数学分析知识点总结(微分方程)

2.7．微分方程初步
2.7.1 概说
涉及到量的变化率满足的制约关系，通常是含有导数的方程——微分方程。

简单例子：
（1）放射性物质，在每一时刻t ，衰变的速率dm dt -
（由于是减少，因此0dm dt
<，速率为标量，是正值）正比于该放射性物质尚存的质量，因此质量应满足一下微分方程。

dm
km dt
-
= （2）质量为m 的物体自由落体，取坐标轴沿竖直方向指向地心，下落距离()y y t =应该满足牛顿第二定律F ma =，即
22d y
mg m dt
=
（3）质量为m 的跳伞员下落，所受空气阻力正比下降的速度，取坐标轴沿竖直方向指向地心，则t 时刻下降距离()y y t =满足
22dy d y mg k m dt dt
-=
（1）如下图所示，钢球在以水平光滑杆上，受到弹力而来回整栋，原点位置为O ，钢球在
t 时刻的坐标()x x t =满足微分方程
()22d x kx m dt
-=
如果钢球还受到一个与速度成正比，方向与速度相反的阻尼力的作用，那么它所满足的微分方程是
22dx d x
kx h m dt dt
--=
总结：最简单的一阶微分方程是
()dx
f t dt
= 其中t 是自变量，上述方程的一般解应该是
()x f t dt C =+⎰
最简单的n 阶方程
()n n
d x
f t dt = 它等价于说11n n d x
dt
--是()f t 的原函数，即
11()n n d x
f t dt C dt --=+⎰
则再次积分，一直积分下去得到
1
11()(1)!
n n n t x f t dt
dt C C t C n --=++
++-⎰⎰
2.7.2 一阶线性微分方程
考察下面的方程
()()dx
a t x
b t dt
+= 方程中有未知函数的一阶导数，且其一阶导数的系数为常数，其余部分未知函数最高层次数为一次，称为线性，上述方程为一阶线性微分方程。

如果()0a t =，则称为一阶线性常微分方程。

试着求解上述方程，方程两端都乘以()a t dt
e ⎰
，得到
()()()()()a t dt
a t dt a t dt dx
e a t e x b t e dt
⎰
⎰⎰
+= 即为下面的形式
()()()()a t dt
a t dt
a t dt d e dx
e x b t e dt dt ⎛⎫⎰ ⎪
⎝⎭⎰
⎰+=
即
()()()a t dt
a t dt d xe
b t e dt
⎛⎫⎰ ⎪
⎝⎭⎰=
于是有
()()()a t dt
a t dt
xe b t e dt C ⎰
⎰
=+⎰
那么有
()()()a t dt a t dt x e b t e dt C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪
⎝⎭
⎰ 这就是一阶线性微分方程的一般解。

这个解法的关键部分是以()a t dt
e ⎰
乘以方程两端。

简单的例子
（1）质量为m 的跳伞员下落，所受空气阻力正比下降的速度，取坐标轴沿竖直方向指向地心，则t 时刻下降距离()y y t =满足
22dy d y mg k m dt dt
-=
由于速度dy
v dt
=
，因此方程化为 dv k
v g dt m
+= 方程两边同时乘以()k
k dt
t a t dt
m m
e e
e ⎰⎰
==，则有
k k k t t t m
m
m dv k e
e v ge dt m
+= 即有
k t m
k t m d ve ge dt
⎛⎫ ⎪⎝⎭= 得到
k k t t m
m mg v e
e C k -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
即
k
k k t t t m
m m mg mg v e
e C Ce k k
--⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 跳伞的初始速度为0，即0,0t v ==，则
00t mg
v C k ==
+= 所以
mg
C k
=-
则跳伞速度为
1k t m
mg v e k -⎛⎫=- ⎪⎝⎭
由于dy
v dt
=
，因此有 1'k k t t m m
mg mg m y vdt e dt t e C k k k --⎛⎫⎛⎫==-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎰⎰
跳伞的初始位移为0，即0,0t y ==，则
0'0t mg m y C k k =⎛⎫
=
+= ⎪⎝⎭
则
'm
C k
=-
因此有
1k t m
mg m y t e k k -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
自然界有一些量，它的减少正比于该量本身数值，这样的量x 应该满足一下的微分方程
dx
kx dt
=- 即
0dx
kx dt
+= 解这微分方程得到
kt x Ce -=
设0t =时x 的值为0x ，则有0C x =，量x 的变化规律为
0kt x x e -=
2.7.3 变量分离型微分方程
先看一个简单的例子，考察一阶线性方程
()dx
a t x dt
= 我们把这个方程改写为
()dx
a t dt x
= 如果()x x t =是方程的解，那么它能使上式成为恒等式，两边求不定积分得 ()'dx
a t dt C x =+⎰⎰
因此得到 ln ||()'x a t dt C =+⎰
()'a t dt
C x e e ⎰
=±⋅
令'
C C e =±，则得到
()a t dt
x Ce ⎰
=
因此我们可以得到结论，方程
()dx
a t x dt = 的一般解为
()a t dt
x Ce ⎰
=
（一般的变量分离型方程） 对于一般的变量分离型方程
()()dx
f t
g x dt
= 事实上，如果()0g x ≠，那么方程可以改写为
()()
dx
f t dt
g x = 再对两边求不定积分得到
()()dx
f t dt C
g x =+⎰⎰
另外，如果有0x 能使得0()0g x =，那么常值函数0x x ≡也是原方程的解。

