上海市南洋模范中学2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题(含答案解析)

上海市南洋模范中学2021-2022学年高三上学期12月月考数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．设集合1
01x A x x ⎧⎫
-=<⎨⎬+⎩
⎭
，{}
2,x B y y x A ==∈，则A B ⋃=__________.2．若
i 2i 0,(,)1
1i
a b a b R --=∈+，则22a b +=__________．
3．已知数列{}n a 中，11111,()3
n n n a a a n N *++=-=
∈，则lim n n a →∞=____________.4．函数cos arcsin 6y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
的值域为___________.
5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，且121n n S S +=+，则数列{}n a 的通项公式为n a =___________.
6．()()2
5
11ax x +-的展开式中，所有x 的奇数次幂项的系数和为64-，则正实数a 的值
为______．
7．已知函数131()31
x x f x ++=+在20211[]
202-,上的最大值与最小值分别为M ，m ，则
M m +=________.
8．过双曲线2
2
115
y x -=的右支上一点P ，分别向圆()221:44C x y ++=和圆
()222:41C x y -+=作切线，切点分别为M ，N ，则22
PM PN -的最小值为__________.
9．设集合2{|230}A x x x =+->，集合2{|210,0}B x x ax a =--≤>.若A B ⋂中恰含有2个整数，则实数a 的取值范围是________
10．已知ABC 中，1AB =uu u r ，t R ∈，且()1AC t AC AB t +-
的最小值为2
，则
3BA BC ⋅=
__________.
11．裴波那契数列（Fibonaccisequence ）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多•裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{an }满足：a 1＝a 2＝1，an +2＝an +an +1，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是_______
12．容器中有,,A B C 3种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B 粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子.例如，一颗A 粒子和一颗B 粒子发生碰撞则变成一颗C 粒子，现有A 粒子10颗，B 粒子8颗，C 粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子.给出下列结论：①最后一颗粒子可能是A 粒子；②最后一颗粒子可能是B 粒子；③最后一颗粒子可能是C 粒子；
其中正确结论的序号是______.（写出所有正确结论的序号）
二、单选题
13．已知,,αβγ是三个不同的平面，,m n αγβγ== ．则（）
A ．若m n ⊥，则αβ⊥
B ．若αβ⊥，则m n ⊥
C ．若//m n ，则//αβ
D ．若//αβ，则//m n
14．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y %，且y 随时间t （单位：分钟）的变化规律可以用函数()10
0.05t y e R λλ-=+∈描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家
标准至少需要的时间为（）
（参考数据ln 3 1.1≈）A ．11分钟B ．14分钟C ．15分钟
D ．20分钟
15．已知命题甲：sin cos αα-=
22
221cos sin x y αα-=的渐近线与圆
221
(1)2
x y -+=
相切，则命题甲为命题乙的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
16．将方程2sin cos
3
x x x =
的所有正数解从小到大组成数列{}n x ，记()1cos n n n a x x +=-，则122021a a a ++⋅⋅⋅+=（
）
A ．
B ．4
C ．6
-
D ．6
-
三、解答题
17．如图，已知点P 在圆柱OO 1的底面圆O 上，AB 为圆O 的直径，圆柱OO 1的表面积为24π，OA ＝2，∠AOP ＝120°．
(1)求三棱锥A 1﹣APB 的体积．
(2)求异面直线A 1B 与OP 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
18．已知函数()f x 满足()2
11f x x x +=++．
(1)求()1f 的值，并求出()f x 的解析式；
(2)若函数()()(21)g x f x t x =--，且()g x 在[4,5]的最大值与最小值的差值恒小于4，求实数t 的取值范围．
19．2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级.路边一棵参天大树在树干某点B 处被台风折断且形成120°角，树尖C 着地处与树根A 相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设CAB θ∠=（A ，B ，C 三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）
(1)若45θ=︒，求折断前树的高度（结果保留一位小数）
(2)问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由.
