2019-2020年高考最后一卷(押题卷)数学(第二模拟)含解析

2019-2020年高考最后一卷（押题卷）数学（第二模拟）含解析
一、填空题：共14题
1．设全集U={-2,-1,0,1,2,3,4},集合A={-1,0,1},B={0,2,4},则A∩(∁U B)=.
【答案】{-1,1}
【解析】本题考查集合的交、补运算.求解时,先根据已知条件以及集合的补运算法则求出∁U B,再利用交运算法则求得A∩(∁U B).因为U={-2,-1,0,1,2,3,4},B={0,2,4},所以∁U B={-2,-1,1,
3},又A={-1,0,1},所以A∩(∁U B)={-1,1}.
2．已知i是虚数单位,若复数z满足(2+i3)z=1+2i,则复数z的模等于.
【答案】1
【解析】本题考查复数的运算、复数的模等知识.求解时,可先求出复数z,再求其模,也可利用复数模的运算性质|z1z2|=|z1||z2|来求解.
通解由(2+i3)z=1+2i可得z==i,所以复数z的模等于1.
优解因为(2+i3)z=1+2i,即(2-i)z=1+2i,所以|(2-i)z|=|1+2i|,即|2-i|·|z|=|1+2i|,即|z|=,所以|z|=1,故复数z的模等于1.
3．在市教育局组织的高考体检中,来自同一班级的6名高三学生的体重(单位:公斤)数据的茎叶图如图所示,经计算得这6名高三学生的平均体重为54公斤,则x的值为.
【答案】3
【解析】本题考查茎叶图的应用、平均数的求解,考查统计在实际问题中的应用.突破的关键在于读懂图中的数据,并利用平均数公式正确求解.通解由茎叶图可知6名高三学生的体重分别为45,50,52,56,58,60+x,所以(45+50+52+56+58+60+x)=54,解得x=3.优解由茎叶图可知6名高三学生的体重分别为45,50,52,56,58,60+x,且这6个数的平均数为54,所以数据
-9,-4,-2,2,4,6+x的平均数为0,所以-9+(-4)+(-2)+2+4+(6+x)=0,解得x=3.
4．执行如图所示的算法流程图,则输出I的值为.
【答案】4
【解析】本题考查循环结构的算法流程图,突破的关键是按步骤运行该算法,并将各个变量的取值情况用表格的形式列出,找到循环结束时变量I的值.求解时,要注意循环的次数和循环体内各语句的顺序,谨防犯错.运行算法流程图,可得S和I的取值变化情况如表所示:
由表可知输出I的值是4.
5．设实数x,y满足约束条件,则z=2x-5y的最小值为.
【答案】-14
【解析】本题主要考查简单的线性规划问题,考查数形结合思想的应用.明确目标函数的几何意义是解答此类问题的关键,利用数形结合是解答此类问题的基本方法.求解时,先把目标函
数z=2x-5y化为y=x-,作出不等式组所表示的平面区域,结合目标函数的几何意义,找到目标函数取得最小值时经过的点,求解目标函数的最小值.
由z=2x-5y,可得y=x-,作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知当直线y=x-经过点A(-2,2)时,直线y=x-在y轴上的截距最大,此时z最小,且z min=2×(-2)-2×5=-14.
6．已知蒸笼中共蒸有5个外形和大小完全相同的包子,其中2个香菇青菜包、1个肉包、1个豆沙包、1个萝卜丝包,现从蒸笼中任取2个包子,则取出的这2个包子中有香菇青菜包的概率为.
