考点梳理 二次函数章节涉及的14个必考点全梳理(精编Word)

考点梳理：二次函数章节涉及的14个必考点全梳理（精编Word）二次函数的概念
掌握二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
例题1已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据二次函数定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可．
【解析】②④是二次函数，共2个，故选：B．
【小结】此题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是二次函数，注意a≠0这一条件．
变式1下列各式中，一定是二次函数的有（）
①y2＝2x2﹣4x+3；②y＝4﹣3x+7x2；③y=12−3x+5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2+bx+c；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2x2+4x﹣3．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】整理一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．
【解析】①y2＝2x2﹣4x+3，不符合二次函数的定义，不是二次函数；
②y＝4﹣3x+7x2，是二次函数；
−3x+5，分母中含有自变量，不是二次函数；
③y=1
x2
④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）＝6x2﹣13x+6，是二次函数；
⑤y＝ax2+bx+c，含有四个自变量，不是二次函数；
⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3，含有两个自变量，不是二次函数；
⑦y＝m2x2+4x﹣3，含有两个自变量，不一定是二次函数．
∴只有②④一定是二次函数．故选：B．
【小结】本题考查二次函数的定义．解题的关键是掌握二次函数的定义和二次函数的一般形式．
变式2若y＝（m2+m）x m2﹣2m﹣1﹣x+3是关于x的二次函数，则m＝．
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【解析】由题意，得m2﹣2m﹣1＝2，且m2+m≠0，解得m＝3，
【小结】本题考查了二次函数，利用二次函数的定义是解题关键，注意二次项的系数不等于零．
变式3函数y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1﹣m，则当m＝时，它为正比例函数；当m＝时，它为一次函数；当m时，它为二次函数．
【分析】首先解方程，进而利用正比例函数、一次函数与二次函数的定义得出答案．
【解析】m2﹣3m+2＝0，则（m﹣1）（m﹣2）＝0，解得：m1＝1，m2＝2，
故m≠1且m≠2时，它为二次函数；当m＝1或2时，它为一次函数，当m＝1时，它为正比例函数；
故答案为：1；1或2；m≠1且m≠2
【小结】此题主要考查了一次函数与二次函数的定义，正确解方程是解题关键．
必考点1一次函数与二次函数图象
判断一次函数与二次函数图象的问题关键在于掌握数形结合的思想，通过图象可以逐一去判断一次函数及二次函数的系数关系．
例题2一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）
A．B．C．D．
【分析】先由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx+b的图象相比较看是否一致．
【解析】A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故不合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意．
故选：B．
【小结】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．
变式4在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（）
A．B．C．D．
【分析】根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【解析】A、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故A错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故B错误；
C、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故C正确；
∵D、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故D错误；
故选：C．
【小结】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．
变式5 已知a ，b 是非零实数，|a |＞|b |，在同一平面直角坐标系中，二次函数y 1＝ax 2+bx 与一次函数y 2＝ax +b 的大致图象不可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】根据二次函数y ＝ax 2+bx 与一次函数y ＝ax +b （a ≠0）可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a 、b 的正负情况，从而可以解答本题．
【解析】{y =ax 2+bx y =ax +b 解得{x =−b a y =0
或{x =1y =a +b ． 故二次函数y ＝ax 2+bx 与一次函数y ＝ax +b （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x 轴上为（−b a ，0）或点（1，a +b ）．
在A 中，由一次函数图象可知a ＞0，b ＞0，二次函数图象可知，a ＞0，b ＞0，−b a ＜0，a +b ＞0，故有可能； 在B 中，由一次函数图象可知a ＞0，b ＜0，二次函数图象知，a ＞0，b ＜0，由|a |＞|b |，则a +b ＞0，有可能； 在C 中，由一次函数图象可知a ＜0，b ＜0，二次函数图象可知，a ＜0，b ＜0，a +b ＜0，故选项C 有可能； 在D 中，由一次函数图象可知a ＜0，b ＞0，二次函数图象知，a ＜0，b ＞0，由|a |＞|b |，则a +b ＜0，不可能； 故选：D ．
【小结】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点．
变式6下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y＝ax2+（a+c）x+c与一次函数y＝ax+c的大致图象．正确的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点，可以判断哪个选项符合要求，从而解答本题．
【解析】令ax2+（a+c）x+c＝ax+c，解得，x1＝0，x2=−c a，
∴二次函数y＝ax2+（a+c）x+c与一次函数y＝ax+c的交点为（0，c），（−c
a，0），
选项A中二次函数y＝ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y＝ax+c中a＜0，c＞0，不符题意，