20．已知点(),M x y 是平面直角坐标系上的一个动点，点M 到直线4x =的距离等于点M 到点()1,0D 的距离的2倍，记动点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；
（2）斜率为1
2的直线l 与曲线C 交于A B 、
两个不同点，若直线l 不过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，设直线PA PB 、的斜率分别为,PA PB k k ，求PA PB k k +的数值；
（3）设点E 为曲线C 的上顶点，点,P Q 是椭圆C 上异于点E 的任意两点，若直线EP 与EQ 的斜率的乘积为常数()0λλ<，试判断直线PQ 是否经过定点，若经过定点，请求出
定点坐标；若不经过定点，请说明理由．
21．设p 为实数.若无穷数列{}n a 满足如下三个性质，则称{}n a 为p ℜ数列：①10a p +≥，且20a p +=；②414,1,2,n n a a n -<=⋅⋅⋅()；
③{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++，(),1,2,m n =⋅⋅⋅．
（1）如果数列{}n a 的前4项为2，-2，-2，-1，那么{}n a 是否可能为2ℜ数列？说明理由；
（2）若数列{}n a 是0ℜ数列，求5a ；
（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S .是否存在p ℜ数列{}n a ，使得10n S S ≥恒成立？如果存在，求出所有的p ；如果不存在，说明理由．
参考答案：
1．(1,2)
-【分析】解分式不等式得集合A ，由指数函数性质得集合B ，再由并集的定义求并集．
【详解】由已知10{|11}(1,1)1x A x x x x ⎧⎫
-=<=-<<=-⎨⎬+⎩⎭
，{}
112,|2,222x B y y x A y y ⎧⎫⎛⎫
==∈=<<=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭
，
∴(1,2)A B -= ，故答案为：(1,2)
-【点睛】本题考查集合的并集运算，考查解分式不等式、指数函数的性质，属于基础题．2．1
【分析】根据行列式的计算，结合复数的定义即可求得,a b ，进而得解.【详解】i 2i
(i)(1i)(2i)i i 12i (1)(1)i
11i
a b a b a a b a b a --=-+--=+-+-+=+-+++Q
由已知可得10
10a b a +-=⎧⎨+=⎩，解得01
b a =⎧⎨=-⎩，221
a b ∴+=故答案为：13．
7
6
【分析】根据题设条件，求得12
1111333n n n a -=++++ ，结合数列的极限的运算法则，即可求解.
【详解】由题意，数列{}n a 中，1111
1,()3
n n n a a a n N *++=-=
∈，可得11221112
111()()()1333n n n n n n n a a a a a a a a ----=-++++-+=
++++ ，根据数列的极限的运算法则，可得21
73lim 11613
n n a →∞=+=-.故答案为：
76
.4．112⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，【分析】由题可得
2arcsin 633x π
ππ⎡⎤
+∈-⎢⎥⎣⎦
，，再利用余弦函数的性质即求.
【详解】∵arcsin x 的范围是22ππ⎡⎥-⎤
⎢⎣⎦
，，
∴2arcsin 633x πππ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦
，，所以cos arcsin 6y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，
.故答案为：112⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦，.5．2
2,132,2
n n n -=⎧⎨⨯≥⎩【分析】项和转换可得12(2)n n a a n +=≥，可得数列{}n a 从第二项开始是以3为首项，2为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式，分段表示即得解【详解】由题意，121n n S S +=+故121
n n S S -=+两式相减可得：12(2)n n a a n +=≥，
在121n n S S +=+中，令1n =，可得12121a a a +=+，即23a =因此数列{}n a 从第二项开始是以3为首项，2为公比的等比数列有2
2,1
32,2
n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩故答案为：2
2,1
32,2
n n n -=⎧⎨⨯≥⎩6．3
【分析】设()()2
5
2345670123456711ax x a a x a x a x a x a x a x a x +-=+++++++，然后分别令1x =，
=1x -，可求出()()2
51357212a a a a a -=-+++，再结合已知条件可求出答案
【详解】设()()25
2345670123456711ax x a a x a x a x a x a x a x a x +-=+++++++，令1x =，得012345670a a a a a a a a =+++++++，①令=1x -，得()2
50123456721a a a a a a a a a -=-+-+-+-，②②-①，得()()251357212a a a a a -=-+++，
又因为135764a a a a +++=-，0a >，所以()2
521128a -=，解得3a =．故答案为：37．4
【分析】构造()()2g x f x =-是奇函数，由奇函数的对称性求解．【详解】设()()2g x f x =-，[2021,2021]x ∈-，13131
()()223131
x x x x
g x f x ++-=-==++，()()2g x f x -=--=131331322()311313x x x
x x x
g x -+-++--=-==-+++，
所以()g x 是奇函数，
又max max ()()2g x f x M ==-，min min ()()22g x f x m =-=-，所以max min ()()40g x g x M m +=+-=，4M m +=．故答案为：4．8．13.