（经过换元后得到变量分离型方程）
（1）考察方程
dx x f dt t ⎛⎫= ⎪⎝⎭
换元，引入新的未知数 x
u t
=
我们得到 x ut =
()dx d ut du
u t
dt dt dt ==+ 代入原方程得到 ()du
u t
f u dt
+=
()du f u u
dt t -=
这又是一个变量分离型方程，我们有
()du dt
f u u t
=-
()du dt
C f u u t
=+-⎰⎰
则有
ln ||()du
t C f u u
=+-⎰
（2）考察方程
dx
x t f dt x t αβγδ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭
变换方程
x dx
x t f g x dt t t
αβγ
δ⎛⎫+ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝
⎭
换元，令
x u t
= 我们得到 x ut =
dx du u t dt dt
=+ 代入原方程，我们有
du
u u t
f dt u αβγδ⎛⎫
++= ⎪+⎝⎭
这是一个分离变量型的方程，得到
du dt t
u f u u αβγδ=
⎛⎫+-
⎪+⎝⎭
两边取积分得到
du dt
C t
u f u u αβγδ=+⎛⎫+-
⎪+⎝⎭
⎰
⎰
则得到
ln ||du t C u f u u αβγδ
=+⎛⎫+-
⎪+⎝⎭
⎰
（3）考察方程
dx
x t f dt x t αβλγδμ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭
这个方程可以化成（2）中的形式，取0x 和0t 满足
000
00
0x t x t αβλγδμ++=⎧⎨
++=⎩ 作如下变换 0
x x t t ξτ=+⎧⎨
=+⎩ 则有
00()()d x dx d dt d t d ξξ
ττ
+==
+ 00000000()()()()()()00x t x t x t f f f x t x t x t f f f αξβτλαξβταβλαβλγδμγξδτμγξδτγδμξαβαξβταξβττξγξδτγξδτγδτ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++++++++== ⎪ ⎪ ⎪++++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫
+ ⎪⎛⎫⎛⎫
+++== ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ ⎪
+⎝⎭
作换元，令
u ξ
τ
= 我们得到 u ξτ=
d du
u d d ξτ
ττ=+ 代入原方程，我们有
du
u u f d u αβτ
τγδ
⎛⎫
++= ⎪+⎝⎭
du d u f u u τ
τ
αβγδ
=
⎛⎫+-
⎪+⎝⎭
du d C u f u u τ
τ
αβγδ=+⎛⎫+-
⎪+⎝⎭
⎰⎰
ln ||du C u f u u ταβγδ
=+⎛⎫+-
⎪+⎝⎭
⎰
求解方程后只要将值还原为还原前的值。

2.7.4 实变复值函数
对于代数方程式，我们已经有过这样的经验：即使是实系数的代数方程，为了弄清楚它的根的状况，最好到更广泛的复数范围内加以讨论。

在处理微分方程的某些问题时，例如求解高阶常系数线性微分方程的时候也会遇到类似的问题：虽然是“实”的微分方程，所求的也是实解（实值函数解），但中间过程却需要在更广泛的复值函数范围内进行讨论。

本节为这一讨论做准备。

（1）复数与平面向量，复数序列的极限 我们把形状如 w u iv =+ 的数称为复数，这里1i =-是虚单位，而,u v 都是实数，分别称为实部和虚部，记为
Re ,w u =Im w v =
复数的加法和乘法定义如下：
11221212()()()()u iv u iv u u i v v +++=+++ 11221212()()()()u iv u iv u u i v v +-+=-+-
11221221121212122112()()()()u iv u iv u u iv u iv u v v u u v v i v u v u +⋅+=++-=-++
1111221212122112121221
222222
222222222222()()()()()()u iv u iv u iv u u v v i v u v u u u v v v u v u i u iv u iv u iv u v u v u v ++-++-+-===+++-+++
作除法时要求220u iv +≠，即2
2
220u v +≠。