【答案】
【解析】本题考查古典概型概率计算公式的应用,突破的关键是利用枚举法求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数,并代入古典概型的概率计算公式求解.通解不妨将2个香菇青菜包分别编号为1,2,1个肉包编号为3,1个豆沙包编号为4,1个萝卜丝包编号为5,则所有的基本事件有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个.记事件“取出的2个包子中有香菇青菜包”为A,则事件A包含的基本事件有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),共7个.故所求概率为P(A)=.优解不妨将2个香菇青菜包分别编号为1,2,1个肉包编号为3,1个豆沙包编号为4,1个萝卜丝包编号为5,则所有的基本事件
有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个.记事件“取出的2个包子中有香菇青菜包”的对立事件(即“取出的2个包子中没有香菇青菜包”)为M,则事件M包含的基本事件有:(3,4),(3,5),(4,5),共3个.由对立事件的概率计算公式得所求的概率P=1-P(M)=1-.
7．已知双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±2x,且其一个顶点与抛物线y2=-4x的焦点重合,则双曲线的方程为.
【答案】x2-=1
【解析】本题考查双曲线和抛物线的标准方程和简单的几何性质.求解时,先由抛物线的焦点得a的值,再结合渐近线方程可得b的值.抛物线y2=-4x的焦点为(-1,0),所以a=1,又双曲线的渐近线方程为y=±2x,即=2,所以b=2,所以双曲线的方程为x2-=1.
8．现有一个实心的底面半径为3 cm、高为4 cm的钢质圆柱体玩具,若将它铸成一个实心钢球,假设所有的钢材均没有浪费,则钢球的表面积为 cm2.
【答案】36π
【解析】本题考查圆柱的体积公式、球的体积和表面积公式的应用.突破的关键是利用体积相等求出钢球的半径,再代入球的表面积公式计算即可.设钢球的半径为R,则πR3=π×32×4,解得R=3,所以钢球的表面积S=4πR2=36π cm2.
9．若直线l:y=k(x-1)与圆C:x2+y2+2x-4y+1=0交于A、B两点,且△ABC为等边三角形,则实数k的值为 .
【答案】-4±
【解析】本题考查圆的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等知识.先由等边三角形求出圆心C到直线l的距离,再利用点到直线的距离公式列出关于实数k的方程即可求解.将圆C的方程化为标准方程得(x+1)2+(y-2)2=4,所以圆心C(-1,2),半径r=2,又由题意可知|AB|=2,所以圆心C到直线l的距离为,所以,即k2+8k+1=0,解得k=-4-或k=-4+.
10．函数f(x)=2sin x cos x-2cos2x+1(≤x≤)的值域为.
【答案】[1,2]
【解析】本题考查三角函数的性质、三角恒等变换等知识,考查运算求解能力.先利用二倍角公式和两角差的正弦公式将已知函数转化为f(x)=A sin(ωx+φ)的形式,再结合正弦函数的图象和性质即可求解.f(x)=2sin x cos x-2cos2x+1=sin 2x-cos 2x=2sin(2x-),当≤x≤时,2x-∈[,],所以
f(x)=2sin(2x-)∈[1,2].
11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意互异的实数x1,x2,均有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立,则使得不等式f(t2-3)+f(2t)<0成立的实数t的取值范围为.
【答案】(-∞,-3)∪(1,+∞)
【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性,一元二次不等式的解法等知识,考查等价转化思想和运算求解能力.先由“对任意互异的实数x1,x2,均有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立”得出函数的单调性,再由奇偶性将f(t2-3)+f(2t)<0转化为关于实数t的一元二次不等式并求解.因为对任意互异的实数x1,x2,均有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立,所以函数f(x)在定义域R上单调递减,又f(x)为奇函数,故不等式f(t2-3)+f(2t)<0可化为f(t2-3)<f(-2t),结合单调性可知,t2-3>-2t,即t2+2t-3>0,解得t<-3或t>1.
12．如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=1,AB=.若点D为△ABC所在平面内的一个动点,且AD=1,则·的取值范围为.
