2020年中考一轮复习 二次函数的图像与性质 讲义

二次函数的图像与性质中考一轮复习
教学目标
1.理解懂得二次函数的图像的开口、对称轴、顶点坐标与a、b、c的关系；会根据图像推断a、b、c及相关式子
的符号；
2.能借助二次函数的图像进行推理探究；
3.学会进行数形转化，能从图形中抽象出数量关系，建立方程模型和不等式模型求解.
4.
经典考题
【例1】根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图象与x轴( ) A.只有一个交点B.有两个交点，且它们分别在x轴两侧
C.有两个交点，且它们均在y轴同侧
D.无交点
x…-1 0 1 2 …
y…-1
7
4
--2
7
4
-…
【解法指导】本题要先画出啊、二次函数的图像。

根据对称性知（1，-2）是抛物线的顶点，且其开口向上。

因而二次函数的图像与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧。

本题应选B。

【变式题组】
1.2
x…-2 -1 0 1 2 …
y…
1
6
2
--4
1
2
2
--2
1
2
2
-…
根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax+bx+c在x=3时，y= 。

2.已知二次函数2
x…-1 0 1 2 3 4 …
y…10 5 2 1 2 5 …
(1)
(2)当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
(3)若两点A(m,y1),B(m+1,y2)都在该函数的图像上，试比较y1与y2的大小.
【例2】函数y=ax+1与y=ax2+bx+c（0
a≠）的图像可能是（）
【解法指导】本题应用逐一排除法.
解：两函数图像与y轴交于同一点（0,1），A不正确；B中直线中a>0，抛物线中a<0,不正确；D中直线的a<0，抛物线中a>0，不正确。

故应选C。

【变式题组】
3.已知0
a≠，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图像有可能是（）
4.在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数，且0
m≠)的图像可能是（）
5.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则一次函数y=-bx-4ac+b2与反比例函数
a b c
y
x
++
=在同一坐标系内的图
像大致为（）
【例3】
已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点（-2,0）、（x1，0），且1<x1<2,与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方。

下列结论：(1)4a-2b+c=0;(2)a<b<0;(3)2a+c>0;(4)2a-b+1>0.其中正确的个数是个。

【变式题组】
a≠）的图像如图所示，则下列结论：（1）ac>0;(2)方程ax2+bx+c=0的两根之和大6.已知二次函数y=ax2+bx+c（0
于0；（3）y随x的增大而增大；（4）a-b+c<0,其中正确的个数（）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
a≠）的图像如图所示，有下列四个结论：（1）b<0;(2)c>0;(3)b2-4ac>0;(4)a-b+c<0, 7.已知二次函数y=ax2+bx+c（0
其中正确的个数有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
a≠）的图像如图所示，若点A（1，y1）、B(2,y2)是它图像上的两点，则y1与y2的大小8.二次函数y=ax2+bx+c（0
关系是（）
A. y1<y2
B. y1=y2
C. y1>y2
D.不能确定
【例4】如图，正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直。

若小正方形的边长为x ,且010x <≤,阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图像是（ ）
【解法指导】解：2
2
14()2
y x x =•=(0)x ≥.本题应选D .
【变式题组】
9.如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P 在运动过程中速度大小不变，则以点A 为圆心，线段AP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 之间的函数图像大致为（ ）
10.如图，已知正三角形ABC 的边长为1，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CA 上的点，且AE =BF =CG ，设三角形EFG 的面积y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数大致是（ ）
【例5】设A 、B 是抛物线y =2x 2
+4x -2上的点，原点位于线段AB 的中点处。

试求A 、B 两点的坐标。

【解法指导】解：原点是线段AB 的中点，得到点A 和点B 关于原点对称。

设点A 的坐标为（a ,b ）,则点B 的坐标
为(-a ,-b ),又A 、B 是抛物线上的点，分别将它们的坐标代入抛物线解析式，得：2
2
242
242
b a a b a a ⎧=+-⎪⎨-=--⎪⎩，解之得：
a =1,
b =4或者a =-1,b =-4.所以A （1,4），B （-1，-4）或A （-1，-4），B （1,4）。

【变式题组】
11.设a 、b 、c 是三角形ABC 的三边长，二次函数 2
()2
2
b b
y a x cx a =----
，在x =1时，取最小值85b -，则三
角形ABC 是（ ）
A .等腰三角形
B .锐角三角形
C .钝角三角形
D .直角三角形
12. 已知二次函数y =ax 2
+bx +c （其中a 是正整数）的图像经过点A （-1,4）与点B （2,1），并且与x 轴有两个不同的交点，则b +c 的最大值为 。

演练提高
1.在平面直角坐标系中，将二次函数y =2x 2
的图像 平移2个单位，所得图像的解析式为（ ）
A . y =2x 2-2
B . y =2x 2+2
C . y =（x -2）2
D . y =（x +2）
2
2.二次函数y =-3x 2
-6x +5的图像的顶点坐标是（ ）
A .(-1,8)
B .(1,8)
C .(-1,2)
D .(1,-4)
3.抛物线的图像如图所示，根据图像可知，抛物线的解析式可能是（ ） A .y =x 2
-x -2 B .y =-
12x 2+ 12x +1 C . y =- 12x 2-12
x +1 D . y =-x 2
+x +2
4.抛物线y =-2x 2
+8x -1的顶点坐标为（ ）
A .(-2,7)
B .(-2,-25)
C .(2,7)
D .(2,-9)
5.已知二次函数y=ax2+bx+c(其中a>0,b>0,c<0)，关于这个二次韩式的图像有如下说法：（1）图像的开口一定向上；（2）图像的顶点一定在第四象限；（3）图像与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧。

以上说法正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3
5.小强从如图的二次函数y=ax2+bx+c的图像中，观察得出了下面五条信息：
（1）a<0;(2)c>0;(3)b>0;(4)a+b+c>0;(4)a-b+c>0.你认为其中正确信息的个数有（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
7. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，有以下结论：（1）a+b+c<0;(2)
a-b+c>1;(3)abc>0;(4)4a-2b+c<0;(5)c-a>1.你认为其中正确信息的个数有（）
A.（1）（2）
B.（1）（3）（4）
C.（1）（2）（3）（5）
D.（1）（2）（3）（4）（5）
8.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列关系式中错误的是（）
A.a<0
B.c>0
C.b2-4ac>0
D.a+b+c>0
9.已知二次函数y=ax2+bx+c（0
a≠）的图像如图所示，给出以下结论：（1）a>0;(2)该函数的图像关于直线x=1对称;(3)当x=-1或x=3时，函数的值都等于0，其中正确结论的个数是（）
A.3
B. 2
C.1
D.0
10.请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 .
(1) 过点（3,1）；(2)当x>0时，y随x的增大而减小；(3)当自变量的值为2时，函数值小于2.
11.已知二次函数的图像经过原点2点（
11
,
24
--），且图像与x轴的另一个交点到原点的
距离为1，则该二次函数解析式为 .。