2019秋•连城县期中）如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为11，则△BCD的周长是（）A．9B．14C．16D．不能确定【变式4-1】（2019秋•旌阳区校级月考）在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3，AB与AC的和为13，则AC的长为（）A．7B．8C．9D．10【变式4-2】（2019春•海淀区校级期末）已知AD是△ABC的中线，若△ABD与△ACD的周长分别是14和12．△ABC的周长是20，则AD的长为．【变式4-3】（2019秋•全椒县期末）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．【考点5 三角形的三边关系】【方法点拨】掌握三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边是解题关键.【例5】（2020春•滨湖区期中）4根小木棒的长度分别为2cm，3cm，4cm和5cm．用其中3根搭三角形，可以搭出不同三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式5-1】（2020•绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（）A．4B．5C．6D．7【变式5-2】（2020春•和平区校级期中）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a ﹣b﹣c|＝．【变式5-3】（2020春•如东县期末）△ABC三边的长a、b、c均为整数，a＞b＞c，a＝8，则满足条件的三角形共有个．【考点6 三角形的三边关系（证明题）】【方法点拨】掌握三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边是解题关键.【例6】（2019秋•九龙坡区校级月考）已知在△ABC中，AB＝AC，D在AC的延长线上．求证：BD﹣BC ＜AD﹣AB．【变式6-1】（20120秋•遵义月考）如图，点P是△ABC内任意一点，求证：P A+PB+PC＞12AB+12BC+12AC．．【变式6-2】（2019春•平昌县期末）如图，O是△ABC内的一点，连结OB，OC，求证：AB+AC＞OB+OC．【变式6-3】（2020春•雁塔区校级期中）观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论．（1）如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP+PC AB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）将（1）中点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．【考点7 利用三角形的高和角平分线性质求角】【例7】（2020春•盱眙县期末）如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝38°，∠C＝64°．（1）求∠DAE的度数；（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），请用α、β的代数式表示∠DFE．【变式7-1】（2019秋•织金县期末）如图，在△ABC中，∠B＜∠ACB，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数；（2）当点P在线段AD上运动时，求证：∠E=12(∠ACB−∠B)．【变式7-2】（2020春•工业园区期末）如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝50°，∠ACB ＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G．（1）求∠AGF的度数；（2）求∠DAE的度数．【变式7-3】（2020春•邕宁区校级期末）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝62°，请说明∠DAE的度数；（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系；（3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，求∠G的度数．【考点8 直角三角板中的求角度问题】【例8】（2020•吉林）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85°B．75°C．65°D．60°【变式8-1】（2020•眉山）一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为（）A．∠α+∠β＝180°B．∠α+∠β＝225°C．∠α+∠β＝270°D．∠α＝∠β【变式8-2】（2020春•定兴县期末）如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．（1）若∠A＝40°，则∠ABC+∠ACB＝°，∠DBC+∠DCB＝°∠ABD+∠ACD＝°．（2）若∠A＝55°，则∠ABD+∠ACD＝°．（3）请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系．【变式8-3】（2019秋•襄城县期末）将一副三角尺叠放在一起：（1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE的度数；（2）如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD的度数．【考点9 三角形的内角和及外角的性质（双角平分线）】【例9】（2020春•蓬溪县期末）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC 与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝°．【变式9-1】（2019秋•南海区期末）阅读下面的材料，并解决问题．（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．如图1，∠O＝；如图2，∠O＝；如图3，∠O＝；如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝．（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+12∠A．