【答案】[-1,3]
【解析】本题考查平面向量的线性运算以及向量的数量积运算等知识,考查数形结合思想的应用.由于涉及直角三角形,所以可选定基向量并把其他向量进行分解处理,也可以建系之后利用坐标运算处理.通解由题可知,·=0,|+|=2,所以·=(+)·(+)=
+·(+)+·=1+·(+)=1+2cosθ,其中θ为与+的夹角.由于点D为动点,故cosθ∈[-1,1],所
以·=1+2cosθ∈[-1,3].
优解以A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(,0),C(0,1),由AD=1可设D(cosα,sinα)(0≤α<2π),
则·=(-cosα,-sinα)·(-cosα,1-sinα)=1-(cosα+sinα)=1-2sin(α+)∈[-1,3].
13．对于实数a,b,定义运算“ :a b=.设f(x)=(x-4)(x-4),若关于x的方程|f(x)-m|=1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根,则实数m的取值范围是.
【答案】(-1,1)∪(2,4)
【解析】本题考查分段函数的解析式及图象,考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想和分类讨论思想的应用等.根据新定义写出分段函数f(x)的解析式,并将关于x的方程|f(x)-m|=1(m∈R)的实数根的个数转化为两直线y=m±1(m∈R)与曲线y=f(x)交点的个数问题进行处理,最后利用数形结合思想和函数与方程思想列出关于实数m的不等式组求解.由题意得,f(x)=(x-4)(x-4)=,画出函数f(x)的大致图象如图所示.
因为关于x的方程|f(x)-m|=1(m∈R),即f(x)=m±1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根,所以两直线y=m±1(m∈R)与曲线y=f(x)共有四个不同的交点,则或或,得2<m<4或-1<m<1.
14．已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=a n(n∈N*),若数列{a n}的前n项和为S n,则na n+4S n(n∈N*)的最大值为.
【答案】
【解析】本题考查递推数列的通项公式、数列求和以及数列的单调性,考查化归与转化能力和运算求解能力.先将a n+1=a n化为,利用累乘法即可得{a n}的通项公式,再利用错位相减法求S n,进而求出na n+4S n的解析式,最后研究其单调性求出最值.由a n+1=a n得,,所以
a n=×…××a1=()n-1××…××1=(n≥2且n∈N*),显然当n=1时也符合,所以a n=(n∈
N*),S n=++…+ ①,S n=++…+ ②,由①-②并化简可得,S n=-,所以na n+4S n=+9,欲求na n+4S n的最大值,则只需求的最大值.令f(n)=(n∈N*),又当1≤n≤3时,f(n)=≤0;当n≥4时,f(n+1)-f(n)=<0,即0<f(n+1)<f(n).故f(n)的最大值为f(4)=,所以na n+4S n的最大值为+9=.
二、解答题：共12题
15．已知在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,且m=(a,2)与n=(sin A,sin B)是共线向量.
(1)求b的值;
(2)若a=,c=3,求△ABC的面积.
【答案】(1)因为m=(a,2)与n=(sin A,sin B)是共线向量,所以a sin B=2sin A,
根据正弦定理,得b=2.
(2)在△ABC中,根据余弦定理,得cos A=,
由于0<A<π,所以sin A=.
所以S△ABC=bc sin A=×2×3×.
【解析】本题考查两平面向量共线的坐标运算、解三角形等知识,属于基础题.(1)利用向量共线并结合正弦定理即可求解;(2)由于已知三边,可以考虑求三角形某一内角(如角A)的余弦值,再利用同角三角函数的基本关系求其正弦值,最后代入三角形的面积公式求解即可.
【备注】三角作为高考解答题必考知识之一,命题者常常将三角与向量进行交汇,即以向量平行及数量积的坐标运算为载体,考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换、解三角形等知识.此类试题较为基础,关键是要在解题步骤的规范性和审题方面多加注意,避免不必要的失分.
16．如图所示,在四棱锥S-ABCD中,侧面SAD⊥底面ABCD,SA=SD,AD∥BC,BC=
CD=AD,M、N分别为AD、SD的中点.
(1)求证:SB∥平面CMN;
(2)求证:BD⊥平面SCM.