复数w u iv =+可以解释为平面直角坐标系中坐标为(,)u v 的点，这点的极坐标为(,)r θ，
x ()
y i O
r
θ
(,)
u v
其中
22r u v =+，cos u r θ=
，sin v
r
θ= 我们把
(cos sin )w r i θθ=+
称为复数的极坐标表示，r 和θ分别称为复数的模和幅角，分别用符号||w 和Argw 表示。

采用这种表示来计算复数的乘方特别方便： (cos sin )n n w r n i n θθ=+
证明：
当1n =时明显成立，假设当n k =时成立，有
(cos sin )k k w r k i k θθ=+
则当1n k =+时，有
[][]
1111(cos sin )(cos sin )(cos sin )(cos sin )
(cos cos sin sin )(cos sin sin cos )cos(1)sin(1)k k k k k k w w w r k i k r i r k i k i r k k i k k r k i k θθθθθθθθθθθθθθθθθθ++++=⋅=+⋅+=++=-++=+++
所以对1n k =+也成立，故而有
(cos sin )n n w r n i n θθ=+
复数w u iv =+还可以解释为长为||w 方位角为Argw 的一个平面向量，多个复数之和就可以理解为多个平面向量之和。

复数的模正好是向量的长度，它满足一下不等式：
1212||||||w w w w +≤+
意味着三角形的两边之和大于第三边。

也可以用代数方式证明这个不等式。

化为代数表达，也就是证明：
22222212121122()()u u v v u v u v +++≤+++
这个采用逆向证明法很容易证明，不等式还可以推广到m 个复数的情形，则
1212||||||||m m w w w w w w +++≤+++
定理1：复数序列n n n w u iv =+收敛于C A iB =+的充分必要条件是序列n u 和序列n v 分别收敛于A 和B 。

（实变复值函数）
设D R ⊂，E C ⊂，我们把从D 到E 的映射
()w f t =
称为实变复值函数，设w u i v =+，()()()f t t i t ϕψ=+，、函数()w f t =相当于一对实函数
()u t ϕ=，()v t ψ=
引入实变复值函数作为工具，是为了更方便地研究实函数。

定理1：设实变复值函数()()()f t t i t ϕψ=+在0(,)U t η有定义，而C A iB =+，则
lim ()t t f t C →=的充分必要条件是
lim ()t t t u ϕ→=，0
lim ()t t t v ψ→=
定理2：设实变复值函数()()()f t t i t ϕψ=+在0(,)U t η有定义，则()f t 在0t 点连续的充分必要条件是：()t ϕ和()t ψ在0t 点连续。

定理3：设实变复值函数()()()f t t i t ϕψ=+在0(,)U t η有定义，则()f t 在0t 点可导的充分必要条件是：()t ϕ和()t ψ在0t 点可导。

且
000'()'()'()f t t i t ϕψ=+
实函数的复合函数求导法则同样适用于实变复值函数的复合函数求导。

定理4：为使实变复值函数()()()F t t i t =Φ+ψ是实变复值函数()()()f t t i t ϕψ=+的原函数，必须而且只许()t Φ和()t ψ分别是()t ϕ和()t ψ的原函数。

记为 ()()f t dt F t C =+⎰
()()()()()f t dt t dt i t dt t i t C ϕψ=+=Φ+ψ+⎰⎰⎰
其中C 可以是复数。

（欧拉Euler 公式）
在推导过程中，会用到下面几个常见的极限
()1
lim 1e ααα→+=，0
ln(1)
lim
1βββ
→+=，0
arctan lim
1γγ
γ
→=
当0a ≠时，lim 1lim 1a
n
n
a a
a a e n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
；
当0a =时，()0
lim 1lim 101n
n a e n ⎛⎫+=+== ⎪⎝⎭
；
因此有
lim 1,n
a a e a R n ⎛⎫
+=∈ ⎪⎝⎭
定义：对于c a ib C =+∈，我们规定
lim 1n
c
c e n ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
下面来求解c
e 。