（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．【变式9-2】（2020春•丰泽区校级期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．【变式9-3】（2020秋•景德镇期末）（1）如图①，在锐角△ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE 三等分∠ACB，请分别写出∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系，并选择其中一个说明理由；（2）如图②，在锐角△ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分外角∠ACM，请分别写出∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系，并选择其中一个说明理由；（3）如图③，在锐角△ABC中，BD和BE三等分外角∠PBC，CD和CE三等分外角∠QCB，请分别直接写出∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系．【考点10 八字形中的角度计算】【例10】（2020春•江夏区校级月考）如图，AE，DE分别平分∠BAC和∠BDC，∠B＝∠BDC＝45°，∠C＝51°，求∠E的度数．【变式10-1】（2020春•赣榆区期中）如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD．（1）试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由．【变式10-2】（2020春•石狮市期末）已知线段AB与CD相交于点O，连结AD，BC．（1）如图1，试说明：∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）请利用（1）的结论探索下列问题：①如图2，作AP平分∠DAB，交DC于点M，交∠BCD的平分线于点P，PC交AB于点N，若∠B+∠D＝80°，求∠P的大小；②如图3，若∠B＝α，∠D＝β，∠P＝γ，且∠BAP=14∠BAD，∠BCP=14∠BCD，试探索α，β，γ之间的数量关系，并说明理由．【变式10-3】（2020春•赣榆区期末）[问题背景]（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D．[简单应用]（可直接使用问题（1）中的结论）（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，①若∠ABC＝28°，∠ADC＝20°，求∠P的度数；②∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠D、∠B之间数量关系．[问题探究]（3）如图3，直线BP平分∠ABC的外角∠FBC，DP平分∠ADC的邻补角∠ADE，①若∠A＝30°，∠C＝18°，则∠P的度数为；②∠A和∠C为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠A、∠C之间数量关系．[拓展延伸]（4）在图4中，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP=14∠CAB，∠CDP=14∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为；（用x、y的代数式表示∠P）（5）在图5中，直线BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P与∠A、∠C的关系，直接写出结论．【考点11 三角形的内角和及外角的性质（折叠问题）】【例11】（2019春•鲤城区校级期中）如图，将一张三角形纸片ABC的三角折叠，使点A落在△ABC的A′处折痕为DE，若∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ＝180°﹣α﹣βB．γ＝α+2βC．γ＝2α+βD．γ＝α+β【变式11-1】（2019秋•龙岗区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝36°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．36°B．72°C．50°D．46°【变式11-2】（2019秋•奈曼旗期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠1+∠2＝2∠A B．∠1+∠2＝∠AC．∠A＝2（∠1+∠2）D．∠1+∠2=12∠A【变式11-3】（2020春•阜宁县期中）问题1现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．研究（1）：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．问题2研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是．【考点12 直角三角形的性质（一组垂直关系）】【方法点拨】解决此类问题的关键是掌握同角（等角）的余角相等.【例12】（2019春•道里区期末）如图，CD是直角△ABC斜边AB上的高，CB＞CA，图中相等的角共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【变式12-1】（2019春•滨海县期中）如图，AD⊥BC，垂足为D，点E在AC上，且∠A＝30°，∠B＝40°．求∠BFD和∠AEF的度数．【变式12-2】（2019春•沭阳县期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AE是△ABC 内部的一条线段，AE交CD于点F，交CB于点E，且∠CFE＝∠CEF．求证：AE平分∠CAB．【变式12-3】（2019春•丰台区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，P是射线BC上一动点（与B，C点不重合），连接AP．过点C作CD⊥AP于点D，交直线AB于点E，设∠APC＝α．（1）若点P在线段BC上，且α＝60°，如图1，直接写出∠P AB的大小；（2）若点P在线段BC上运动，如图2，求∠AED的大小（用含α的式子表示）；（3）若点P在BC的延长线上运动，且a≠50°，直接写出∠AED的大小（用含α的式子表示）．【考点13 什么是命题】【方法点拨】判断一件事情的句子叫做命题.【例13】（2019秋•茌平县期末）下列语句中，属于命题的是（）A．作线段的垂直平分线B．等角的补角相等吗C．三角形是轴对称图形D．用三条线段去拼成一个三角形【变式13-1】（2019秋•肥城市期末）下列语句中，属于命题的是（）A．相等的角是对顶角B．作已知线段的垂直平分线C．一个三角形一定有两个锐角吗？D．反向延长射线AB【变式13-2】（2019秋•淮安校级月考）下列语句中，属于命题的是（）A．等角的余角相等B．两点之间，线段最短吗C．连接P、Q两点D．花儿会不会在春天开放【变式13-3】（2019秋•泰山区期末）下列语句中，属于命题的是（）A．直线AB和CD垂直吗？B．过线段AB的中点C画AB的垂线C．同旁内角互补，两直线平行D．连接A，B两点【考点14 命题的改写】【方法点拨】命题可看做由条件和结论两部分组成。