【分析】根据双曲线和圆的方程可确定双曲线焦点与圆的圆心重合，利用勾股定理表示出切线长，将问题转化为()()12123PC PC PC PC +--的最小值的求解问题，利用双曲线定义和三角形三边关系可求得最小值.
【详解】由2
2
115
y x -=，得211516c =+=，所以双曲线的焦点坐标为()4,0±，
由圆的方程知：圆1C 圆心的坐标为()14,0C -，半径12r =，圆2C 的圆心坐标为()24,0C ，半径21r =，
,PM PN 分别为两圆切线，
2
2
2
21114PM PC r PC ∴=-=-，2
2
2
22221PN PC r PC =-=-，
()()2222
1212
1
233PM PN PC PC PC PC PC
PC ∴-=--=+--，
P 为双曲线右支上的点，且双曲线焦点为12,C C ，122PC PC ∴-=，
又12128PC PC C C +≥=（当P 为双曲线右顶点时取等号），
()()22
12
1
2328313PM PN PC PC PC
PC ∴-=+--≥⨯-=，
即2
2
PM PN -最小值为13.故答案为：13.
【点睛】本题考查双曲线中的最值问题的求解问题，涉及到双曲线定义的应用、圆的切线长的求解等知识；关键是能够将问题转化为双曲线上的点到焦点的距离之和的最值的求解问题.
9．415
[,)38##41538
a ≤<
【分析】求出A 中不等式的解集确定出A ，由A 与B 交集中恰有两个整数，得到f （2）0<且f （3）0≤，且(4)0f >，解不等式即得解．
【详解】解：由A 中不等式变形得：(1)(3)0x x -+>，解得3x <-或1x >，即{|3A x x =<-或1}x >，函数2()21y f x x ax ==--的对称轴为0x a =>，(3)680f a -=+>，(1)20f a =-<，(1)20f a -=>，
由对称性可得，要使A B ⋂恰有个整数，即这个整数解为2，3,
f ∴（2）0<且f （3）0≤，且(4)0
f >即4410961016810a a a --<⎧⎪
--≤⎨⎪-->⎩
，解得4153
8
a <
，则a 的取值范围为4[3
，
15)8
．故答案为：415
[,)
38
10．3
【分析】由题可知，向量AB
与AC AC 均为单位向量且互相垂直，再利用数形结合进行求解.【详解】记AC AD AC
=
，()1AC A AB t E t AC
+-=
，则AD
表示与AC 同方向的单位向量.又(1)1t t +-=，则B 、D 、E 三点共线
.
当A E 与BD 垂直时，()1AC t AC AB t +-
有最小值2，所以90BAC ∠=︒.所以
233()333BA BC BA BA AC BA AB AC ⋅=⋅+=-⋅=
.
故答案为：3.
【点睛】本题解题的难点在于()1AC
t AC
AB t +-
的几何意义，
AC AC
表示AC
方向上的单位向量，再利用三点共线作出分析求解.11．
14
【分析】列举出数列{an }的前40项及其中能被3整除的数，代入公式，即可求得概率．【详解】解：在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{an }满足：a 1＝a 2＝1，an +2＝an +an +1，
∴数列{an}的前40项为：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，
10946，17711，28657，46368，75025，121393，196418，317811，514229，832040，1346269，2178309，3524578，5702887，9227465，14930352，24157817，39088169，63245986，10334155，其中能被3整除的有10个，分别为：3，21，144，987，6765，46368，317811，1346269，2178309，14930352．
∴从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是P＝101 404
．
故答案为：1 4
12．①③
【分析】分析每一次碰撞粒子数量的变化规律，根据规律求解.
【详解】①若最后剩下的可能是A粒子.
10颗A粒子两两碰撞，形成5颗B粒子；
9颗C粒子中的8个两两碰撞，形成4颗B粒子；
所有的17颗B粒子两两碰撞，剩下一颗B粒子；
这个B粒子与剩下的一颗C粒子碰撞形成A粒子.
③最后剩下的可能是C粒子.
10颗A粒子中的9颗与9颗C粒子两两碰撞，形成9颗B粒子；
所有的17颗B粒子两两碰撞，最后剩一颗B粒子；
这个B粒子与剩下的一颗A粒子碰撞形成C粒子.
②最后剩下的不可能是B粒子.
