线性代数与概率统计及答案

线性代数部分
第一章 行列式
一、单项选择题
1．=0
001001001001000( ).
(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
2. =0
001100000100100( ).
(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 3．若
a a a a a =22
2112
11，则
=21
11
2212ka a ka a ( ).
(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-
4． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为
x ,1,5,2-, 则=x ( ).
(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2
5. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
00321
321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( )
(A)1- (B)2- (C)3- (D)0
6．设行列式
n
a a a a =22
2112
11
，
m a a a a =21
2311
13
，则行列式
23
2221131211--a a a a a a 等于（）
A. m n -
B.)(-n m +
C. n m +
D.n m -
二、填空题
1. 行列式
=0
100111010100
111.
2．行列式010...0002...
0.........
00
0 (10)
0 0
n n =
-.
3．如果M a a a a a a a a a D ==333231
232221
131211
，则=---=32
32
3331
2222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .
4．行列式=
--+---+---1
1
1
1
111111111111x x x x .
5．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为
.
6．齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=+=++0
0202321
2
1321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.
7．若齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨
⎧=+--=+=++0
230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.
三、计算题
2．y x y
x x y x y y x y x
+++；
3．解方程
00
11
01110111
0=x x x
x ；
6. 111...1311...1112...
1
...
......
111...(1)b b n b
----
7. 1111
122
2123111...1..................n
b a a a b b a a b b b a ； 8．121212
12
3
.....................n n
n x a a a a x a a a a x a a a a x
;
四、证明题
1．设1=abcd ，证明：
01
111111111112
22
22
222=++++
d
d
d
d c c c c b b b b a a a a .
2．3
3
3
222
11123
333322
22211
111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a x
b a -=++++++.
3．))()()()()()((1111
4
4
4
4
2222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.
第二章 矩阵
一、单项选择题
1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

(a)
2
2A
A =(b)
)
)((22B A B A B A +-=- (c)
AB A A B A -=-2)(
(d)T T T B A AB =)( 2.设方阵A 、B 、C 满足AB=AC,当A 满足( )时，B=C 。

(a) AB =BA (b) 0≠A (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B 、C 可逆 3.若A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则=kA ( )。

(a) A k (b)
A k (c) A k n (d)
A k n
4.设A 为n 阶方阵，且0=A ，则( )。

(a) A 中两行(列)对应元素成比例 (b) A 中任意一行为其它行的线性组合 (c) A 中至少有一行元素全为零 (d) A 中必有一行为其它行的线性组合 5.设A 为n 阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,则( )。

(a) (a) 1*-=A A (b) A A =* (c) 1
*+=n A
A (d) 1
*-=n A
A
6. 设A ，B 为n 阶方矩阵,22B A =,则下列各式成立的是( )。

(a) B A = (b) B A -= (c) B A = (d) 2
2
B A = 7.设A 为n 阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（ ）。

（a ）T A A 22= (b) 112)2(--=A A
(c) 111])[(])[(---=T T T A A (d) T T T T A A ])[(])[(11--=
8.已知⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=113022131A ，则（ ）。

（a ）A A T = (b) *1A A =-
（c ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛113202311010100001A （d ）⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛113202311010100001A
9.设I C B A ,,,为同阶方阵，I 为单位矩阵，若I ABC =，则（ ）。