第13章三角形中的边角关系、命题与证明数学八年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)

第13章三角形中的边角关系、命题与证明数学八年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、在△ABC.若，那么这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上都不对2、长度分别为1，6，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（）A.4B.5C.6D.73、为估计池塘两岸A，B间的距离，小明的办法是在地面上取一点O，连接OA，OB，测得OB=15.1m，OA=25.6m.这样小明估算出A，B间的距离不会大于（）A.26mB.38mC.40mD.41m4、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，若动点N从点B出发沿边BC方向向终点C运动，连结BM，CM，AN，DN，则在整个运动过程中，阴影部分面积和的大小变化情况是（）A.不变B.一直变大C.先减小后增大D.先增大后减小5、已知三条线段的长是：①2，2，4；②3，4，5；③3，3，7；④6，6，10.其中可构成三角形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是（）A.1B.C.2D.47、我国古代伟大的数学家刘微将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示若a＝3，b＝4，则该三角形的面积为（）A.10B.12C.D.8、如图，∠x的两条边被一直线所截，用含α和β的式子表示∠x为（）A.α﹣βB.β﹣αC.180°﹣α+βD.180°﹣α﹣β9、如图,已知在△ABC中,AB=AC,给出下列条件,不能使BD=CE的是( )A.BD和CE分别为AC和AB边上的中线B.BD和CE分别为∠ABC和∠ACB 的平分线C.BD和CE分别为AC和AB边上的高D.∠ABD=∠BCE10、△ABC满足下列条件中的一个，其中不能说明△ABC是直角三角形的是（）A.b 2＝（a+c）（a﹣c）B.a：b：c＝1：：2C.∠C＝∠A﹣∠BD.∠A：∠B：∠C＝3：4：511、如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠E=80°，则∠A的度数为（）A.45°B.50°C.60°D.70°12、如图所示，直线a∥b，∠1=35°,∠2=90°.则∠3的度数（）A.125°B.135°C.145°D.155°13、下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A. 、、B. 、、C. 、D. 、、14、如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，于点D，则AD的长为（）A.1B.2C.D.15、下列说法中，正确的是（）A.直线比射线长B.连接两点的线段叫两点的距离C.两点之间，线段最短D.如果线段 AB＝BC，那么点 B 是线段 AC 的中点二、填空题(共10题，共计30分)16、已知△ABC≌△DEF，∠B=120°，∠F=35°,则∠D=________度.17、如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB=BE，BD⊥AE交AD于点D，若△ABC的面积为2，则△CDE的面积为________.18、如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4）、B（6，0）、C（0，﹣10），平移线段AB至线段CD，点Q在四边形ACDB内，满足S△QOC：S△QOB＝5：2，S△QCD＝S△QBD，则点Q的坐标为________．19、如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝90°－7°＝83°.当∠A＜83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1＝∠2.若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A＝76°.…若光线从A点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值为________.20、如图，AB∥CD，则∠1+∠3—∠2的度数等于 ________．21、如图，中，，若沿图中虚线截去，则________.22、等腰三角形一边的长是5，另一边的长是10，则它的周长是________.23、如图，AD，CE是的两条高，已知AD=5，CE=4，AB=8，则BC的长是________．24、如图，A、B、C分别是线段的中点，若的面积是14，那么△ABC的面积是________.25、如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D均在格点上，则∠CAB+∠CBA=________°．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，在△ABC中，∠A=62°，∠1=20°，∠2=35°．求∠BDC的度数．27、已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足，a＋b＋c＝12，求△ABC的三边长分别是多少？28、我们学过积的乘方法则（为正整数），请你用学过的知识证明它．29、如图所示，在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，D是BC的中点，求AD的长和△ABD的面积．30、在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、C3、D4、C5、B6、D7、B8、B9、D10、D11、A12、A13、C14、B15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、28、29、。