选项B中二次函数y＝ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y＝ax+c中a＞0，c＜0，两个函数的交点不符合求得的交点的特点，故选项B不符题意，
选项C中二次函数y＝ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y＝ax+c中a＜0，c＞0，交点符合求得的交点的情况，故选项C符合题意，
选项D中二次函数y＝ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y＝ax+c中a＞0，c＜0，不符题意，
故选：C．
【小结】本题考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
必考点2二次函数图象上点的坐标特征
二次函数图象上点的坐标特征，解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．
例题3已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上三个点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）
A．y3＞y1＞y2B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y1
【分析】求出抛物线的对称轴，求出A关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案．
【解析】y＝ax2﹣2ax+b（a＞0），对称轴是直线x=−−2a
2a
=1，
即二次函数的开口向上，对称轴是直线x＝1，
即在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
A点关于直线x＝1的对称点是D（3，y1），
∵2＜3＜4，∴y3＞y1＞y2，故选：A．
【小结】本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
变式7已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（√3，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
【分析】由题意可知抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣1，然后根据点A（﹣2、y1）、B（﹣3，y2）、C（1，y2）、D（√3，y3）离对称轴的远近可判断y1、y2、y3大小关系．．
【解析】抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（√3，y3）四点，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=−3+1
2
=−1．
∵|﹣1﹣（﹣2）|＜|1+1|＜|√3+1|∴y3＞y2＞y1，故选：D．
【小结】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．
变式8若二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c的图象，过不同的六点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、D （√2，y1）、E（2，y2）、F（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y2＜y1＜y3
【分析】由解析式可知抛物线开口向上，点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．
【解析】∵二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c的图象过点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1），
∴抛物线的对称轴直线x满足5＜2x+1＜6，即2＜x＜2.5，抛物线的开口向上，
∴抛物线上离对称轴水平距离越大的点，对应函数值越大，
∵D（√2，y1）、E（2，y2）、F（4，y3），则y2＜y1＜y3，故选：D．
【小结】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到抛物线的对称轴和开口方向是解题的关键．
变式9已知抛物线y=m
2x
2﹣mx+c（m＞0）过两点A（x
0，y0）和B（x1，y1），若x0＜1＜x1，且x0+x1＝3．则
y0与y1的大小关系为（）
A．y0＜y1B．y0＝y1C．y0＞y1D．不能确定
【分析】由抛物线解析式可知开口向上，对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的性质判断即可．
【解析】∵抛物线y=m
2x
2﹣mx+c（m＞0）中，m＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=−−m
2×m2
=1，
∵x0＜1＜x1，∴A点在对称轴的左侧，B点在对称轴的右侧，
若y0＝y1，则x1﹣1＝1﹣x0，此时x0+x1＝2，不合题意；
若y0＞y1，则x1﹣1＜1﹣x0，此时x0+x1＜2，不合题意；
若y0＜y1，则x1﹣1＞1﹣x0，此时x0+x1＞2，符合题意；
故选：A．
【小结】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由点到对称轴的距离与函数值的大小的关系是解题的关键．
必考点3二次函数图象与几何变换
解决二次函数图象与几何变换类型题，需要掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
例题4抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣3是由抛物线y＝﹣x2经过怎样的平移得到的（）
A．先向右平移1个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．先向左平移1个单位，再向上平移3个单位
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解析】原抛物线的顶点为（0，0），新抛物线的顶点为（1，﹣3），
∴是抛物线y＝﹣x2向右平移1个单位，向下平移3个单位得到，故选：C．
【小结】本题考查二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
变式10将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（）A．y＝（x+1）2﹣13B．y＝（x﹣5）2﹣5
C．y＝（x﹣5）2﹣13D．y＝（x+1）2﹣5
【分析】先把抛物线y＝x2﹣4x﹣4化为顶点式的形式，再由二次函数平移的法则即可得出结论．
【解析】∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，
∴将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为y＝（x﹣2+3）2﹣8+3，即y＝（x+1）2﹣5．故选：D．
【小结】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”是解答此题的关键．