A、B、C三种粒子每一次碰撞有以下6种可能的情况：
A与A碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗A粒子:（B多1个，A、C共减少两个）；
B与B碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗B粒子（B少1个，A、C总数不变）；
C与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗C粒子（B多1个，A、C共减少两个）；
A与B碰撞，会产生一颗C粒子，减少A、B各一颗粒子（B少1个，A、C总数不变）；
A与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少A、C各一颗粒子（B多1个，A、C共减少两个）；B与C碰撞，会产生一颗A粒子，减少B、C各一颗粒子（B少1个，A、C总数不变），可以发现如下规律：
（1）从B 粒子的角度看：每碰撞一次，B 粒子的数量增多一个或减少一个.
题目中共有27颗粒子，经过26次碰撞剩一颗粒子，整个过程变化了偶数次，
由于开始B 粒子共有8颗，所以26次碰撞之后，剩余的B 粒子个数必为偶数，不可能是1个，所以最后剩下的不可能是B 粒子.
（2）从A 、C 粒子的角度看：每次碰撞之后，A 、C 粒子总数或者不变、或者减少两个.题目中A 、C 粒子之和为19个，无论碰撞多少次，A 、C 粒子都没了是不可能的，所以剩下的最后一颗粒子一定是A 或C .
故正确结论的序号为①③.
故答案为：①③
【点睛】关键点点睛：本题考查了分类思想，逻辑推理，分析问题解决问题的能力，读懂题意是解题的关键.
13．D
【分析】根据空间垂直关系和平行关系进行判定.
【详解】对于A ，若m n ⊥，,αβ不一定垂直，不正确；
对于B ，若αβ⊥，,m n 还可能平行，不正确；
对于C ，若//m n ，,αβ还可能相交，不正确；
对于D ，若//αβ，,m n αγβγ== ，所以//m n .
故选：D.
14．A
【分析】由0=t 时，0.2y =求得λ；由0.1y ≤列不等式，通过解不等式来求得需要的时间.
【详解】依题意可知0=t 时，0.2y =，即0.050.2,0.15λλ+==，所以100.050.15t y e -=+，由100.050.1150.t y e
-≤=+，得1013t e -≤，两边取以e 为底的对数得1ln ln 3 1.1103
t -≤=-≈-，11t ≥，所以至少需要11分钟.
故选：A
15．A 【分析】首先根据命题甲求得角324
k παπ=+，进而推出命题乙成立；反之，根据命题乙成
立推出命题甲不一定成立，故可得出命题的充分必要性.
【详解】充分性：因为命题甲：sin cos αα-=，
4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭324
k παπ=+，所以双曲线22221cos sin x y αα-=为22111
22
x y -=，故其渐近线为y x =±，
经检验两条渐近线y x =±与圆221(1)2
x y -+=相切，则命题乙成立；必要性：由双曲线22221cos sin x y αα
-=得到渐近线方程为sin cos y x αα=±，当渐近线sin cos y x αα=±与圆221(1)2
x y -+=相切，
2=
解得：sin α=
所以sin cos αα-=或0，
则命题甲不一定成立，
故命题甲为命题乙的充分不必要条件，
故选：A.
16．C
【分析】
由三角函数的恒等变换化简方程2sin cos 3x x x +=
，并求值，判断{}n a
以
120a a +=，340a a +=，⋯，计算可得所求和．【详解】
解：2sin cos 3x x x +=
，即为1sin 2sin(2)23x x π=-
即sin(2)3x π-=
所以2arcsin(23x k ππ-
=-+
或2arcsin(k ππ+-，Z k ∈，
即2arcsin 23x k ππ=-
或42arcsin 3k ππ++，Z k ∈，
而3π<=，
所以12arcsin 3x π=
-，
242arcsin 36x π=
+，
32arcsin 23x π
π=-，⋯，
所以212x x π-=
+，211cos()sin(arcsin x x a -=-=-，
322x x π
-=-212cos()sin(arcsin x x a -==，
后面的值都是以120a a +=，340a a +=，⋯，
所以12202120211a a a a a ++⋯+===-
故选：C ．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用反三角函数求得12,x x 的值，从而得出循环，得出120a a +=，340a a +=，⋯，从而求得结果.
17．
(2)4
【分析】（1）根据表面积得到14AA =，计算ABP S =△.
（2）L 为1AA 的中点，连接,LO LP ，证明1LO A B ∥，在OPL △中，计算各条边长，再利用余弦定理计算夹角得到答案.
【详解】（1）2r OA ==，2112π2π8π4π24πS r r AA AA =+⋅=+⋅=，故14AA =.
