2020-2021学年人教版数学七年级上学期期末复习专题 ：找规律之解答题专项(一)

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯2020年秋人教版数学七年级期末复习专题：
找规律之解答题专项（一）
1．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n＝．
如果图3中的圆圈共有13层．
（1）我们自上往下，在每个圆圈中按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是；
（2）我们自上往下，在每个圆圈中按图4的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，﹣20，…，求最底层最右边圆圈内的数是；
（3）求图4中所有圆圈中各数值之和．（写出计算过程）
2．学校餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式：
（1）当有5张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？
（2）当有n张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？
（3）、新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有60张这样的餐桌，若你是老师，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？
3．用同样规格的黑白两种颜色的正方形，按如图所示的规律拼图，请根据图中的信息完成下列的问题．
（1）在第5个图中用了块黑色正方形；
（2）第n个图形要用块黑色正方形；
（3）如果有足够多的白色正方形，能不能恰好用完90块黑色正方形，拼出具有以上规律的图形？如果可以请说明它是第几个图形；如果不能，说明你的理由．
4．某餐厅中1张餐桌可坐6人，有以下两种摆放方式：
（1）对于方式一，4张桌子拼在一起可坐多少人？n张桌子呢？对于方式二呢？
（2）该餐厅有40张这样的长方形桌子，按方式一每5张拼成一张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？按方式二呢？
（3）在（2）中，若改成每8张拼成一张大桌子，则共可坐多少人？
（4）一天中午，该餐厅来了98为顾客共同就餐，但餐厅中只有25张这样的长方形桌子可用，若你是这家餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆餐桌呢？
5．观察下列图形：
如果按这个规律一直排到第n个图形，请探究下列问题：
（1）设第n个图形和第n﹣1个图形中所有三角形的个数分别为a n、a n﹣1，问：它们之间有什么数量关系？请写出这个关系式．
（2）请你用含n的代数式来表示a n，并证明你的结论．
6．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为．
第2层第1层…第n层
（1）当图（1）中小圆圈有10层的时候小圆圈的个数是：；
（2）图（2）中的小圆圈一共有个（用含n的代数式表示）
（3）如果图（1）中的圆圈共有13层，图（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边第三个圆圈中的数是；
（4）我们自上往下，在每个圆圈中都按图（4）的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，…，一共填写13层求图（4）中所有圆圈中各数的绝对值之和．
7．如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子，请根据图中的信息完成下列的问题：
（1）填写下表：
图形编号①②③④…
图中石子的总数 5 12 …
（2）第20个图形需要颗石子；
（3）如果继续摆放下去，那么第N个图案要用颗石子；
（4）该同学准备用200颗石子来摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，第n个图案能否刚好用完这200颗石子？如果可以，说出n的值？如果不行，说出n的最大值以及至少还剩余几颗石子？
8．某数学兴趣小组在用黑色围棋进行摆放图案的游戏中，一同学摆放了如下图案，请根据图中信息完成下列的问题：
（1）填写下表：
图形编号①②③……
图中棋子的总
……
数
（2）第10个图形中棋子为颗围棋；
（3）该同学如果继续摆放下去，那么第n个图案要用颗围棋．
9．图a是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图b；再分别连接图b中间小三角形的三边的中点，得到图c
（1）图b有个三角形，图c有个三角形．
（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有多少个三角形（用n的代数式表示结论）．（3）当n＝10时，第10个图形中有多少个三角形？
10．如图，将一张正方形纸片剪去四个大小形状一样的小正方形，然后将其中一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中一个小正方形剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去．
（1）填表：
剪的次数 1 2 3 4 5
正方形个数 4 7 10 13
（2）如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？
（3）如果剪n次，共剪出多少个小正方形？
（4）如果要剪出100个正方形，那么需要剪多少次？
参考答案
1．解：（1）当有13层时，图3中到第12层共有：1+2+3+…+11+12＝78个圆圈，最底层最左边这个圆圈中的数是：78+1＝79；