变式11已知二次函数y＝（x+2）2﹣1向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数y＝（x+3）2﹣4，则h和k的值分别为（）
A．1，3B．3，﹣4C．1，﹣3D．3，﹣3
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．
【解析】∵抛物线y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（﹣2，﹣1），则向左平移h个单位，再向下平移k个单位后的坐标为：（﹣2﹣h，﹣1﹣k），∴平移后抛物线的解析式为y＝（x+2+h）2﹣k﹣1．
又∵平移后抛物线的解析式为y＝（x+3）2﹣4．∴2+h＝3，﹣k﹣1＝﹣4，∴h＝1，k＝3，故选：A．
【小结】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
变式12将抛物线y＝（x﹣3）（x﹣5）先绕原点O旋转180°，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（）
A．y＝﹣x2﹣4x﹣3B．y＝﹣x2﹣12x﹣35
C．y＝x2+12x+35D．y＝x2+4x+3
【分析】先求出抛物线的解析式，先根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标，然后根据平移的性质求得平移后抛物线的顶点坐标；最后根据平移、旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可．
【解析】y＝（x﹣3）（x﹣5）＝（x﹣4）2﹣1．此时，该抛物线顶点坐标是（4，﹣1）．
将该抛物线绕坐标原点O旋转180°后的顶点坐标是（﹣4，1）．再向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（﹣2，1）．
所以此时抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+1＝﹣x2﹣4x﹣3．故选：A．
【小结】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
必考点4二次函数图象与系数关系
二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．
例题5在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：其中正确结论的个数有（）
①abc＜0；
②c+2a＜0；
③9a﹣3b+c＝0；
④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；
⑤4ac﹣b2＜0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝2a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c＜0，则可对①进行判断；利用x＝1，a+b+c＝0得到c＝﹣3a，则c+2a＝﹣a，于是可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），则可对③进行判断；由于x＝﹣1时，y有最小值，则可对④进行判断；利用抛物线与x轴有2个交点和判别式的意义可对⑤进行判断．
【解析】∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b
2a
=−1，∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；
∵x＝1时，y＝0，∴a+b+c＝0，∴c＝﹣a﹣2a＝﹣3a，
∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
∴当x＝﹣3时，y＝0，即9a﹣3b+c＝0，所以③正确；
∵x＝﹣1时，y有最小值，∴a﹣b+c≤am2+bm+c（m为任意实数），
∴a﹣b≤m（am+b）（m为实数），所以④错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，所以⑤正确．故选：D．
【小结】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x 轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
变式13二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，①2a+b＝0；②若m为任意实数，则a+b≥am2+bm；
③a﹣b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的个数为（）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=−b
2a
=1，得到b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，
即可判断①；根据二次函数的性质得当x＝1时，函数有最大值a+b+c，即可判断②；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0，即可判断③；把b＝﹣2a代入a﹣b+c＜0可对④进行判断；把ax12+bx1＝ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）
[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2=−b
a，然后把b＝﹣2a代入计算得到x1+x2
＝2可对⑤进行判断．
【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x=−b
2a
=1，∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，∴当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以③错误；∵b＝﹣2a，a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以④正确；
∵ax12+bx1＝ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2=−b
a，又∵b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，所以⑤正确．
综上所述，正确的有①②④⑤共4个．故选：C．
【小结】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．也考查了二次函数的性质．
变式14抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为个．
【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x＝1时，y
＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c＝2，由抛物线的对称轴为直线x=−b
2a
=−1
得b＝2a，所以c﹣a＝2；根据二次函数的最大值问题，当x＝﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x＝﹣1时，ax2+bx+c＝2，所以说方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．
