二次函数的应用利用二次函数解决实际问题课件沪科版数学九年级上册

根据实际情况建立适当的坐标系
例：小明在一次打篮球时，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明所站
立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球出手时在O点正上方1m处的点P.已知篮球
运动时的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式 y 1 x2 x c
8
y
（1）球在运动的过程中离地面的最大高度；
O
（8C,0）x
∵顶点 P(4，5)
代入得 y a x 42 5
∵该抛物线过点 A(0，1)，
代入得1 a0 42 5
解得
a1 4
∴抛物线的解析式为
y
1 4
x
42
5
即
1 x 42 5=4
4
解得 x1 2, x2 6
∵ x1 x2 4 ＞3
∴ 该货车能通过隧道．
小结：
1 x2 2x 1 4
P 位于 AB 的中央且距地面 5 m，建立适当的坐标系．
P
(1)求抛物线的解析式；
(2)一辆货车高 4 m，宽 3 m，能否从该隧道内通过，为什么？
A
B
分析：
根据题意建立适当的坐标系
找出所需的点的坐标
得到抛物线的解析式
根据高度求出宽度进行判断
例：一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为 8 m，宽为 1 m，隧道最高点
解：
(2) ∵销售价x元/箱，则每箱利润为（x-40）元
∴每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为：
w=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600． (3) w=-3x2+360x-9600=-3（x-60）2+1200， ∵a=-3＜0，∴抛物线开口向下
小结： 1.用单价x表示每箱利润和销量
例: 某商品现在的售价为每件60元，每周可卖出300件，市场调查反映：如调整价格， 每涨价1元，每周要少卖10件。已知商品的进价为每件40元，应如何定价使利润最大？
分析：
设每件涨价x元
单件利润(60+x-40)元
实际销量(300-10x)件
总利润=单件利润×销售量
列出关于利润的二次函数
配成顶点式
求出最大利润时的定价
P 位于 AB 的中央且距地面 5 m，建立适当的坐标系．
y P（4wk.baidu.com5）
(1)求抛物线的解析式；
4m y=
(2)一辆货车高 4 m，宽 3 m，能否从该隧道内通过，为什么？
4 A 货车4 B
（0,1） 3
解： (1)建立如图所示的坐标系
设抛物线的解析式为 y a x h2 k
(2)能，理由如下： 令 y＝4 时，
AC
（2）小亮手举过头顶，跳起后的最大高度为BC=2.5m，若小亮要在 （0,1）
P
篮球下落过程中接到球，求小亮离小明的最短距离OB.
O
Bx
分析：
根据P点坐标求出函数解析式
配成顶点式求出最大高度
根据C点高度进行求解
判断根的合理性
例：小明在一次打篮球时，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明所站
（1）请你建立适当的直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数表达式；
（2）求出水柱的最大高度是多少.
y
解： （1）如图所示，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地
2
点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为： y a x 12 h
将点（0，2），（3，0）代入可得
O 1 （3,0）x （2） ∵a= 2＜0，∴抛物线开口向下
例: 某商品现在的售价为每件60元，每周可卖出300件，市场调查反映：如调整价格， 每涨价1元，每周要少卖10件。已知商品的进价为每件40元，应如何定价使利润最大？
解： 设每件涨价x元 实际卖出(300-10x)件 因此所得利润为： y=(60+x-40)(300-10x)
=−10x2+100x+6000 =−10(x−5)2+6250 ∵ 300-10x≥0 ∴ 0≤x≤30
例：随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新
修了一个圆形喷水池（如图），在水池中心竖直安装了一根高为2m的喷水管，它喷出的
抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1m处达到最高，水柱落地处离池中心3m.
（1）请你建立适当的直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数表达式；
y
（2）求出水柱的最大高度是多少.
立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球出手时在O点正上方1m处的点P.已知篮球
运动时的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式 y 1 x2 x c
8
y
（1）球在运动的过程中离地面的最大高度； （2）小亮手举过头顶，跳起后的最大高度为BC=2.5m，若小亮要在 y=2.5
AC
篮球下落过程中接到球，求小亮离小明的最短距离OB.
解：（1） ∵销售价x元/件，则单件利润为（x-60）元
w x 60x 120 = x2 180x 7200
（2） w x 60x 120
∴ 当96≤x≤120时，y随x增大而减小
= x2 180x 7200
= x 902 900
∴当 x=96时，∴w最大= 96 902 +900=864
分析：
建立适当的直角坐标系
O
x
根据题意找出点的坐标
求出抛物线的函数表达式
求出函数的最值
例：随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新
修了一个圆形喷水池（如图），在水池中心竖直安装了一根高为2m的喷水管，它喷出的
抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1m处达到最高，水柱落地处离池中心3m.