（2）图4中所有圆圈中共有1+2+3+…+13＝＝91个数，
最底层最右边圆圈内的数是﹣23+91﹣1＝67；
（3）图4中共有91个数，其中23个负数，1个0，67个正数，
所以图4中所有圆圈中各数的和为：
﹣23﹣22﹣…﹣1+0+1+2+…+67
＝﹣（1+2+3+...+23）+（1+2+3+ (67)
＝﹣276+2278
＝2002．
故答案为：（1）79；（2）67．
2．解：（1）有5张桌子，用第一种摆设方式，可以坐5×4+2＝22人；用第二种摆设方式，可以坐5×2+4＝14人；
（2）有n张桌子，用第一种摆设方式可以坐4n+2人；用第二种摆设方式，可以坐2n+4（用含有n的代数式表示）；
（3）选择第一种方式．理由如下；
第一种方式：60张桌子一共可以坐60×4+2＝242（人）．
第二种方式：60张桌子一共可以坐60×2+4＝124（人）．
又242＞200＞124，
所以选择第一种方式．
3．解：（1）观察如图可以发现，第1个图中，需要黑色正方形的块数为3×1+1＝4，第2个图中，需要黑色正方形的块数为3×2+1＝7；
第3个图中，需要黑色正方形的块数为3×3+1＝10；
…
由此可以发现，第几个图形，需要黑色正方形的块数就等于3乘以几，然后加1．所以，按如图的规律继续铺下去，那么第n个图形要用3n+1块黑色正方形；
所以第5个图形中，要用：3×5+1＝16（块）黑色正方形；
故答案是：16；
（2）由（1）知，第n个图形要用3n+1块黑色正方形；
故答案是：（3n+1）；
（3）假设第n个图形恰好能用完90块黑色正方形，则3n+1＝90，
解得：n＝．
因为n不是整数，所以不能．
4．解：（1）第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人．4张桌子可以坐18人，有n张桌子时是6+4（n﹣1）＝4n+2．
第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人，四桌子可以坐12人，n张桌子可以坐6+2（n﹣1）＝2n+4．
（2）方式一：40张桌子拼成8张大桌子可以坐8×[6+16]＝176人，
方式二：40张桌子拼成8张大桌子可以坐8×[6+8]＝112人；
（3）方式二：40张桌子拼成5张大桌子可以坐5×[6+14]＝100人；
（4）第一种，因为，当n＝25时，4×25+2＝102＞98，
当n＝25时，2×25+4＝54＜98．
所以，选用第一种摆放方式．
5．解：（1）按题中图形的排列规律可得：an＝3a n﹣1+2．
（2）由（1）得：an＝3a n﹣1+2，a n﹣1＝3a n﹣2+2，两式相减得：
an﹣a n
＝3（a n﹣1﹣a n﹣2）①
﹣1
当n分别取3、4、5、n时，由①式可得下列（n﹣2）个等式：
a
﹣a2＝3（a2﹣a1），a4﹣a3＝3（a3﹣a2），a5﹣a4＝3（a4﹣a3），
3
an﹣a n
＝3（a n﹣1﹣a n﹣2）．
﹣1
显然an﹣a n﹣1≠0，以上（n﹣2）个等式的左右两边分别相乘约去相同的项后得：an﹣a n
＝3n﹣2（a2﹣a1）②
﹣1
∵a2﹣a1＝17﹣5＝12，由（1）又可知a n﹣1＝（a n﹣2），
将它们代入②式即得：a n＝2×3n﹣1．
6．解：（1）如图（1），当小圆圈有10层时，图中共有：1+2+3+…+10＝55个圆圈；
故答案为：55；
（2）当有n层时，一个正三角形共有：1+2+3+…+n＝个圆圈，
∴图（2）中的小圆圈一共有：n（n+1）个，
故答案为：n（n+1）；
（3）图（1）中，当有12层时，图中共有：1+2+3+…+12＝78个圆圈；
∴如果图（1）中的圆圈共有13层，最底层最左边第一个圆圈中的数是79，则第三个圆圈中的数是：78+3＝81，
故答案为：81；
（4）图4中所有圆圈中共有1+2+3+…+13＝＝91个数，其中23个负数，1个0，67个正数，
所以图4中所有圆圈中各数的绝对值之和为：
|﹣23|+|﹣22|+...+|﹣1|+0+1+2+ (67)
＝（1+2+3+…+23）+（1+2+3+…+67），
＝276+2278，
＝2554．
7．解：（1）第三个是3×（3+4）＝21，第四个是4×（4+4）＝32，
（2）第20个图形是20×（20+4）＝480个；
（3）第n个图形是n（n+4）；故答案为：21，32；480；n（n+4）；
（4）当n＝12时，有12×（12+4）＝192，
当n＝13时，有13×（13+4）＝221＞200，
故不能刚好用完这200颗石子，
n最大值为12，至少还剩8颗石子．
8．解：（1）由图可得，第一个图案3颗棋子，
第二个图案6颗棋子，
第三个图案10颗棋子．
故答案为：3，6，10；
（2）由图可得，第10个图案中的棋子为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11＝66个，故答案为：66；
（3）由图可知：第一个图案1+2颗棋子，
第二个图案1+2+3颗棋子，
第三个图案1+2+3+4颗棋子，
故第n个图案的棋子为：1+2+3+…+（n+1）＝颗，
故答案为：．
9．解：（1）b中有5个三角形，c中有9个三角形．
（2）依题意得：n＝1时，有1个三角形；
n＝2时，有5个三角形；
n＝3时，有9个三角形；
…
∴当n＝n时有4n﹣3个三角形．
（3）当n＝10时，有40﹣3＝37个三角形．
10．解：（1）填表如下：
初中数学**精品文档**剪的次数 1 2 3 4 5
正方形个数 4 7 10 13 16
（2）结合图形，不难发现：在4的基础上，依次多3个．
如果剪了100次，共剪出3×100+1＝301个小正方形；
（3）如果剪了n次，共剪出3n+1个小正方形；
（4）令3n+1＝100，
解得：n＝33，
答：剪出100个小正方形时，需要33次．
经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。

11。