【答案】(1)设BD与CM交于点O,连接ON,BM.
因为BC=AD且AD∥BC,M为AD的中点,所以MD=BC且MD∥BC,所以四边形BCDM为平行四边形,所以O为BD的中点.
又N为SD的中点,所以SB∥ON,又ON⊂平面CMN,SB⊄平面CMN,所以SB∥平面CMN.
(2)因为SA=SD,且M为AD的中点,所以SM⊥AD,又平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,SM⊂平面SAD,
所以SM⊥平面ABCD,所以SM⊥BD.
在平行四边形BCDM中,因为BC=CD,即四边形BCDM为菱形,所以CM⊥BD,又SM⊥BD,CM⊂平面SCM,SM⊂平面SCM,CM∩SM=M,所以BD⊥平面SCM.
【解析】本题考查空间线面平行和垂直关系的证明,考查考生的空间想象能力以及推理论证能力.(1)欲证明SB∥平面CMN,关键是在平面CMN内找一条直线与直线SB平行,根据线面平行的性质定理,只需作出平面SBD与平面CMN的交线,则可证SB与交线平行,再结合线面平行的判定定理即可证得结论;(2)已知面面垂直,根据面面垂直的性质定理结合已知条件可证SM⊥底面ABCD,即可得SM⊥BD,再证明四边形BCDM为菱形,进而得CM⊥BD,最后由线面垂直的判定定理即可证得结论.
【备注】预测2016年高考解答题对立体几何的考查将以棱锥(或棱柱)为载体,考查空间线面或面面平行与垂直关系的证明,熟悉空间点、线、面的位置关系的定义、公理以及线、面平行和垂直的判定定理和性质定理是突破此类问题的关键.
17．某市政府为了丰富市民生活,在某山区投资开发了一个旅游区.如图所示,在该旅游区的某一景点内有两座小山,其中一座山(山高为OB=110米)的山顶B处建有一座高为40米(即
BC=40米)的吉祥塔.经过水平地面上的一点A,沿另一座山的山坡铺设了一条直线段形的观光游览路线,已知该观光游览路线所在的直线l与水平地面所成的角为α,且tanα=.若小明在观光游览路线上的某点P处观看吉祥塔,视角为∠BPC.已知OA=100米,设点P到水平地面的距离为x(0<x≤90)米.
(1)令f(x)=tan∠BPC,求f(x)关于x的函数解析式;
(2)当x为何值时,小明观看吉祥塔的效果最好(即∠BPC最大)?
【答案】(1)过点P分别作PQ⊥OA、PR⊥OB,垂足分别为Q、R,如图所示:
则PQ=x米,由tanα=可知AQ=2x米,所以PR=(100+2x)米,BR=(110-x)米,CR=(150-x)米,所以tan ∠RPB=,tan ∠RPC=,
所以tan ∠BPC=tan (∠RPC-∠RPB)==
,
所以f(x)=(0<x≤90).
(2)欲使小明观看吉祥塔的效果最好(即∠BPC最大),即要使tan∠BPC最大,即f(x)最大.
令t=x+50∈(50,140],则x=t-50,
所以f(x)=.
要使f(x)达到最大,只需t+-72达到最小即可.
由基本不等式可得,t+-72≥2-72=88,当且仅当t=且t∈(50,140],即t=80时取等号.
故当x=30时,f(x)最大,即当小明距水平地面30米高时,观看吉祥塔的效果最好.
【解析】本题考查函数、两角差的正切公式、基本不等式在解决实际问题中的应用,考查考生的数学建模能力和运用数学知识解决实际问题的能力.(1)构造合适的直角三角形,利用两角差的正切公式求出tan∠BPC的表达式即可;(2)适当换元,利用基本不等式求最值.