（a ）I ACB = （b ）I CAB = （c ）I CBA = （d ）I BAC = 10.n 阶矩阵A 可逆的充要条件是( )。

(a) A 的每个行向量都是非零向量 (b) A 中任意两个行向量都不成比例
(c) A 的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示
(d)对任何n 维非零向量X ，均有0≠AX 11. 设矩阵
A=（1，2），B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，C
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=654321则下列矩阵运算中有意义的是（ ）
A ．AC
B B ．AB
C C ．BAC
D ．CBA 12.设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（D ）
A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
B A 可逆，且其逆为⎪⎪
⎭⎫ ⎝
⎛--11B A
B ．
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 不可逆 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 可逆，且其逆为⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛--11A B
D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛B A 可逆，且其逆为⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--11
B A
13.已知向量T
T )0,3,4,1(23,)1,2,2,1(2--=β+α---=β+α，则β+α=（A ）
A ．T
)1,1,2,0(-- B.
T
)1,1,0,2(-- C ．
T
)0,2,1,1(-- D ．
T
)1,5,6,2(---
14.设A 和B 为n 阶方阵，下列说法正确的是（C ）
A. 若AB AC =，则B C =
B. 若0AB =，则0A =或0B =
C. 若0AB =，则0A =或0B =
D. 若0A E -=，则A E =6、设两事件A
二、填空题
1.设A 为n 阶方阵,I 为n 阶单位阵,且I A =2,则行列式=A _______
2.行列式=---000
c b c a b
a
_______ 3.设A 为5阶方阵，*A 是其伴随矩阵，且3=A ，则=*A _______
4.设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵*A 的秩为_______ 三、计算题
1.解下列矩阵方程(X 为未知矩阵).
1) 223221103212102X ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ； 2) 0101320100211100110X ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪
=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ； 3) 2AX A X =+,其中423110123A ⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪-⎝⎭；
2.设A 为n 阶对称阵,且20A =,求A .
3.设11201A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭,23423A ⎛⎫=
⎪⎝⎭,30000A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,41201A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求123
4A A A A ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
4.设211011101,121110110A B ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪== ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,求非奇异矩阵C ,使T
A C BC =. 四、证明题
1. 设A 、B 均为n 阶非奇异阵,求证AB 可逆.
2. 设0k A =(k 为整数), 求证I A -可逆.
4. 设n 阶方阵A 与B 中有一个是非奇异的,求证矩阵AB 相似于BA .
5. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.
第三章 向量
一、单项选择题
1. 321,,ααα， 21,ββ都是四维列向量，且四阶行列式
m =1321βααα,n =2321ααβα,则行列式
)(
21321=+ββααα
n m a +)( n m b -)( n m c +-)( n m d --)(
2. 设A 为n 阶方阵，且0=A ,则（ ）。

成比例中两行（列）对应元素A a )( 线性组合中任意一行为其它行的A )b ( 零中至少有一行元素全为A c )( 线性组合中必有一行为其它行的A )d (
3. 设A 为n 阶方阵，n r A r <=)(，则在A 的n 个行向量中（ ）。

个行向量线性无关
必有r a )(
个行向量线性无关任意r )b (
性无关组个行向量都构成极大线任意r c )(
个行向量线性表示其它任意一个行向量都能被r )d (
4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是（ ）
n r A r a <=)()( n A b 的列秩为)(
零向量的每一个行向量都是非）（A c 的伴随矩阵存在）（A d
5. n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分条件是( )
)(a 12,,...,s ααα都不是零向量
)(b 12,,...,s ααα中任一向量均不能由其它向量线性表示 )(c 12,,...,s ααα中任意两个向量都不成比例 )(d 12,,...,s ααα中有一个部分组线性无关
二、填空题
1. 若T )1,1,1(1=α，T )3,2,1(2=α，T t ),3,1(3=α线性相关，则t=▁▁▁▁。

2. n 维零向量一定线性▁▁▁▁关。

3. 向量α线性无关的充要条件是▁▁▁▁。

4. 若321,,ααα线性相关，则12,,...,s ααα)3(>s 线性▁▁▁▁关。

5. n 维单位向量组一定线性▁▁▁▁。

三、计算题
1. 设T )1,1,1(1λα+=，T )1,1,1(2λα+=，T )1,1,1(3λα+=，
T
),,0(2λλβ=，问
（1）λ为何值时，β能由321,,ααα唯一地线性表示？
（2）λ为何值时，β能由321,,ααα线性表示，但表达式不唯一？ （3）λ为何值时，β不能由321,,ααα线性表示？
2. 设T )3,2,0,1(1=α，T )5,3,1,1(2=α，T a )1,2,1,1(3+=α，
T a )8,4,2,1(4+=α，T b )5,3,1,1(+=β问：
（1）b a ,为何值时，β不能表示为4321,,,αααα的线性组合？ （2）b a ,为何值时，β能唯一地表示为4321,,,αααα的线性组合？
3. 求向量组T )4,0,1,1(1-=α，T )6,5,1,2(2=α，T )2,5,2,1(3=α，
T )0,2,1,1(4--=α，T )14,7,0,3(5=α的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