【解析】∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；
∵顶点为D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），∴a﹣b+c＝2，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b
2a
=−1，∴b＝2a，∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正确；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x＝﹣1时，ax2+bx+c＝2，
∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，所以④正确．
综上所述，共有3个正确结论，
【小结】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，关键是掌握以下性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=−b
2a；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；
当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac＝0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点
变式15 函数y ＝x 2+bx +c 与y ＝x 的图象如图所示，有以上结论：
①b 2﹣4c ＞0；②b +c +1＝0；③3b +c +6＝0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x +c ＜0．正确的是 （填序号）
【分析】由函数y ＝x 2+bx +c 与x 轴无交点，可得b 2﹣4c ＜0；当x ＝1时，y ＝1+b +c ＝1；当x ＝3时，y ＝9+3b +c ＝3；当1＜x ＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x 2+bx +c ＜x ，继而可求得答案．
【解析】∵函数y ＝x 2+bx +c 与x 轴无交点，∴b 2﹣4ac ＜0；故①错误；
当x ＝1时，y ＝1+b +c ＝1，故②错误；又∵当x ＝3时，y ＝9+3b +c ＝3，∴3b +c +6＝0；③正确； ∵当1＜x ＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x 2+bx +c ＜x ，∴x 2+（b ﹣1）x +c ＜0．故④正确． 故答案为③④．
【小结】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
必考点5 二次函数与一元二次方程的关系
例题6 已知函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax 2+bx +c +32=0的根的情况是（ ）
A ．无实数根
B ．有两个相等实数根
C ．有两个异号实数根
D ．有两个同号不等实数根
【分析】利用函数图象平移即可求解．
【解析】函数y ＝ax 2+bx +c 向上平移32个单位得到y ′＝ax 2+bx +c +32， 而y ′顶点的纵坐标为﹣2+32=−12，故y ′＝ax 2+bx +c +32与x 轴有两个交点，且两个交点在x 轴的右侧， 故ax 2+bx +c +32=0有两个同号不相等的实数根，故选：D ．
【小结】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，用平移的方法求解是此类题目的基本解法．
变式16已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（）
A．﹣2或0B．﹣4或2C．﹣5或3D．﹣6或4
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程ax2+bx+c+n ＝0 （0＜n＜m）的两个整数根，从而可以解答本题．
【解析】∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为﹣3和1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，
又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．
∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣5，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，
∴这两个整数根是﹣4或2，故选：B．
【小结】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．
变式17已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0）与（x2，0），其中x1＜x2，方程ax2+bx+c ﹣a＝0的两根为m、n（m＜n），则下列判断正确的是（）
A．m＜n＜x1＜x2B．m＜x1＜x2＜n C．x1+x2＞m+n D．b2﹣4ac≥0
【分析】把方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m、n（m＜n），理解为二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝a的交点的横坐标分别为m、n，然后讨论a＞0和a＜0，利用图象可确定m、n、x1、x2的大小．
【解析】当a＞0，∵方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m、n，
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝a的交点在x轴上方，它们的横坐标分别为m、n，∴m＜x1＜x2＜n；当a＜0，∵方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m、n，
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝a的交点在x轴下方，它们的横坐标分别为m、n，∴m＜x1＜x2＜n．故选：B．
【小结】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的性质．
变式18对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（）
A．0＜x1
x3＜1B．
x1
x3
＞1C．0＜
x2
x4＜1D．
x2
x4
＞1
【分析】根据题意画出关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）的图象以及直线y＝﹣2，根据图象即可判断．
【解析】由题意关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），就是关于x 的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，