120A O P ∠=︒，则30BAP ∠=︒，4sin 60AP =︒=，4sin 302BP =︒=，
112
22
ABP S AP BP =⨯⨯=⨯=△，
1111433A B BP A AP V S AA -=⋅=⨯=△（2）如图所示：L 为1AA 的中点，连接,LO LP ，
L 为1AA 的中点，O 为AB 中点，则1LO A B ∥，
112LO A B ===2OP =，4LP ==，
在OPL △中，222cos
24OP OL PL POL OP OL +-∠=-⋅.
故异面直线A 1B 与OP 所成角的大小为arccos 4
.
18．(1)()11f =，()21
f x x x =-+(2)513,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】（1）令x =0代入求()1f ；利用构造法求()f x 的解析式；
（2）2()21g x x tx =-+，讨论对称轴与区间[4,5]的关系，分别求出最小值和最大值，列不等式解出t 的范围.
【详解】（1）因为函数()f x 满足()211
f x x x +=++所以令x =0得：()210011f =++=，即()11f =.
由()()()(
)222111111f x x x x x x x +=++=+-=+-++得：()21f x x x =-+.
（2）函数2()()(21)21g x f x t x x tx =--=-+，对称轴为x =t .
当4t ≤时，()g x 在[4,5]单调递增，所以max min ()(5)()(4)g x g g x g ==，，所以有(5)(4)4g g -<，
即()()2510116814t t -+--+<，解得：52
t >，所以542t <≤；当4 4.5t <≤时，()g x 在[4,]t 单调递减，在[,5]t 单调递增，且54t t -≥-，所以
2max min ()(5)2610()()1g x g t g x g t t ==-==-+，，所以有(5)()4g g t -<，即
()()22510114t t -+--+<，解得：37t <<，所以4 4.5t <≤；
当4.55t <≤时，()g x 在[4,]t 单调递减，在[,5]t 单调递增，且54t t -<-，所以2max min ()(4)178()()1g x g t g x g t t ==-==-+，，所以有(4)()4g g t -<，即
()()217814t t ---+<
，解得：44t <+4 4.5t <≤；
当5t >时，()g x 在[4,5]单调递减，所以max min ()(4)()(5)g x g g x g ==，，所以有(4)(5)4g g -<，
即()()2510116814t t -+--+<，解得：132t <，所以1352t <<；综上所述：51322
t <<.即实数t 的范围是513,
22⎛⎫ ⎪⎝⎭.19．(1)11.2米.
(2)救援车不能从此处通过，理由见解析
【分析】（1）在ABC 中，利用正弦定理即可得出答案；
（2）设DG EF h ==，则210tan tan(60)
h h AD CE DE θθ++=++=︒-，可得
)6h πθ=+.【详解】（1）解：在ABC 中，120CBA ∠=︒，45CAB ∠=︒，
所以15BCA ∠=︒，
由正弦定理，得.
10sin15sin 45sin120AB CB ==︒︒︒
所以10(sin15sin 45)11.2sin120AB BC +=︒+︒=≈︒所以折断前树的高度11.2米；
（2）如图，设ABC 的内接矩形DEFG 的边DE 在AC 上且2DE =，设DG EF h ==，因为CAB θ∠=，120CBA ∠=︒，所以60BCA θ∠=︒-，所以210tan tan(60)
h h AD CE DE θθ++=++=︒-，所以cos cos(60)8sin sin(60)h θθθθ⎡⎤︒-+=⎢︒-⎣⎦
，则8sin sin(60)
sin 60h θθ︒-=︒
1cos2
(sin 2)sin(2)
4
4363θπθθ-=-=+-因为(0,)3πθ∈，所以52(,666
πππθ+∈
所以1sin(2),162πθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，所以3 0,h ⎛∈ ⎝⎦
2.5=<=，所以救援车不能从此处通过.