【备注】《考试说明》明确提出注重数学应用意识的考查,要求能够运用所学的数学知识、思想和方法,构造数学模型,将一些简单的实际问题转化为数学问题,并加以解决.因此,应用题将继续成为江苏高考的必考题型,在复习中要特别关注三角型、函数与导数型、不等式型、面积和体积型四类应用问题,并注意坐标法在解题中的应用.
18．已知在平面直角坐标系中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且短轴长为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若F是椭圆C的右焦点,动直线l与椭圆C相切于点P(x0,y0)(x0≠1,y0≠0),且交椭圆C的右准线m于点Q,求证:PF⊥QF.
【答案】(1)依题意可知,解得,
所以椭圆C:+y2=1.
(2)由题意可知直线l的斜率存在,故可设直线l:y-y0=k(x-x0),
联立,消去y并整理得,
(1+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2-2=0.
因为直线l与椭圆C相切,
所以Δ=16k2-4(1+2k2)[-2]=0,
即-4[2-2-4k2]=0,即-1-2k2=0,即(-2)k2-2x0y0·k+-1=0,
又+=1,所以-2k2-2x0y0·k-=0,即k2+x0y0·k+=0,即(y0k+)2=0,
所以k=-,所以直线l:y=-(x-x0)+y0.
又椭圆的右准线m的方程为x=2,由,结合+=1可得Q(2,).
又F(1,0),所以k QF=,k PF=,所以k QF·k PF==-1,所以PF⊥QF.
【解析】本题考查椭圆的方程与性质、直线与椭圆相切、两直线垂直等有关知识,考查考生的运算求解能力.(1)由e得到a,c的关系式,由短轴长得b的值,结合a2=b2+c2得椭圆方程;(2)设出直线l的方程,将直线l的方程与椭圆方程联立,由相切得Δ=0,进而求得PQ的方程,将其与椭圆的右准线方程联立即可求得点Q的坐标,再利用斜率关系验证PF⊥Q F.
【备注】解析几何的命题方向主要有以下两个:一是考查圆的方程、直线与圆的位置关系等;二是考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系.此类试题注重对运算能力的考查,在考前要注意在梳理知识点的同时,适当进行解析几何的运算训练.
19．已知各项均为正数的数列{a n}满足:a1=a,a2=b,a n+1=(n∈N*),其中m,a,b均为实常数.
(1)若m=0,且a4,3a3,a5成等差数列.
(i)求的值;
(ii)若a=2,令b n=,求数列{b n}的前n项和S n;
(2)是否存在常数λ,使得a n+a n+2=λa n+1对任意的n∈N*都成立?若存在,求出实数λ的值(用m,a,b表示);若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(i)因为m=0,所以=a n a n+2,所以正项数列{a n}是等比数列,不妨设其公比为q.又
a4,3a3,a5成等差数列,所以q2+q=6,解得q=2或q=-3(舍去),所以=2.
(ii)当a=2时,数列{a n}是首项为2、公比为2的等比数列,所以a n=2n,所以b n=,即数列{b n}的奇数项依次构成首项为2、公比为4的等比数列,偶数项依次构成首项为3、公差为4的等差数列.
当n为偶数时,S n=++-;
当n为奇数时,S n=+-(2n+1)=+-.
所以S n=.
(2)存在常数λ=,使得a n+a n+2=λa n+1对任意的n∈N*都成立.
证明如下:因为=a n a n+2+m(n∈N*),所以=a n-1a n+1+m,n≥2,n∈N*,所以-=a n a n+2-a n-1a n+1,即
+a n-1a n+1=a n a n+2+.由于a n>0,此等式两边同时除以a n a n+1,得,所以=…=,即当n≥2,n∈N*时,都有a n+a n+2=.
因为a1=a,a2=b,=a n a n+2+m,所以a3=,所以,所以当λ=时,对任意的n∈N*都有a n+a n+2=λa n+1成立.