四、证明题
1. 设2131222112,3,ααβααβααβ-=-=+=，试证321,,βββ线性相关。

2. 设12,,...,n ααα线性无关，证明12231,,...,n αααααα+++在n 为奇数时线性无关；在n 为偶数时线性相关。

第四章 线性方程组
一、单项选择题
1．设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵的秩为r ，则0AX =有非零解的充
分必要条件是（ ）
(A) r n = (B) r n <
(C) r n ≥ (D) r n >
2．设A 是m n ⨯矩阵，则线性方程组AX b =有无穷解的充要条件是（ ）
(A) ()r A m < (B) ()r A n < (C) ()()r Ab r A m =< (D) ()()r Ab r A n =<
3．设A 是m n ⨯矩阵，非齐次线性方程组AX b =的导出组为0AX =，若m n <，则（ ）
(A) AX b =必有无穷多解 (B) AX b =必有唯一解 (C) 0AX =必有非零解 (D) 0AX =必有唯一解
4．方程组1232332422(2)(3)(4)(1)
x x x x x x λλλλ+-=⎧
⎪
+=⎨⎪-=----⎩
无解的充分条件是λ=（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
5．方程组12323331224(1)(3))(1))
x x x x x x x λλλλλλ++=-⎧
⎪-=-⎪
⎨=-⎪
⎪-=---⎩有唯一解的充分条件是λ=（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
二、填空题
1. 设A 为100阶矩阵，且对任意100维的非零列向量X ，均有0AX ≠，则A 的秩为 .
2. 线性方程组12312123
20200kx x x x kx x x x ++=⎧⎪
+=⎨⎪-+=⎩仅有零解的充分必要条件是 .
3. 设12,,
s X X X 和1122s s c X c X c X +++均为非齐次线性方程组AX b =的解（12,,
s c c c 为常数），则12s c c c ++
+= .
4. 若线性方程组AX b =的导出组与0(())BX r B r ==有相同的基础解系，则
()r A = .
5. 若线性方程组m n A X b ⨯=的系数矩阵的秩为m ，则其增广矩阵的秩为 .
三、计算题
1. 已知12
3,,ααα是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系，问12233,,αααααα+++是否是该方程组的一个基础解系？为什么？
2. 设543310
12263211311111A -⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦，1
20
1
056001121001
2320B --⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥
-⎢
⎥
--⎣⎦
，已知B 的行向量都是线性方程组0AX =的解，试问B 的四个行向量能否构成该方程组的基础解系？为什么？
3. 设四元齐次线性方程组为 （Ι）：12240
0x x x x +=⎧⎨-=⎩
1）求（Ι）的一个基础解系
2）如果12(0,1,1,0)(1,2,2,1)T T k k +-是某齐次线性方程组（II ）的通解，问方程组（Ι）和（II ）是否有非零的公共解？若有，求出其全部非零公共解；若无，说明理由。

第五章 特征值与特征向量
一、单项选择题
1. 设001010100A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
,则A 的特征值是( )。

(a) -1,1,1 (b) 0,1,1 (c) -1,1,2 (d) 1,1,2
2. 设110101011A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
,则A 的特征值是( )。

(a) 0,1,1 (b) 1,1,2 (c) -1,1,2 (d) -1,1,1 3. 设A 为n 阶方阵, 2A I =,则( )。

(a) ||1A = (b) A 的特征根都是1 (c) ()r A n = (d) A 一定是对称阵 4. 若12,x x 分别是方阵A 的两个不同的特征值对应的特征向量,则1122k x k x +也是A 的特征向量的充分条件是( )。