20．（1）22143x y +=；（2）0；（3）经过定点，定点坐标0,34λ⎛+ -⎝⎭
．
【分析】（1）由已知得|4|x -=，化简得曲线C 的方程；
（2）设直线l 的方程为：1,12
y x m m =+≠，与椭圆的方程联立得2230x mx m ++-=，设()()1122,A x y B x y ，，，得出根与系数的关系，代入PA PB k k +中，计算可得值；
（3）由（1）得(E ，设直线PQ 的方程为,y kx t =+与椭圆的方程联立得()2223+484120k x ktx t ++-=，设()()3344,P x y Q x y ，，，得出根与系数的关系，再计算PE QE k k ，
可解得34t λ=
-，由此得定点坐标．【详解】解：（1）因为点(),M x y 是平面直角坐标系上的一个动点，点M 到直线4x =的距
离等于点M 到点()1,0D 的距离的2倍，所以|4|x -=，化简得曲线C 的方程为：22
143
x y +=；（2）因为直线l 的斜率为12，且直线l 不过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，所以设直线l 的方程为：
1,12y x m m =+≠，联立方程组22
14312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，得2230x mx m ++-=，又交点为()()1122,A x y B x y ，，，所以12212
3x x m x x m +=-⎧⎨=-⎩，因为224(3)0,22m m m ∆=-->∴-<<，所以1212332211PA PB
y y k k x x --+=+--12121212(2)()230()1x x m x x m x x x x +-+-+==-++；（3）由（1
）得(E ，由题意，直线的斜率存在，
设直线PQ
的方程为,y kx t t =+≠，联立方程组22
143x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()
2223+484120k x ktx t ++-=，设()()3344,P x y Q x y ，，，所以342
234283+44123+4kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
，
则()(
))343434
34+3PE QE x t k k k k k k x x t x t x t x =++-+++
=()(
)2234
3434+++x x k kt x x t x x -
=λ==，
所以t =
，
所以直线经过定点，定点坐标0,34λ⎛+ -⎝⎭
．
【点睛】方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，
时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；
(2)涉及到直线方程的设法时，
务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．有时若直线过x 轴上的一点，可将直线设成横截式.
21．（1）不可以是2R 数列；理由见解析；（2）51a =；（3）存在；2p =．
【分析】(1)由题意考查3a 的值即可说明数列不是2ℜ数列；
(2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定5a 的值；
(3)构造数列n n b a p =+，易知数列{}n b 是0ℜ的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数p 的值.
【详解】(1)因为122,2,2,p a a ===-所以12122,13a a p a a p ++=+++=，
因为32,a =-所以{}
312122,21a a a a a ∈+++++所以数列{}n a ，不可能是2ℜ数列.
(2)性质①120,0a a ≥=，
由性质③{}2,1m m m a a a +∈+，因此31a a =或311a a =+，40a =或41a =，
若40a =，由性质②可知34a a <，即10a <或110a +<，矛盾；
若4311,1a a a ==+，由34a a <有111a +<，矛盾.
因此只能是4311,a a a ==.
又因为413a a a =+或4131a a a =++，所以112a =
或10a =.若112
a =，则{}{}{}2111111110,012,211,2a a a a a a a a +=∈+++++=+=，不满足20a =，舍去.
当10a =，则{}n a 前四项为:0，0，0，1，
下面用数学归纳法证明()444(1,2,3),1n i n a n i a n n N ++===+∈：
当0n =时，经验证命题成立，假设当(0)n k k ≤≥时命题成立，
当1n k =+时：
若1i =，则()()4541145k k j k j a a a +++++-==，利用性质③：
{}
*45,144{,1}j k j a a j N j k k k +-+∈≤≤+=+∣，此时可得：451k a k +=+；否则，若45k a k +=，取0k =可得：50a =，
而由性质②可得：{}5141,2a a a =+∈，与50a =矛盾.
同理可得：
{}*46,145{,1}j k j a
a j N j k k k +-+∈≤≤+=+∣，有461k a k +=+；{}*48,246{1,2}j k j a
a j N j k k k +-+∈≤≤+=++∣，有482k a k +=+；{}
*47,146{1}j k j a a j N j k k +-+∈≤≤+=+∣，又因为4748k k a a ++<，有47 1.k a k +=+即当1n k =+时命题成立，证毕.
综上可得：10a =，54111a a ⨯+==.
(3)令n n b a p =+，由性质③可知：
*,,m n m n m n N b a p ++∀∈=+∈{},1m n m n a p a p a p a p +++++++{},1m n m n b b b b =+++，由于11224141440,0,n n n n b a p b a p b a p a p b --=+≥=+==+<+=，
因此数列{}n b 为0ℜ数列.
由（2）可知:
若444,(1,2,3),1n i n n N a n p i a n p ++∀∈=-==+-；
11111402320a S S a p ⨯+-==-≥=，91010422(2)0S S a a p ⨯+-=-=-=--≥，
因此2p =，此时1210,,,0a a a ⋯≤，()011j a j ≥≥，满足题意.
【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。