【解析】本题考查等差、等比数列的定义、通项公式和求和公式等知识,考查方程思想和分类讨论思想,考查运算求解能力和逻辑思维能力.(1)(i)由m=0可知数列{a n}为等比数列,再由a4,3a3,a5成等差数列,即可求得公比的值,即的值;(ii)由a=2,结合(i)可以求出a n,进而求得b n,再分n为奇数和n为偶数进行讨论,并利用分组求和法求得S n;(2)对于存在性问题,通常从假设存在出发,并结合已知条件列出等量关系,将是否存在转化为对应方程是否有解,最后加以证明.
【备注】预测2016年高考对数列的考查,将以等差和等比数列为背景,考查数列的通项公式、求和等,也可能考查新定义问题或探究性问题,并有较大的运算量和思维量.
20．已知函数f(x)=x ln x-x.
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)令g(x)=f(x)-(x2-2)(m∈R),若函数g(x)在(0,+∞)内有两个不相等的极值点x1和x2,且x1<x2.
(i)求实数m的取值范围;
(ii)已知λ>0,若不等式e1+λ<x1·恒成立,求实数λ的取值范围.
【答案】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=ln x,令f'(x)=ln x<0,得0<x<1,故函数f(x)的单调递减区间为(0,1).
(2)(i)依题意,函数g(x)=x ln x-x2-x+m的定义域为(0,+∞),所以方程g'(x)=0在(0,+∞)内有两个不相等的实根,即方程ln x-mx=0在(0,+∞)内有两个不相等的实根,所以函数y=ln x与函数y=mx 的图象在(0,+∞)内有两个不同的交点.
在同一平面直角坐标系内作出两个函数的图象如图所示,若令过原点且切于函数y=ln x图象的直线斜率为k,只需0<m<k.设切点为A(x0,ln x0),所以k=y',又k=,所以,解得x0=e,于是k=,所以0<m<.
(ii)e1+λ<x1·等价于1+λ<ln x1+λln x2.
由(i)可知x1,x2分别是方程ln x-mx=0的两个根,即ln x1=mx1,ln x2=mx2,所以原不等式等价于
1+λ<mx1+λmx2=m(x1+λx2),因为λ>0,0<x1<x2,所以原不等式等价于m>.
由ln x1=mx1,ln x2=mx2作差得,ln=m(x1-x2),即m=,所以原不等式等价于,因为0<x1<x2,原不等式恒成立,所以ln恒成立.
令t=,t∈(0,1),则不等式ln t<在t∈(0,1)上恒成立.
令h(t)=ln t-,又h'(t)=-,当λ2≥1时,可知当t∈(0,1)时,h'(t)>0,所以h(t)在t∈(0,1)上单调递增,又h(1)=0,所以h(t)<0在t∈(0,1)上恒成立,符合题意.
当λ2<1时,可见当t∈(0,λ2)时,h'(t)>0,当t∈(λ2,1)时,h'(t)<0,所以h(t)在t∈(0,λ2)上单调递增,在t ∈(λ2,1)上单调递减,又h(1)=0,所以h(t)在t∈(0,1)上不能恒小于0,不符合题意,舍去.
综上所述,若不等式e1+λ<x1·恒成立,只需λ2≥1,又λ>0,所以λ≥1.
【解析】本题考查函数和导数,考查导数在研究函数的单调性和极值中的应用,考查数形结合思想、等价转化思想、函数与方程思想和分类讨论思想等,考查运算求解能力等,难度较大.(1)欲求函数的单调递减区间,只需求导函数小于0的解集即可;(2)(i)由函数g(x)有两个极值可知,方程g'(x)=0在(0,+∞)内有两个不相等的实根,进而转化为两函数图象有两个公共点的问题进行处理;(ii)先对不等式e1+λ<x1·两边取对数可得, 1+λ<ln x1+λln x2,再结合x1和x2是g'(x)=0的两根,将不等式进行转化并消去m,最后进行等价转化并构造新函数,再利用导数研究函数的单调性进行求解.