(a) 1200k k ==且 (b) 1200k k ≠≠且 (c) 120k k = (d) 1200k k ≠=且 5. 若n 阶方阵,A B 的特征值相同,则( )。

(a) A B = (b) ||||A B = (c) A 与B 相似 (d) A 与B 合同
二、填空题
1. n 阶零矩阵的全部特征值为_______。

2. 设A 为n 阶方阵，且I A =2，则A 的全部特征值为_______。

3. 设A 为n 阶方阵，且0=m A (m 是自然数)，则A 的特征值为_______。

4. 若A A =2，则A 的全部特征值为_______。

5. 若方阵A 与I 4相似，则=A _______。

三、计算题
1. 若n 阶方阵A 的每一行元素之和都等于a ,试求A 的一个特征值及该特征值对应的一个特征向量.
2. 求非奇异矩阵P ,使1P AP -为对角阵.
1) 2112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2) 112131201A -⎛⎫
⎪
=-- ⎪ ⎪
--⎝⎭
四、证明题
1. 设A 是非奇异阵, λ是A 的任一特征根,求证1
λ
是1A -的一个特征根,并且A 关于λ的特征向量也是1A -关于
1
λ
的特征向量. 2. 设2A E =,求证A 的特征根只能是1±.
3. 设n 阶方阵A 与B 中有一个是非奇异的,求证矩阵AB 相似于BA .
4. 证明:相似矩阵具有相同的特征值.
5. 设n 阶矩阵A E ≠，如果()()r A E r A E n ++-=，证明：-1是A 的特征值。

6. 设A B ，证明k k A B 。

7. 设12,αα是n 阶矩阵A 分别属于12,λλ的特征向量，且12λλ≠，证明12αα+不
是A 的特征向量。

概率论部分
一、填空：（每题3分，共15分）
1． 假设,A B 是两独立的事件，()0.7,()0.3P A B P A ⋃==，则()P B =_________。

2． 设A ，B 是两事件，(|)1/4,()1/3P A B P B ==，则()P AB =__________。

3． 若二维随机变量(X,Y)满足()()()E XY E X E Y =，则X Y 与________。

4． 随机变量~(0,1),23,~X N Y X Y =+则_________。

5． 设总体)1,0(~N X ,1210,,
,X X X 是来自总体X 的样本，则X 服从_________分布。

二、选择：（每题3分，共15分）
1． 如果（）成立，则事件,A B 互为对立事件
....()()1A AB B AB C AB A B D P A P B =Φ=Ω=Φ⋃=Ω+=且
2． 若X 的概率密度为02
()4240x
x f x x
x ≤≤⎧⎪
=-≤≤⎨⎪⎩
其它
，则{3}P X ≤=（） .3/2A .5/2B .7/2C .4D
3． 设随机变量),(~p n B X ，则方差var()X =（）
.A np .(1)B n p - 2.C np .(1)D np p -
4． 下列结论正确的是（）
A .X 与Y 相互独立，则X 与Y 不相关
B .X 与Y 不独立，则X 与Y 相关
C .X 与Y 不相关，则X 与Y 相互独立
D .X 与Y 相关，则X 与Y 相互独立
5． 设n X X X ,,,21 为来自正态总体2
~(,)X N μσ的一个样本，其中μ已知，2
σ未知，
则下面不是统计量的是（） ()A 1X ()
B 2
2
1
()n
i i X μσ=-∑
()C 2
11()n i i X n μ=-∑ ()D 21
1()1n i i X X n =--∑ 三、计算：（共70分）
1．（15分）甲乙两袋，甲袋中有两白球一个黑球，乙袋中有一个白球两个黑球。

先从甲袋中取一球放到乙袋中，再从乙袋中取一球，
（1）求从乙袋中取出的是白球的概率；
（2）已发现从乙袋中取出的是白球，问从甲袋中取出放入乙袋中的球为白球的概率。