分析：
总利润=单件利润×销售量
求出w与x之间的关系式
配方成顶点式 求出最大利润
售价x的 取值范围
例：某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间每件利润率不得低于60%.经试
销发现，销售量y（件）与销售单价x(元/件)关系为y=-xw元。
(1)试写出总利润w与销售单价x之间的关系式；
(2)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？最大利润是多少元？
x
x12
x2
2
二、列二次函数解应用题 (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是 什么，找出等量关系(即函数关系)． (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这 就是二次函数． (4)解答：按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)答：写出答案．
P
2
6
O
Bx
解：（1）∵OP＝1，
（2）把y＝2.5代入表达式得，
∴当P（0,1），代入 y 1 x2 x c，解得c＝1
8
∴y与x的函数表达式为:
则有
1x
8
42
3=2.5
y 1 x2 x 1 1 x 42 3
∵
a
8
1
0
8
抛物线开口向下
8
解得 x1＝2，x2＝6 根据题意可知x1＝2不合题意，应舍去， 故小亮离小明的最短距离为6m.
45k b 105
50k
b
90
k 3 解得b 240
故平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为：y=-3x+240
例： 批发商销售每箱进价为40元的苹果，市场调查发现，若每箱以45元的价格销售，则每 天销售105箱；若每箱以50元的价格销售，则每天销售90箱，假定每天的销售量y（箱）与 销售价x（元/箱）之间满足一次函数关系. （2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数解析式； （3）当每箱苹果的销售价为多少时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
（1）求每天的销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数解析式； （2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数解析式；
（3）当每箱苹果的销售价为多少时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解： （1）设 y与 x函数关系式为y=kx+b 把已知（45，105），（50，90）代入得，
O
x
x b
2a
y y a x h2 k
对称轴：直线x=h ，顶点坐标 (h , k)
O
x
交点式 ： y a x x1 x x2 ,(a 0)
xh
y y a x x1 x x2
对称轴：直线 x x1 x2
2
与x轴交点坐标为 ：（x1,0），（ x2,0）
Ox x x
1
利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题
一、二次函数解析式常见的三种形式：
一般式： y ax2 bx c （a、b、c为常数，a 0 ）
y y ax2 bx c
对称轴:直线 x b
2a
顶点坐标（
b
4ac b2 ,
）
2a 4a
顶点式：y a x h2 k,(a 0)
又∵对称轴为直线 x=60 ∴当x=60时，w的最大值为1200元．
2.配顶点式求最值
答：当每箱苹果的销售价为60元时，可以获得最大利润为1200元
例：某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间每件利润率不得低于60%.经试 销发现，销售量y（件）与销售单价x(元/件)关系为y=-xw元。 (1)试写出总利润w与销售单价x之间的关系式； (2)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？最大利润是多少元？
答：销售定价为96元时，商场获得最大利润为864元。
x 60 60 60%
x 120 0
小结： 二次函数求最值时需关注自变量x的取值范围
∴ 96≤x≤120 ∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下 ∵对称轴为直线x=90，
若开口向上，x的值离对称轴越近y值越小 若开口向下，x的值离对称轴越近y值越大
∴当x＝4时，y有最大值3 故篮球在运动的过程中离地面的最大高度为3m；
小结：
判断根的合理性
利用二次函数解决 实际问题
利润问题 喷泉问题 隧道问题 球类问题
单位利润=售价-成本
求解销售价格
总利润=单位利润×销量
求解最大利润
建立适当坐标系 求出函数关系式 解决相应问题
再见
∵a=-10 ，∴抛物线开口向下 又∵对称轴为直线x=5 ∴当x=5时,y有最大值6250 60+5=65(元). 答：售价为65元时,利润最大。
小结： 1. 求出涨价后的单件利润和销量 2. 配顶点式求最值并注意x的取值范围
例： 批发商销售每箱进价为40元的苹果，市场调查发现，若每箱以45元的价格销售，则平 均每天销售105箱；若每箱以50元的价格销售，则平均每天销售90箱，假定每天的销售量y （箱）与销售价x（元/箱）之间满足一次函数关系. （1）求每天的销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数解析式； （2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数解析式； （3）当每箱苹果的销售价为多少时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
三、实际问题
(1)利润问题 总利润=单位利润×销售量，单位利润=售价-成本 若销售单价每提高m元，销售量就相应减少n件 设单价提高x元，则现销售量=原销售量- x n
m
(2)喷泉、隧道、球类问题 建立二次函数模型求解实际问题一般步骤： (1)建立恰当的直角坐标系； (2)将已知条件转化为点的坐标； (3)合理地设出所求函数关系式； (4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式 (5)利用关系式求解问题．
分析：
用待定系数法求出y与x的函数关系 式
总利润=每箱利润×销售量
列出w关于x的函数解析式
配成顶点式求出最大利润
例： 批发商销售每箱进价为40元的苹果，市场调查发现，若每箱以45元的价格销售，则每
天销售105箱；若每箱以50元的价格销售，则每天销售90箱，假定每天的销售量y（箱）与
销售价x（元/箱）之间满足一次函数关系.
3
ah2 4a h 0
解得
a
2 3
h8 3
∴当x=1时，y有最大值为 8 ，即水柱的最大高
度为 8 米.
3
3
小结： 1、根据实际情况建立适当的坐标系
∴抛物线的解析式为：y 2 x 12 8 = 2 x2 4 x 2
3
33 3
2、根据题意得出点的坐标
例：一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为 8 m，宽为 1 m，隧道最高点