【备注】函数与导数的综合题主要有以下几个命题方向:(1)围绕导数的几何意义展开,设计求曲线的切线方程,根据切线方程求参数值等问题;(2)围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开,设计求函数的单调区间、极值、最值,已知单调区间求参数的取值或者参数的取值范围等问题;(3)围绕利用导数研究不等式、方程展开,涉及不等式的证明、不等式恒成立、讨论方程的根等问题.
21．如图,线段AB为☉O的直径,弦CD与AB交于点E,直线AF与圆O相切,且DF⊥CD.求证:AB·AF=BC·EF.
【答案】连接AD,∵AF切☉O于点A,∴BA⊥AF.
又DF⊥DE,∴A、E、D、F四点共圆,∠AFE=∠ADE.
又∠ADC=∠ABC,∴∠AFE=∠ABC.
又AB为直径,∴△ACB为直角三角形,
又△FAE为直角三角形,
∴∠ACB=∠EAF,∴Rt△ACB∽Rt△EAF,
∴,即AB·AF=BC·EF.
【解析】本题考查三角形相似、圆的切线、圆周角定理等知识,考查考生的推理论证能力.求解的思路是先由切线的性质以及DF⊥CD得到A、E、D、F四点共圆,再结合圆周角定理得∠AFE=∠ABC,进而证明Rt△ACB∽Rt△EAF,利用相似比得到所需要的结论.
【备注】平面几何中与圆有关的性质与定理是高考考查的热点,解题时要充分利用性质与定理求解.本部分内容中常见的命题点有:平行线分线段成比例定理;三角形的相似与性质;圆内接四边形的性质与判定;相交弦定理与切割线定理.
22．在平面直角坐标系中,矩阵A=对应的变换将平面上的点P(-1,2)变换为点P'(3,9),求矩阵A 的特征值.
【答案】依题意得,,∴,∴,
∴A= .
∴矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)-(-2)×1=λ2-5λ+6,
令f(λ)=0,解得λ=2或λ=3,即矩阵A的特征值为2和3.
【解析】本题考查矩阵变换、矩阵的特征值等知识.解题时,先利用矩阵的乘法法则列方程组求出a,b的值,再利用特征多项式求特征值.
【备注】预计2016年高考重点考查逆矩阵的求法、已知变换前后点的坐标求变换矩阵或求一曲线在矩阵对应的变换作用下得到的另一曲线的方程等.
23．在极坐标系中,圆C的方程为ρ2-2ρcosθ=3,以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,设直线l的参数方程为 (t为参数).已知直线l与圆C交于A、B两点,求线段AB 的长.
【答案】将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程得(x-1)2+y2=4,即圆心为C(1,0),半径r=2. 将直线l的参数方程化为普通方程可得2x-y-5=0.
所以圆心C到直线l的距离d=.
所以|AB|=2.
【解析】本题考查圆的极坐标方程和直线的参数方程,考查直线与圆的位置关系等知识.求解的思路是将圆的极坐标方程化为直角坐标方程、将直线的参数方程化为普通方程,然后利用直线与圆的位置关系求解.
【备注】解决有关曲线的极坐标方程和参数方程的问题,通常是先将方程化为直角坐标系下的方程再去研究.而对于曲线(如圆和椭圆等)上的动点到直线距离的最值问题,常常需要利用曲线的参数方程来求解.
24．解关于x的不等式|2x+3|+|x-1|>4.
【答案】|2x+3|+|x-1|>4⇔或或,
解得x<-2或0<x≤1或x>1.
综上,不等式|2x+3|+|x-1|>4的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞).
【解析】本题考查含绝对值的不等式的解法,考查分类讨论思想.求解的思路是对x分类讨论分别去掉绝对值,转化为三个不等式组的解集的并集.
【备注】对含有两个绝对值的不等式问题,常用“零点分段法”去掉绝对值化为若干个不等式组问题,原不等式的解集是这些不等式组解集的并集;若绝对值中未知数的系数相同,常用绝对值不等式的性质求最值,可减少计算.