将复数1c n ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
写成极坐标的形式 ()111cos sin c a ib a b w i r i n n n n θθ+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
其中
2
2
1a b r n n ⎛⎫⎛⎫
=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，arctan 1b
n a n
θ=+
那么有
()1cos sin n
n n
c w r i n θθ⎛⎫+==+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
由前面的知识可得
()()cos sin cos sin n
n n
w r i r n i n θθθθ=+=+⎡⎤⎣⎦
因此有
()1cos sin n
n
c r n i n n θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
()()()()lim 1lim cos sin lim lim cos sin lim cos lim sin lim n
c n n
n c e r n i n r n i n n r n i n θθθθθθ⎛⎫⎡⎤=+=+=⋅+ ⎪⎣⎦⎝⎭
=⋅+⎡⎤⎣⎦
下面分别求出各部分的极限：
22
2
2
2
2
2
211n
n n a b a a b r n n n n ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=++=++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦
222
2ln ln 12n
n a a b r n n ⎡⎤
⎛⎫+=++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
因此有（可用其同阶的无穷小替代）
()222222
22lim ln lim ln 1lim 22n
n a a b n a a b r a n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
++=++=+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎣⎦ 则有
ln limln lim lim n n
n r r a r e e e ===
而
lim lim arctan lim 11b b n n n n n b a
a n n θ⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪
⎪++⎝⎭⎝
⎭
因此得到
()()()lim 1lim cos lim sin lim cos sin n
c
n a
c e r n i n e b i b n θθ⎛⎫=+=⋅+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦
⎝⎭
即
()cos sin c a e e b i b =+，其中c a ib =+
或者
()cos sin a ib a e e b i b +=+
（1）如果0a =，那么有cos sin ib
e b i b =+ （2）令b 分别为b 和b -，我们得到
cos ,sin 22
ib ib ib ib
e e e e b b --+-==
（3）推广到复数的指数运算 1212c c c c e e e +⋅=
证：
[][]121122
121212121212
1122121212121212()()(cos sin )(cos sin )
(cos cos sin sin )(sin cos cos sin )cos()sin()c c a ib a ib a a a a a a a a i b b c c e e e e e b i b e b i b e b b b b i b b b b e b b i b b e e ++++++++⋅=⋅=+⋅+=-++=+++== （4）令0a =，2
b π
=±
，则得到
2
cos
sin
2
2
i
e i i ππ
π
±=±=±
令0a =，b π=±，则得到
cos sin 1i e i πππ±=±=-
令0a =，2b k π=，则得到
2cos2sin 21i k e k i k πππ=+=
特别的1k =，有
21i e π=
它将数学中最重要的五个数字1,2,,,e i π联系在一起。

利用欧拉公式，我们将复数的极坐标形式(cos sin )w r i θθ=+写成
i w re θ=
这里r 为复数的模，θ为幅角，
cos sin i e i θθθ=+
是一个模为1的复数，它表示与极轴夹角为θ的一个单位向量。

||1i e θ=
再看复数 ()
2(cos sin )sin cos cos sin 22i i ie i i i i e πθθππθθθθθθ+⎛⎫⎛⎫=+=-+=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
因为
(
)
22i i i i ie e e e πθθπθ+=⋅=
所以i ie θ
是与i e θ
垂直的一个单位向量。

如下图所示。

O
i e θ
i ie θ
（应用欧拉公式讨论实变复值函数） 考察实变复值函数
()()t i t f t e e λαβ+==，
这里t R ∈，i C λαβ=+∈(,)R αβ∈，根据欧拉公式有
()()(cos sin )t i t t i t t f t e e e e t i t λαβαβαββ++====+
那么求导数得到
()()()
2'()'
(cos sin )'
(cos sin )(cos sin )'(cos sin )(sin cos )cos sin 22t t t t t t t i t t t i t t i t t i t t i t i f t e e t i t e t i t e t i t e t i t e t i t e e t i t e e
e e e λααααααβααπβαβαβαβπββαββββαββββββππαβββαβαβ++++++==+=+++=++-+⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+=+⋅2
()t i t t i t t i t t
e i e i e e αβαβαβλαβαβλ+++=+=+=
因此得到，对于i C λαβ=+∈，下面的求导公式也成立。

()'t
t
e e
λλλ=
因此得到关于原函数不定积分的相应公式。

1
t
t e dt e C λλλ
=
+⎰
（1）例如，已知,a b R ∈，试求下面的不定积分。

cos at
e
btdt ⎰，sin at e btdt ⎰
令a ib λ=+，则所求的不定积分恰好为下式的实部和虚部
()22
22
22
22(cos sin )1
1
(cos sin )()(cos sin )(cos sin )(sin cos )cos sin at t
t a ib t at
at at at a e at i bt dt e dt
e C
e A iB a ib a ib e bt i bt A iB a b
a i
b bt i bt e A iB a b
a bt
b bt i a bt b bt e A iB
a b a bt b bt e A i e a b λλλ
++==+=
+++-=++++-+=+++++-=++++⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭⎰⎰22sin cos t a bt b bt B a b -⎛⎫+ ⎪
+⎝⎭
由于对于实变复值函数()()()f t t i t ϕψ=+
()()()()()f t dt t dt i t dt t i t C ϕψ=+=Φ+ψ+⎰⎰⎰
因此有
22
cos sin cos ()at at a bt b bt
e btdt t e A a b +=Φ=++⎰
22
sin cos sin ()at at a bt b bt e btdt t e B a b -=ψ=++⎰ 其中A ，B 为任意实数。