2．（10分）设随机变量X 的密度函数为2,02
()0,cx x f x ⎧<<=⎨⎩其它
，
试求：(1)常数c ；(2){11}P X -<<。

3.（10分）设随机变量X 的密度函数为2,01;
()0,
x x f x <<⎧=⎨
⎩其他，，求 2X Y =的概率密度；
4．（10分）一袋中装有5只球，编码为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以X 表示取
出的3只球中的最小号码，求随机变量X 的分布律与数学期望.
5.（15分）设随机变量(X,Y)的概率密度为 6,01
(,)0,x y x f x y <<<⎧=⎨
⎩其它
（1）试求关于X 及Y 的边缘概率密度；（2）判断X 与Y 是否相互独立，并说明理由.
6．（10分）总体X 的概率密度函数为2
20(),00
x x f x θ
θθ⎧<<⎪
=>⎨⎪⎩其它
是未知参数，
求未知参数θ的矩估计量，并验证未知参数θ的矩估计量是θ的有偏还是无偏估计量。

线性代数部分参考答案
第一章 行列式
一、单项选择题
1． ( C ).2. ( C ).3．(B).4 ( C ).5. ( A )6.（C ）
二．填空题
1.0;
2.!)1(1n n --;
3.M 3-;
4.4x ;
5.2-;
6.3,2-≠k ;
7.7=k 三．计算题 1. )(233y x +-； 2. 1,0,2-=x ;
3 (2)(1)...((2))b b n b -+---;
4 ∏=--n
k k k
n
a b
1
)()
1(;
5 ∏∑==-+n
k k n k k a x a x 1
1
)()(;
第二章参考答案
一：1. a ；2. b ；3.c ；4.d ； 5.d ； 6.d ； 7.d ； 8.c ；9.b ； 10.d.11.B 12.
（D ）13.A ）14.（C ）
二．1. 1或-1；2. 0； 5. 81；6. 0；
三、1.1）、⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---016213010；2）、⎪
⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-02
13
212
1
； 3）
、⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛------9122692683. 2. 0； 3.⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛---10002100121001
21； 4.⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛100001010；
第三章向量参考答案
一、 单项选择
1.b
2.d
3.a
4.b
5.b 二、填空题
1. 5
2.相关
3. 0≠α
4.相关 三、解答题
1. 解：设332211αααβx x x ++=
则对应方程组为⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=+++=+++2
321
321321)1()1(0)1(λλλλλx x x x x x x x x
其系数行列式)3(11
1
1111112+=+++=λλλ
λλ
A
（1）当3,0-≠≠λλ时，0≠A ，方程组有唯一解，所以β可由3,21,ααα唯一地线性表示;
（2）当0=λ时，方程组的增广阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110111A ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛→000000000111，
31)()(<==A r A r ，方程组有无穷多解，所以β可由3,21,ααα线性表示，
但表示式不唯一;
（3）当3-=λ时，方程组的增广阵
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=921131210112A ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-----→18000123303121，)()(A r A r ≠，方程组无解，
所以β不能由3,21,ααα线性表示。

2.解:以βαααα,,,,4321为列构造矩阵
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+++58153342321211011
1
1
1a b a →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--
+-
b a a 4100
0041100121
1
0111112
（1）时，且当01≠±=b a β不能表示为4321,,,αααα的线性组合； （2）任意时，当b a ,1±≠β能唯一地表示为4321,,,αααα的线性组合。

3.解：=),,,,(54321ααααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛---1402647255001211
31
1
21
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--→
000
011000
10110
20101
421,,ααα为一个极大无关组，且31240αααα=-++, 42152αααα-+=
四、证明题
1.证：∵0)2(4)(33121=--+ββββ
∴0435321=++-βββ ∴321,,βββ线性相关
2.证：设0)()()(1322211=++++++ααααααn n k k k
则0)()()(122111=+++++-n n n n k k k k k k ααα ∵n ααα,,,21 线性无关
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+-0
001211n n n k k k k k k
其系数行列式1100001000001100001110001 =⎩⎨⎧=-++为偶数为奇数
n n n ,0,2)1(11
∴当n 为奇数时，n k k k ,,,21 只能为零，n ααα,,,21 线性无关； 当n 为偶数时，n k k k ,,,21 可以不全为零，n ααα,,,21 线性相关。