25．如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=3,O为棱BC的中点,D为侧棱BB1上一点,且BD=BB1.
(1)求直线AD与平面AOC1所成角的正弦值;
(2)求平面AOC1和平面ADC1所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,以O为坐标原点,分别以OA、CB所在的直线为x轴和y轴,过O且垂直于平面ABC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为AB=2,AA1=3,所以O(0,0,0),A(,0,0),C1(0,-1,3),=(,0,0),=(0,-1,3).
因为BD=BB1,即D(0,1,1),所以=(-,1,1).设平面AOC1的法向量为n1=(x1,y1,z1),则,即,取n1=(0,3,1)为平面AOC1的一个法向量.
设直线AD与平面AOC1所成的角为θ(0≤θ≤),
则sinθ=|cos<,n1>|=,
即直线AD与平面AOC1所成角的正弦值为.
(2)又=(-,-1,3),设平面ADC1的法向量为n2=(x2,y2,z2),则,即,取n2=(2,,)为平面ADC1的一个法向量.
则cos<n1,n2>=,所以平面AOC1和平面ADC1所成的锐二面角的余弦值为.
【解析】本题考查空间向量在求解线面角和二面角中的应用,考查考生的空间想象能力和运算求解能力.(1)利用已知的垂直关系建立合适的空间直角坐标系,先求直线AD的方向向量,
再求平面AOC1的法向量,然后利用两向量的夹角公式求解;(2)先求出平面ADC1的法向量,再将二面角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值进行处理.
【备注】高考对空间向量与立体几何的考查主要是异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角,破解的关键是合理建系,准确求出直线的方向向量和平面的法向量
26．若a为小于10的实常数,且(1+x)8的展开式(按x的升幂排列)的前三项的系数依次构成公差为d的等差数列.
(1)求a和d的值;
(2)令a n=,S n=a i(n∈N*),当n≥2且n∈N*时,试比较S n与1的大小,并用数学归纳法加以证明.
【答案】(1)(1+x)8=1+(x)+(x)2+…+(x)8,依题意1+=2×,即a2-16a+28=0,又a<10,故得a=2,所以d=-1=3.
(2)由(1)可得,a n=,S n=a i=++…+(n∈N*).
当n=2时,S2=a i=++>1.
当n=3
时,S3=a i=a3+a4+a5+…+a9=++++++=3×[+(++)+(++)]>3×[+(++)+(++)]=3×(++)>3×(++)>3×=1.
故猜测:当n≥2且n∈N*时,S n>1.
下面用数学归纳法加以证明:
①当n=3时,结论成立;
②假设当n=k(k≥3且k∈N*)时,S k>1,即a k+a k+1+a k+2+…+>1,
则当n=k+1
时,S k+1=a k+1+a(k+1)+1+a(k+1)+2+…+=a k+a k+1+a k+2+…++(++…+-a k)=S k+(++…+-a k)>1+(++…+-a k)>1+-=1+=1+.
由k≥3可知,3k2-7k-3>0,即>0,
所以S k+1=a k+1+a(k+1)+1+a(k+1)+2+…+>1,即当n=k+1时结论成立.
综合①②可得,当n≥3且n∈N*时,S n>1.
综合可得,当n≥2且n∈N*时,S n>1.
【解析】本题考查数列、二项式定理和数学归纳法等知识,考查考生的运算求解能力和推理论证能力.(1)先利用二项式定理将(1+x)8的展开式中前三项的系数求出,利用等差中项的定义列方程解出a,进而可求d;(2)先求a n,进而得S n的表达式,利用归纳推理猜想出S n与1的大小,然后用数学归纳法证明.
【备注】附加题最后一题有较大的难度和区分度,且题目新颖,预计2016年高考将考查计数原理的应用和数学归纳法的应用.。