画出函数的图象草图如下：
∵抛物线的对称轴为直线x=−
−10
2×(−1)
=−5，∴x3＜x1＜﹣5，
由图象可知：0＜x1
x3＜1一定成立，故选：A．
【小结】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，利用图象判断是解题的关键．
必考点6二次函数与解不等式
二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
例题7数形结合是一种重要的数学思想方法，我们可以借助函数的图象求某些较为复杂不等式的解集．比
如，求不等式x﹣1＞2
x的解集，可以先构造两个函数y1＝x﹣1和y2=
2
x，再在同一平面直角坐标系中画出这
两个函数的图象（如图1所示），通过观察所画函数的图象可知：它们交于A（﹣1，﹣2）、B（2，1）两点，
当﹣1＜x＜0或x＞2时，y1＞y2，由此得到不等式x﹣1＞2
x的解集为﹣1＜x＜0或x＞2．
根据上述说明，解答下列问题：
（1）要求不等式x2+3x＞x+3的解集，可先构造出函数y1＝x2+3x和函数y2＝；
（2）图2中已作出了函数y1＝x2+3x的图象，请在其中作出函数y2的图象；
（3）观察所作函数的图象，求出不等式x2+3x＞x+3的解集．
【分析】（1）由题干材料中的方法可得答案；
（2）根据y2＝x+3过点（﹣3，0）和（1，4），利用两点确定一条直线画出函数的图象即可；
（3）根据（2）中图象即可得出答案．
【解析】（1）根据题意可得y2＝x+3；（2）作出函数y2的图象如下：
（3）∵由图可知：函数y1和y2的图象交于（1，4）和（﹣3，0）两点，当x＜﹣3或x＞1时，y1＞y2，∴不等式x2+3x＞x+3的解集为x＜﹣3或x＞1．
【小结】本题考查了一次函数、二次函数与不等式，数形结合并明确函数与不等式的关系是解题的关键
变式19二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）和一次函数y＝kx+m（k，m为常数，且k≠0）
的图象如图所示，交于点M（−3
2，2）、N（2，﹣2），则关于x的不等式ax
2+bx+c﹣kx﹣m＜0的解集是．
【分析】根据函数图象，写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．
【解析】当−3
2＜x＜2时，ax
2+bx+c＜kx+m，
所以不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣m＜0的解集为−3
2＜x＜2．
【小结】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
变式20如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），点B 在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过A，B两点，根据图象，则满足不等式（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围是．
【分析】将点A代入抛物线中可求m＝﹣1，则可求抛物线的解析式为y＝x2+4x+3，对称轴为x＝﹣2，则满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1．
【解析】抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴m＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3，
∴点C坐标（0，3），∴对称轴为x＝﹣2，
∵B与C关于对称轴对称，点B坐标（﹣4，3），
∴满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1，
【小结】考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数解析求法，二次函数图象的性质是解题的关键．
变式21【变式7-3】（2020秋•张家港市期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝x的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为．
【分析】根据当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得ax2+bx+c＜x，继而可求得答案．
【解析】∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴ax2+bx+c＜x，∴ax2+（b﹣1）x+c＜0．
∴不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，
故答案为1＜x＜3．
【小结】主要考查二次函数与不等式（组），此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
必考点7构建二次函数解决最值问题
例题8如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．
【分析】设P（x，x2﹣x﹣4）根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣1）2+10．根据二次函数的性质来求最值即可．
【解析】设P（x，x2﹣x﹣4），
四边形OAPB周长＝2P A+2OA＝﹣2（x2﹣x﹣4）+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，
当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10．
【小结】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
变式22 如图，抛物线y ＝x 2+5x +4与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，连接AC ，点P 在线段AC 上，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点Q ，则线段PQ 长的最大值为 ．
【分析】先解方程x 2+5x +4＝0得A （﹣4，0），再确定C （0，4），则可利用待定系数法求出直线AC 的解析式为y ＝x +4，设P （t ，t +4）（﹣4≤t ≤0），Q （t ，t 2+5t +4），所以PQ ＝t +4﹣（t 2+5t +4），然后利用二次函数的性质解决问题．
【解析】当y ＝0时，x 2+5x +4＝0，解得x 1＝﹣4，x 2＝﹣1，则A （﹣4，0），B （﹣1，0）， 当x ＝0时，y ＝x 2+5x +4＝4，则C （0，4），
设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，
把A （﹣4，0），C （0，4）代入得{−4k +b =0b =4，解得{k =1b =4
， ∴直线AC 的解析式为y ＝x +4，
设P （t ，t +4）（﹣4≤t ≤0），则Q （t ，t 2+5t +4），
∴PQ ＝t +4﹣（t 2+5t +4）＝﹣t 2﹣4t ＝﹣（t +2）2+4，
∴当t ＝﹣2时，PQ 有最大值，最大值为4．故答案为4．
【小结】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．。