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沪科版八年级上册数学
第三章三角形中的边角关系命题与证明单元测试卷
(时间:120分钟，满分:150分)
ー、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( )
2.已知一个三角形三个内角度数的比是1:5:6，则其最大内角的度数为( ) A,60 B,75 C.90° D.120
3.如图所示，点D 在△ABC 边AB 的延长线上，DE ∥BC.若∠A ＝35°，∠C ＝24°，则∠D 的度数是( )
A.24°
B.59°
C.60°
D.69°
4. 已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰
三角形的周长为( )
A.16
B.20或16
C.20
D.12 5.在△ABC 中，若∠A-∠C ＝∠B ，则△ABC 的形状是 ( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定 6.下列关于△ABC 边BC 上的高的画法正确的是( )
7.下列命题是真命题的是( )
A.如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0
B.如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1
C.如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0
D.如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0
8.如图所示，在△ABC 中有四条线段DE ，BE EF ，FG ，其中有一条线段是△ABC 的中线，则该线段是( )
A.线段DE
B.线段BE
C.线段EF
D.线段FG
9.如图所示，a ∥b ，M ，N 分别在a 、b 上，P 为两平行线间一点・那么∠1+∠2+∠3等于( ) A.180° B.270° C 、360° D.540°
10.如图所示，在△ABC 中，已知点D ，E 、F 分别是边BC ，AD ，CE 的中点，S △ABC ＝4cm 2，则S 的值为( )
A. 2 cm 2
B. 1 cm 2
C. 1/2 cm 2
D. 1/4 cm 2
二、填空题(本大题共4小题，每小題5分，满分20分)
11.命题“任意两个直角都相等”的逆命题是命题，(填“真”或“假”)
12.已知三角形的周长为15cm ，其中的两边长都等于第三边长的2倍，则这个三角形最短边长是 .
13.已知三角形两边的长分别为1，5，第三边长为整数，则第三边的长为
14.如图所示，在△ABC 中，BC 边不动，点A 竖直向上运动，∠A 越来越小，∠B ，∠C 越来
越大若∠A 减小α度・∠B 增加β度，∠C 增加ϒ度，则α，β，ϒ者之间的等量关系是
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15.已知三角形三边的比是3:4:5，且最大边长与最小边长的差是4，求这个三角形三条边的长
16.如图所示，CD 是△ABC 的中线，AC ＝9cm ，BC ＝3cm ，那么△ACD 和△BCD 的周长之差是多少?
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17.将下列命题改写成“如果…那么……”的形式，并判断每一个命题的真假. (1)末位数是5的整数能被5整除. (2)偶数是4的倍数
18.为美化校园环境，学校计划将如图所示的一个三角形地块平均分成四个三角形，然后分别在每个三角形地块种上不同颜色的花.请你帮助学校设计两个不同的方案，画出示意图，并作适当标注说明
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19.如图所示，在△BCD中，BC＝4，BD＝5.
(1)求CD的取值范围
(2)若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数
20.如图所示，已知直线AB与CD相交于点O，OB平分∠EOD，∠1+∠2＝90°
问:图中是否有互相垂直的线?若有，请写出哪些线互相垂直，并证明;若无，直接说明理由
六、(本题12分)
21.(1)如图所示，已知△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，∠A＝80°∠C＝70°，∠ADE＝30°，求证，DE∥BC
(2)阅读并补全下列命题的证明过程
求证在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线互相平行
已知如图所示、直线AB，CD，EF在同一平面内，AB⊥EF于点M,CD⊥EF于点N
求证:
证明: AB⊥EF(已知)，
∴∠AME＝90°(垂直的定义)
CD⊥EF(已知)，
∴∠CNE＝90＂(垂直的定义)
∴∠=∠
∴∥
七、(本题12分
22.如图①所示，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图①的图形称之为“8字形”如图②所示，在图①的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于点M，N.试解答下列问题:
(1)在图①中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之同的数量关系：
(2)仔细观察，在图②中“8字形”的个数: 个
(3)图②中，当∠D＝50°，∠B＝40°时，求∠P的度数
八、(本题14分)
23.如图①所示，D为线段BC的中点，AD为△ABC中BC边上的中线
(1)求证:S△ADB＝S△ADC
探究论证
(3)如图②所示，D，O分别为线段BC，AD的中点，连接BO和CO，设△ABC的面积为S，△ABO的面积为S1，用含S的代数式表示S1，并说明理由
实际应用
(3)学校有一块面积为40 m2的△ABC空地，按如图③所示分割其中D，E，F分别是线段BC，AD，EC的中点，拟计划在△BEF内栽种花卉，其余地方铺草坪，则栽种花卉(阴影部分)的面积是：。

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