参考答案
一、单项选择题 1.B 2.D 3.C 4.B 5.A
二、填空题
1.100
2.23k k ≠-≠且
3.1
4.r
5.m
三、计算题 1. 是 2. 不能
3. 1）12(0,0,1,0),(1,1,0,1)T T v v ==- 2）(1,1,1,1)()T k k -其中为任意非零常数
第五章 参考答案
一、单项选择题
1.a
2.c
3.c
4.d
5.b 二、填空题
1.0
2.1,-1
3.0
4.0,1
5.4I
三、计算题 1.,(1,1,
,1)T a
2.(1)1111-⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)113211122-⎛⎫
⎪
- ⎪
⎪
⎝⎭ 四. 证明题 (略)
概率论部分
一、填空（每题3分共15分）
1. 4/7；
2. 1/12 ；
3. 不相关；
4. ~(3,4)Y N ；
5. (0,1/10)N 二、选择（每题3分共15分）
1．C ； 2. C ； 3. D ； 4. A ； 5. B 三、计算 1． （15分）
解：设12{}{}A A ==第一次从甲袋中摸的是黑球第一次从甲袋中摸的是白球
{}B =从乙袋中摸的是白球
（1） 由全概率公式
11221212()(|)()(|)()
3121
2
(),(),(|)(|)334
4
P B P B A P A P B A P A P A P A P B A P B A =+===
=
分
所以P(B)=1/12+4/12=5/12 (3)
分 (2)
要
求
2
(
|)
P A B ，由贝叶斯公式
分分25
4
51232425)()()|()|(222 =⨯⨯==
B P A P A B P B A P
2. (10)分解：(1)由()1f x dx +∞
-∞=⎰
，得220813cx dx c ==⎰，所以3
8
c =， ……4分 (2)11231010311
{11}()888
P X f x dx x dx x --<<====⎰⎰，……6分 3．（10分）解：（1） 2
Y X =分别在(,0)-∞∞和（0,+）单调，所以
''
(|(|||,01
()0,
,X X Y f f y f y ⎧+<<⎪=⎨
⎪⎩其他． ……4分，
5分
01,01y ⎧
+=<<⎪
=⎨⎪⎩
其他０， ……6分，
或利用分布函数法：
2(){}{}{{0Y F y P Y y P X y P X P X =≤=≤=≤≤=<≤……4分
2
0,01xdx x y y ===<<，……4分
1,01
()()0,Y Y y f y F y <<⎧'∴==⎨
⎩其他
……2分 4. （10分）解：X ＝1，2，3 ………2分
22
343335556311
{1},{2},{3}101010
C C P X P X P X C C C ========= ，
X 3 4 5
p 6/10 3/10 1/10
………6分
631
()123101010
E X =⨯
+⨯+⨯ =1.5… 12分
5．（15分）解： （1）()(,)X f x f x y dy ∞
-∞
=
⎰
06,010
,x xdy x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩⎰其它26,01
0,x x ⎧<<=⎨⎩其它 ………6分
()(,)Y f y f x y dx ∞
-∞
=⎰
16,010
,y xdx y ⎧<<⎪
=⎨⎪⎩⎰其它23(1),01
0,y y ⎧-<<=⎨⎩其它 ………6分
（2）X 与Y 不相互独立，因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠ ………3分 6．（10分）解：（1）
20
22()3x
EX xf x dx x
dx θ
θ
θ+∞
-∞
===⎰
⎰，···3分，X =θ32
···2分，__
^
3,2X θ=所以···2分
由于__^
33
22
E E X E X θθ===, 所以θ的矩估计量为无偏估计。

···············3分。